新高考数学【热点·重点·难点】专练 热点5-2 平面向量数量积及应用6大题型

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1、明确模拟练习的目的。不但检测知识的全面性、方法的熟练性和运算的准确性，更是训练书写规范，表述准确的过程。
2、查漏补缺，以“错”纠错。每过一段时间，就把“错题笔记”或标记错题的试卷有侧重的看一下。查漏补缺的过程也就是反思的过程，逐渐实现保强攻弱的目标。
3、严格有规律地进行限时训练。特别是强化对解答选择题、填空题的限时训练，将平时考试当作高考，严格按时完成，并在速度体验中提高正确率。
4、保证常规题型的坚持训练。做到百无一失，对学有余力的学生，可适当拓展高考中难点的训练。
5、注重题后反思总结。出现问题不可怕，可怕的是不知道问题的存在，在复习中出现的问题越多，说明你距离成功越近，及时处理问题，争取“问题不过夜”。
6、重视每次模拟考试的临考前状态的调整及考后心理的调整。以平和的心态面对高考。
热点5-2 平面向量数量积及应用6大题型
平面向量属于高考的必考内容，主要以客观题的形式出现，也与三角函数、解析几何结合出现在综合性大题中，难度中等。本部分考题综合性较强，强调模、数量积、坐标运算等向量固有的知识，对向量几何模的研究比较透彻。考生在复习过程中，要重点理解向量数量积的含义，掌握数量积的坐标表示，能灵活运用定义法、坐标法、基底法解决常见的数量积问题。
一、求向量数量积的3种常规方法
1、定义法求平面向量的数量积
（1）方法依据：，其中是两个向量，的夹角；
（2）适用范围：已知或可求两个向量的模和夹角。
2、基底法求平面向量的数量积
（1）方法依据：选取合适的一组基底，利用平面向量基本定理将待求数量积的两个向量分别用这组基底表示出来，进而根据数量积的运算律和定义求解；
（2）适用范围：直接利用定义求数量积不可行时，可将已知模和夹角的两个不共线的向量作为基底，采用“基底法”求解。
3、坐标法求平面向量的数量积
（1）方法依据：，，则
（2）适用范围： = 1 \* GB3 ①已知或可求两个向量的坐标； = 2 \* GB3 ②已知条件中有（或隐含）正交基底，优先考虑建立平面直角坐标系，使用坐标法求数量积，例如已知图形为矩形、正方形、直角梯形、等边三角形、等腰三角形或直角三角形时。
二、解决向量投影问题应注意以下3点
1、向量在方向上的投影向量为（其中为与同向的单位向量），它是一个向量且与共线，其方向由与的夹角的余弦决定；
2、向量在方向上的投影向量为；
3、注意：在方向上的投影向量与在方向上的投影向量不同，即在方向上的投影向量可以表示为
三、求向量的模或其范围的方法
1、定义法：，；
2、坐标法：设，则；
3、几何法：利用向量加减法的平行四边形法则或三角形法则作出向量，再利用解三角形的相关知识求解。
【注意】（1）形如的向量的模，可通过平方转化为数量的运算；
（2）用定义法或坐标法求模的范围时，一般把它表示成某个变量的函数，再利用函数的有关知识求解；用几何法求模的范围时，注意数形结合思想，常用三角不等式进行最值求解。
【题型1 平面向量的数量积运算】
【例1】（2023秋·内蒙古包头·高三统考期末）已知，，，则（ ）
A． B． C．8 D．16
【答案】A
【解析】由已知，又，
，
或（舍去，）
，故选：A.
【变式1-1】（2023春·浙江绍兴·高三统考开学考试）已知是边长为1的等边三角形，点分别是边的中点，连接并延长到点，使得，则的值为（ ）
A． B． C． D．1
【答案】B
【解析】是边长为1的等边三角形,设,分别是边,的中点,
连接并延长到点，使得,如图,
则，，
则
，故选：B.
【变式1-2】（2023春·四川广安·高三校考开学考试）如图，在边长为4的等边中，点为中线的三等分点（靠近点），点为的中点，则（ ）
A． B． C． D．– 3
【答案】C
【解析】由已知，，，，
所以.
由已知是的中点，所以，
，.
所以，
，
所以，
.故选：C.
【变式1-3】（2023秋·山东烟台·高三统考期末）勒洛三角形是一种典型的定宽曲线，以等边三角形每个顶点为圆心，以边长为半径，在另两个顶点间作一段圆弧，三段圆弧围成的曲边三角形就是勒洛三角形.在如图所示的勒洛三角形中，已知，为弧上的点且，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】以为坐标原点，为轴，垂直于方向为，建立平面直角坐标系，
因为，,所以，即，
且所以，
所以，故选:C.
