2023届贵州省兴义市第八中学高三下学期4月月考数学（文）试题含解析

这是一份2023届贵州省兴义市第八中学高三下学期4月月考数学（文）试题含解析，共18页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题
1．已知集合，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】化简两个集合，进而求交集即可.
【详解】由题意可得：，，
∴
故选：A
2．已知是虚数单位，复数的值是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简即可得出．
【详解】复数.
故选A
【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，属于基础题．
3．某校举办抗击新冠疫情科普知识演讲活动，如图是七位评委为某选手打出的分数的茎叶图，去掉一个最高分和一个最低分后，剩下数据的中位数是（ ）

A．B．C．D．
【答案】D
【分析】由中位数的定义直接求解得到结果.
【详解】去掉最高分和最低分，剩余数据从小到大排序为，则中位数为.
故选：D.
4．（）
A．2B．C．－2D．－5
【答案】B
【分析】利用两角差正切公式，即可得到结果.
【详解】.
故选：B.
5．如图，网格纸上小正方形的边长为，粗实线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的体积是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】先根据三视图画出几何体的直观图，然后利用体积公式求解出体积.
【详解】由三视图作出几何体的直观图如下：
由图可知：该几何体为三棱锥，且一条侧棱垂直于底面，底面是等腰直角三角形，
所以，
故选：C.
6．执行如图的程序框图，则输出的结果是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据程序框图计算出循环的每一步，由此可得出输出结果.
【详解】执行程序框图的中的程序，如下所示：
第一次循环，，，不满足；
第二次循环，，，不满足；
第三次循环，，，不满足；
第四次循环，，，不满足；
第五次循环，，，不满足；
第六次循环，，，满足.
跳出循环体，输出.
故选：D.
7．已知平面向量，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】先求解出的坐标表示，然后根据向量数量积的坐标表示求解出的结果.
【详解】因为，所以，
所以，
故选：A.
8．已知椭圆的中心是坐标原点，是椭圆的焦点.若椭圆上存在点，使是等边三角形，则椭圆的离心率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】设点为椭圆上位于第一象限内的点，设为椭圆的左焦点，计算出、，利用椭圆的定义可得出关于、的等式，进而可求得椭圆的离心率.
【详解】设点为椭圆上位于第一象限内的点，设为椭圆的左焦点，
因为是等边三角形，则，，
，所以，，，
所以，，
由椭圆的定义可得，
因此，椭圆的离心率为.
故选：C.
【点睛】方法点睛：求解椭圆或双曲线的离心率的方法如下：
（1）定义法：通过已知条件列出方程组，求得、的值，根据离心率的定义求解离心率的值；
（2）齐次式法：由已知条件得出关于、的齐次方程，然后转化为关于的方程求解；
（3）特殊值法：通过取特殊位置或特殊值，求得离心率.
9．已知数列、都是等差数列，设的前项和为，的前项和为.若，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】由题意利用等差数列的性质、等差数列的前项和公式，得出结论．
【详解】∵，
∴，
故选：A
10．若、满足约束条件，则的最大值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】作出不等式组所表示的可行域，平移直线，找出使得直线在轴上的截距最大时的最优解，代入目标函数计算即可得解.
【详解】作出不等式组所表示的可行域如下图所示：
联立，解得，即点，
平移直线，当直线经过点时，直线在轴上的截距最大，
此时取最大值，即.
故选：C.
【点睛】思路点睛：本题主要考查线性规划中，利用可行域求目标函数的最值，属于简单题.求目标函数最值的一般步骤是“一画、二移、三求”：
（1）作出可行域（一定要注意是实线还是虚线）；
（2）找到目标函数对应的最优解对应点（在可行域内平移变形后的目标函数，最先通过或最后通过的顶点就是最优解）；
（3）将最优解坐标代入目标函数求出最值.
11．已知边长为的正的顶点和点都在球的球面上.若，且平面，则球的表面积为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】由正三角形边长可确定其外接圆半径，由外接球的性质可知球的半径，利用球的表面积公式可求得结果.
【详解】由题意知：球为三棱锥的外接球，
为边长为的正三角形，的外接圆半径，
又平面，，球的半径，
球的表面积.
故选：B.
12．已知函数满足∶当时，， 当时，， 若，且，设，则( )
A．没有最小值B．的最小值为
C．的最小值为D．的最小值为
【答案】B
【分析】根据已知条件，首先利用表示出，然后根据已知条件求出的取值范围，最后利用一元二次函数并结合的取值范围即可求解.
【详解】∵且， 则，且，∴ ， 即
由，
∴，
又∵，
∴当时，，
当时，，
故有最小值.
故选：B.
