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中考数学模拟试卷
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这是一份中考数学模拟试卷，共14页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2021年呼和浩特模拟试卷(三)
(考试时间:120分钟 试卷满分:120分)
题 号
一
二
三
总分
总分人
核分人
得 分
一、选择题(本大题共10小题,每小题3分,共30分)
1.检查四个篮球的质量,把超过标准质量的克数记为正数,不足标准质量的克数记为负数,检查的结果如下表:
篮球编号
1号
2号
3号
4号
与标准质量的差(g)
+4
+7
-3
-8
其中最接近标准质量的球是 ( )
A.1号 B.2号 C.3号 D.4号
2.下列计算正确的是 ( )
A.3a-a=2 B.a2+2a2=3a2
C.a4·a3=a6 D.(a+b)2=a2+b2
3.已知某菱形的周长为8 cm,高为1 cm,则该菱形的面积为 ( )
A.2 cm2 B.4 cm2 C.6 cm2 D.8 cm2
4.已知m≠0,函数y=-mx2+n与y=mnx在同一直角坐标系中的大致图象可能是 ( )
图M3-1
5.中小学时期是学生身心变化最为明显的时期,这个时期孩子们的身高变化呈现一定的趋势,7~15岁期间孩子们会经历一个身高发育较迅速的阶段,我们把这个年龄阶段叫做生长速度峰值段,小明通过上网查阅《2016年某市儿童体格发育调查表》,了解某市男女生7~15岁身高平均值记录情况,并绘制了如下统计图,得出以下结论:
图M3-2
①10岁之前,同龄的女生的平均身高一般会略高于男生的平均身高;
②10~12岁之间,女生达到生长速度峰值段,身高可能超过同龄男生;
③7~15岁期间,男生的平均身高始终高于女生的平均身高;
④13~15岁男生身高出现生长速度峰值段,男女生身高差距可能逐渐加大.
以上结论正确的是 ( )
A.①③ B.②③ C.②④ D.③④
6.如图M3-3是某几何体的三视图,根据图中的数据,求得该几何体的体积为 ( )
图M3-3
A.175π+450 B.700π+450
C.700π+1500 D.250π+1050
7.已知关于x,y的二元一次方程组x-y=a+3,2x+y=5a的解满足x>y,且关于x的不等式组2x+1<2a,2x-114≥37无解,那么所有符合条件的整数a的个数为 ( )
A.6个 B.7个 C.8个 D.9个
8.以下四个命题:
①如果三角形的三个内角的度数比是3∶4∶5,那么这个三角形是直角三角形;
②在实数-7.5,15,4,3-27,-π,(2)2中,有4个有理数,2个无理数;
③有一个圆锥,与底面圆直径是3且体积为3π2的圆柱等高,如果这个圆锥的侧面展开图是半圆,那么它的母线长为43;
④二次函数y=ax2-2ax+1,自变量的两个值x1,x2对应的函数值分别为y1,y2,若|x1-1|>|x2-1|,则a(y1-y2)>0.
其中正确的命题的个数为 ( )
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
9.如图M3-4,在平面直角坐标系中,四边形ABCD是平行四边形,A(-1,3),B(1,1),C(5,1).规定“把▱ABCD先沿x轴翻折,再向左平移1个单位”为一次变换.如此这样,连续经过2018次变换后,▱ABCD的顶点D的坐标变为 ( )
A.(-2015,3) B.(-2015,-3)
C.(-2016,3) D.(-2016,-3)
图M3-4
图M3-5
10.如图M3-5,线段AB是☉O的直径,弦CD⊥AB,垂足为H,点M是CBD上任意一点,AH=2,CH=4,则cos∠CMD的值为 ( )
A.12 B.34 C.45 D.35
二、填空题(本大题共6小题,每小题3分,共18分)
11.分解因式:9abc-3ac2的公因式为 ,分解因式的结果为 .
12.某瓷砖厂在相同条件下抽取部分瓷砖做耐磨试验,结果如下表所示:
抽取瓷砖数n
100
300
400
600
1000
2000
3000
合格品数m
96
282
382
570
949
1906
2850
合格品频率
0.960
0.940
0.955
0.950
0.949
0.953
0.950
则这个厂生产的瓷砖是合格品的概率估计值是 .(精确到0.01)
13.有10张卡片,分别写有0~9共10个数字,将背面朝上洗匀后,任意抽出一张,那么P(抽到的数是偶数)= ,P(抽到的数字是3的整数倍)= .
图M3-6
14.如图M3-6,在正方形ABCD中,BE平分∠CBD,EF⊥BD于点F.若DE=2,则BC的长为 .
15.如图M3-7,有一个圆O和两个正六边形T1,T2.T1的6个顶点都在圆周上,T2的6条边都和圆O相切(我们称T1,T2分别为圆O的内接正六边形和外切正六边形).若设T1,T2的边长分别为a,b,圆O的半径为r,则r∶a= ;r∶b= ;正六边形T1,T2的面积比S1∶S2的值是 .