【变式1-4】（2023秋·江西萍乡·高三统考期末）在平面直角坐标系中，向量满足 则 __________
【答案】0
【解析】因为，所以，
所以，所以.
【变式1-5】（2021·天津津南·天津市咸水沽第一中学校考模拟预测）在四边形ABCD中，，，，，点E在线段CB的延长线上，且，则______.
【答案】1
【解析】建立如图所示的直角坐标系，
因为，，，
则，
又则，
因为，所以，
所以直线的斜率为，
其方程为，直线的斜率为，其方程为,
由得，，所以,
由，，
所以.
【题型2 平面向量的投影及投影向量】
【例2】（2023·内蒙古赤峰·统考模拟预测）已知向量，的夹角为，，，则向量在向量方向上的投影为（ ）
A．4 B． C． D．
【答案】D
【解析】向量在向量方向上的投影为，
，，
则向量在向量方向上的投影为，故选：D.
【变式2-1】（2023·全国·模拟预测）平面上有两个非零向量和，则“在方向上投影大于0”是“”的（ ）
A．必要不充分条件 B．充分不必要条件
C．既不充分也不必要条件 D．充要条件
【答案】A
【解析】若在方向上投影大于0，则有，而不一定成立；
若，则，所以在方向上投影大于0；
所以“在方向上投影大于0”是“”的必要不充分条件.故选：A.
【变式2-2】（2023·全国·高三专题练习）已知向量，，若与的夹角为，则在方向上的投影为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】，，
当时，，解得：；
若，不合题意，；
当时，，解得：（舍）；
综上所述：，，
在方向上的投影为.故选：C.
【变式2-3】（2023·甘肃兰州·校考一模）已知向量满足，，，则向量在向量上的投影为______．
【答案】－1
【解析】∵向量满足，，，
∴，
∴，，
∴向量在向量上的投影为.
【变式2-4】（2023·全国·高三专题练习）已知平面向量、满足，，则在方向上的数量投影的最小值是______.
【答案】2
【解析】因为在方向上的数量投影为，
所以当最小时，数量投影取得最小值.
设，则.
因为，则当时，有最小值6.
所以，在方向上的数量投影的最小值是.
【题型3 平面向量的夹角问题】
【例3】（2023春·山东济南·高三统考开学考试）已知向量，满足，，则向量，的夹角为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】，
即，则，，.故选：C.
【变式3-1】（2022秋·山西·高三校联考阶段练习）若两个向量、的夹角是，是单位向量，，，则向量与的夹角为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由题意，
又由，所以，
所以，
设向量与的夹角为，其中，
则，可得.故选：D.
【变式3-2】（2023秋·广东·高三统考期末）已知平面向量满足，则向量与向量的夹角为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】，
，
向量与向量的夹角为.故选：D.
【变式3-3】（2021秋·河南南阳·高三南阳中学校考阶段练习）已知，，且与的夹角为钝角，则x的取值范围是______．
【答案】
【解析】因为与的夹角为钝角，
所以，
当与的夹角为平角时，则有，
则有，
因为，所以，
所以x的取值范围是.
【变式3-4】（2023春·广东韶关·高三校联考开学考试）已知单位向量，，若对任意实数，恒成立，则向量，的夹角的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】，是单位向量，由得：，
依题意，不等式对任意实数恒成立，则，
解得，而，则，
又，函数在上单调递减，因此，
所以向量，的夹角的取值范围为.故选：B
【变式3-5】（2023秋·江苏苏州·高三统考期末）（多选）已知向量，的夹角为60°，，，则与向量的夹角为锐角的向量有（ ）
A． B． C． D．
【答案】BC
【解析】由已知各选项中向量与向量不平行，
，，
，
，
，
只有BC选项符合题意．故选：BC．
【题型4 平面向量的模长问题】
【例4】（2023秋·山东烟台·高三山东省烟台第一中学校考期末）若平面向量与的夹角为，，，则等于（ ）．
A． B． C．4 D．12
【答案】B
【解析】因为平面向量与的夹角为，，，
所以，，
所以.故选：B.
【变式4-1】（2022秋·江西·高三校联考阶段练习）设平面向量，若，则等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】因为，所以，即，解得，
即，则，所以.故选：B.
