2023届高三冲刺卷（二）全国卷-数学（理）试题含解析

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2023届高三冲刺卷（二）全国卷-数学（理）试题 一、单选题1．已知集合，，则（    ）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据交集运算即可求出结果.【详解】，，.故选:A.2．已知复数满足，则（    ）A．2 B． C．4 D．【答案】B【分析】利用复数运算化简即可得到结果.【详解】由，得，，，.故选：B.3．塔因为年代久远，塔身容易倾斜，在下方如图中，表示塔身，塔身的长度就是塔的高度，塔身与铅垂线的夹角为倾斜角，塔顶到铅垂线的距离为偏移距离，现有两个塔高相同的斜塔，它们的倾斜角的正弦值分别为，，两座塔的偏移距离差的绝对值为3.1米，则两座塔的塔顶到地面的距离差的绝对值为（    ）A．1.2米 B．0.6米 C．1米 D．0.8米【答案】D【分析】由题意可得塔的偏移距离，设两座塔的塔高为，结合题意可得两座塔的偏移距离差的绝对值为，进而得到，结合塔顶到地面的距离，进而求解.【详解】塔的偏移距离，设两座塔的塔高为，则根据倾斜角的正弦值分别为，，得两座塔的偏移距离差的绝对值为，即，，塔顶到地面的距离，根据倾斜角的正弦值分别为，，得倾斜角的余弦值分别为，，两座塔的塔顶到地面的距离差的绝对值为.故选：D.4．等差数列中，首项和公差都是正数，且，，成等差数列，则数列，，的公差为（    ）A．lg B． C． D．【答案】C【分析】利用等差数列的性质结合对数运算即可得到结果.【详解】由，，差数列，得，即，则，又，，所以，解得，，，的公差为.故选：C.5．甲､乙两所学校有同样多的学生参加数学能力测验，两所学校学生测验的成绩分布都接近于正态分布，其中甲校学生的平均分数为105分，标准差为10分；乙校学生的平均分数为115分，标准差为5分.若用粗线表示甲校学生成绩分布曲线，细线表示乙校学生成绩分布曲线，则下列哪一组分布曲线较为合理？（    ）A． B．C． D．【答案】A【分析】根据甲校、乙校学生的平均分数的大小结合图象中的对称轴进行识别，再根据方差的大小结合图象的波动情况进行判断.【详解】依题意，由于甲校的学生成绩平均分低于乙校的学生成绩平均分，所以甲校的学生成绩正态曲线的对称轴比乙校的学生成绩的正态曲线的对称轴靠左；由于甲校的学生成绩的标准差大于乙校的学生成绩的标准差，所以甲校的学生成绩的正态曲线要“矮胖”些，乙校的学生成绩的正态曲线要“瘦高”些.故选：A.6．已知m，n表示空间内两条不同的直线，则使成立的必要不充分条件是（    ）A．存在平面，有， B．存在平面，有，C．存在直线，有， D．存在直线，有，【答案】A【分析】根据空间线线，线面的位置关系及充分条件必要条件的概念逐项分析即得.【详解】对A，若，，则直线m，n可以平行，也可以相交，还可以异面；若，则存在平面，有，，即存在平面，有，是使成立的必要不充分条件，故A正确；对B，若，，则；若，则存在平面，有，，即存在平面，有，是使成立的充分必要条件，故B错误；对C，若，，则直线；若，则不存在直线，有，，即存在直线，有，是使成立的既不充分又不必要条件，故C错误；对D，若，，则；若，则存在直线，有，，即存在直线，有，是使成立的充分必要条件，故D错误.故选：A.7．的展开式中的系数是（    ）A．9 B．-9 C．10 D．-10【答案】B【分析】，所以的展开式中的系数是展开式中的系数和的系数之和.【详解】由于，所以的展开式中的系数是展开式中的系数和的系数和，的展开式中第项为，分别令和，得到的展开式中的系数和的系数，因此的展开式中的系数是.