热点专测专练02 正弦定理、余弦定理及其应用-2023-2024学年高一数学知识•考点培优讲义（人教A版2019必修第二册）

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热点专测专练： 正弦定理、余弦定理及其应用


注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．（2021春·河北唐山·高一开滦第二中学校考阶段练习）在中，，，则（    ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】利用正弦定理即可求解.
【详解】由，得.
故选：B.
2．（2021春·河北唐山·高一开滦第二中学校考阶段练习）在中，，，则的值为（    ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据正弦定理可得，.根据余弦定理即可求出结果.
【详解】由以及正弦定理可得，.
又因为，所以.
由余弦定理可得，.
故选：A.
3．（2023·高一课时练习）在中，若，，则C的取值范围是（    ）．
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】先由题意，得到为锐角，由正弦定理求得，即可得出结果.
【详解】解：因为，所以为锐角，
由正弦定理可得：，
又，所，因此，
因为为锐角，所以.
故选：A.
4．（2023·高一课时练习）三角形两边之差为2，且这两边的夹角的余弦值为，面积为14，此三角形是（    ）．
A．钝角三角形； B．锐角三角形； C．直角三角形； D．不能确定．
【答案】B
【分析】由题意，利用余弦定理求得三边，再求得三角的余弦值判断.
【详解】解：设三角形两边a，b之差为2，且这两边的夹角的余弦值为，
则，，，
由，得，
解得，
由余弦定理得，
则，
所以，
所以三角形是锐角三角形，
故选：B
5．（2022·全国·高一专题练习）已知的面积为，，，则AC边的中线的长为（    ）
A． B．3 C． D．4
【答案】C
【分析】根据正弦定理、二倍角正弦公式、正弦函数的性质，结合三角形面积公式、平面向量加法的几何意义、平面向量数量积的运算性质进行求解即可.
【详解】根据正弦定理由，
因为，所以，或，
当时，,不符合三角形内角和定理，
当时，，因此,
因此，因为的面积为，
所以有，负值舍去，即，
由余弦定理可知：
，
设边的中点为，所以有，因此
故选：C
6．（2022春·江西南昌·高一南昌二中校考阶段练习）中，、、分别是内角、、的对边，若，且，则的形状是（        ）
A．等腰非直角三角形 B．三边均不相等的直角三角形
C．等边三角形 D．等腰直角三角形
【答案】A
【分析】根据题意得，求出，再利用，可判断，再分析求解即可.
【详解】由可得，
所以，所以，由可得，所以.
故选：A.
7．（2022春·重庆·高一校联考阶段练习）若中，，其重心满足条件：，则取值范围为（    ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】先根据为重心，且，利用中线定理得到，再分别在和中，利用余弦定理得到，由求解.
【详解】解：如图所示：

因为，为重心，且，
所以，又，则，
在中，有，
在中，有，
两式相加得，
在中，，且，
所以，
.
故选：D
8．（2022春·江苏苏州·高一统考期末）在中，已知边上的两条中线相交于点，则（    ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】由题可得三角形为直角三角，建立坐标系，将问题转化为求与夹角的余弦即可.
【详解】解：因为
所以，
所以,
又因为,
所以三角形为直角三角，
建立如图所示的坐标系，

则有：,
因为分别为中点，
所以,
所以,,
所以==.
故选：B.
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9．（2021春·黑龙江哈尔滨·高一校考期末）在中，若，则的形状可能为（    ）
A．直角三角形 B．等腰三角形 C．等腰直角三角形 D．不存在
【答案】ABC
【分析】利用余弦定理进行角化边，再整理式子求解即可.
【详解】因为，
所以由余弦定理得，，整理得，
解得或，
当时，是等腰三角形，
当时，是直角三角形，
当且时，是等腰直角三角形.
故选：ABC.
10．（2022春·湖南株洲·高一校联考期中）已知 中，内角所对的边分别为， 且， 则的值可能是 （    ）
A． B． C． D．
【答案】AD
【分析】根据给定条件，利用余弦定理求解判断作答.
【详解】在中，，由余弦定理得：
，即，解得或，
所以的值可能是1或2.
故选：AD
11．（2022春·广西柳州·高一校考阶段练习）在中，角所对的边分别为，已知，则下列结论正确的是（    ）
A． B．
C．若，则的面积是15 D．若，则外接圆半径是
【答案】AD
【分析】设，，，，求出，，，根据正弦定理可判断A正确；根据平面向量数量积和余弦定理可判断B不正确；根据余弦定理和三角形面积公式可判断C不正确；根据余弦定理和正弦定理可判断D正确.
【详解】设，，，，
则，，，
对于A ，，故A正确；
对于B ，，故B不正确；
对于C，若，则，，，
所以，所以，
所以的面积是，故C不正确；
对于D，若，则，则，则，，，
所以，，
所以外接圆半径为.故D正确.
故选：AD
12．（2022春·黑龙江·高一哈九中校考期中）在中，角所对的边分别为，已知，则下列判断中正确的是（       ）
A．若，则 B．若，则该三角形有两解
C．周长有最大值12 D．面积有最小值
【答案】ABC
【分析】对于ABC，根据正，余弦定理，基本不等式，即可解决；对于D，由正弦定理得，根据三角恒等变换解决即可.
【详解】对于A，，，由正弦定理得
所以，故A正确；
对于B，由正弦定理得得，所以，
因为有两个解，
所以该三角形有两解，故B正确；
对于C，由，得
，
所以，当且仅当时取等号，此时三角形周长最大为等边三角形，周长为12，故C对；
对于D，由得,
故





