新教材2023高中数学第十章概率章末复习课新人教A版必修第二册 试卷

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第十章 概率
章末复习课



要点训练一　事件的关系与运算
互斥事件和对立事件都是针对两个事件而言的.在一次试验中,两个互斥事件不可能同时发生,有可能都不发生,也可能只有一个发生.对立事件必定而且只有一个发生.　　　　　　　　　　　　　　　
1.下列说法正确的是(　　)
A.互斥事件不一定是对立事件,对立事件一定是互斥事件
B.互斥事件一定是对立事件,对立事件不一定是互斥事件
C.事件A,B同时发生的概率一定比A,B中恰有一个发生的概率小
D.事件A,B中至少有一个发生的概率一定比A,B中恰有一个发生的概率大
解析:对于选项A和B,由于互斥事件不一定是对立事件,对立事件一定是互斥事件,所以选项A正确,选项B不正确.对于选项C,当A=B时,A,B中恰有一个发生的概率为0,所以选项C不正确.对于选项D,若事件A为不可能事件,则事件A,B中至少有一个发生的概率与A,B中恰有一个发生的概率相等,故选项D不正确.
答案:A
2.把J,Q,K 3张方块牌随机分给甲、乙、丙三人,每人1张.若记“甲得方块J”为事件A,“乙得方块J”为事件B,则事件A与事件B是(　　)
A.不可能事件
B.必然事件
C.对立事件
D.互斥但不对立事件
解析:由题意可知,事件A与事件B不可能同时发生,可能同时不发生,从而可以判断事件A与事件B是互斥但不对立事件.
答案:D
3.一个人打靶时连续射击两次,事件“至少有一次中靶”的对立事件是(　　)
A.至多有一次中靶
B.两次都中靶
C.只有一次中靶
D.两次都不中靶
解析:事件“至少有一次中靶”的对立事件是“两次都不中靶”.故选D.
答案:D
4.2021年某省新高考将实行“3+1+2”模式,即语文、数学、外语必选,物理、历史二选一,政治、地理、化学、生物四选二,共有12种选课模式.某同学已选了物理,记事件A=“他选择政治和地理”,事件B=“他选择化学和地理”,则事件A与事件B(　　)
A.是互斥事件,不是对立事件
B.是对立事件,不是互斥事件
C.既是互斥事件,也是对立事件
D.既不是互斥事件也不是对立事件
解析:事件A与事件B不能同时发生,是互斥事件,他还可以选择化学和政治,不是对立事件.
答案:A
要点训练二　随机事件的频率与概率
在大量重复进行同一试验时,事件A发生的频率总接近于某个常数,并在这个常数附近摆动,这时就把这个常数称为事件A的概率,记作P(A).根据定义可知0≤P(A)≤1,显然必然事件的概率是1,不可能事件的概率是0.　　　　　　　　　　　
1.某产品共有三个等级,分别为一等品、二等品和不合格品.从一箱产品中随机抽取1件进行检测,若“抽到一等品”的概率为0.65,“抽到二等品”的概率为0.30,则“抽到不合格品”的概率为(　　)
A.0.05 B.0.35C.0.70 D.0.95
解析:根据题意,记“抽到一等品”为事件A,“抽到二等品”为事件B,“抽到不合格品”为事件C,因为“抽到一等品”与“抽到二等品”是互斥事件,“抽到不合格品”与“抽到一等品或二等品”是对立事件,所以P(C)=1-P(A)-P(B)=0.05.
答案:A
2.已知三个事件A,B,C两两互斥,且P(A)=0.3,P()=0.6,P(C)=0.2,则P(A∪B∪C)=0.9.
解析:因为P()=0.6,所以P(B)=0.4,所以P(A∪B∪C)=P(A)+
P(B)+P(C)=0.9.
3.在一次射击比赛中,若某射手射中10环,9环,8环的概率分别是0.2, 0.3, 0.1,则该射手在一次射击中不够8环的概率是0.4.
解析:由题意知,该射手不够8环的对立事件是该射手在一次射击中不小于8环.因为该射手在一次射击中不小于8环包括射中8环,9环,10环,且这三个事件是互斥的,所以该射手在一次射击中不小于8环的概率是0.2+0.3+0.1=0.6,所以该射手在一次射击中不够8环的概率是1-0.6=0.4.
4.对一批U盘进行抽检,结果见下表:
抽出件数a/件
50
100
200
300
400
500
次品件数b/件
3
4
5
5
8
9
次品频率






(1)计算表中次品的频率(结果保留到小数点后三位);
(2)从这批U盘中任意抽取一个是次品的概率约是多少?
