2024届高考数学一轮复习课时质量评价26含答案

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课时质量评价(二十六)
A组　全考点巩固练
1．B　解析：由a＝2b可知，a，b 方向相同，aa，bb 表示 a，b 方向上的单位向量，所以aa＝bb成立；反之不成立．故选B.
2．A　解析：由题意得BD＝BC+CD＝2a＋6b＝λAB＝λ(a＋mb)，解得m＝3.
3．AD　解析：∵aa+bb＝0，∴aa＝－bb，
∴a与b的方向相反．故选AD.
4．C　解析：结合图形易得，a＝－e1－4e2，b＝－2e1－e2，故a－b＝e1－3e2.
5．C　解析：因为BC＝λCD (λ∈R)，所以AC-AB＝λAD－λAC，即AD＝－1λAB+λ+1λAC.又因为AD＝－12AB+32AC，所以1λ=12，λ+1λ=32，解得λ＝2.
6．－52　解析：因为AP＝12PB，所以AP+PB＝AB＝32PB＝－32BP.所以λ＋1＝－32，λ＝－52.
7．3　解析：根据题意，菱形ABCD的边长为2，∠BAD＝120°，
则∠BAC＝60°，必有AC＝2，
又由BE＝EC，CD＝2CF，
则E是BC的中点，F是CD的中点，
则AE＝AB+BE，AF＝AD+DF，
则AE+AF＝AB+BE+AD+DF＝32(AB+AD)＝32AC，而AC＝2，则|AE+AF|＝3.

8．解：设OA＝a，OB＝b，则OG＝13(a＋b)，PQ＝OQ-OP＝nb－ma，PG＝OG-OP＝13(a＋b)－ma＝13-ma＋13b.
由P，G，Q共线得，存在实数λ使得PQ＝λPG，即nb－ma＝λ13-ma＋13λb，则-m=λ13-m，n=13λ， 消去λ，得1n+1m＝3.
9．解：由题设知，CD＝d－c＝2b－3a，CE＝e－c＝(t－3)a＋tb，C，D，E三点在一条直线上的充要条件是存在实数k，使得CE＝kCD，即(t－3)a＋tb＝－3ka＋2kb，整理得(t－3＋3k)a＝(2k－t)b.
因为a，b不共线，所以有t-3+3k=0，t-2k=0， 解得t＝65.
故存在实数t＝65使C，D，E三点在一条直线上．
B组　新高考培优练
10．D　解析：连接CD(图略)，由点C，D是半圆弧的三等分点，得CD∥AB且CD＝12AB＝12a，所以AD＝AC+CD＝b＋12a.
11．C　解析：如图所示，过点C作CF⊥AB，垂足为F.在Rt△BCF中，∠B＝30°，BC＝2，所以CF＝1，BF＝3.因为AB＝23，所以AF＝3.由四边形AFCD是平行四边形，可得CD＝AF＝3＝12AB.因为AE＝AD+DE＝AD＋μAB，所以DE＝μAB.因为DE∥DC，DC＝12AB，所以0≤μ≤12.

12．CD　解析：因为a，b是不共线的两个平面向量，所以2a－b≠0.即QR≠0.因为P，Q，R三点共线，所以PQ与QR共线，所以存在实数λ，使PQ＝λQR，所以a＋sin α·b＝2λa－λb，所以1=2λ， sinα=-λ，解得sin α＝－12.又α∈(0，2π)，故α可为7π6或11π6.
13．ACD　解析：若AM＝12AB+12AC，则点M是边BC的中点，故A正确．若AM＝2AB-AC，即有AM-AB＝AB-AC，即BM＝CB，则点M在边CB的延长线上，故B错误．若AM＝－BM-CM，即AM+BM+CM＝0，则点M是△ABC的重心，故C正确．如图，

AM＝xAB＋yAC，且x＋y＝12，可得2AM＝2xAB＋2yAC，设AN＝2AM，则M为AN的中点，则△MBC的面积是△ABC面积的12，故D正确．故选ACD.
14．45°　解析：因为直线l上有不同的三点A，B，C，所以存在实数λ，使得BA＝λBC，所以OA-OB＝λ(OC-OB)，即OA＝(1－λ)OB＋λOC，所以1-λ=1-cosα，λ=sinα， 所以sin α＝cos α，因为α是锐角，所以α＝45°.
15．解：如图所示，①设点O为正六边形的中心，则AO＝AB+AF.

当动圆Q的圆心经过点C时，与边BC交于点P，点P为边BC的中点．连接OP，则AP＝AO+OP.
因为OP与FB共线，所以存在实数t，使得OP＝tFB，
所以此时m＋n＝1＋t＋1－t＝2，取得最小值．
所以AP＝AO+OP＝AB+AF＋t(AB-AF)＝(1＋t)AB＋(1－t)AF.
②当动圆Q的圆心经过点D时，取AD的延长线与圆Q的交点P时，AP＝52AO＝52(AB+AF)＝52AB+52AF，
此时m＋n＝5，取得最大值．