二、填空题
13．圆的圆心到双曲线的渐近线的距离为 .
【答案】
【分析】根据题意，由圆的一般式方程求得圆的圆心坐标，由双曲线的方程计算可得双曲线的渐近线方程，运用点到直线的距离公式，计算即可得到所求值．
【详解】解：根据题意，圆的圆心为，
双曲线的的渐近线，即，
则点到直线的距离，
即圆心到双曲线的渐近线的距离为；
故答案为：．
14．设数列的前项和为，.若，则 .
【答案】
【分析】利用与关系可求得数列为等比数列，由等比数列通项公式求得，利用构造方程可求得结果.
【详解】当时，，解得：；
当时，，即，
数列是以为首项，为公比的等比数列，
，；
经检验：时，满足；
综上所述：，，解得：.
故答案为：.
【点睛】易错点睛：在利用与关系求解数列通项公式时，需注意验证首项是否满足时所求解的通项公式，若不满足，则通项公式为分段数列的形式.
15．某公司名员工参加岗位技能比赛，其中名员工获奖，获奖情况如下：
该公司员工张师傅获得一等奖.现从获得一等奖的名员工中任选人参加经验交流活动，则张师傅被选到的概率等于 （用数字作答）.
【答案】
【分析】这是一个古典概型,先求得从获得一等奖的名员工中任选人的方法数,再求得当师傅当选,从剩余的2人中选一人的方法数,代入公式求解.
【详解】从获得一等奖的名员工中任选人共有种方法,
若张师傅当选,则从剩余的2人中选一人共有种方法,
所以从一等奖的名员工中任选人,张师傅被选到的概率是,
故答案为:
16．已知函数，，且在上单调.设函数，且的定义域为，则函数的所有零点之和等于 .
【答案】12
【分析】因为，值域为，又，所以可确定，，从而求出和的值；求的零点，即求，画出的图像，确定解的个数，通过对称性可得到的值，代入即可求出零点的和.
【详解】解：，则，
，所以，，则在上单调递减，
且，，所以，
代入，可得，又，所以，即.
令，画出的图像如图：

当时，，，即，在上共有六个根，
即，
则.
故答案为：12
【点睛】思路点睛：（1）确定和的值，一般由周期求，由特殊值确定；
（2）三角函数中求零点的和，经常利用整体的对称性，求出整体的关系，再代入计算.
三、解答题
17．△ABC的内角A､B､C的对边分别为a､b､c，.
(1)求B；
(2)若，求△ABC面积S的最大值.
【答案】(1)
(2)
【分析】(1)已知条件结合正弦定理边化角、三角恒等变换即可求B；
(2)根据余弦定理和基本不等式即可求S最大值.
【详解】（1）∵，
∴由正弦定理得，，
∴，即，
∵，∴，
∴，
∵，∴；
（2），，
由余弦定理得，，
∵，∴，解得，当且仅当a＝c时取等号，
∴，
∴当时，△ABC面积S的最大值为.
18．某公司为一所山区小学安装了价值万元的一台饮用水净化设备，每年都要为这台设备支出保养维修费用，我们称之为设备年度保养维修费.下表是该公司第年为这台设备支出的年度保养维修费（单位：千元）的部分数据：
画出散点图如下：
通过计算得与的相关系数.由散点图和相关系数的值可知，与的线性相关程度很高.
（1）建立关于的线性回归方程；
（2）若设备年度保养维修费不超过万元就称该设备当年状态正常，根据（1）得到的线性回归方程，估计这台设备有多少年状态正常？
附：，.
【答案】（1）；（2）年.
【分析】（1）由已知表格中的数据求得与，即可得到线性回归方程；
（2）在（1）中求得的回归方程中，令，解得正常工作的年限.
【详解】解：（1），
.
.
.
线性回归方程为.
（2）设这台设备有年状态正常，由已知得，即.
解得.
估计该设备有年状态正常
19．如图，在三棱柱中，四边形是菱形，，，，为棱的中点.
（1）求证：平面平面；
（2）若，求点到平面的距离.
【答案】（1）证明见解析；（2）.
【分析】（1）设，利用余弦定理结合勾股定理可证得，证明平面，可得出，再利用线面垂直和面面垂直的判定定理可证得结论成立；
（2）分析得出三棱锥的高为，计算出、的面积，利用等体积法可求得点到平面的距离.
【详解】（1）证明：设.
四边形是菱形，为棱的中点，，.
在中，，
由余弦定理得，解得.
，，即.
，，且，平面.
平面，.
，，且，平面.
平面，平面平面；
（2）由和（1）知，平面，
是点到平面的距离.