(3)为保证买到次品的顾客能够及时更换,要销售2 000个U盘,至少需进货多少个U盘?
解:(1)表中次品频率从左到右依次为0.060,0.040,0.025,0.017,
0.020,0.018.
(2)当抽取件数a越来越大时,出现次品的频率在0.02附近摆动,所以从这批U盘中任意抽取一个是次品的概率约是0.02.
(3)设需要进货x个U盘,为保证其中有2 000个正品U盘,则x(1-0.02)≥2 000,因为x是正整数,所以x≥2 041,即至少需进货2 041个U盘.
要点训练三　古典概型概率的求法
古典概型概率计算,关键是分清样本空间包含的样本点个数n与事件A包含的样本点个数k,利用公式P(A)=求出概率.解题时要注意用列举法把样本点一一列举出来,列举时可以按某一顺序,做到不重不漏.　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
1.如果从集合A={1,3,5,7,9}和集合B={2,4,6,8}中各取一个数,那么这两个数的和除以3余1的概率是(　　)
A. B. C. D.
解析:从集合A={1,3,5,7,9},B={2,4,6,8}中各取一个数,样本点有(1,2),(1,4),(1,6),(1,8),(3,2),(3,4),(3,6),(3,8),(5,2),(5,4),(5,6),(5,8),(7,2),(7,4),(7,6),(7,8),(9,2),(9,4),(9,6),(9,8),共20个,其中两个数的和除以3余1的样本点有(1,6),(3,4),(5,2),(5,8),(7,6),(9,4),共6个,所以抽取的两个数的和除以3余1的概率为P==.
答案:D
2.甲、乙两人进行“剪子、包袱、锤”的游戏,若两人都随机出手势,则一次游戏两人平局的概率为 (　　)
A. B. C. D.
解析:甲、乙两个人进行“剪子、包袱、锤”的游戏,所有可能出现的样本点列表如下:
手势
锤
剪子
包袱
锤
(锤,锤)
(锤,剪子)
(锤,包袱)
剪子
(剪子,锤)
(剪子,剪子)
(剪子,包袱)
包袱
(包袱,锤)
(包袱,剪子)
(包袱,包袱)
由上表可知,共有9个样本点.其中平局的有3个样本点,即(锤,锤),
(剪子,剪子),(包袱,包袱).设事件A为“甲和乙平局”,则P(A)==.
答案:A
3.甲、乙两人参加普法知识竞赛,共有5个不同题目,选择题3道,判断题2道,甲、乙两人各抽1道题.
(1)甲、乙两人中一人抽到选择题,另一人抽到判断题的概率是多少?
(2)甲、乙两人中至少有一人抽到选择题的概率是多少?
解:把3道选择题分别记为x1,x2,x3,2道判断题分别记为p1,p2.
“甲抽到选择题,乙抽到判断题”的样本点有(x1,p1),(x1,p2),(x2,p1),
(x2,p2),(x3,p1),(x3,p2),共6个;
“甲抽到判断题,乙抽到选择题”的样本点有(p1,x1),(p1,x2),(p1,x3),
(p2,x1),(p2,x2),(p2,x3),共6个;
“甲、乙都抽到选择题”的样本点有(x1,x2),(x1,x3),(x2,x1),(x2,x3),
(x3,x1),(x3,x2),共6个;
“甲、乙都抽到判断题”的样本点有(p1,p2),(p2,p1),共2个.
因此样本点的总数为6+6+6+2=20.
(1)“甲抽到选择题,乙抽到判断题”的概率为=,“甲抽到判断题,乙抽到选择题”的概率为=,故“甲、乙两人中一人抽到选择题,另一人抽到判断题”的概率为+=.
(2)“甲、乙两人都抽到判断题”的概率为=,故“甲、乙两人至少有一人抽到选择题”的概率为1-=.
4.甲、乙两校各有3名教师报名支教,其中甲校2男1女,乙校1男2女.
(1)若从甲校和乙校报名的教师中各任选1名,求选出的2名教师性别相同的概率;
(2)若从报名的6名教师中任选2名,求选出的2名教师来自同一学校的概率.
解:设甲校两名男教师分别用A,B表示,女教师用C表示,乙校男教师用D表示,两名女教师分别用E,F表示.
(1)从甲校和乙校报名的教师中各任选1名的所有可能的结果为(A,D),(A,E),(A,F),(B,D),(B,E),(B,F),(C,D),(C,E),(C,F),共9种.
