2024届高考数学一轮复习课时质量评价39含答案

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课时质量评价(三十九)
A组　全考点巩固练
1．A　解析：方法一：数列{an}为12，62，112，162，212，…，其分母为2，分子是首项为1，公差为5的等差数列，故其通项公式为an＝5n-42.
方法二：当n＝2时，a2＝3，而选项B，C，D都不符合题意．故选A．
2．B　解析：因为Sn＝n2＋4n＋1，当n＝1时，a1＝S1＝6，当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2n＋3.经检验，当n＝1时不符合，所以an＝6，n=1， 2n+3，n≥2，所以a1＋a3＋a5＝28.故选B．
3．C　解析：由an＝n(an＋1－an)，得(n＋1)an＝nan＋1，an+1n+1＝ann，所以ann为常数列，即ann＝a11＝1，所以an＝n.故选C．
4．A　解析：由数列的递推公式可得：
a2＝22-a1＝43，a3＝22-a2＝3，a4＝22-a3＝－2，a5＝22-a4＝12＝a1，
据此可得数列{an}是周期为4的周期数列，则6S100＝6×25×12+43+3-2＝425.故选A．
5．ABC　解析：观察此数列，偶数项通项公式为a2n＝2n2，
奇数项是它的后一项减去这一项的项数，a2n－1＝a2n－2n，故C正确；由此可得a20＝2×102＝200，故A正确；
a19＝a20－20＝180，故B正确；
Sn＝n(n－1)＝n2－n是一个等差数列的前n项，而题中数列不是等差数列，
不可能有Sn＝n·(n－1)，故D错误．
6．1　121　解析：方法一：由a1+a2=4，a2=2a1+1，解得a1＝1.由an＋1＝Sn＋1－Sn＝2Sn＋1，得Sn＋1＝3Sn＋1，所以Sn＋1＋12＝3Sn+12，所以Sn+12 是以32为首项，3为公比的等比数列，所以Sn＋12＝32×3n-1，即Sn＝3n-12，所以S5＝121.
方法二：由a1+a2=4，a2=2a1+1，解得a1=1，a2=3，又an＋1＝2Sn＋1，an＋2＝2Sn＋1＋1，两式相减得an＋2－an＋1＝2an＋1，即an+2an+1＝3.又a2a1＝3，所以{an}是首项为1，公比为3的等比数列，所以an＋1＝3n，所以Sn＝3n-12，所以S5＝121.
7．(－∞，3)　解析：因为{an}是递增数列，
所以an＋1＞an，所以(n＋1－λ)2n+1＞(n－λ)2n，
化简得λ＜n＋2，对任意n∈N＋都成立．
所以λ＜3.
8．解：(1)因为Sn＝n+23an，且a1＝1，
所以S2＝43a2，即a1＋a2＝43a2，得a2＝3.
由S3＝53a3，得3(a1＋a2＋a3)＝5a3，得a3＝6.
(2)由题意知a1＝1.
当n≥2时，有an＝Sn－Sn－1＝n+23an－n+13an－1，
整理，得an＝n+1n-1an－1，即anan-1＝n+1n-1.
所以a2a1＝3，a3a2＝42，a4a3＝53，…，anan-1＝n+1n-1，
将以上n－1个式子等号的两端分别相乘，得ana1＝nn+12.
所以an＝nn+12(n≥2)．
又a1＝1适合上式，故an＝nn+12(n∈N*)．
B组　新高考培优练
9．B　解析：由题意可知三角垛从上向下，每层果子数构成一个数列{an}，其中a1＝1，a2＝3，a3＝6，a4＝10，可变形为a1＝1×1+12，a2＝2×2+12，a3＝3×3+12，a4＝4×4+12，由此得数列{an}的通项为an＝nn+12，则a10＝10×10+12＝55.故选B．
10．C　解析：依题意可得12≤x32≤2，12≤4x≤2，解得2≤x≤3，故x的取值范围为[2，3].故选C．
11．B　解析：因为an＋1－an＝-13an2＜0，
所以{an}为递减数列．
又an＋1＝an-13 an2≤23，且an≠0，
所以an+1an＝1－13an≥23＞0.
又a1＝1＞0，则an＞0，
所以an－an＋1＝13an2≥13anan＋1，
所以1an+1-1an≥13，
所以1an≥1a1+13(n－1)＝13n＋23，则an≤3n+2，
所以100a100≤100×3102＜306102＝3；
由an＋1＝an-13 an2得an＋1＝an1-13an，得1an+1-1an＝13-an≤13-3n+2＝131+1n+1，
累加可得，1an+1≤13n＋13(12+13＋…＋1n+1)＋1，
所以1a100≤34＋13×12+13+…+1100＜34＋13×12×6+18×93＜40，
所以100a100＞100×140＝52.
综上，52＜100a100＜3.
12．－3　解析：因为an＋1＝an＋log31-22n+1＝an＋log32n-12n+1＝an＋log3(2n－1)－log3(2n＋1)，所以an＋1－an＝log3(2n－1)－log3(2n＋1)，则a41－a40＝log379－log381，a40－a39＝log377－log379，…，a3－a2＝log33－log35，a2－a1＝log31－log33，将以上40个式子相加得a41－a1＝log31－log381.又a1＝1，所以a41＝log31－log381＋1＝－3.
13．①③④　解析：对于①，当n＝1时，可得a1＝3，当n＝2时，由a2·S2＝9，可得a2·(a1＋a2)＝9，可得a2＝35-12＜3，故①正确；
对于②，当n≥2时，由Sn＝9an得Sn－1＝9an-1，于是可得an＝9an-9an-1，即anan-1＝9-an29，若{an}为等比数列，则当n≥2时，an＋1＝an，即从第二项起为常数，可检验n＝3不成立，故②错误；
对于③，因为an·Sn＝9，an＞0，a1＝3，
当n≥2时，Sn＝9an，
所以an＝Sn－Sn－1＝9an-9an-1＞0，
所以9an>9an-1⇒1an>1an-1⇒an＜an－1，
所以{an}为递减数列，故③正确；
对于④，假设所有项均大于等于1100，取n＞90 000，则an≥1100，Sn>900，则anSn＞9与已知矛盾，故④正确．
14．解：(1)依题意，Δ＝a2－4a＝0，所以a＝0或a＝4.
又由a＞0，得a＝4，
所以f(x)＝x2－4x＋4.
所以Sn＝n2－4n＋4.
当n＝1时，a1＝S1＝1－4＋4＝1；
当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2n－5.
所以an＝1，n=1， 2n-5，n≥2.
(2)由题意得cn＝-3，n=1， 1-42n-5，n≥2.
由cn＝1－42n-5可知，当n≥5时，恒有cn＞0.
又c1＝－3，c2＝5，c3＝－3，c4＝－13，c5＝15，c6＝37，
即c1·c2＜0，c2·c3＜0，c4·c5＜0.
所以数列{cn}的变号数为3.