贵州省威宁彝族回族苗族自治县第八中学2023届高三数学（理）样卷（二）试题（含解析）

这是一份贵州省威宁彝族回族苗族自治县第八中学2023届高三数学（理）样卷（二）试题（含解析），共21页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
贵州省威宁彝族回族苗族自治县第八中学2023届高三数学（理）样卷（二）试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、单选题
1．已知集合，，那么（    ）
A． B． C． D．
2．设，则（    ）
A． B． C． D．
3．已知命题：，或，则为（    ）
A．，且 B．，且
C．，或 D．，或
4．已知单位向量满足，则与夹角的大小为（    ）
A． B． C． D．
5．如图，这是函数的部分图象，则它的解析式可能是（    ）
  
A． B．
C． D．
6．长时间玩手机可能影响视力．据调查，某校大约有40%的学生近视，而该校大约有20%的学生每天玩手机超过1小时，这些人的近视率约为50%．现从每天玩手机不超过1小时的学生中任意调查一名学生，则他近视的概率约为（    ）
A．0.375 B．0.425 C．0.325 D．0.45
7．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（    ）
  
A． B． C． D．
8．如图，双曲线的左、右焦点分别为，，直线过点与双曲线的两条渐近线分别交于两点．若是的中点，且，则此双曲线的离心率为（    ）
  
A． B．2 C． D．
9．函数的部分图象如图中实线所示，图中圆与的图象交于两点，且点在轴上，圆的半径为，则（    ）
  
A． B． C． D．
10．加斯帕尔-蒙日是1819世纪法国著名的几何学家．如图，他在研究圆锥曲线时发现：椭圆的任意两条互相垂直的切线的交点都在同一个圆上，其圆心是椭圆的中心，这个圆被称为“蒙日圆”．若长方形的四边均与椭圆相切，则下列说法错误的是（    ）
  
A．椭圆的离心率为 B．椭圆的蒙日圆方程为
C．若为正方形，则的边长为 D．长方形的面积的最大值为18
11．已知实数满足，且，则（    ）
A． B． C． D．
12．如图，是半球的直径，为球心，为此半球大圆弧上的任意一点（异于在水平大圆面内的射影为，过作于，连接，若二面角的大小为，则三棱锥的体积的最大值为（    ）
  
A． B． C． D．

二、填空题
13．的展开式中的系数为 .
14．请写出一个与轴和直线都相切的圆的方程： ．
15．在中，角、、的对边分别为、、，设的面积为，若，则的最大值为 ．
16．当时，函数的最小值为1，则 ．

三、解答题
17．已知数列，且．
(1)求数列的通项公式；
(2)求数列的前项和．
18．为了解某一地区新能源电动汽车销售情况，一机构根据统计数据，用最小二乘法得到电动汽车销量（单位：万台）关于（年份）的线性回归方程，且销量的方差为，年份的方差为．
(1)求与的相关系数，并据此判断电动汽车销量与年份的线性相关性的强弱．
(2)该机构还调查了该地区90位购车车主的性别与购车种类情况，得到的数据如下表：
性别
购买非电动汽车
购买电动汽车
总计
男性
39
6
45
女性
30
15
45
总计
69
21
90
依据小概率值的独立性检验，能否认为购买电动汽车与车主性别有关？
(3)在购买电动汽车的车主中按照性别进行分层抽样抽取7人，再从这7人中随机抽取3人，记这3人中男性的人数为，求的分布列和数学期望．
①参考数据：．
②参考公式：线性回归方程为，其中；
相关系数，若，则可判断与线性相关较强；
，其中．附表：