从中选出的2名教师性别相同的结果有(A,D),(B,D),(C,E),(C,F),共4种,所以选出的2名教师性别相同的概率P=.
(2)从甲校和乙校报名的教师中任选2名的所有可能的结果为(A,B),(A,C),(A,D),(A,E),(A,F),(B,C),(B,D),(B,E),(B,F),(C,D),(C,E),(C,
F),(D,E),(D,F),(E,F),共15种.从中选出的2名教师来自同一学校的结果有(A,B),(A,C),(B,C),(D,E),(D,F),(E,F),共6种.所以选出的2名教师来自同一学校的概率P==.
要点训练四　相互独立事件概率的求法
P(AB)=P(A)P(B)是事件相互独立的充要条件,也是解答相互独立事件概率问题的唯一工具.当题目内涉及“至多”“至少”“恰有”等字眼的概率问题时,要分清事件间的关系.另外,公式“P(A∪B)=1-P()”常用于求相互独立事件至少有一个发生的概率.　　　　　　　　　　　　　　　　
1.“五一”假期中,甲、乙、丙3人去厦门旅游的概率分别是,,,如果3人的行动相互之间没有影响,那么这段时间内至少有1人去厦门旅游的概率为 (　　)
A. B. C. D.
解析:记事件A为“至少有1人去厦门旅游”,则其对立事件为“3人都不去厦门旅游”.
因为P()=(1-)(1-)(1-)=,所以P(A)=1-P()=1-=.
答案:B
2.国际羽毛球比赛采用21分的比赛规则和每球得分制,并且每次得分者发球,所有单项的每局获胜分至少是21分,最高不超过30分,即先到21分的获胜一方赢得该局比赛,如果双方比分为20∶20时,获胜的一方需超过对方2分才算取胜,直至双方比分打成29∶29时,先达到第30分的一方获胜.在一局比赛中,若甲发球得分的概率为,甲接发球得分的概率为,则在比分为20∶20,且甲发球的情况下,甲以23∶21赢下比赛的概率P为 (　　)
A. B. C. D.
解析:P=×××+×××=.故选B.
答案:B
3.某中学的某新生想通过考核选拔进入该校的“电影社”和“心理社”,已知该同学通过考核选拔进入这两个社团成功与否相互独立,根据报名情况和他的才艺能力,两个社团都能进入的概率为,至少进入一个社团的概率为,并且进入“电影社”的概率小于进入“心理社”的概率.
(1)求该同学分别通过选拔进入“电影社”的概率P1和进入“心理社”的概率P2;
(2)学校根据这两个社团的活动安排情况,对进入“电影社”的同学增加1个校本选修课学分,对进入“心理社”的同学增加0.5个校本选修课学分.求该同学在社团方面获得校本选修课学分分数不低于1分的概率.
解:(1)根据题意可得,所以P1=,P2=.
(2)令该同学在社团方面获得校本选修课学分分数为x,
则P(x=1)=(1-)×=,P(x=1.5)=×=,所以该同学在社团方面获得校本选修课学分分数不低于1分的概率P=+=.
要点训练五　补集思想
在解答概率应用问题的过程中,当某一事件的概率不易直接求出或求解较为困难,但该事件的对立事件的概率比较容易求得时,可利用公式“P(A)+P()=1”从反面进行思考,将所求事件的概率转化为求其对立事件的概率.
1.甲队和乙队进行足球比赛,若两队踢成平局的概率是,乙队获胜的概率是,则甲队不输的概率是(　　)
A. B. C. D.
答案:A
2.若一架飞机向目标投弹,击毁目标的概率为0.2,目标未受损的概率为0.4,则目标受损但未被击毁的概率为(　　)
A.0.8 B.0.6 C.0.5 D.0.4
答案:D
3.甲、乙两名射击运动员分别对同一目标射击1次,甲射中的概率为0.8,乙射中的概率为0.9,求:
(1)两人都射中的概率;
(2)两人中恰有一人射中的概率;
(3)两人中至少有一人射中的概率.
解:设“甲射击一次,射中目标”为事件A,“乙射击一次,射中目标”为事件B.事件A与B是相互独立的.
(1)两人都射中的概率为P(AB)=P(A)P(B)=0.8×0.9=0.72.
(2)两人中恰有一人射中的概率为P(A)+P(B)=0.8×(1-0.9)+(1-
0.8)×0.9=0.26.
(3)两人中至少有一人射中的概率为1-P()=1-P()P()=1-
0.2×0.1=0.98.