【变式4-2】（2021秋·上海浦东新·高三校考阶段练习）已知、是平面内两个互相垂直的单位向量，若向量满足，则的最大值是（ ）
A．1 B．2 C． D．
【答案】C
【解析】由题意得，， 有，得，
，
即，当，即与同向时，
的最大值是.故选：C.
【变式4-3】（2023春·江苏镇江·高三校考开学考试）已知平面向量满足，且，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由可知，，故，
如图建立坐标系，，，
设，由可得：
，
所以的终点在以为圆心,1为半径的圆上，
所以，几何意义为到距离的2倍，
由儿何意义可知，故选：D.
【变式4-4】（2023·四川成都·统考一模）已知平面向量、、满足，，，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】在平面内一点，作，，，则，则，
因为，则，故为等腰直角三角形，则，
取的中点，则，
所以，，所以，，
因为，
所以，，则，
所以，.
当且仅当、同向时，等号成立，故的最大值为.故选：B.
【题型5 平面向量的垂直问题】
【例5】（2023·高三课时练习）已知、是夹角为120°的两个单位向量，向量，若，则实数______．
【答案】
【解析】因为,且,
所以，解得
【变式5-1】（2022春·安徽滁州·高三校考阶段练习）已知向量、是夹角为的两个单位向量，向量与向量垂直，则实数 ______ ．
【答案】
【解析】向量、是夹角为的两个单位向量，
，.
向量与向量垂直，
，
，解得．
【变式5-2】（2023秋·山东菏泽·高三统考期末）已知向量，，若，则t的值为______．
【答案】
【解析】因为向量，，所以，，
又因为，所以，
即，解得.
【变式5-3】（2022秋·重庆沙坪坝·高三重庆一中校考期中）已知向量，，若，则的值为___________.
【答案】
【解析】因为向量，，
所以，，
又因为，
所以，即，解得，
所以的值为.
【题型6 数量积的最值范围问题】
【例6】（2023·全国·高三专题练习）在平行四边形ABCD中，，边AB、AD的长分别为2、1，若M、N分别是边BC、CD上的点，且满足，则的最大值是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】D
【解析】以A为原点，建立如图所示的平面直角坐标系．
，，，，
，
设，，则，，
可得，，
，
，当时，取得最大值5．故选：D．
【变式6-1】（2023·北京顺义·统考一模）已知点A，B在圆上，且，P为圆上任意一点，则的最小值为（ ）
A．0 B． C． D．
【答案】D
【解析】因为点A，B在圆上，且，P为圆上任意一点，
则，设，，
所以，
所以，
即的最小值为故选：D.
【变式6-2】（2023秋·山西·高三校联考阶段练习）在中，，，，P为平面ABC内一点，则的最小值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】在中，由余弦定理得，
即，解得，
取BC的中点O，连接AO，则.
以O为坐标原点，BC为轴，OA为y轴，建立平面直角坐标系，如图所示.
所以，，，
设，所以，
，
所以，当且仅当，时等号成立，
即的最小值是.故选：C.
【变式6-3】（2023春·安徽阜阳·高三阜阳市第二中学校考阶段练习）已知正八边形的边长为2，是正八边形边上任意一点，则的最大值为______.
【答案】
【解析】如图：建立直角坐标系，设，
则，
即是求正八边形边上的点到原点的最大距离，显然当P点与E或F点重合时最大，
连接AF，过H，G分别作AF的垂线，垂足为N，M，
则 和 都是等腰直角三角形，
，在 中， 为钝角，
，显然E和F点到原点的距离最大，
【变式6-4】（2023秋·内蒙古呼和浩特·高三统考期末）已知P是半径为1圆心角为的一段圆弧AB上的一点，若，则的取值范围是______.
【答案】
【解析】建立如图所示的平面直角坐标系，
则，，，过点作，垂足为，
因为，且，所以，又，
所以，在中，因为，所以，
，则，所以，设，
则
，又，所以，则，
即的取值范围是
（建议用时：60分钟）
1．（2023春·河南洛阳·高三洛阳市第八中学校考开学考试）已知向量，，，若，则（ ）
A．1 B．2 C．-2 D．-1
【答案】D
【解析】因为向量，，所以，
因为，所以，可得，故选：D．
2．（2023秋·浙江杭州·高三期末）已知非零向量的夹角的余弦值为，且，则（ ）
A．1 B． C． D．2
【答案】A
【解析】由得.
∴，令，∴，
解得或（舍去）.故选：A.