故选：B.8．已知双曲线的左､右焦点分别为，，以，为直径的圆依次交双曲线于A，B，C，D四点，直线交双曲线于点C，E，且，则双曲线的离心率为（    ）A．3 B． C． D．【答案】C【分析】设，根据双曲线的定义结合勾股定理可得，进而可得，即得.【详解】如图所示，设，则，，连接，，由双曲线的定义，得，，由于点在以为直径的圆上，所以，在直角三角形中，，即，得，在直角三角形中，，即，所以，可得，离心率.故选：C.9．已知函数是在区间上的单调减函数，其图象关于直线对称，且，则的最小值为（    ）A．2 B．12 C．4 D．8【答案】C【分析】由关于直线对称，得出一个关于的方程，由在区间上的单调递减，利用三角函数单调递减区间公式得出的一个不等关系，由方程确定的一个对称中心，再求得结果.【详解】因为函数的图象关于直线对称，所以，，所以，，根据，则，，因为是在区间上的单调减函数.所以，，，因为，所以或，当时，，当时，；由于，是在区间上的单调减函数，且，所以为的一个对称中心，则，所以，，，，，，，，根据或，可得，或，所以的最小值为4.故选：C.10．已知抛物线的焦点为，过点的直线交抛物线于A，B两点，若，则（    ）A．12 B．13 C．15 D．16【答案】B【分析】当直线l的斜率不存在时，易知不成立，故直线l的斜率存在，设直线l的方程为，将其与抛物线方程联立，根据抛物线的定义以及韦达定理，可求出，即可求出结果.【详解】抛物线的焦点为，设，.当直线的斜率不存在时，直线的方程为，代入，得，，，，，，与矛盾.当直线的斜率存在时，设直线的方程为，代入，得，则，，由抛物线的定义知，，，于是，所以，.故选:.11．已知正方体的棱长为2，P，Q分别是，的中点，则经过点，Q，C，D，C1的球的表面积为（    ）A． B． C． D．【答案】D【分析】分别求出的外接圆半径，矩形的外接圆半径，再利用几何关系求出球的半径，进而求出结果.【详解】根据正方体，得，，所以平面，四边形是矩形，其中，，的三边为，，，，设的外接圆半径为，则，于是，设矩形的外接圆半径为，则，设球心为，过作平面，垂足为，过作平面，垂足为，则是矩形的外心，是三角形的外心，取中点，则，于是平面，所以四边形是矩形.设球半径为，，则，于是球的表面积为.故选：D.12．若实数a，b，，且满足，，，则a，b，c的大小关系是（    ）A．c>b>a B．b>a>c C．a>b>c D．b>c>a【答案】B【分析】注意到，，.通过构造函数可比较与c的大小.后构造可比较大小，即可得大小.【详解】由，，，得，，，令，则，当时，，当时，，所以在上是增函数，在上是减函数，于是，即，又b，，所以；，因为，所以，，，因此，于是，又a，，所以；令，则，所以在上是增函数，，，即，，，于是，又a，，所以；综上.故选：.【点睛】关键点睛：本题考查构造函数比较代数式大小，难度较大.对于不好估值的代数式，常通过观察构造适当的函数，利用函数单调性得到大小关系. 二、填空题13．已知向量，，与共线，则___________.【答案】2【分析】由向量共线的坐标表示可得答案.【详解】由，，得，，因为与共线，所以.则.故答案为：214．已知函数，则函数的最小值为___________.【答案】##【分析】对进行分段，讨论的单调性，进而即可求出结果.【详解】函数的定义域为，，当时，，，由复合函数单调性可知在上是减函数，当时，，，由复合函数单调性可知在上是增函数，因此当时，有最小值.故答案为：.15．小明准备在阳台种植玫瑰､百合､牡丹和兰花4种盆栽，共种8盆，并且每种花至少种1盆，则玫瑰花恰好种3盆的概率是___________.【答案】【分析】利用“挡板法”求得基本事件的总数，然后根据古典概型概率计算公式求得正确答案.