图M3-7
图M3-8
16.如图M3-8,Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC=4,D为线段AC上一动点,连接BD,过点C作CH⊥BD于H,连接AH,则AH的最小值为 .
三、解答题(本大题共8小题,满分72分)
17.(10分)(1)(5分)计算:2-1+3cos30°+|-5|-(π-2021)0;
(2)(5分)若关于x的方程2x-m=3(x-1)的解也是不等式组2x-1>3x-2,x-12-1≤x的解,求m的取值范围.
18.(6分)如图M3-9,已知AC平分∠BAD,CE⊥AB于E,CF⊥AD于F,且BC=CD.
(1)求证:△BCE≌△DCF;
(2)若AB=21,AD=9,BC=CD=10,求AC的长.
图M3-9
19.(8分)如图M3-10,要测量小山上电视塔BC的高度,在山脚下点A处测得:塔顶B的仰角为∠BAD=40°,塔底C的仰角为∠CAD=30°,AC=200米,求电视塔BC的高.(结果用含非特殊角的锐角三角函数及根式表示即可)
图M3-10
20.(8分)为积极响应“弘扬传统文化”的号召,某学校倡导全校1200名学生进行经典诗词诵背活动,并在活动之后举办经典诗词大赛.为了解本次系列活动的持续效果,学校团委在活动启动之初,随机抽取部分学生调查“一周诗词诵背数量”,根据调查结果绘制成的统计图(部分)如图M3-11所示:
图M3-11
大赛结束一个月后,再次调查这部分学生“一周诗词诵背数量”,绘制成统计表:
一周诗词诵背数量
3首
4首
5首
6首
7首
8首
人数
10
10
15
40
25
20
请根据调查的信息分析:
(1)活动启动之初学生“一周诗词诵背数量”的中位数为 ;
(2)估计大赛一个月后该校学生一周诗词诵背6首以上(含6首)的人数;
(3)选择适当的统计量,从两个不同的角度分析两次调查的相关数据,评价该校经典诗词诵背系列活动的效果.
21.(10分)如图M3-12,在平面直角坐标系中,直线l与x轴相交于点M,与y轴相交于点N,Rt△MON的外心为点A32,-2,反比例函数y=kx(x>0)的图象过点A.
(1)求直线l的解析式;
(2)在函数y=kx(x>0)的图象上取异于点A的一点B,作BC⊥x轴于点C,连接OB交直线l于点P,若△ONP的面积是△OBC面积的3倍,求点P的坐标.
图M3-12
22.(8分)为了防控新冠肺炎,某校积极进行校园环境消毒,第一次购买甲、乙两种消毒液分别用了240元和540元,每瓶乙种消毒液的价格是每瓶甲种消毒液价格的32,购买的乙种消毒液比甲种消毒液多20瓶.
(1)求甲、乙两种消毒液每瓶各多少元?
(2)该校准备再次购买这两种消毒液,使再次购买的乙种消毒液瓶数是甲种消毒液瓶数的一半,且再次购买的费用不多于1050元,求甲种消毒液最多能再购买多少瓶?
23.(10分)如图M3-13,△ABC中,AB=AC,以AB为直径的☉O交BC于点D,交AC于点E,过点D作FG⊥AC于点F,交AB的延长线于点G.
(1)求证:FG是☉O的切线;
(2)若tanC=2,求GBGA的值.
图M3-13
24.(12分)如图M3-14,一次函数y=kx+2的图象分别交y轴,x轴于A,B两点,且tan∠ABO=12,抛物线y=-x2+bx+c经过A,B两点.
(1)求k的值及抛物线的解析式.
(2)直线x=t在第一象限交直线AB于点M,交抛物线于点N,当t取何值时,线段MN的长有最大值?最大值是多少?
(3)在(2)的情况下,以A,M,N,D为顶点作平行四边形,求第四个顶点D的坐标,并直接写出所有平行四边形的面积,判断面积是否都相等.
图M3-14
【参考答案】
1.C
2.B
3.A [解析] 如图所示,∵四边形ABCD是菱形,菱形的周长为8 cm,∴AB=BC=CD=DA=2 cm,
∵AE=1 cm,AE⊥BC,∴该菱形的面积=BC·AE=2×1=2(cm2),故选A.
4.B [解析] A.由抛物线知-m<0,即m>0,n>0,所以mn>0,则双曲线y=mnx应该位于第一、三象限,故本选项错误;
B.由抛物线知-m>0,即m<0,n<0,所以mn>0,则双曲线y=mnx位于第一、三象限,故本选项正确;
C.由抛物线知-m<0,即m>0,n<0,所以mn<0,则双曲线y=mnx应该位于第二、四象限,故本选项错误;
D.由抛物线知-m>0,即m<0,n<0,所以mn>0,则双曲线y=mnx应该位于第一、三象限,故本选项错误.故选:B.
