贵州省威宁彝族回族苗族自治县第八中学2023届高三数学（文）冲刺卷（二）试题（含解析）

这是一份贵州省威宁彝族回族苗族自治县第八中学2023届高三数学（文）冲刺卷（二）试题（含解析），共20页。试卷主要包含了单选题，填空题，双空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
贵州省威宁彝族回族苗族自治县第八中学2023届高三数学（文）冲刺卷（二）试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、单选题
1．已知集合，则（    ）
A． B． C． D．
2．（    ）
A． B． C． D．
3．已知函数，则（    ）
A．12 B．10 C．8 D．6
4．若，则“”是“”的（    ）
A．必要不充分条件 B．充分不必要条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
5．已知离心率为的椭圆的方程为，则（    ）
A．2 B． C． D．3
6．若一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（    ）
  
A．40 B．50 C．30 D．45
7．保护环境功在当代，利在千秋，良好的生态环境既是自然财富，也是经济财富，关系社会发展的潜力和后劲．某工厂将生产产生的废气经过过滤后排放，已知过滤过程中的污染物的残留数量（单位：毫米/升）与过滤时间（单位：小时）之间的函数关系为，其中为常数，为原污染物数量．该工厂某次过滤废气时，若前9个小时废气中的污染物恰好被过滤掉80%，那么再继续过滤3小时，废气中污染物的残留量约为原污染物的（    ）参考数据：．
A． B． C． D．
8．勾股定理，是几何学中一颗光彩夺目的明珠，被称为“几何学的基石”，而且在高等数学和其他学科中也有着极为广泛的应用．正因为这样，世界上几个文明古国都已发现并且进行了广泛深入的研究，因此有许多名称．我国古代数学家赵爽在所注解的《周髀算经》中给出了一种勾股定理的绝妙证明．如图，这是赵爽的弦图及注文，弦图是一个以勾股形之弦为边的正方形，其面积称为弦实．图中包含四个全等的勾股形及一个小正方形，分别涂成红（朱）色及黄色，其面积称为朱实、黄实，利用2×勾×股+（股-勾）=4×朱实+黄实=弦实，化简得勾+股=弦．设勾股形中勾股比为5∶12，现给弦图内的4个朱色三角形分别作内切圆，并向弦图内随机抛掷1粒芝麻（大小忽略不计），则芝麻落在所作的4个内切圆中的概率为（    ）
  
A． B． C． D．
9．函数的大致图象是（    ）
A． B． C． D．
10．已知函数在区间上是单调的，则的取值范围是（    ）
A． B． C． D．
11．若函数有唯一零点，则实数（    ）
A．2 B． C．4 D．1
12．已知数列满足为的前项和.现有四个结论：①当取最大值时，；②当取最小值时，；③当取最大值时，；④的最大值为.其中正确的个数为（    ）
A．1 B．2 C．3 D．4

二、填空题
13．向量，且，则实数 ．

三、双空题
14．已知数列为等比数列，其前项和为，若，则 ， .

四、填空题
15．已知双曲线的左、右焦点分别为，存在过点的直线与双曲线的右支交于两点，且为正三角形．试写出一个满足上述条件的双曲线的方程： ．
16．在平行四边形中，，现将沿折起，使异面直线与所成角为，且为锐角，则折后三棱锥外接球的表面积为 ．

五、解答题
17．2023上海蒸蒸日上迎新跑于2023年2月19日举办，该赛事设有21.6公里竞速跑、5.4公里欢乐跑两个项目．某马拉松兴趣小组为庆祝该赛事，举行一场小组内有关于马拉松知识的有奖比赛，一共有25人报名（包括20位新成员和5位老成员），其中20位新成员的得分情况如下表所示（满分30分）：
得分






人数
2
3
4
6
4
1
得分在20分以上（含20分）的成员获得奖品一份．
(1)请根据上述表格中的统计数据，将下面的列联表补充完全，并通过计算判断在20位新成员中，是否有的把握认为“获奖”与性别有关？

没获奖
获奖
合计
男

4

女
7

8
合计



(2)若5名老成员的性别相同并全部获奖，且进行计算发现在所有参赛人员中，有的把握认为“获奖”与性别有关．请判断这5名老成员的性别？
附：参考公式：．
临界值表：

0.100
0.050
0.010
0.001

2.706
3.841
6.635
10.828
18．已知的内角的对边分别是，．
(1)求；
(2)若，求面积的最大值．
19．如图，在三棱柱中，侧面是矩形，，，分别为棱的中点，为线段的中点.
  
