2023年福建省莆田市涵江区霞林学校中考数学一模试卷（含解析）

这是一份2023年福建省莆田市涵江区霞林学校中考数学一模试卷（含解析），共22页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1. 5的倒数是( )
A. 5B. −5C. 15D. −15
2. 下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是( )
A. B. C. D.
3. 每年10月16日为世界粮食日，它告诫人们要珍惜每一粒粮食．已知一粒米的重量约0.000021千克，将数据0.000021用科学记数法表示为( )
A. 0.21×10−4B. 2.1×10−4C. 2.1×10−5D. 21×10−6
4. 下列各式计算正确的是( )
A. 9=±3B. a4+a3=a7C. (x2)6=x12D. x3⋅x3=x9
5. 如图，直线a//b，点B在直线a上，AB⊥BC，若∠1=40°，则∠2的度数为( )
A. 40°B. 50°C. 80°D. 140°
6. 小红在班上做节水意识调查，收集了班上7位同学家里上个月的用水量(单位：吨)如下：5，5，6，7，8，9，10.她发现，若去掉其中两个数据后，这组数据的中位数、众数保持不变，则去掉的两个数可能是( )
A. 5，10B. 5，9C. 6，8D. 7，8
7. 如图，AB是半圆的直径，C、D是半圆上的两点，∠ADC=106°，则∠CAB等于( )
A. 10°
B. 14°
C. 16°
D. 26°
8. 已知二次函数y=ax2+bx+c的部分y与x的值如表：
根据表格可知，一元二次方程ax2+bx+c=0的解是( )
A. x1=−2，x2=5B. x1=−2，x2=5.5
C. x1=−2，x2=6D. x1=−2，x2=7
9. 某厂计划加工120万个医用口罩，按原计划的速度生产6天后，疫情期间因为任务需要，生产速度提高到原来的1.5倍，结果比原计划提前3天完成任务.若设原计划每天生产x万个口罩，则可列方程为( )
A. 120x=1201.5x+3B. 120x=1201.5x−3
C. 120−6xx=120−6x1.5x+3D. 120−6xx=120−6x1.5x−3
10. 一辆快车和一辆慢车将一批物资从甲地运往乙地，其中快车送达后立即沿原路返回，且往返速度的大小不变，两车离甲地的距离y(单位：km)与慢车行驶时间t(单位：h)的函数关系如图，则两车先后两次相遇的间隔时间是( )
A. 53hB. 32hC. 75hD. 43h
二、填空题（本大题共6小题，共24.0分）
11. 若 x+3在实数范围内有意义，则x的取值范围是 ．
12. 把多项式3x2−12分解因式______ ．
13. 如图，已知等腰三角形ABC，AB=AC，∠A=40°，若以点B为圆心，BC长为半径画弧，交腰AC于点E，则∠ABE= °.
14. 若扇形的半径长为3，圆心角为60°，则该扇形的弧长为______．
15. 如图，在由10个完全相同的正三角形构成的网格图中，∠α、∠β如图所示，则sin(α+β)=______．
16. 如图，平行四边形ABCD的顶点A在x轴上，点D在y=kx(k>0)上，且AD⊥x轴，CA的延长线交y轴于点E.若S△ABE=32，则k=______．
三、解答题（本大题共9小题，共86.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17. (本小题8.0分)
计算：(−12)0+|1− 2|−2sin60°．
18. (本小题8.0分)
如图，在△ABC和△DCB中，BA⊥CA于A，CD⊥BD于D，BD相交于点O，OB=OC，求证：△ABC∽△DCB．
19. (本小题8.0分)
先化简，再求值：xx2−1÷(1+1x−1)，其中x= 5−1．
20. (本小题8.0分)
如图，测绘飞机在同一高度沿直线BC由B向C飞行，且飞行路线经过观测目标A的正上方.在第一观测点B处测得目标A的俯角为60°，航行1000米后在第二观测点C处测得目标A的俯角为75°．

(1)求∠A的度数；
(2)求第二观测点C与目标A之间的距离．
21. (本小题8.0分)
某学校为了解全校学生对电视节目(新闻、体育、动画、娱乐、戏曲)的喜爱情况、从全校学生中随机抽取部分学生进行问卷调查，并把调查结果绘制成两幅不完整的统计图．

请根据以上信息，解答下列问题：
(1)求这次被调查的学生共有多少名，并将条形统计图补充完整．
(2)该校宣传部需要宣传干事，现决定从喜欢新闻节目的甲、乙、丙、丁四名同学中选取2名，用树状图或列表法求恰好选中甲、乙两位同学的概率．
22. (本小题10.0分)
如图，在△ABC中，∠C=90°．
(1)以AC边上一点O为圆心作⊙O，使得⊙O经过点C，且与AB边相切于点D；(尺规作图，保留作图痕迹，不写作法)