5.C [解析] ①10岁之前,同龄的女生的平均身高与男生的平均身高基本相同,故该说法错误;
②10~12岁之间,女生达到生长速度峰值段,身高可能超过同龄男生,故该说法正确;
③7~15岁期间,男生的平均身高不一定高于女生的平均身高,如11岁的男生的平均身高低于女生的平均身高,故该说法错误;
④13~15岁男生身高出现生长速度峰值段,男女生身高差距可能逐渐加大,故该说法正确.
故选:C.
6.A [解析] 观察三视图发现该几何体为圆柱和长方体的组合体,圆柱的底面半径为5,高为7,长方体的长为15,宽为10,高为3,该几何体的体积为:15×10×3+π×5×5×7=450+175π.
7.B [解析] 解方程组x-y=a+3,2x+y=5a,得:x=2a+1,y=a-2,
∵关于x,y的二元一次方程组x-y=a+3,2x+y=5a的解满足x>y,∴2a+1>a-2,解得:a>-3.
2x+1<2a①,2x-114≥37②,解不等式①得:x
即-3
②在实数-7.5,15,4,3-27=-3,-π,(2)2=2中,有4个有理数,2个无理数,是真命题;
③设圆锥的高为h,底面半径为r,母线长为R,根据题意得2π·r=180·π·R180,则R∶r=2∶1.
由π·322h=3π2得到h=233.所以h2+r2=R2,即2332+14R2=R2,则R=43(负值舍去),
即它的母线长是43,是真命题;
④二次函数y=ax2-2ax+1图象的对称轴是直线x=1,若a<0时,如图:
∵|x1-1|>|x2-1|,
∴y1
∴a(y1-y2)>0.当a>0时,同理可证a(y1-y2)>0,是真命题.
综上所述,正确的命题的个数为3个.故选:C.
9.A [解析]∵四边形ABCD是平行四边形,A(-1,3),B(1,1),C(5,1),∴D(3,3),
把▱ABCD先沿x轴翻折,再向左平移1个单位后,D点坐标为(2,-3),
观察,发现规律:D0(3,3),D1(2,-3),D2(1,3),D3(0,-3),D4(-1,3),…,∴D2018(-2015,3).
故选A.
10.D [解析]连接OC,
由线段AB是☉O的直径,弦CD⊥AB,AH=2,CH=4,可得∠CMD=∠AOC,
在Rt△OCH中,设OC为x,可得:x2=42+(x-2)2,解得x=5,∴cos∠AOC=OHOC=5-25=35,
∵∠CMD=∠AOC,∴cos∠CMD=35,故选D.
11.3ac 3ac(3b-c)
12.0.95
13.12 25
14.2+1 [解析] ∵四边形ABCD为正方形,
∴∠C=90°,∠CDB=45°,BC=CD.
∴EC⊥CB.又∵BE平分∠CBD,EF⊥BD,
∴EC=EF.
∵∠CDB=45°,EF⊥BD,
∴△DEF为等腰直角三角形.
∵DE=2,
∴EF=1.∴EC=1.
∴BC=CD=DE+EC=2+1.
15.1∶1 3∶2 3∶4 [解析] 连接OE,OG,OF,∵EF=a,且正六边形T1,
∴△OEF为等边三角形,OE为圆O的半径r,∴a∶r=1∶1.
由题意可知OG为∠FOE的平分线,即∠EOG=12∠EOF=30°,
在Rt△OEG中,OE=r,OG=b,∵OEOG=rb=cos∠EOG=cos30°,即rb=32,
∵r∶a=1∶1①,r∶b=3∶2②,
∴由①②得,a∶b=3∶2,且两个正六边形T1,T2相似,
∴S1∶S2=a2∶b2=3∶4.
故答案为:r∶a=1∶1,r∶b=3∶2,S1∶S2=3∶4.
16.25-2 [解析]如图,取BC中点G,连接HG,AG,
∵CH⊥DB,点G是BC中点,
∴HG=CG=BG=12BC=2,
在Rt△ACG中,AG=AC2+CG2=25,∵AH≥AG-HG,∴当点H在线段AG上时,AH最小,最小值为25-2,故答案为25-2.
17.解:(1)原式=12+3×32+5-1=12+32+5-1=6.
(2)不等式组解得:-3≤x<1,
方程去括号得:2x-m=3x-3,
解得:x=3-m,
可得:-3≤3-m<1,
解得:2
∴∠CFD=90°,∠CEB=90°,CE=CF,
∵BC=CD,∴Rt△BCE≌Rt△DCF.