【详解】依题意可知，基本事件的总数为种.若玫瑰花恰好种3盆，则另外三种盆栽的数量可能为或，共有种，因此所求概率为.故答案为：16．已知函数，对任意，都有恒成立，则实数的取值范围是___________.【答案】【分析】由恒成立得出，构造函数，分成，，三种情况进行讨论，得出的取值范围.【详解】已知，对任意，都有恒成立，即，化简得，令，于是对任意，有，，令，则.当时，，所以在上是增函数，于是，即，所以在上是增函数，于是，符合题意.当时，观察易知在上是增函数，于是.若，则，所以在上是增函数，，即，所以在，上是增函数，，符合题意.若时，令，则当时，，在上是增函数，所以，即，，又，在上是增函数，所以存在，使得，当时，，即在上是减函数，当时，，即，所以在上是减函数，，这与矛盾.故实数的取值范围是.故答案为：.【点睛】方法点睛：对于含参不等式的恒成立问题，往往采用参变分离或构造含参函数两种方法，参变分离在使用时，一定保证分离出的函数，可利用导数清晰的研究出其单调性；构造含参函数，利用导数研究其单调性时，利用分类讨论的方法，可得答案. 三、解答题17．已知是斜三角形，角A，B，C满足.(1)求证：；(2)若角A，B，C的对边分别是边a，b，c，求的最小值，并求此时的各个内角的大小.【答案】(1)证明见解析(2)最小值为3，，， 【分析】（1）利用两角和的余弦公式以及二倍角公式可得，再利用和角公式与诱导公式可得结论；（2）先判断角为钝角，角为锐角，根据，得到.再由正弦定理与基本不等式，结合三角形内角和定理可得答案.【详解】（1）由得，所以，所以.因为是斜三角形，所以，所以，所以，所以，又，所以.（2）在中，有，由（1）知，所以，于是角为钝角，角为锐角，根据，所以.由正弦定理，得，，当且仅当，即，时等号成立，又角为钝角，所以时，等号成立，由，得，由，得，因此的最小值为3，此时三角形的各个内角为，，.18．下面两个图分别是2016年-2020年中国家庭平均每百户汽车拥有量和居民人均可支配年收入柱状图，为了分析居民家庭平均每百户汽车的拥有量与居民人均可支配全年总收入的关系，根据这两个图，绘制每百户汽车拥有量y（单位：辆）与人均可支配收入x（单位：万元）的散点图.2.8232.560.465.27 附：线性回归模型中，，.(1)由其散点图可以看出，可以用线性回归模型拟合每百户拥有汽车量关于人均可支配收入的关系，请建立关于的回归方程；(2)如果从2020年开始，以后每年人均可支配年收入以6%的速度增长，当每百户汽车拥有量达到50辆时，求每百户汽车拥有量平均每年至少增长的速度.（附：，，，，，，，.）【答案】(1)；(2)每百户汽车拥有量平均每年至少增长的速度为. 【分析】（1）利用给定的数据，结合最小二乘法公式计算作答.（2）利用回归方程估计每百户汽车拥有量达到50辆时，人均可支配收入，进而求出对应的年限，再估算增长速度作答.【详解】（1）依题意，，， 所以y关于x的回归方程为.（2）当时，，则，而2020年人均年可支配收入为3.2189万元，则，，于是2026年每百户汽车拥有量可以达到50辆，从2020年起，设每百户汽车拥有量平均每年的增长速度为，则，，，由，得，所以每百户汽车拥有量平均每年至少增长的速度为.19．四棱锥中，面，，底面ABCD中，，，.(1)若点在线段BC上，试确定的位置，使面面ABCD，并给出证明；(2)求二面角A-EB-C的余弦值.【答案】(1)点是的中点，证明见解析(2) 【分析】（1）先取点是的中点，再应用面面垂直判定定理证明面面.（2）建立空间直角坐标系，利用空间向量法先求平面与平面的法向量，再用两个法向量所成角的余弦值得到二面角A-EB-C的余弦值.【详解】（1）当点是的中点时，面面.