(2)在(1)的条件下，若AC=3，BC=4，求⊙O的半径．
23. (本小题10.0分)
跳台滑雪运动可分为助滑、起跳、飞行和落地四个阶段，运动员起跳后飞行的路线是抛物线的一部分(如图中实线部分所示)，落地点在着陆坡(如图中虚线部分所示)上，着陆坡上的基准点K为飞行距离计分的参照点，落地点超过K点越远，飞行距离分越高.2022年北京冬奥会跳台滑雪标准台的起跳台的高度OA为66m，基准点K到起跳台的水平距离为75m，高度为21m.设运动员从起跳点A起跳后的高度y(m)与水平距离x(m)之间的函数关系为y=ax2+bx+c(a≠0)．

(1)若a=−150时，运动员落地点要超过K点，求b的取值范围为多少？
(2)若运动员飞行的水平距离为25m时，恰好达到最大高度76m，试判断他的落地点能否超过K点，并说明理由．
24. (本小题12.0分)
如图，正方形ABCD中，点E在边AD上(不与端点A，D重合)，点A关于直线BE的对称点为点F，连接CF，设∠ABE=α．
(1)求∠BCF的大小(用含α的式子表示)；
(2)过点C作CG⊥直线AF，垂足为G，连接DG.判断DG与CF的位置关系，并说明理由；
(3)将△ABE绕点B顺时针旋转90°得到△CBH，点E的对应点为点H，连接BF，HF.当△BFH为等腰三角形时，求sinα的值．
25. (本小题14.0分)
抛物线y=x2−2x+m的顶点A在x轴上，与y轴交于点B．
(1)求抛物线的解析式；
(2)如图1，直线CD//AB交抛物线于C，D两点，若ABCD=13，求△COD的面积；
(3)如图2，P为抛物线对称轴上顶点下方的一点，过点P作直线交抛物线于点E，F，交x轴于点M，求PMPE+PMPF的值．
答案和解析
1.【答案】C
【解析】解：由题意得，5的倒数是15，
故选：C．
运用实数a的倒数是1a(a≠0)进行求解、辨别．
此题考查了倒数定义的应用能力，关键是能准确理解并运用以上知识．
2.【答案】B
【解析】解：A.原图是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意；
B.原图既是轴对称图形，又是中心对称图形，故此选项符合题意；
C.原图是中心对称图形，不是轴对称图形，故此选项不合题意；
D.原图是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意．
故选：B．
根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．
此题主要考查了中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与自身重合．
3.【答案】C
【解析】解：0.000021=2.1×10−5．
故选：C．
绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10−n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负整数指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10−n，其中1≤|a|21，
解得b>910；
(2)他的落地点能超过K点，理由如下：
∵运动员飞行的水平距离为25m时，恰好达到最大高度76m，
∴抛物线的顶点为(25,76)，
设抛物线解析式为y=a(x−25)2+76，
把(0,66)代入得：
66=a(0−25)2+76，
解得a=−2125，
∴抛物线解析式为y=−2125(x−25)2+76，
当x=75时，y=−2125×(75−25)2+76=36，
∵36>21，
∴他的落地点能超过K点．
【解析】(1)运动员落地点要超过K点，即是x=75时，y>21，故−150×752+75b+66>21，即可解得答案；
(2)运动员飞行的水平距离为25m时，恰好达到最大高度76m，即是抛物线的顶点为(25,76)，设抛物线解析式为y=a(x−25)2+76，可得抛物线解析式为y=−2125(x−25)2+76，当x=75时，y=36，从而可知他的落地点能超过K点．
本题考查二次函数的应用，解题的关键是读懂题意，能根据题意把实际问题转化为数学问题．
24.【答案】解：(1)如图1，连接BF，
∵点A关于直线BE的对称点为点F，
∴AB=BF，BE⊥AF，
∴∠ABE=∠EBF=α，
∴∠CBF=90°−2α，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=BC，
∴BF=BC，
∴∠BCF=180°−(90°−2α)2=45°+α；
(2)DG//CF，
理由如下：如图2，连接AC，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ACD=45°，∠ADC=90°，
∵CG⊥AF，
∴∠CGA=∠ADC=90°，
∴点A，点D，点G，点C四点共圆，