(2)由(1)得,Rt△BCE≌Rt△DCF,
∴DF=EB,设DF=EB=x,
∵∠CFD=90°,∠CEB=90°,CE=CF,AC=AC,
∴Rt△AFC≌Rt△AEC(HL),
∴AF=AE,即AD+DF=AB-BE,
∵AB=21,AD=9,DF=EB=x,
∴9+x=21-x,
解得x=6,
在Rt△DCF中,∵DF=6,CD=10,
∴CF=8,
∴Rt△AFC中,AC2=CF2+AF2=82+(9+6)2=289,
∴AC=17.
19.解:在Rt△ADC中,∠ADC=90°,∠CAD=30°,AC=200.
∴CD=100,
∴AD=AC·cos∠CAD=200×32=1003,
在Rt△ADB中,∠ADB=90°,∠BAD=40°,AD=1003,
∴BD=AD·tan∠BAD=1003tan40°,
∴BC=BD-CD=(1003tan40°-100)米.
20.解:(1)4.5首
(2)1200×40+25+20120=850(人).
答:大赛一个月后该校学生一周诗词诵背6首以上(含6首)的人数大约为850人.
(3)①中位数:启动之初,“一周诗词诵背数量”的中位数为4.5首;大赛后,“一周诗词诵背数量”的中位数为6首.
②平均数:启动之初,易得样本中数量为4首的有45人,x=1120(3×15+4×45+5×20+6×16+7×13+8×11)=5(首).
大赛后,x'=1120(3×10+4×10+5×15+6×40+7×25+8×20)=6(首).
综上分析,从中位数、平均数可看出,学生在大赛之后“一周诗词诵背数量”都好于启动之初.根据样本估计总体,该校大赛之后“一周诗词诵背数量”好于启动之初,说明活动效果明显.
21.解:(1)∵点A为Rt△MON的外心,
∴点A为MN的中点,
∵点A的坐标为32,-2,
∴M(3,0),N(0,-4).
设直线l的解析式为y=ax+b,
∵直线l经过点M,N,
∴3a+b=0,b=-4,解得a=43,b=-4,
∴直线l的解析式为y=43x-4.
(2)将A32,-2代入y=kx得k=-3,
∵点B在y=-3x(x>0)的图象上,BC⊥x轴,
∴S△OBC=12OC·BC=12|xB|·|yB|=32,
∴S△ONP=3S△OBC=92,
即12ON·|xP|=92,
又∵点P在第四象限,
∴xP=94,
在直线y=43x-4中,当x=94时,y=-1,
∴点P的坐标为94,-1.
22.解:(1)设甲种消毒液每瓶x元,则乙种消毒液每瓶32x元,
根据题意得,240x=54032x-20,
解得:x=6,
经检验:x=6是原方程的解,32×6=9,
答:甲种消毒液每瓶6元,乙种消毒液每瓶9元.
(2)设甲种消毒液再购买m瓶,
根据题意得,6m+9×12m≤1050,解得:m≤100,
答:甲种消毒液最多能再购买100瓶.
23.解:(1)证明:连接AD,OD.
∵AB是☉O的直径,
∴∠ADB=90°,即AD⊥BC,
∵AC=AB,∴CD=BD,
∵OA=OB,∴OD∥AC,
∵DF⊥AC,∴OD⊥DF,
∴FG是☉O的切线.
(2)∵tanC=ADCD=2,BD=CD,∴BD∶AD=1∶2,
∵∠GDB+∠ODB=90°,∠ADO+∠ODB=90°,
∴∠ADO=∠GDB.
∵OA=OD,∴∠OAD=∠ODA,∴∠GDB=∠GAD,
∵∠G=∠G,∴△GDB∽△GAD.∴BDAD=BGGD=DGGA=12,设BG=a.
∴DG=2a,AG=4a,
∴BG∶GA=1∶4.
24.解:(1)∵一次函数y=kx+2的图象与y轴交于点A,
∴当x=0时,y=2,∴OA=2.
在Rt△AOB中,tan∠ABO=OAOB=2OB=12,
∴OB=4,∴B(4,0).
把B(4,0)的坐标代入y=kx+2中,得k=-12.
把A(0,2),B(4,0)的坐标代入y=-x2+bx+c中,
得c=2,0=-16+4b+c,解得b=72,c=2,
∴抛物线的解析式为y=-x2+72x+2.
(2)由已知得Mt,-12t+2,Nt,-t2+72t+2,
∴MN=-t2+72t+2--12t+2=-t2+4t=-(t-2)2+4,
∴当t=2时,MN有最大值4.
(3)由(2)知M(2,1),N(2,5),MN=4.
当四边形AMND为平行四边形时,AD?MN,可得点D的坐标为(0,6);
当四边形ANMD为平行四边形时,AD?MN,可得点D的坐标为(0,-2);
当四边形AMDN为平行四边形时,设点D的坐标为(x,y),
则x2=2,y+22=1+52,解得x=4,y=4,
故此时点D的坐标为(4,4).
又S△AMN=12×4×2=4,
∴S▱AMND=S▱ANMD=S▱AMDN=2S△AMN=8,它们的面积相等.