证明：由点是的中点，得，又，，所以，，四边形是平行四边形.根据，得四边形是矩形，故.因为面，面，所以，因为，，面，于是面，由于面，因此面面.（2）结合（1）中结论，不妨令为的中点，因为面面，面面，所以过点作于点，则面，以为轴，以过点所作的垂线为轴，为轴建立空间直角坐标系，如图所示，设，则，因为面，面，所以，在中，根据，，可得，，，，则，，，，，，.设面的法向量为，则，即令，则，，所以，设面的法向量为，则即令，则，，所以.，设二面角的大小为，易知，所以，因此二面角的余弦值为..20．已知函数，，其中.(1)分别求函数和的极值；(2)讨论函数的零点个数.【答案】(1)有极大值，无极小值；有极小值，无极大值；(2)答案见解析. 【分析】（1）利用导数研究、的单调性，进而确定其极值情况；（2）由题设可得，讨论参数a，根据判断单调性，再结合零点存在性定理确定各情况中零点个数.【详解】（1）由且，由，得，由，得，所以在上是增函数，在上是减函数，故有极大值，无极小值.且，由，得，由，得，所以在上是减函数，在上是增函数，故有极小值，无极大值.（2）函数的定义域为，且，所以.当时，，无零点；当时，，令，得，令，得，所以在上是增函数，在上是减函数，最大值，若，即时，无零点；若，即时，只有一个零点；若，即时，，又，由（1）知：，所以，故在上有唯一零点.由（1）知：及，于是和，所以，又，，故在上有唯一零点.当时，由（1）知，，于是，而，所以，无零点.综上，或时无零点；时只有一个零点；时有两个零点.【点睛】关键点点睛：第二问，分类讨论参数a，并利用导数研究单调性，结合零点存在性定理判断零点的个数.21．已知椭圆的上顶点为，右焦点为，点满足.(1)证明：点在椭圆上；(2)若直线与椭圆有两个不同的交点P､Q，O是坐标原点，求面积的最大值.【答案】(1)证明见解析(2)最大值为 【分析】（1）根据求出椭圆，代入点即可证明；（2）联立直线与椭圆，得出判别式与韦达定理，利用弦长公式求出，点到直线的距离求出点到直线的距离，代入三角形面积公式，利用韦达定理化简换元转化为二次函数即可求解.【详解】（1）证明：椭圆的上顶点，右焦点，，，，根据，得，所以，，，所以椭圆的方程为，因为，所以点在椭圆上.（2）设，，把代入，得，由，得，，，，点到直线的距离，所以的面积为，令，则，当，即，时，等号成立，此时满足，因此的面积的最大值为.【点睛】关键点睛：（1）解决直线与圆锥曲线的关系，联立消元化简是必须熟练掌握的步骤；（2）将问题转化为韦达定理是处理此类问题的大体思路.22．在直角坐标系xOy中，直线的直角坐标方程为，曲线的直角坐标方程为，以坐标原点为极点，轴非负半轴为极轴建立极坐标系.(1)求直线和曲线的极坐标方程；(2)设直线交曲线于两点A，B，求的大小.【答案】(1)，(2) 【分析】（1）代入，即可求解；（2）联立直线和曲线的极坐标方程，根据极角的定义利用和差的正切公式即可求解.【详解】（1）依题意，把，代入，得直线的极坐标方程为；把，代入，得，即曲线的极坐标方程为.（2）联立和，得，即，，，，所以或，即A，B两点对应的极角的正切值分别是和3，于是，所以.23．已知函数.(1)求不等式的解集；(2)若函数的最小值为m，且a+b+c=m，求的最小值.【答案】(1)(2) 【分析】（1）对分类讨论去掉绝对值号化简即可求解；（2）令，，则，再将问题利用基本不等式转化为即可求解.【详解】（1）依题意，当时，不等式可化为，，所以；当，不等式可化为，，不等式不成立；当时，不等式可化为，，所以；因此不等式f（x）≥3的解集为.（2），当时，等号成立，所以的最小值为1，于是，即，令，，则，，，，所以，因为，，，所以，两边同时加上，得，即，，所以当时，有最小值，即，，时，有最小值.