0.10
0.05
0.010
0.001

2.706
3.841
6.635
10.828
19．如图，在三棱锥中，平面平面，点在棱上，且．
  
(1)证明：平面平面．
(2)设是的中点，点在棱上，且平面，求二面角的正弦值．
20．已知函数．
(1)当时，若恒成立，求的取值范围；
(2)若在上有极值点，求证：．
21．已知抛物线的焦点为，过点的直线与抛物线交于两点，点在第一象限，为坐标原点．
(1)设为抛物线上的动点，求的取值范围；
(2)记的面积为的面积为，求的最小值．
22．如图，在平面直角坐标系中，以坐标原点为极点，极轴所在的直线为轴建立极坐标系，曲线是经过极点且圆心在极轴上的直径为2的圆，曲线是著名的笛卡尔心形曲线，它的极坐标方程为．
  
(1)求曲线的极坐标方程，并求曲线和曲线的交点（异于极点）的极径；
(2)若曲线的参数方程为（为参数），且曲线和曲线相交于除极点以外的两点，求线段的长度．
23．已知是正实数，且．
(1)求的最小值；
(2)求证：．

参考答案：
1．B
【分析】首先求集合，再求.
【详解】，即，得，
所以，,
所以.
故选：B
2．C
【分析】设复数，利用待定系数法，列式求解.
【详解】设，则，
所以，则.
故选：C
3．B
【分析】根据含有量词的命题的否定即可得到结论
【详解】命题是全称命题
因为命题：，或
所以：，且
故选：B
4．D
【分析】利用向量数量积公式，结合运算律，即可求解.
【详解】，
因为为单位向量，
所以，
因为，
所以.
故选：D
5．D
【分析】观察函数的图象可得函数是奇函数，由此排除AB；再由函数单调性定义推理并排除C作答.
【详解】观察函数的图象知，函数的定义域为，是奇函数，
而函数是偶函数，函数是奇函数，
则与是非奇非偶函数，AB不可能；
对于C，是奇函数，且当时，函数与都是增函数，
任取，，
因此，即函数在上单调递增，C不可能；
对于D，是奇函数，当且无限增大时，的值无限趋近于，且趋近于无穷大，
的值无限趋近于无穷大，但增大的速度远大于增大的速度，则无限趋近于0，
当时，，选项D符合.
故选：D
6．A
【分析】利用样本容量根据概率的意义计算.
【详解】设该校学生人数为，则近视人数约为，每天玩手机超过1小时的人数约为，这些人的近视人数约为，
因此每天玩手机不超过1小时且近视的人数约为，而每天玩手机不超过1小时的人数约为，
所以从每天玩手机不超过1小时的学生中任意调查一名学生，则他近视的概率约为，
故选：A．
7．A
【分析】首先根据三视图还原结合体，再根据几何体的特征，求各部分的面积.
【详解】该几何体为两个四分之一圆柱拼接而成，拼接方式如正视图，
  