2021年呼和浩特模拟试卷(三)
(考试时间:120分钟 试卷满分:120分)
题 号
一
二
三
总分
总分人
核分人
得 分
一、选择题(本大题共10小题,每小题3分,共30分)
1.检查四个篮球的质量,把超过标准质量的克数记为正数,不足标准质量的克数记为负数,检查的结果如下表:
篮球编号
1号
2号
3号
4号
与标准质量的差(g)
+4
+7
-3
-8
其中最接近标准质量的球是 ( )
A.1号 B.2号 C.3号 D.4号
2.下列计算正确的是 ( )
A.3a-a=2 B.a2+2a2=3a2
C.a4·a3=a6 D.(a+b)2=a2+b2
3.已知某菱形的周长为8 cm,高为1 cm,则该菱形的面积为 ( )
A.2 cm2 B.4 cm2 C.6 cm2 D.8 cm2
4.已知m≠0,函数y=-mx2+n与y=mnx在同一直角坐标系中的大致图象可能是 ( )
图M3-1
5.中小学时期是学生身心变化最为明显的时期,这个时期孩子们的身高变化呈现一定的趋势,7~15岁期间孩子们会经历一个身高发育较迅速的阶段,我们把这个年龄阶段叫做生长速度峰值段,小明通过上网查阅《2016年某市儿童体格发育调查表》,了解某市男女生7~15岁身高平均值记录情况,并绘制了如下统计图,得出以下结论:
图M3-2
①10岁之前,同龄的女生的平均身高一般会略高于男生的平均身高;
②10~12岁之间,女生达到生长速度峰值段,身高可能超过同龄男生;
③7~15岁期间,男生的平均身高始终高于女生的平均身高;
④13~15岁男生身高出现生长速度峰值段,男女生身高差距可能逐渐加大.
以上结论正确的是 ( )
A.①③ B.②③ C.②④ D.③④
6.如图M3-3是某几何体的三视图,根据图中的数据,求得该几何体的体积为 ( )
图M3-3
A.175π+450 B.700π+450
C.700π+1500 D.250π+1050
7.已知关于x,y的二元一次方程组x-y=a+3,2x+y=5a的解满足x>y,且关于x的不等式组2x+1<2a,2x-114≥37无解,那么所有符合条件的整数a的个数为 ( )
A.6个 B.7个 C.8个 D.9个
8.以下四个命题:
①如果三角形的三个内角的度数比是3∶4∶5,那么这个三角形是直角三角形;
②在实数-7.5,15,4,3-27,-π,(2)2中,有4个有理数,2个无理数;
③有一个圆锥,与底面圆直径是3且体积为3π2的圆柱等高,如果这个圆锥的侧面展开图是半圆,那么它的母线长为43;
④二次函数y=ax2-2ax+1,自变量的两个值x1,x2对应的函数值分别为y1,y2,若|x1-1|>|x2-1|,则a(y1-y2)>0.
其中正确的命题的个数为 ( )
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
9.如图M3-4,在平面直角坐标系中,四边形ABCD是平行四边形,A(-1,3),B(1,1),C(5,1).规定“把▱ABCD先沿x轴翻折,再向左平移1个单位”为一次变换.如此这样,连续经过2018次变换后,▱ABCD的顶点D的坐标变为 ( )
A.(-2015,3) B.(-2015,-3)
C.(-2016,3) D.(-2016,-3)
图M3-4
图M3-5
10.如图M3-5,线段AB是☉O的直径,弦CD⊥AB,垂足为H,点M是CBD上任意一点,AH=2,CH=4,则cos∠CMD的值为 ( )
A.12 B.34 C.45 D.35
二、填空题(本大题共6小题,每小题3分,共18分)
11.分解因式:9abc-3ac2的公因式为 ,分解因式的结果为 .
12.某瓷砖厂在相同条件下抽取部分瓷砖做耐磨试验,结果如下表所示:
抽取瓷砖数n
100
300
400
600
1000
2000
3000
合格品数m
96
282
382
570
949
1906
2850
合格品频率
0.960
0.940
0.955
0.950
0.949
0.953
0.950
则这个厂生产的瓷砖是合格品的概率估计值是 .(精确到0.01)
13.有10张卡片,分别写有0~9共10个数字,将背面朝上洗匀后,任意抽出一张,那么P(抽到的数是偶数)= ,P(抽到的数字是3的整数倍)= .
图M3-6
14.如图M3-6,在正方形ABCD中,BE平分∠CBD,EF⊥BD于点F.若DE=2,则BC的长为 .
15.如图M3-7,有一个圆O和两个正六边形T1,T2.T1的6个顶点都在圆周上,T2的6条边都和圆O相切(我们称T1,T2分别为圆O的内接正六边形和外切正六边形).若设T1,T2的边长分别为a,b,圆O的半径为r,则r∶a= ;r∶b= ;正六边形T1,T2的面积比S1∶S2的值是 .
