2023届贵州省遵义市高三第三次统一考试数学（理）试题含解析

这是一份2023届贵州省遵义市高三第三次统一考试数学（理）试题含解析，共17页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2023届贵州省遵义市高三第三次统一考试数学（理）试题 一、单选题1．已知集合，集合，则（    ）A． B． C． D．【答案】A【分析】先求出集合，再根据并集的运算即可求出．【详解】因为，而，所以．故选：A．2．在复平面内，复数对应的点位于（    ）A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限【答案】D【分析】利用复数除法法则计算出，得到对应的点的坐标，得到所在象限.【详解】，故复数对应的点坐标为，所以位于第四象限.故选：D3．下图是2013-2020年国家财政性教育经费（单位：万元）和国家财政性教育经费占总教育经费占比的统计图，下列说法正确的是（    ）A．2019年国家财政性教育经费和国家财政性教育经费占总教育经费占比均最低B．国家财政性教育经费逐年增加C．国家财政性教育经费占比逐年增加D．2020年国家财政性教育经费是2014年的两倍【答案】B【分析】由统计图逐一分析即可.【详解】对于A，显然国家财政性教育经费逐年增加，最低不是2019年，故A错误，B正确；对于C，国家财政性教育经费占比在2015年至2019年逐年下降，故C错误；对于D，2014年与2020年的国家财政性教育经费分别为大约250000000万元和不到450000000万元，显然不满足后者是前者的2倍的关系，故D错误.故选：B4．已知曲线的一条对称轴是，则的值可能为（    ）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据余弦函数的性质先写出其对称轴的一般形式，然后检查符合条件的选项.【详解】由题意，，即，于是，，即，，经检验，只有当时即时符合.故选：C5．函数在上的大致图象是（    ）A．   B．  C．   D．  【答案】D【分析】先确定函数的奇偶性，排除C，代入特殊点的函数值，排除AB，得到D正确.【详解】定义域为R，又，故为奇函数，排除C选项，又，排除B选项，，因为在上单调递增，在上单调递减，且关于对称，又，所以，故，即，排除A选项，故D正确.故选：D6．在长方体中，，连接AC，，则（    ）  A．直线与平面ABCD所成角为B．直线与平面所成角为C．直线与直线所成角为D．【答案】C【分析】设，连接，可得即为直线与平面ABCD所成角，求出可判断A；连接，可得即为直线与平面所成角，求出可判断B；因为，转化为直线与直线所成角即为直线与直线所成角，即为，根据可判断C；求出，，可判断D.【详解】设，对于A，连接，因为平面，所以即为直线与平面ABCD所成角，因为，所以，在直角三角形中，，所以，故A错误；对于B，连接，因为平面，所以即为直线与平面所成角，因为，所以，在直角三角形中，，所以，故B错误；对于C，因为，所以直线与直线所成角即为直线与直线所成角，即为，因为，所以，所以直线与直线所成角为，故C正确；对于D，因为，所以，，即所以，故，故D错误. 故选：C.7．已知函数在处取得极值0，则（    ）A．-1 B．0 C．1 D．2【答案】B【分析】根据极值点的意义，列式求解.【详解】，有，得，所以.故选：B8．某学校安排3名教师指导4个学生社团，每名教师至少指导一个社团，每个社团只需一位指导老师，则不同的安排方式共有（    ）A．12种 B．24种 C．36种 D．72种【答案】C【分析】根据分组分配的计算方法，即可求解.【详解】4个学生社团，分为2，1，1的组，则有种分组情况，再分配给3位老师，则有种方法.故选：C9．已知锐角满足，则（    ）A． B． C． D．1【答案】D【分析】先根据求出，再利用二倍角得正切公式求出，再根据两角和得正切公式即可得解.