圆柱所在圆的半径为1，高为2，
所以几何体的表面积为.
故选：A
8．B
【分析】利用直角三角形的性质，结合双曲线渐近线的方程和性质、双曲线离心率的性质进行求解即可.
【详解】因为，则，所以是直角三角形，又因为是的中点，
所以是直角斜边中线，因此，而点是线段的中点，
所以是等腰三角形，因此，由双曲线渐近线的对称性可知中：
，于是有：，
因为双曲线渐近线的方程为：，因此有：
，
故选：B.
9．B
【分析】根据给定的函数图象求出，再结合圆的半径求出，进而求出的解析式作答.
【详解】观察图形知，函数的周期，则，
由，得，而，则，即，
又圆的圆心，点在圆上，则，又，解得，
因此，所以.
故选：B
10．D
【分析】由椭圆标准方程求得后再求得，从而可得离心率，利用特殊的长方形（即边长与椭圆的轴平行）求得蒙日圆方程，从而可得长方形边长的关系，结合基本不等式得面积最大值，并得出长方形为正方形时的边长．
【详解】由椭圆方程知，，则，离心率为，A正确；
当长方形的边与椭圆的轴平行时，长方形的边长分别为和4，其对角线长为，因此蒙日圆半径为，圆方程为，B正确；
设矩形的边长分别为，因此，即，当且仅当时取等号，所以长方形的面积的最大值是20，此时该长方形为正方形，边长为，C正确，D错误．
故选：D．
11．D
【分析】利用对数函数、指数函数的单调性比较大小可得，再结合选项逐项判断可得答案.
【详解】因为，则，
，
因为，所以，
令，则
，
所以，又因为，所以，可得，
所以，
对于A，因为，所以，由得，
所以，可得，故A错误；    
对于B，即证，因为，所以，由得，所以，故B错误；
对于C，即证，因为，所以，由得，所以，故C错误；    
对于D，，因为，所以，由得，所以，即，故D正确.
故选：D.
【点睛】关键点点睛：本题的关键点是利用对数函数、指数函数的单调性得出，考查了学生运算求解能力.
12．A
【分析】根据二面角的平面角可得相关线段长的关系，再利用三棱锥的体积公式求出体积函数，然后借助导数求出最值作答.
【详解】由平面，平面，得，
又，,平面，于是平面，
平面，有，因此为二面角的平面角，即，
设，则，在中，，，在中，，
则，
显然，令，，求导得，
当时，，函数单调递增，当时，，函数单调递减，
因此当时，，即当时，取得最大值，
所以当时，三棱锥的体积取得最大值.
故选：A
13．40
【分析】利用的展开式的通项，令的指数等于3和1，即得展开式中的系数.
【详解】因为的展开式的通项，
令和，可得的系数为.
故答案为：40.
14．（答案不唯一）
【分析】根据给定条件，求出所求方程的圆的圆心坐标，再利用圆的切线性质求出圆半径作答.
【详解】与轴和直线都相切的圆的圆心在直线（除原点外）上，
  
则圆心为，半径，因此所求圆的方程为，
所以所求圆的一个方程为.
故答案为：
15．
【分析】根据题中条件利用余弦定理进行简化，运用均值不等式求的范围，然后由面积公式化简为三角函数，求最值即可.
【详解】由题知，
则
，当且仅当时取等号.
，
而，
.
故答案为：
16．
【分析】利用导数得到函数单调性，再分和讨论即可.
【详解】当时，，所以在上单调递减，
当时，，令，解得，
若，即，此时在和上单调递减，
注意当分别代入分段函数的解析式得到的值均为，
故在上单调递减，在上单调递增，则此时，解得，
但不满足，故舍去；
若，即，此时在上单调递减，在上单调递增，
则此时，解得，满足，
综上所述，.
故答案为：.
【点睛】关键点睛：本题的关键是通过导数求出当时，从而得到导函数零点，然后讨论与0的大小关系，即对进行分类讨论得到值.
17．(1)；
(2).

【分析】（1）利用构造等比数列的方法求出通项公式作答.
（2）由（1）及已知，利用错位相减法求和作答.
【详解】（1）因为数列满足，则，
因此数列是以为首项，2为公比的等比数列，即，则，
所以数列的通项公式是.
（2）由（1）知，，
则，
于是有，
两式相减得，
所以.
18．(1)电动汽车销量与年份的线性相关性的较强；
(2)依据小概率值的独立性检验，认为购买电动汽车与车主性别有关；
(3)分布列见解析，数学期望为.

【分析】（1）根据给定条件，利用线性回归方程，结合相关系数公式计算作答.
（2）根据给定的列联表求出的观测值，再与临界值表比对作答.
（3）利用分层抽样求出男女性人数，再求出的可能值及各个值对应的概率，列出分布列并求出方差作答.
【详解】（1）由，得，由，得，
因为线性回归方程，则，
即，
因此相关系数，
所以电动汽车销量与年份的线性相关性的较强.
（2）零假设：购买电动汽车与车主性别无关，
由表中数据得：，
依据小概率值的独立性检验，推断不成立，
即认为购买电动汽车与车主性别有关，此推断犯错误的概率不大于0.05.
（3）按购买电动汽车的车主进行分层抽样，抽取的7人中男性有人，女性有5人，
则的可能值为，，
所以的分布列为：