图M3-7
图M3-8
16.如图M3-8,Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC=4,D为线段AC上一动点,连接BD,过点C作CH⊥BD于H,连接AH,则AH的最小值为 .
三、解答题(本大题共8小题,满分72分)
17.(10分)(1)(5分)计算:2-1+3cos30°+|-5|-(π-2021)0;
(2)(5分)若关于x的方程2x-m=3(x-1)的解也是不等式组2x-1>3x-2,x-12-1≤x的解,求m的取值范围.
18.(6分)如图M3-9,已知AC平分∠BAD,CE⊥AB于E,CF⊥AD于F,且BC=CD.
(1)求证:△BCE≌△DCF;
(2)若AB=21,AD=9,BC=CD=10,求AC的长.
图M3-9
19.(8分)如图M3-10,要测量小山上电视塔BC的高度,在山脚下点A处测得:塔顶B的仰角为∠BAD=40°,塔底C的仰角为∠CAD=30°,AC=200米,求电视塔BC的高.(结果用含非特殊角的锐角三角函数及根式表示即可)
图M3-10
20.(8分)为积极响应“弘扬传统文化”的号召,某学校倡导全校1200名学生进行经典诗词诵背活动,并在活动之后举办经典诗词大赛.为了解本次系列活动的持续效果,学校团委在活动启动之初,随机抽取部分学生调查“一周诗词诵背数量”,根据调查结果绘制成的统计图(部分)如图M3-11所示:
图M3-11
大赛结束一个月后,再次调查这部分学生“一周诗词诵背数量”,绘制成统计表:
一周诗词诵背数量
3首
4首
5首
6首
7首
8首
人数
10
10
15
40
25
20
请根据调查的信息分析:
(1)活动启动之初学生“一周诗词诵背数量”的中位数为 ;
(2)估计大赛一个月后该校学生一周诗词诵背6首以上(含6首)的人数;
(3)选择适当的统计量,从两个不同的角度分析两次调查的相关数据,评价该校经典诗词诵背系列活动的效果.
21.(10分)如图M3-12,在平面直角坐标系中,直线l与x轴相交于点M,与y轴相交于点N,Rt△MON的外心为点A32,-2,反比例函数y=kx(x>0)的图象过点A.
(1)求直线l的解析式;
(2)在函数y=kx(x>0)的图象上取异于点A的一点B,作BC⊥x轴于点C,连接OB交直线l于点P,若△ONP的面积是△OBC面积的3倍,求点P的坐标.
图M3-12
22.(8分)为了防控新冠肺炎,某校积极进行校园环境消毒,第一次购买甲、乙两种消毒液分别用了240元和540元,每瓶乙种消毒液的价格是每瓶甲种消毒液价格的32,购买的乙种消毒液比甲种消毒液多20瓶.
(1)求甲、乙两种消毒液每瓶各多少元?
(2)该校准备再次购买这两种消毒液,使再次购买的乙种消毒液瓶数是甲种消毒液瓶数的一半,且再次购买的费用不多于1050元,求甲种消毒液最多能再购买多少瓶?
23.(10分)如图M3-13,△ABC中,AB=AC,以AB为直径的☉O交BC于点D,交AC于点E,过点D作FG⊥AC于点F,交AB的延长线于点G.
(1)求证:FG是☉O的切线;
(2)若tanC=2,求GBGA的值.
图M3-13
24.(12分)如图M3-14,一次函数y=kx+2的图象分别交y轴,x轴于A,B两点,且tan∠ABO=12,抛物线y=-x2+bx+c经过A,B两点.
(1)求k的值及抛物线的解析式.
(2)直线x=t在第一象限交直线AB于点M,交抛物线于点N,当t取何值时,线段MN的长有最大值?最大值是多少?
(3)在(2)的情况下,以A,M,N,D为顶点作平行四边形,求第四个顶点D的坐标,并直接写出所有平行四边形的面积,判断面积是否都相等.
图M3-14
【参考答案】
1.C
2.B
3.A [解析] 如图所示,∵四边形ABCD是菱形,菱形的周长为8 cm,∴AB=BC=CD=DA=2 cm,
∵AE=1 cm,AE⊥BC,∴该菱形的面积=BC·AE=2×1=2(cm2),故选A.
4.B [解析] A.由抛物线知-m<0,即m>0,n>0,所以mn>0,则双曲线y=mnx应该位于第一、三象限,故本选项错误;
B.由抛物线知-m>0,即m<0,n<0,所以mn>0,则双曲线y=mnx位于第一、三象限,故本选项正确;
C.由抛物线知-m<0,即m>0,n<0,所以mn<0,则双曲线y=mnx应该位于第二、四象限,故本选项错误;
D.由抛物线知-m>0,即m<0,n<0,所以mn>0,则双曲线y=mnx应该位于第一、三象限,故本选项错误.故选:B.
