人教A版 (2019)选择性必修 第一册1.4 空间向量的应用第2课时课后练习题

第一章　1.4　1.4.1　第2课时

A组·素养自测

一、选择题

1．若n＝(1，－2,2)是平面α的一个法向量，则下列向量能作为平面α法向量的是( C )

A．(1，－2,0)  B．(0，－2,2)

C．(2，－4,4)  D．(2,4,4)

[解析]　∵(2，－4,4)＝2(1，－2,2)＝2n，

∴(2，－4,4)可作为α的一个法向量．

2．已知平面α内有一点M(1，－1,2)，平面α的一个法向量n＝(6，－3,6)，则下列点P中在平面α内的是( A )

A．P(2,3,3)  B．P(－2,0,1)

C．P(－4,4,0)  D．P(3，－3,4)

[解析]　选项A：∵P(2,3,3)，∴＝(1,4,1)，则n·＝6－12＋6＝0，∴⊥n，∴P(2,3,3)在α内，故A正确，同理B，C，D不正确．

3．已知平面α的法向量为n＝(2，－2,4)，＝(－1,1，－2)，则直线AB与平面α的位置关系为( A )

A．AB⊥α

B．AB⊂α

C．AB与α相交但不垂直

D．AB∥α

[解析]　平面α的法向量为n＝(2，－2,4)，＝(－1,1，－2)，∴n＝－2，∴n∥，∴⊥α，即直线AB与平面α垂直．故选A．

4．(多选)(2023·岳阳高二期末)已知点P是平行四边形ABCD所在的平面外一点，如果＝(2，－1，－4)，＝(4,2,0)，＝(－1,2，－1)．下列结论正确的有( ABC )

A．AP⊥AB

B．AP⊥AD

C．是平面ABCD的一个法向量

D．∥

[解析]　对于A，·＝2×(－1)＋(－1)×2＋(－4)×(－1)＝0，所以⊥，即AP⊥AB，A正确；对于B，·＝(－1)×4＋2×2＋(－1)×0＝0，所以⊥，即AP⊥AD，B正确；对于C，由⊥，且⊥，得出是平面ABCD的一个法向量，C正确；对于D，由是平面ABCD的法向量，得出⊥，则D错误．

5．(多选)在空间直角坐标系Oxyz中，已知A(－1,2,3)，B(0，－2,4)，C(2,1,2)，若存在一点P，使得CP⊥平面OAB，则P点坐标可能为( AD )

A．(－12，－3,0)  B．(7,2，－4)

C．(6,3,5)  D．(－5，－1,1)

[解析]　设P(x，y，z)，由CP⊥平面OAB，可得CP⊥OA，CP⊥OB，

即可得

将四个选项代入检验可得正确选项

将(－12，－3,0)代入满足方程组，所以选项A正确；

将(7,2，－4)代入不满足方程组，所以B不正确；

将(6,3,5)代入不满足方程组，所以C不正确；

将(－5，－1,1)代入满足方程组，所以D正确．故选AD．

二、填空题

6．同时垂直于a＝(2,2,1)、b＝(4,5,3)的单位向量是 或　.

[解析]　设所求向量为c＝(x，y，z)，

则解得或

7．(2023·淄博高二检测)已知空间直线l的方向向量是m＝(1，a＋2b，a－1)(a，b∈R)，平面α的法向量n＝(2,3,3)．若l⊥α，则a＋b＝ 2　.

[解析]　若l⊥α，则m＝λn(λ≠0)，

即所以则a＋b＝2.

8．已知A(0,1,0)，B(－1,0，－1)，C(2,1,1)，点P(x,0，z)，若PA⊥平面ABC，则点P的坐标为_(－1,0,2)__.