【详解】由，得，即，解得，又为锐角，所以，又，即，解得（舍去），所以，所以.故选：D.10．如图，网络纸上绘制的是某质地均匀内部为空的航天器件的三视图（图中小方格是边长为1cm的正方形），该器件由平均密度为的合金制成，则该器件的质量为（    ） A．390π g B．342π gC．260π g D．228π g【答案】A【分析】根据三视图，计算几何体的体积，再根据密度求几何体的质量.【详解】由三视图可知，几何体是圆柱，里面挖去了一个球，如图，圆柱的底面半径为3cm，高为6cm，球的半径为2cm，所以几何体的体积,所以该器件的质量是g.故选：A11．过双曲线：的左焦点F作的其中一条渐近线的垂线，垂足为M，与的另一条渐近线交于点N，且，则的渐近线方程为（    ）A． B．C． D．【答案】B【分析】由图形的几何性质求渐近线的倾斜角与斜率即可.【详解】  如图所示，设OM、ON为双曲线的渐近线，由题意可知：FM⊥OM，因为，所以M为FN中点，故为等腰三角形，即，故，所以，故选:B12．已知，，，则（    ）A． B．C． D．【答案】D【分析】构造函数，利用导数研究其单调性，利用单调性比大小即可.【详解】令，则，，即在上单调递增，在上单调递减，所以，故在R上恒成立，即，令，则，，即在上单调递减，在上单调递增，所以，故在上恒成立，即，而，，即，令，则，，即在上单调递增，在上单调递减，所以，故在上恒成立，即令，由上知恒成立，即在R上单调递增，而，故，所以，故.故选：D【点睛】方法点睛：对于比大小问题构造函数是关键，需要积累，，等常用的放缩不等式，同时对于本题熟记等的近似值更快捷. 二、填空题13．已知平面向量，的夹角为，且，，则=_______.【答案】【分析】由向量的数量积运算及运算律可求得答案.【详解】解：，所以．故答案为：.14．在的展开式中，的系数为__________（用数字作答）.【答案】21【分析】由二项式的展开式通项公式待定系数求值即可.【详解】设的展开式通项为，令，则，即的系数为21.故答案为：21.15．已知抛物线上两点A，B关于点对称，则直线AB的斜率为___________.【答案】2【分析】根据点差法求得直线AB的斜率，并验证判别式大于零.【详解】设，代入抛物线，得，则①，因为两点A，B关于点对称，则，所以由①得，直线AB的斜率为2.则直线AB：与代入抛物线联立，得，，解得.所以直线AB的斜率为2.故答案为：2.16．在中，，D为BC边上一点，且，则的最小值为___________.【答案】【分析】将用表示，再平方可求得，再由结合二次函数得性质即可得解.【详解】由，得，则，所以，则，当时，取等号，所以的最小值为.故答案为：.【点睛】关键点点睛：将用表示，再平方是解决本题的关键. 三、解答题17．2018年12月8日，我国在西昌卫星发射中心用长征三号乙运载火箭成功发射嫦娥四号探测器，开启了月球探测的新旅程.为了解广大市民是否实时关注了这一事件，随机选取了部分年龄在20岁到70岁之间的市民作为一个样本，将此样本按年龄，，，，分为5组，并得到如图所示的频率分布直方图.  (1)求图中实数的值，并估计样本数据中市民年龄的众数；(2)为进一步调查市民在日常生活中是否关注国家航天技术发展的情况，现按照分层抽样的方法从，，三组中抽取了6人.从这6人中任意抽取3人了解情况.记这3人中年龄在的人数为X，求随机变量X的分布列及数学期望.【答案】(1)，众数为(2)分布列见解析， 【分析】（1）根据概率之和等于即可求得，由频率分布直方图即可得出众数；（2）先根据分层抽样求出各区间的人数，再写出随机变量的所有可能取值，求出对应概率，即可得分布列，再根据期望公式求期望即可.【详解】（1）由，解得，众数为；（2）的人数为，的人数为，的人数为，则可取，，，，，所以分布列为（人）.18．已知为数列的前项和，且满足，.