由于，
无最小值，
所以面积无最小值，有最大值为，故D错误.
故选：ABC
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．（2023·高一课时练习）任意三角形射影定理又称“第一余弦定理”：的三边是，它们所对的角分别是，则有，，．请利用上述知识解答下面的题：在中，若，则 ______．
【答案】
【分析】由题可得，计算即可.
【详解】由题得，，
由第一余弦定理知，
所以，
所以，又C为三角形的内角
解得，
故答案为：
14．（2023·高一课时练习）的外接圆半径为3，则______．
【答案】
【分析】根据正弦定理即可求解.
【详解】因为的外接圆半径为3，
由正弦定理可得：，
则有，，
所以，
故答案为：.
15．（2022春·河南安阳·高一安阳县第一高级中学校考阶段练习）若的内角，，满足，则的最大值为______.
【答案】
【分析】先由正弦定理得到三边的关系，然后由余弦定理求角的余弦的最小值，再求得结果.
【详解】已知，由正弦定理可知，
则，因为，即，
所以，则，且当时，角最大，而在上单调递增，
此时，所以.
故答案为：.
16．（2020春·河北唐山·高一唐山市第二中学校考阶段练习）已知的内角所对的边分别是，且，若边上的中线，则的外接圆面积为___________.
【答案】
【分析】首先通过余弦定理可求出，根据结合向量模长与数量积的关系可求的值，最后由正弦定理求出外接圆半径进而可得结果.
【详解】.
.
由是的中点，可得：，，
化为：，解得.，解得.
，解得
的外接圆面积.
故答案为：.
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（2023·高一课时练习）已知的外接圆半径为2，若A＝30°，设AB的边长为，求的面积．
【答案】或
【分析】由正弦定理求得，由余弦定理得求得或，利用三角形面积公式可得结果.
【详解】的外接圆半径，AB的边长为，
由正弦定理得，则，
由余弦定理得，即，
∴，解得或.
当时，；
当时，.
18．（2023·高一课时练习）在中，已知，，．
(1)求的值；
(2)若点在边上，且，求的长．
【答案】(1)
(2)5
【分析】（1）利用余弦定理求解即可.
（2）首先根据余弦定理得到，再利用余弦定理求解的长即可.
【详解】（1）
（2）如图所示：


因为，，所以.
所以
19．（2023·高一课时练习）在中，已知．
(1)求；
(2)若，判断的形状．
【答案】(1)
(2)是等腰的钝角三角形
【分析】(1)由正弦定理边化角，再结合余弦定理，可求出角A的余弦值.
(2) 利用三角形内角和关系计算出B、C角,根据角度判断三角形形状.
【详解】（1）由正弦定理得；
∵余弦定理
∴，∴,
而为三角形内角，∴
（2）中，，∵,∴
，
因为，∴，∴，
∴是等腰的钝角三角形.
20．（2023·高一课时练习）甲船在A处测得乙船在北偏东70°方向，两船相距10海里，且乙船正沿着南偏东40°方向以每小时12海里的速度航行，经过半小时，甲船追上乙船，问甲船的航行方向是南偏东多少度？航行的速度是多少？（精确到0.1海里）（，，）
【答案】甲船的航行方向是南偏东，航行的速度是26.6海里/小时.
【分析】由余弦定理，解得：海里/时；再利用正弦定理可得角的角度，进而求解.
【详解】设甲船航行的速度为，则，由题意可知：，

在中，由余弦定理可得：，
也即，解得：海里/时，
在中，由正弦定理可得：，即，
解得：，所以甲航行方向为，
所以甲船的航行方向是南偏东，航行的速度是26.6海里/小时.
21．（2022春·河南安阳·高一安阳县第一高级中学校考阶段练习）在中，内角，，的对边分别为，，，且.
(1)求证：；
(2)若，求的值.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）根据正弦定理，正弦倍角公式，两角和的正弦公式即可求解；（2）根据余弦定理，同角的三角函数基本关系式，两角和的余弦公式即可进一步求解.
【详解】（1）∵，，
∴，
由正弦定理，得，
∵中，，
∴，
∴，
∴.
（2）由，
∴，
由余弦定理，得，
而中，，
∴，
∴，
由（1）知，
∵，
，
∴.
22．（2023·全国·高一专题练习）请从下列三个条件中任选一个，补充在下面的横线上，并解答．
①；
②；
③的面积为．
在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，
已知，，且______．
(1)求a；
(2)求的值．
【答案】(1)8
(2)
【分析】对于（1），若选①，；若选②，；若选③，的面积为；
对于（2），由（1）结果得到，后由二倍角公式可得答案.
【详解】（1）若选①，
，又，则，
又，得，因，则，
则由余弦定理有：；
若选②，因，则，又，得，
又，得，因，则，
则由余弦定理有：；
若选③，因，，则，
又的面积为，则，
又，得，因，则，
则由余弦定理有：；
（2）由（1），得，则由余弦定理可得：
，又，则.
则.
故.