[解析]　由题意得＝(－x,1，－z)，＝(－1，－1，－1)，＝(2,0,1)，由⊥，得·＝x－1＋z＝0，由⊥，得·＝－2x－z＝0，

解得故点P的坐标为(－1,0,2)．

三、解答题

9．如图，长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝AD＝1，AA1＝2，点P为DD1的中点，求证：直线PB1⊥平面PAC．

[解析]　依题设，以D为坐标原点，如图所示，建立空间直角坐标系Dxyz，则C(1,0,0)，P(0,0,1)，A(0,1，0)，B1(1,1,2)，

于是＝(－1,1,0)，＝(－1,0,1)，＝(1,1,1)，所以·＝(－1,1,0)·(1,1,1)＝0，·＝(－1,0,1)·(1,1,1)＝0，

故⊥，⊥，即PB1⊥CP，PB1⊥CA，又CP∩CA＝C，且CP⊂平面PAC，CA⊂平面PAC．故直线PB1⊥平面PAC．

10.如图所示，△ABC是一个正三角形，EC⊥平面ABC，BD∥CE，且CE＝CA＝2BD．求证：平面DEA⊥平面ECA．

[证明]　建立如图所示的空间直角坐标系C－xyz，不妨设CA＝2，则CE＝2，BD＝1，C(0,0,0)，A(，1,0)，B(0，2,0)，E(0,0,2)，D(0，2,1)．

所以＝(，1，－2)，＝(0,0,2)，＝(0,2，－1)．

分别设平面ECA与平面DEA的法向量是n1＝(x1，y1，z1)，n2＝(x2，y2，z2)，则

即

解得

即解得

不妨设n1＝(1，－，0)，n2＝(，1,2)，

因为n1·n2＝0，所以n1⊥n2.所以平面DEA⊥平面ECA．

B组·素养提升

一、选择题

1．《九章算术》中的“商功”篇主要讲述了以立体几何为主的各种形体体积的计算，其中堑堵是指底面为直角三角形的直棱柱．如图，在堑堵ABC－A1B1C1中，M是A1C1的中点，AB＝2AA1＝2AC，＝，＝3，若＝x＋y＋z，则x＋y＋z＝( C )

A．  B．

C．  D．

[解析]　以A1为坐标原点，，，的方向分别为x，y，z轴的正方向建立空间直角坐标系A1－xyz.

不妨令AB＝4，则A(2,0,0)，B(2,4,0)，A1(0,0,0)，C(2,0,2)，M(0,0,1)，N.因为＝3，所以G，则＝，＝(－2,0,0)，＝(0,4,0)，＝(0,0,2)，则解得x＝，y＝，z＝，故x＋y＋z＝.

2．已知＝(1,5，－2)，＝(3,1，z)，若⊥，＝(x－1，y，－3)，且BP⊥平面ABC，则实数x，y，z分别为( B )

A．，－，4  B．，－，4

C．，－2,4  D．4，，－15

[解析]　∵⊥，∴·＝0，

即3＋5－2z＝0，得z＝4，

又BP⊥平面ABC，∴⊥，⊥，

则解得

3．(多选)已知直线l1的方向向量是a＝(2,4，x)，直线l2的方向向量是b＝(2，y,2)．若|a|＝6，且a·b＝0，则x＋y的值是( CD )

A．－1  B．3

C．－3  D．1

[解析]　由题意知|a|＝＝6，解得x＝±4，

由a·b＝4＋4y＋2x＝0得，x＝－2y－2.

当x＝4时，y＝－3，所以x＋y＝1.

当x＝－4时，y＝1，所以x＋y＝－3.

综上，x＋y＝－3或1.

4．如图，E为正方体棱AA1上的一点，且＝，F为棱AD上一点，且∠C1EF＝90°，则AF∶FD＝( A )

A．2∶7　　  B．2∶6

C．1∶3　　  D．2∶5

[解析]　如图，以D为坐标原点，射线DA，DC，DD1分别为x轴，y轴，z轴正方向，建立空间直角坐标系，

设正方体棱长为2a，则E，C1(0,2a,2a)，F(x,0,0)，

所以＝，

＝，

因为∠C1EF＝90°，所以⊥，即·＝0，

所以2a(x－2a)＋a2＝0，解得x＝a，

所以FD＝a，AF＝2a－a＝a，

所以AF∶FD＝2∶7.