(1)求证：数列是等比数列；(2)若，记为数列的前项和，求满足不等式的的最大值.【答案】(1)证明见详解；(2) 【分析】（1）已知与的关系求解，然后证明即可；（2）由（1）求出，进而由裂项相消法求出数列的前项和，求解不等式即可.【详解】（1）当时，，解得：.当时，，所以，即，所以所以，所以数列是以为首项，为公比的等比数列.（2）由（1）可知数列是以为首项，为公比的等比数列.所以，所以，..所以时，即，所以，所以的最大值为.19．如图，棱台中，，底面ABCD是边长为4的正方形，底面是边长为2的正方形，连接，BD，.  (1)证明：；(2)求二面角的余弦值.【答案】(1)证明见解析(2) 【分析】根据棱台数据可知其是正棱台，建立空间直角坐标系后，（1）利用空间向量的数量积证明垂直关系，（2）根据平面的法向量求二面角.【详解】（1）  由题意，该棱台是正四棱台.连接交于，以所在直线为轴，经过且垂直于平面的直线为轴，交上底面于，连接，建立空间直角坐标系如图.根据正四棱台的性质，过作底面的垂线，则垂足在上.根据题干数据，，为上底面正方形对角线长的一半，显然，故，又，则，故.于是，，则，于是（2），于是，，设平面的法向量为，根据，则为其中一条法向量；由，，设平面的法向量为，根据，则为其中一条法向量.于是，结合图形可知，二面角的平面角是锐角，则该二面角大小的余弦值是.20．已知椭圆：的离心率为，且过点.(1)求椭圆的方程；(2)斜率为的直线交椭圆于P，Q（不与重合）两点，直线AP，AQ分别交x轴于点M，N，求证：.【答案】(1)(2)证明见解析 【分析】（1）根据题意求出，即可得解；（2）设直线的方程为，联立方程，利用韦达定理求出，再证明即可.【详解】（1）由题意可得，解得，所以椭圆的方程为；（2）设直线的方程为，联立，消得，，解得，则，则，所以直线的倾斜角和直线的倾斜角互补，所以，所以.【点睛】关键点点睛：证明是解决本题第二问的关键.21．已知函数，是的导函数.(1)证明：在区间存在唯一极大值点；(2)若对，都有成立，求实数的取值范围.【答案】(1)见解析(2) 【分析】（1）首先设函数，首先判断导函数的单调性，再结合零点存在性定理，以及极大值点的定义，即可证明；（2）由不等式参变分离为，转化为求函数的最大值，即可求实数的取值范围.【详解】（1）证明：因为，所以，设，则，在区间，函数和都是单调递减函数，所以单调递减，且，，所以在区间上存在唯一，使得，当时，，在区间单调递增，当时，，在区间单调递减，所以在区间上存在唯一极大值点；（2）因为任意，都有成立，所以恒成立，即，记，，记，所以，，所以在区间单调递增，所以，所以，即在区间上单调递增，且，所以.22．在平面直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数）.在以坐标原点为极点，轴非负半轴为极轴的极坐标系下，曲线的极坐标方程为.(1)求的普通方程和的直角坐标方程；(2)已知点，若直线与曲线相交于A，B两点，求的值.【答案】(1);(2)5. 【分析】（1）直线的参数方程消去参数，能求出直线的直角坐标方程；由曲线的极坐标方程，能求出曲线的直角坐标方程．（2）将直线的参数方程代入曲线的方程，利用韦达定理由此能求出的值．【详解】（1）直线的参数方程为（为参数），直线的直角坐标方程为． 曲线的极坐标方程为，曲线的直角坐标方程为．（2）将直线的参数方程为（为参数）代入曲线的方程，得：， ， ．23．已知函数.(1)求不等式的解集；(2)已知a，b，c均为正实数，若函数的最小值为，且满足，求证：.【答案】(1)(2)证明见详解. 【分析】（1）转化为分段函数解不等式即可；（2）由（1）知t，运用基本不等式证明即可.【详解】（1）由条件可知：， 当时，，当时，，当时，，综上的解集为；（2）由（1）可知当时，，时取得最小值，当时，，当时，，时取得最小值，综上，故，即，则，∵a，b，c均为正实数，∴，当且仅当时取得等号，即，故.