0
1
2




的数学期望.
19．(1)见解析
(2)

【分析】（1）利用余弦定理求出，利用勾股定理可证得，再利用面面垂直的性质的定理可证得结论成立；
（2）推导出点为的中点，然后以点为坐标原点，以、所在直线分别为、轴，过点且垂直于平面的直线作轴建立空间直角坐标系，求出点的坐标，利用空间向量法可求得二面角的余弦值，即可求得二面角的正弦值.
【详解】（1）证明：由，
得，，，，
由余弦定理可得，
，则，
因为平面平面，平面平面，平面，
平面，又平面，
平面平面；
（2）因为平面，平面，平面平面，故，
而是的中点，故为中位线，得，
又，故为中点，
由（1）可知平面，以点为坐标原点，以、所在直线分别为、轴，
过点且垂直于平面的直线作轴建立如下图所示的空间直角坐标系，
  
则、、、，
设点，其中，，，，
所以，，解得，
则，解得，故点，
设平面的法向量为，，，
则，取，可得，
设平面的法向量为，，
则，取，可得，
所以，.
由图可知，二面角的平面角为锐角，
故二面角的余弦值为.
那么二面角的正弦值为.
20．(1)
(2)见解析

【分析】(1)利用导数讨论的取值，判断单调性，结合端点值，即可求的范围；
(2)利用作差法构造函数，根据导函数讨论单调性和最值，即可证明不等式.
【详解】（1）时，，令，则，
令，则有恒成立，
，
当时，在上恒成立（不恒为零），故在上为减函数，
故即恒成立，
当，，因为的图象是连续不断的，
故存在，使得，有，
故在上为增函数，故，有，
这与题设矛盾，
故.
（2）
令，则，令，则
令，则有，即
，
设，，恒成立，
所以在区间上单调递增，，即，
，
得，
，
令，，，
在上单调递增，，．
时，，
，
则，得证.
【点睛】关键点点睛：本题考查利用导数研究函数性质，不等式恒成立，以及求参数问题，本题的关键是巧妙换元令，这样可巧妙构造函数.
21．(1)；
(2).

【分析】（1）求出抛物线的焦点坐标，准线方程，设点，求出关于的函数关系，再利用二次函数性质求解作答.
（2）设出直线的方程，与抛物线方程联立，利用韦达定理、三角形面积公式结合均值不等式求解作答.
【详解】（1）依题意，抛物线的焦点，准线方程，设，
则，
因此，
而，即有，则当，即时，，
当，即时，，
所以的取值范围是.
（2）显然直线不垂直于轴，设直线的方程为，
由消去并整理得，显然，
设，，则，即，
  
令为点，于是的面积为，的面积为，
因此，当且仅当，即时取等号，
所以的最小值为.
22．(1)，，；
(2)2.

【分析】（1）先求出曲线的直角坐标方程，再根据极坐标与直角坐标的互化公式可得曲线的极坐标方程；联立曲线与曲线的极坐标方程，消去可得结果.
（2）将曲线的参数方程化为直角坐标方程，再化为极坐标方程，联立曲线和曲线的极坐标方程，消去得到两点的极径后相加即可得解.
【详解】（1）曲线的直角坐标方程为，即，
将，代入并化简得的极坐标方程为，，
由消去，并整理得，解得或，
所以所求异于极点的交点的极径为.
（2）由消去参数得曲线的普通方程为，
因此曲线的极坐标方程为和，
由和得曲线与曲线两交点的极坐标为，，
所以为极点.
23．(1)18；
(2)证明见解析.

【分析】（1）根据给定条件，利用“1“的妙用结合均值不等式求解作答.
（2）由已知，借助柯西不等式推理计算作答.
【详解】（1）因为是正实数，，

，当且仅当时取等号，
由，得，
所以当时，取得最小值18.
（2）因为是正实数，，
则，即，
当且仅当时取等号，又，因此当时，，
所以成立.