5.C [解析] ①10岁之前,同龄的女生的平均身高与男生的平均身高基本相同,故该说法错误;
②10~12岁之间,女生达到生长速度峰值段,身高可能超过同龄男生,故该说法正确;
③7~15岁期间,男生的平均身高不一定高于女生的平均身高,如11岁的男生的平均身高低于女生的平均身高,故该说法错误;
④13~15岁男生身高出现生长速度峰值段,男女生身高差距可能逐渐加大,故该说法正确.
故选:C.
6.A [解析] 观察三视图发现该几何体为圆柱和长方体的组合体,圆柱的底面半径为5,高为7,长方体的长为15,宽为10,高为3,该几何体的体积为:15×10×3+π×5×5×7=450+175π.
7.B [解析] 解方程组x-y=a+3,2x+y=5a,得:x=2a+1,y=a-2,
∵关于x,y的二元一次方程组x-y=a+3,2x+y=5a的解满足x>y,∴2a+1>a-2,解得:a>-3.
2x+1<2a①,2x-114≥37②,解不等式①得:x
即-3
②在实数-7.5,15,4,3-27=-3,-π,(2)2=2中,有4个有理数,2个无理数,是真命题;
③设圆锥的高为h,底面半径为r,母线长为R,根据题意得2π·r=180·π·R180,则R∶r=2∶1.
由π·322h=3π2得到h=233.所以h2+r2=R2,即2332+14R2=R2,则R=43(负值舍去),
即它的母线长是43,是真命题;
④二次函数y=ax2-2ax+1图象的对称轴是直线x=1,若a<0时,如图:
∵|x1-1|>|x2-1|,
∴y1
∴a(y1-y2)>0.当a>0时,同理可证a(y1-y2)>0,是真命题.
综上所述,正确的命题的个数为3个.故选:C.
9.A [解析]∵四边形ABCD是平行四边形,A(-1,3),B(1,1),C(5,1),∴D(3,3),
把▱ABCD先沿x轴翻折,再向左平移1个单位后,D点坐标为(2,-3),
观察,发现规律:D0(3,3),D1(2,-3),D2(1,3),D3(0,-3),D4(-1,3),…,∴D2018(-2015,3).
故选A.
10.D [解析]连接OC,
由线段AB是☉O的直径,弦CD⊥AB,AH=2,CH=4,可得∠CMD=∠AOC,
在Rt△OCH中,设OC为x,可得:x2=42+(x-2)2,解得x=5,∴cos∠AOC=OHOC=5-25=35,
∵∠CMD=∠AOC,∴cos∠CMD=35,故选D.
11.3ac 3ac(3b-c)
12.0.95
13.12 25
14.2+1 [解析] ∵四边形ABCD为正方形,
∴∠C=90°,∠CDB=45°,BC=CD.
∴EC⊥CB.又∵BE平分∠CBD,EF⊥BD,
∴EC=EF.
∵∠CDB=45°,EF⊥BD,
∴△DEF为等腰直角三角形.
∵DE=2,
∴EF=1.∴EC=1.
∴BC=CD=DE+EC=2+1.
15.1∶1 3∶2 3∶4 [解析] 连接OE,OG,OF,∵EF=a,且正六边形T1,
∴△OEF为等边三角形,OE为圆O的半径r,∴a∶r=1∶1.
由题意可知OG为∠FOE的平分线,即∠EOG=12∠EOF=30°,
在Rt△OEG中,OE=r,OG=b,∵OEOG=rb=cos∠EOG=cos30°,即rb=32,
∵r∶a=1∶1①,r∶b=3∶2②,
∴由①②得,a∶b=3∶2,且两个正六边形T1,T2相似,
∴S1∶S2=a2∶b2=3∶4.
故答案为:r∶a=1∶1,r∶b=3∶2,S1∶S2=3∶4.
16.25-2 [解析]如图,取BC中点G,连接HG,AG,
∵CH⊥DB,点G是BC中点,
∴HG=CG=BG=12BC=2,
在Rt△ACG中,AG=AC2+CG2=25,∵AH≥AG-HG,∴当点H在线段AG上时,AH最小,最小值为25-2,故答案为25-2.
17.解:(1)原式=12+3×32+5-1=12+32+5-1=6.
(2)不等式组解得:-3≤x<1,
方程去括号得:2x-m=3x-3,
解得:x=3-m,
可得:-3≤3-m<1,
解得:2
∴∠CFD=90°,∠CEB=90°,CE=CF,
∵BC=CD,∴Rt△BCE≌Rt△DCF.