3．（2022秋·山东威海·高三校考阶段练习）已知向量，满足，，，则等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由得，
两边平方得，
所以.故选：A
4．（2023·四川绵阳·绵阳中学校考模拟预测）若非零向量，满足，，则与的夹角为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】因为，以，
又，，所以，，
设与的夹角为，则，
因为，所以，即与的夹角为.故选：D.
5．（2023·云南昆明·昆明一中校考模拟预测）已知的外接圆圆心为O，且，，则（ ）
A．0 B． C．1 D．
【答案】C
【解析】由知是边中点，
因为是△的外接圆圆心，所以△为直角三角形，
且，因为，所以△为等边三角形，
所以，，
所以，故选：C.
6．（2023春·江西·高三校联考阶段练习）已知非零向量，满足，，若与的夹角为，则（ ）
A．1 B． C． D．
【答案】B
【解析】由，得，，
∴，
∴，解得.故选：B
7．（2023·高三课时练习）在中，点E、F分别在边AB、AC上，D为BC的中点，满足，，则（ ）．
A．0 B． C． D．
【答案】D
【解析】设，，则．
由题意得，
同理．
因为，所以，整理得，
即，解得．故选:D
8．（2023春·江苏常州·高三校联考开学考试）已知两个单位向量满足，则与的夹角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】因为，所以，
即，所以，故选：.
9．（2022秋·河北邯郸·高三大名县第一中学校考期末）已知平面向量满足，则在上的投影向量为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由题意，
∴，，
解得：∴在上的投影向量为：故选：B.
10．（2019秋·北京·高三101中学校考阶段练习）如图，是半圆的直径，、是弧的三等分点，、是线段的三等分点，若，则的值是（ ）
A．2 B．5 C．26 D．29
【答案】C
【解析】连接，，如图所示：
∵、是弧的三等分点，
∴，
∵、是线段的三等分点，，
∴，．
∵，，
∴
，故选：C．
11．（2023·湖南邵阳·统考一模）设向量，满足，，则（ ）
A．2 B． C．3 D．
【答案】D
【解析】因为，，
以上两式相减可得，，
所以，即，故选：D.
12．（2023·全国·唐山市第十一中学校考模拟预测）如图,在平行四边形中,,是边的中点,是上靠近的三等分点,若,则（ ）
A．4 B． C． D．8
【答案】A
【解析】由题知,所以,
记,因为且为平行四边形,
所以
,
解得:(舍)或.故选:A
13．（2023春·山西忻州·高三校联考开学考试）已知平面向量，满足，，的夹角为，若，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】因为，，的夹角为，
所以，
不妨设，，，则，，
则，解得或，
设，由得在以为圆心，1为半径的圆上，
或
所以的最小值为,故选：C
14．（2023·湖北·宜昌市一中校联考模拟预测）已知平面非零向量满足，则的最小值为（ ）
A．2 B．4 C．8 D．16
【答案】C
【解析】设非零向量，的夹角为.
，所以，
由两边平方得：，
，
，即，
即，
，，即当时，取得最小值，最小值为8.故选：C．
15．（2023秋·四川成都·高三石室中学校考阶段练习）已知平面向量，，，其中，，且与的夹角为45°，若，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】依题意，因为，，且与的夹角为45°，
建立直角坐标系，如图所示：
所以设，，则，
因为，
所以，
所以
整理得：，
由此可知，的终点在以为圆心，半径为1的圆上，
因为，
其几何意义代表点到点的距离，
又因为点到点的距离为：，
所以的最大值为：.故选：C.
16．（2023·江西上饶·高三校联考阶段练习）已知向量、满足，与的夹角为，若存在实数，有解，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】对不等式两边同时平方，
得，即，
因为，所以，
整理得有解，
所以得，解得，
又因为，所以，故选:C.
17．（2023秋·浙江·高三期末）已知向量，则在方向上的投影向量是______．
【答案】
【解析】因为,
则在方向上的投影向量是:
18．（2022秋·四川攀枝花·高三统考阶段练习）平面向量，满足，，，则与的夹角为______．
【答案】
【解析】设与的夹角为，
由，得.
因为，，所以，
即，解得，
因为，所以.
19．（2023春·甘肃兰州·高三校考开学考试）已知，，，则向量与向量的夹角为______．
【答案】
【解析】由，得，而，，
因此，即有，
则，而，于是得，
所以向量与向量的夹角为.
20．（2023秋·重庆沙坪坝·高三重庆南开中学校考期末）已知向量，，，满足，，，，若，则的最小值为______.
【答案】
【解析】设，则，所以，
，
由二次函数性质可得，，即：
所以，
所以的最小值为