平面，，则是以为斜边的直角三角形，
，，点为棱的中点，，
的面积，的面积.
设点到平面的距离为，则.
，解得.
点到平面的距离为.
【点睛】方法点睛：求点到平面的距离，方法如下：
（1）等体积法：先计算出四面体的体积，然后计算出的面积，利用锥体的体积公式可计算出点到平面的距离；
（2）空间向量法：先计算出平面的一个法向量的坐标，进而可得出点到平面的距离为.
20．已知是自然对数的底数，函数，.
（1）若曲线在点处的切线斜率为，求的最小值；
（2）若当时，有解，求实数的取值范围.
【答案】（1）；（2）.
【分析】（1）由求出的值，可得出函数的解析式，再利用导数法可求得函数的最小值；
（2）由参变量分离法可知，不等式在时有解，令，利用导数求出函数在上的最小值，即可得出实数的取值范围.
【详解】（1）由得.
曲线在点处的切线斜率为，，
，.
当时，，，，
当时，，，则，
在上单调递增，；
（2），设，，
则当时，有解.
，.
当时，，解，可得或，解得，.
当时，，此时函数单调递减；
当时，，此时函数单调递增；
当时，，此时函数单调递减.
，，且，
，的取值范围为.
【点睛】结论点睛：利用参变量分离法求解函数不等式恒（能）成立，可根据以下原则进行求解：
（1），；
（2），；
（3），；
（4），.
21．已知抛物线C的顶点在坐标原点，焦点在y轴的正半轴上，直线l：经过抛物线C的焦点.
(1)求抛物线C的方程；
(2)若直线1与抛物线C相交于A､B两点，过A､B两点分别作抛物线C的切线，两条切线相交于点P.求面积的最小值.
【答案】(1)
(2)9
【分析】（1）设抛物线C的方程为，根据题意得到，求得，即可
求得抛物线C的方程；
（2）设､，联立方程组得到，求得，化简抛物线方程，结合导数的几何意义求得点和点处的切线方程，联立方程组求得点的坐标和到直线的距离，得出的面积，即可求解.
【详解】（1）解：由题意，设抛物线C的方程为，
因为直线经过抛物线C的焦点，
所以，解得，
所以抛物线C的方程为.
（2）解：设､，
联立方程组，整理得，
因为，且，，
所以，
由，可得，则，
所以抛物线经过点的切线方程是，
将代入上式整理得，
同理可得抛物线C经过点B的切线方程为，
联立方程组，解得，所以，
所以到直线的距离，
所以的面积，
因为，所以，
即当时，，所以面积的最小值为.
22．在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数）.以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，点的极坐标为，直线的极坐标方程为，直线过点且与直线平行.
（1）直接写出曲线的普通方程和直线的参数方程；
（2）设直线与曲线交于、两点.若是与的等比中项，求实数的值.
【答案】（1），（为参数）；（2）.
【分析】（1）将曲线的参数方程中平方，然后将其与相除消去参数，即可得到曲线的普通方程；分析直线的斜率，由此得到的倾斜角的正弦、余弦值，再结合的直角坐标，即可写出直线的参数方程；
（2）将直线的参数方程代入到曲线的普通方程中，由此得到关于的一元二次方程，根据直线参数方程中的几何意义可分析得到，即可得到关于的方程，从而的值可求.
【详解】（1）曲线的普通方程为；
直线的参数方程为（为参数）.
（具体求解过程如下：因为，所以，所以即为曲线的普通方程；
因为的普通方程为，且，所以倾斜角的正切值为
所以，所以，
又的直角坐标为即，
所以直线的参数方程为（为参数）.）
（2）将代入曲线的普通方程，化简得：
.
设，两点对应的参数分别为，，
则，
是与的等比中项，
，，即.
，解得.
.
【点睛】结论点睛：直线参数方程的三个应用：已知直线经过点，倾斜角为，点为上任意一点，则直线的参数方程为（为参数）.
（1）若是直线上的两个点，对应的参数分别为，则，；
（2）若线段的中点为，点对应的参数为，则；
（3）若直线上的线段的中点为，则.
23．已知函数.
（1）若，求实数的取值范围；
（2）若，且，求证：，
【答案】（1）；（2）证明见解析.
【分析】（1）分别在、和三种情况下，去除绝对值符号后，解不等式求得结果；
（2）利用绝对值三角不等式可取得，利用基本不等式可求得，由此可证得结论.
【详解】（1）不等式可化为：，
当时，，解得：，；
当时，，；
当时，，解得：，；
综上所述：实数的取值范围为.
（2）（当且仅当时取等号），
又（当且仅当，即时取等号），
.
等级
一等奖
二等奖
三等奖
人数（单位：人）