高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第一册1.4 空间向量的应用第1课时课堂检测

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1.4 空间向量的应用 1.4.1 用空间向量研究直线、平面的位置关系 第1课时 空间中点、直线和平面的向量表示
A级　基础巩固
1.在空间直角坐标系中,已知点A(1,-2,0)和向量a=(-3,4,6),||=2|a|,若与a方向相反,则点B的坐标为 (　　)
A.(-7,6,12)　　　　B.(7,-10,-12)
C.(7,-6,12) D.(-7,10,12)
解析:设B(x,y,z),则=(x-1,y+2,z).
因为||=2|a|,且与a方向相反,
所以=-2a=-2×(-3,4,6)=(6,-8,-12),
所以x=7,y=-10,z=-12,即B(7,-10,-12).
故选B.
答案:B
2.在空间直角坐标系中,已知A(1,0,0),B(0,1,0),C(0,0,1)三点,平面ABC的一个单位法向量是(　　)
A.（,,-） B.（,-,）
C.（-,,） D.（-,-,-）
解析:由题意,知=(-1,1,0),=(-1,0,1).
设平面ABC的法向量为n=(x,y,z),
则即
取x=1,则y=1,z=1.
所以n=(1,1,1)是平面ABC的一个法向量,
所以平面ABC的一个单位法向量为或.
答案:D
3.已知A,B,C三点不共线,O为平面ABC外一点,若由向量=++λ确定的点P与A,B,C共面,则λ=.
解析:因为A,B,C三点不共线,O是平面ABC外一点,由向量=++λ确定的点P与A,B,C共面,所以++λ=1,解得λ=.
4.已知A（0,2,）,B（1,-1,）,C（-2,1,）是平面α内三点,设平面α的法向量为a=(x,y,z),则x∶y∶z=2∶3∶(-4).
解析:由已知,得=,
=,且,不共线.
因为a是平面α的法向量,
所以a·=0,a·=0,
即所以
所以x∶y∶z=y∶y∶=2∶3∶(-4).
5.如图所示,在多面体A1B1D1DCBA中,四边形AA1B1B,四边形ADD1A1,四边形ABCD均为正方形,E为B1D1的中点,过A1,D,E的平面交CD1于点F.求:
(1)平面A1DE的一个法向量;
(2)平面A1B1CD的一个法向量.

解:因为四边形AA1B1B,四边形ADD1A1,四边形ABCD均为正方形,
所以AA1⊥AB,AA1⊥AD,AB⊥AD,且AA1=AB=AD.以A为坐标原点,AB,AD,AA1所在直线分别为x轴、y轴和z轴,建立空间直角坐标系,如图所示.

设AB=AD=AA1=1,可得A(0,0,0),B(1,0,0),D(0,1,0),A1(0,0,1),B1(1,0,1),D1(0,1,1).
因为E为B1D1的中点,所以E.
(1)易知=,=(0,1,-1).
设平面A1DE的法向量为n1=(x1,y1,z1),
则
即所以
取y1=1,则x1=-1,z1=1.
所以n1=(-1,1,1)是平面A1DE的一个法向量.
(2)易知=(1,0,0),=(0,1,-1).
设平面A1B1CD的法向量为n2=(x2,y2,z2),则即所以
取z2=1,则x2=0,y2=1.
所以n2=(0,1,1)是平面A1B1CD的一个法向量.
B级　能力提升
6.已知平面α内两向量a=(1,1,1),b=(0,2,-1),且c=ma+nb+(4,-4,1).若c为平面α的一个法向量,则m,n的值分别为 (　　)
A.-1,2 B.1,-2
C.1,2 D.-1,-2
解析:因为a=(1,1,1),b=(0,2,-1),
所以c=ma+nb+(4,-4,1)=(m,m,m)+(0,2n,-n)+(4,-4,1)=(m+4,m+2n-4,m-n+1).由c为平面α的一个法向量,得即解得
答案:A
7.在空间直角坐标系中,已知点A(4,1,3),B(2,-5,1),C为线段AB上一点,若=,则点C的坐标为 (　　)
A.（,-,） B.（,-3,2）
C.（,-1,） D.（,-,）
解析:设C(x,y,z),因为A(4,1,3),B(2,-5,1),C为线段AB上一点,且=,所以=,即(x-4,y-1,z-3)=(-2,-6,-2),
所以x=,y=-1,z=,即C.
答案:C
8.如图,已知PA⊥矩形ABCD所在的平面,M,N分别是AB,PC的中点.
(1)指出直线MN的一个以A为起点的方向向量;
(2)若∠PDA=45°,求证:为平面PCD的一个法向量.

(1)解:取PD的中点E,连接NE,AE(图略).
因为N是PC的中点,所以NE∥DC,NE=DC.
又因为DC∥AB,DC=AB,M为AB的中点,
所以AM∥DC,AM=DC,所以NE?AM,
所以四边形AMNE是平行四边形,所以MN∥AE.
所以为直线MN的一个以A为起点的方向向量.
(2)证明:在Rt△PAD中,∠PDA=45°,E为PD中点,
所以AP=AD,所以AE⊥PD.
又因为MN∥AE,所以MN⊥PD.
因为PA⊥平面ABCD,所以PA⊥CD.
因为CD⊥AD,PA∩AD=A,所以CD⊥平面PAD.
因为AE⊂平面PAD,所以CD⊥AE.
又因为MN∥AE,所以CD⊥MN.
因为CD∩PD=D,所以MN⊥平面PCD.
所以为平面PCD的一个法向量.
C级　挑战创新
9.多选题如图所示,在空间直角坐标系中,正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1,下列结论正确的是(　　)

A.平面ABB1A1的一个法向量为(0,1,0)
B.平面B1CD的一个法向量为(1,1,1)
C.平面B1CD1的一个法向量为(1,1,1)
D.平面ABC1D1的一个法向量为(0,1,1)
解析:由题意,知=(0,1,0).因为AB⊥AD,AA1⊥AD,AB∩AA1=A,所以AD⊥平面ABB1A1,故选项A正确.
由题意,知=(-1,0,0).因为(1,1,1)·=-1≠0,所以向量(1,1,1)不是平面B1CD的一个法向量,故选项B不正确.
由题意,知=(0,1,-1), =(-1,0,1).因为(1,1,1)·=0,(1,1,1)·=0,B1C∩CD1=C,所以向量(1,1,1)是平面B1CD1的一个法向量,故选项C正确.
由题意,知=(0,1,1).因为·(0,1,1)=2≠0,所以向量(0,1,1)不是平面ABC1D1的一个法向量,故选项D不正确.
答案:AC
10.多空题如图,设O为▱ABCD所在平面外任意一点,E为OC的中点,若=+x+y,则x=,y=-.

解析:因为=++=(-)+(-)+(-)=
-=-=-+(+)=-++=-++,
所以x=,y=-.