二、填空题

5．空间直角坐标系中，两平面α与β分别以n1＝(2,1,1)与n2＝(0,2,1)为其法向量，若α∩β＝l，则直线l的一个方向向量为 　.(写出一个方向向量的坐标)

[解析]　设直线l的一个方向向量为a＝(x，y，z)，由两平面α与β分别以n1＝(2,1,1)与n2＝(0,2,1)为其法向量，可得a·n1＝2x＋y＋z＝0，a·n2＝2y＋z＝0，可得z＝－2y，x＝y，可设y＝1，则x＝，z＝－2，可得a＝.

6．在△ABC中，A(1，－2，－1)，B(0，－3,1)，C(2，－2,1). 若向量n是与共线的单位向量，则向量n的坐标为 或　；若向量n与平面ABC垂直，且|n|＝，则n的坐标为 (－2,4,1)或 (2，－4，－1)　.

[解析]　据题意，得＝(－1，－1,2)，＝(1,0,2)．

设n＝(x，y，z)，若向量n是与共线的单位向量，则

可得n＝或n＝.

若n与平面ABC垂直，则

即

可得又因为|n|＝，

所以＝，解得z＝1或z＝－1.

所以n＝(－2,4,1)或n＝(2，－4，－1)．

7．如图所示，已知矩形ABCD，AB＝1，BC＝a，PA⊥平面ABCD，若在BC上只有一个点Q满足PQ⊥QD，则a的值等于　_2__.

[解析]　以A为原点，建立如图所示坐标系，则A(0,0,0)，B(1,0,0)，D(0，a,0)，C(1，a,0)，

设Q(1，x,0)，P(0,0，z)，＝(1，x，－z)，＝(－1，a－x,0)．

由·＝0，得－1＋x(a－x)＝0，

即x2－ax＋1＝0.

当Δ＝a2－4＝0，即a＝2时，点Q只有一个．

三、解答题

8.如图，已知直三棱柱ABC－A1B1C1中，AC⊥BC，D为AB的中点，AC＝BC＝BB1.

(1)求证：BC1⊥AB1；

(2)求证：BC1∥平面CA1D．

[证明]　如图，以C1点为原点，C1A1、C1B1、C1C所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系．

设AC＝BC＝BB1＝2，则A(2,0,2)、B(0,2,2)、C(0,0,2)、A1(2,0,0)、B1(0,2,0)、C1(0,0,0)、D(1,1,2)．

(1)∵＝(0，－2，－2)、＝(－2,2，－2)，

∴·＝0－4＋4＝0，∴⊥，∴BC1⊥AB1.

(2)取A1C的中点E，∵E(1,0,1)，∴＝(0,1,1)，又＝(0，－2，－2)，∴＝－，且ED和BC1不共线，则ED∥BC1.又ED⊂平面CA1D，BC1⊄平面CA1D，故BC1∥平面CA1D．

9.如图所示，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为直角梯形，且AD∥BC，∠ABC＝∠PAD＝90°，侧面PAD⊥底面ABCD．若PA＝AB＝BC＝AD．

(1)求证：CD⊥平面PAC；

(2)侧棱PA上是否存在点E，使得BE∥平面PCD？若存在，指出点E的位置并证明，若不存在，请说明理由．

[解析]　因为∠PAD＝90°，所以PA⊥AD．

又因为侧面PAD⊥底面ABCD，且侧面PAD∩底面ABCD＝AD，

所以PA⊥底面ABCD．

∠BAD＝90°，

所以AB，AD，AP两两垂直．分别以AB，AD，AP所在直线为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系．

设AD＝2，则A(0,0,0)，B(1，0,0)，C(1,1,0)，D(0，2,0)，P(0,0,1)．

(1)证明：＝(0,0,1)，＝(1,1,0)，＝(－1,1,0)，

可得·＝0，·＝0，所以AP⊥CD，AC⊥CD．

又因为AP∩AC＝A，所以CD⊥平面PAC．

(2)设侧棱PA的中点是E，

则E，＝.

设平面PCD的法向量是n＝(x，y，z)，则

因为＝(－1,1,0)，＝(0,2，－1)，

所以

取x＝1，则y＝1，z＝2，所以平面PCD的一个法向量为n＝(1,1,2)．

所以n·＝(1,1,2)·＝0，所以n⊥.

因为BE⊄平面PCD，所以BE∥平面PCD．

综上所述，当点E为PA的中点时，BE∥平面PCD．