(1)证明：平面.
(2)若三棱锥的体积为1，求.
20．已知是抛物线的焦点，过点的直线交抛物线于两点，当平行于轴时，.
(1)求抛物线的方程；
(2)若为坐标原点，过点作轴的垂线交直线于点，过点作直线的垂线与抛物线的另一交点为的中点为，证明：三点共线.
21．已知函数在处取得极小值.
(1)求实数的值；
(2)当时，证明：.
22．在直角坐标系中，圆的参数方程为（为参数）．以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，圆的极坐标方程是．
(1)在直角坐标系中，若直线经过点且与圆和圆的公共弦所在直线平行，求直线的极坐标方程；
(2)若射线与圆的交点为，与圆的交点为，线段的中点为，求的周长．
23．已知．
(1)当时，求不等式的解集；
(2)若恒成立，求实数的取值范围．

参考答案：
1．A
【分析】根据集合的并集运算即可得出答案.
【详解】由集合，知．
故选：A.
2．D
【分析】由复数的除法运算即可得出答案.
【详解】．
故选: D.
3．B
【分析】求导，根据即可求解，代入即可求值.
【详解】由题意知,所以，解得，则，故．
故选：B
4．A
【分析】用充分条件、必要条件的定义判断即可.
【详解】当时，；
当时，，即．
故“”是“”的必要不充分条件．
故选：A
5．C
【分析】由离心率公式先得，从而解决问题.
【详解】由题意，，即，
可得，则.
故选：C
6．B
【分析】根据三视图，还原立体几何体，通过补形，结合长方体以及三棱锥的体积公式，可得答案.
【详解】由题意，还原立体几何体，补形可得长方体，如下图：
    
则，，，
长方体的体积，
三棱锥的体积，
则立体几何体的体积.
故选：B.
7．C
【分析】根据题意可得，解得，从而求得关于残留数量与过滤时间的函数关系式，再将代入即可求得答案.
【详解】因为前9个小时废气中的污染物恰好被过滤掉，所以，即所以．
再继续过滤3小时，废气中污染物的残留量约为．
故选：C.
8．D
【分析】不妨设勾=5，股=12，先求内切圆半径，再结合几何概型运算求解.
【详解】由题意不妨设勾=5，股=12，则弦，
可得内切圆半径，
所以芝麻落在所作的4个内切圆中的概率为.
故答案为：D.
9．A
【分析】求函数的定义域，证明函数为偶函数，排除CD，再证明当时，，排除B，由此可得结论.
【详解】由题意可知，函数的定义域为，定义域关于原点对称，
又，
所以为偶函数，排除选项C，D；
当时，，所以，则，
所以，排除B．
故选：A.
10．C
【分析】三角函数在区间上单调，可知在区间内不含对称轴，构建不等式即可求得的取值范围.
【详解】因为，
令，可得对称轴方程，
函数在区间上是单调的，
,且，，
即，
函数在区间上是单调的，
所以，即，
又，
可得或，
故选：C.
11．A
【分析】由函数解析式推导出函数的对称性，然后结合只有唯一的零点求出参数的值.
【详解】由
，
得，即函数的图象关于对称，
要使函数有唯一的零点，
则，即，得．
故选：A．
12．A
【分析】由题意知，即可得到的取值范围，从而得到令，即可得到，从而得到，即可判断①、②，再利用基本不等式求出，即可判断③、④.
【详解】由题意知，则，因为，
所以，
令，所以，所以，所以，
即或，又，故．
当取最大值时，，此时，则，，
故，故①正确；
当取最小值时，，此时，则，，
故，故②不正确；
由，知，
即，当且仅当时取等号，
故当取最大值时，，
此时，故③不正确，④不正确，故有1个正确.
故选：A
13．
【分析】根据向量垂直的坐标表示列方程求.
【详解】因为向量，所以，
又，
所以，得，
解得．
故答案为：.
14．
【分析】根据对数运算法则和等比数列的性质得到，结合真数大于0，求出和.
【详解】，
故，由真数大于0可得，，
即，
又，故，所以，
又，
所以，
即.
故答案为：，
15．（答案不唯一，符合题意即可）
【分析】取，且x轴，根据通径和双曲线的定义分析判断.
【详解】如图，取，且x轴，
可得，，
即，为正三角形，
符合题意，此时双曲线的方程为.
故答案为：.
  