(2)由(1)得,Rt△BCE≌Rt△DCF,
∴DF=EB,设DF=EB=x,
∵∠CFD=90°,∠CEB=90°,CE=CF,AC=AC,
∴Rt△AFC≌Rt△AEC(HL),
∴AF=AE,即AD+DF=AB-BE,
∵AB=21,AD=9,DF=EB=x,
∴9+x=21-x,
解得x=6,
在Rt△DCF中,∵DF=6,CD=10,
∴CF=8,
∴Rt△AFC中,AC2=CF2+AF2=82+(9+6)2=289,
∴AC=17.
19.解:在Rt△ADC中,∠ADC=90°,∠CAD=30°,AC=200.
∴CD=100,
∴AD=AC·cos∠CAD=200×32=1003,
在Rt△ADB中,∠ADB=90°,∠BAD=40°,AD=1003,
∴BD=AD·tan∠BAD=1003tan40°,
∴BC=BD-CD=(1003tan40°-100)米.
20.解:(1)4.5首
(2)1200×40+25+20120=850(人).
答:大赛一个月后该校学生一周诗词诵背6首以上(含6首)的人数大约为850人.
(3)①中位数:启动之初,“一周诗词诵背数量”的中位数为4.5首;大赛后,“一周诗词诵背数量”的中位数为6首.
②平均数:启动之初,易得样本中数量为4首的有45人,x=1120(3×15+4×45+5×20+6×16+7×13+8×11)=5(首).
大赛后,x'=1120(3×10+4×10+5×15+6×40+7×25+8×20)=6(首).
综上分析,从中位数、平均数可看出,学生在大赛之后“一周诗词诵背数量”都好于启动之初.根据样本估计总体,该校大赛之后“一周诗词诵背数量”好于启动之初,说明活动效果明显.
21.解:(1)∵点A为Rt△MON的外心,
∴点A为MN的中点,
∵点A的坐标为32,-2,
∴M(3,0),N(0,-4).
设直线l的解析式为y=ax+b,
∵直线l经过点M,N,
∴3a+b=0,b=-4,解得a=43,b=-4,
∴直线l的解析式为y=43x-4.
(2)将A32,-2代入y=kx得k=-3,
∵点B在y=-3x(x>0)的图象上,BC⊥x轴,
∴S△OBC=12OC·BC=12|xB|·|yB|=32,
∴S△ONP=3S△OBC=92,
即12ON·|xP|=92,
又∵点P在第四象限,
∴xP=94,
在直线y=43x-4中,当x=94时,y=-1,
∴点P的坐标为94,-1.
22.解:(1)设甲种消毒液每瓶x元,则乙种消毒液每瓶32x元,
根据题意得,240x=54032x-20,
解得:x=6,
经检验:x=6是原方程的解,32×6=9,
答:甲种消毒液每瓶6元,乙种消毒液每瓶9元.
(2)设甲种消毒液再购买m瓶,
根据题意得,6m+9×12m≤1050,解得:m≤100,
答:甲种消毒液最多能再购买100瓶.
23.解:(1)证明:连接AD,OD.
∵AB是☉O的直径,
∴∠ADB=90°,即AD⊥BC,
∵AC=AB,∴CD=BD,
∵OA=OB,∴OD∥AC,
∵DF⊥AC,∴OD⊥DF,
∴FG是☉O的切线.
(2)∵tanC=ADCD=2,BD=CD,∴BD∶AD=1∶2,
∵∠GDB+∠ODB=90°,∠ADO+∠ODB=90°,
∴∠ADO=∠GDB.
∵OA=OD,∴∠OAD=∠ODA,∴∠GDB=∠GAD,
∵∠G=∠G,∴△GDB∽△GAD.∴BDAD=BGGD=DGGA=12,设BG=a.
∴DG=2a,AG=4a,
∴BG∶GA=1∶4.
24.解:(1)∵一次函数y=kx+2的图象与y轴交于点A,
∴当x=0时,y=2,∴OA=2.
在Rt△AOB中,tan∠ABO=OAOB=2OB=12,
∴OB=4,∴B(4,0).
把B(4,0)的坐标代入y=kx+2中,得k=-12.
把A(0,2),B(4,0)的坐标代入y=-x2+bx+c中,
得c=2,0=-16+4b+c,解得b=72,c=2,
∴抛物线的解析式为y=-x2+72x+2.
(2)由已知得Mt,-12t+2,Nt,-t2+72t+2,
∴MN=-t2+72t+2--12t+2=-t2+4t=-(t-2)2+4,
∴当t=2时,MN有最大值4.
(3)由(2)知M(2,1),N(2,5),MN=4.
当四边形AMND为平行四边形时,AD?MN,可得点D的坐标为(0,6);
当四边形ANMD为平行四边形时,AD?MN,可得点D的坐标为(0,-2);
当四边形AMDN为平行四边形时,设点D的坐标为(x,y),
则x2=2,y+22=1+52,解得x=4,y=4,
故此时点D的坐标为(4,4).
又S△AMN=12×4×2=4,
∴S▱AMND=S▱ANMD=S▱AMDN=2S△AMN=8,它们的面积相等.