16．/
【分析】根据折叠前后的几何性质，将三棱锥补成三棱柱，利用三棱柱的外接球即可求得答案.
【详解】由于，故和均是腰长为2的等腰直角三角形，将其补充如图（1）所示的长方形，折后得到图（2）所示的直三棱柱，
  
又由异面直线与所成角为，可知或，又为锐角，故可知，则图（2）所示的直三棱柱上下底面均是边长为2的等边三角形，且该三棱柱的外接球即为三棱锥的外接球．
设外接圆的半径为，则，所以，又三棱锥的高为2．
所以三棱柱外接球的半径，所以所求外接球的表面积为．
故答案为：.
17．(1)列联表见解析，没有的把握认为“获奖”与性别有关
(2)这5名老成员全是男成员

【分析】（1）完善列联表，计算出卡方即可判断；
（2）分别假设名老成员的性别为女性或男性，求出相应的卡方值，即可判断.
【详解】（1）依题意可得列联表如下：

没获奖
获奖
合计
男
8
4
12
女
7
1
8
合计
15
5
20
由列联表中数据，计算得到，所以没有的把握认为“获奖”与性别有关．
（2）当这名老成员中都为女成员时，
计算得，不合题意；
当名老成员都为男成员时，
计算得，符合题意．
故这名老成员全是男成员．
18．(1)
(2)

【分析】（1）由正弦定理化角为边，结合余弦定理求；
（2）由同角关系求，由余弦定理结合基本不等式求的最大值，根据三角形面积公式求面积的最大值．
【详解】（1）由，
知，
则．
（2）由（1）知，
由基本不等式可得，
即，当且仅当时等号成立，
故的面积，当且仅当时等号成立，
即时，面积的最大值取最大值，最大值为.
19．(1)证明见详解
(2)

【分析】（1）作图，由对应比例证明，即可证明平面；
（2）由（1）平面, 则点与到平面的距离相等，从而可得，求解.
【详解】（1）连接，交于点，连接，
由题意，四边形为平行四边形，所以，
因为E为中点，∴，
∴与相似，且相似比为，
∴，又∵，为，中点，∴，
所以，又平面，平面，
所以平面.
  
（2）由
由（1）平面, 则点与到平面的距离相等.
所以，
由侧面是矩形，则,又，且，
平面，平面，
所以平面，是的中点，
所以到平面的距离为，
又，则，
所以，
所以.
20．(1)
(2)证明见解析

【分析】（1）当平行于轴时，设直线的方程为，设点、，利用抛物线的焦半径公式，可求得的值，由此可得出抛物线的方程；
（2）写出直线的方程，将代入直线的方程，求出的坐标，然后求出的方程，与抛物线的方程联立，结合韦达定理求出点的坐标，可得出、、三点共线.
【详解】（1）抛物线的焦点为，
当平行于轴时，设直线的方程为，设点、，
，解得，
所以，抛物线的方程为.
（2）设直线的方程为，设点、，
联立可得，
由韦达定理可得，，
又因为直线的方程为，
  
将代入直线的方程可得，可得，即点，
所以，，
因为，则，
所以，直线的方程为，
联立可得，则，
故，则，
由的中点为，可得，
故、、三点共线．
21．(1)
(2)证明见解析

【分析】（1）根据函数极值点与极值，求导数代入计算，即可得的值；
（2）设，求，确定导函数的单调性与取值情况，即可得的取值情况，从而得结论.
【详解】（1），
由题意知，则，即，
由，知，即．
故
（2）由（1）得，设，
则．
设，则在上单调递增，
且，所以存在唯一，
使得，即．
当时，单调递减；当时，单调递增．
．
设，则，
当时，单调递减，所以，所以，
故当时，．
【点睛】方法点睛：证明函数不等式的常用的方法：
（1）构造差函数法：构造差函数，求导，判断函数单调性，从而得函数最值，让最值与比较大小即可得答案；
（2）分离函数法：确定中间函数，利用导数分别证明，，即可证明结论；
（3）放缩法：利用不等式对所证不等式进行放缩，证明放缩后的不等式成立，即可得结论.
22．(1)
(2)

【分析】（1）根据圆的参数方程以及极坐标方程的转化，可得直角坐标系下的方程，求得两圆公共弦所在直线方程，结合点斜式方程，可得答案.
（2）利用直线的极坐标方程与直角坐标系下的方程互化，联立直线与圆的方程，求得点坐标，进而取得中点坐标，结合两点之间距离公式，可得答案.
【详解】（1）由圆的参数方程，则，由，则，即①，
由圆的极坐标方程，两边同乘可得，
由，则②，
可得，故圆与圆的公共弦所在直线的方程为，其斜率为，
由直线与两圆公共弦所在直线平行，且直线过，则，
化简可得，由，则.
（2）由射线，由，则射线，
由圆，可得，
代入，则，化简可得，解得，可得；
由圆，可得，
代入，则，化简可得，解得，可得.
由为线段的中点，则，
故的周长.
23．(1)
(2)

【分析】（1）根据题意分，，三种情况讨论，运算求解即可；
（2）根据恒成立问题结合绝对值不等式可得，运算求解即可.
【详解】（1）若时，则，
当时，则恒成立，符合题意；
当时，则，解得；
当时，则不成立，不合题意；
综上所述：不等式的解集.
（2）因为，
当且仅当时，等号成立，其中为的最大值，
若恒成立，可得，解得，
所以实数的取值范围.