∴∠AGD=∠ACD=45°，
∵AB=BF，∠ABF=2α，
∴∠AFB=180°−2α2=90°−α，
∴∠AFC=135°，
∴∠CFG=45°=∠DGA，
∴DG//CF；
(3)∵BE>AB，
∴BH>BF，
∴BH≠BF；
如图3，当BH=FH时，过点H作HN⊥BF于N，
∵将△ABE绕点B顺时针旋转90°得到△CBH，
∴△ABE≌△CBH，∠EBH=90°=∠ABC，
∴AE=CH，BE=BH，∠ABE=∠CBH=α=∠FBE，AB=BC，
∴∠HBF=90°−α，
∵BH=FH，HN⊥BF，
∴BN=NF=12BF=12AB，∠BNH=90°=∠BAE，
∴∠BHN=α，
∴∠ABE=∠BHN，
∴△ABE≌△NHB(ASA)，
∴BN=AE=12AB，
∴BE= AE2+AB2= 5AE，
∴sinα=AEBE= 55，
当BF=FH时，
∴∠FBH=∠FHB=90°−α，
∴∠BFH=2α=∠ABF，
∴AB//FH，
即点F与点C重合，则点E与点D重合，
∵点E在边AD上(不与端点A，D重合)，
∴BF=FH不成立，
综上所述：sinα的值为 55．
【解析】(1)由轴对称的性质可得AB=BF，BE⊥AF，可求∠CBF=90°−2α，由等腰三角形的性质可求解；
(2)通过证明点A，点D，点G，点C四点共圆，可得∠AGD=∠ACD=45°，由等腰三角形的性质可得∠AFB=90°−α，可得∠CFG=45°=∠DGA，可证DG//CF；
(3)分三种情况讨论，由旋转的性质可得AE=CH，BE=BH，∠ABE=∠CBH=α=∠FBE，AB=BC，由“ASA”可证△ABE≌△NHB，可得BN=AE=12AB，即可求解．
本题是四边形综合题，正方形的性质，旋转的性质，全等三角形的判定和性质，锐角三角函数，圆的有关知识，等腰三角形的性质等知识，添加恰当辅助线构造全等三角形是解题的关键．
25.【答案】解：(1)∵抛物线y=x2−2x+m=(x−1)2+m−1的顶点A(1,m−1)在x轴上，
∴m−1=0，
∴m=1，
∴该抛物线的解析式为y=x2−2x+1；
(2)∵y=x2−2x+1=(x−1)2，
∴顶点A(1,0)，
令x=0，得y=1，
∴B(0,1)，
在Rt△AOB中，AB= OA2+OB2= 12+12= 2，
设直线AB的解析式为y=kx+b，
则k+b=0b=1，
解得：k=−1b=1，
∴直线AB的解析式为y=−x+1，
∵CD//AB，
∴设直线CD的解析式为y=−x+d，C(xC,yC)，D(xD,yD)，
则x2−2x+1=−x+d，
整理得：x2−x+1−d=0，
∴xC+xD=1，xC⋅xD=1−d，
yC=−xC+d，yD=−xD+d，
∴yC−yD=(−xC+d)−(−xD+d)=xD−xC，
∵ABCD=13，
∴CD=3AB=3 2，
∴CD2=(3 2)2=18，
∴(xC−xD)2+(yC−yD)2=18，即(xC−xD)2+(xD−xC)2=18，
∴(xC−xD)2=9，
∴(xC+xD)2−4xC⋅xD=9，即1−4(1−d)=9，
解得：d=3，
∴x2−x−2=0，
解得：x=2或−1，
∴C(2,1)，D(−1,4)，
设直线CD：y=−x+3交y轴于点K，
令x=0，则y=3，
∴K(0,3)，
∴OK=3，
∴S△COD=12OK×|xC−xD|=12×3×3=92；
(3)如图2，过点E作EG//x轴交抛物线对称轴于点G，过点F作FH//x轴交抛物线对称轴于点H，
则AM//EG//FH，
∴PMPE=AMEG，PMPF=AMFH，
设直线PM的解析式为y=kx+n，
当x=1时，y=k+n，
∴P(1,k+n)，
当y=0时，kx+n=0，
解得：x=−nk，
∴M(−nk,0)，
∴AM=|1−(−nk)|=|k+nk|，
由x2−2x+1=kx+n，
整理得：x2−(k+2)x+1−n=0，
则xE+xF=k+2，xE⋅xF=1−n，
∵EG=|xE−1|，FH=|xF−1|，
∴1EG+1FH=1|xE−1|+1|xF−1|=|xF−1|+|xE−1||(xE−1)(xF−1)|，
当k0时，点E、F、M均在对称轴直线x=1右侧，
∴EG=|xE−1|=xE−1，FH=|xF−1|=xF−1，AM=|k+nk|=−k+nk，
∴1EG+1FH=|xF−1|+|xE−1||(xE−1)(xF−1)|=xE+xF−2xE⋅xF−(xE+xF)−1=(k+2)−2(1−n)−(k+2)+1=−kk+n，
∴PMPE+PMPF=AM×(1EG+1FH)=−k+nk×(−kk+n)=1；
综上所述，PMPE+PMPF的值为1．
【解析】(1)运用待定系数法即可求得答案；
(2)运用待定系数法求得直线AB的解析式为y=−x+1，根据CD//AB，设直线CD的解析式为y=−x+d，C(xC,yC)，D(xD,yD)，联立并整理得x2−x+1−d=0，利用根与系数关系可得：xC+xD=1，xC⋅xD=1−d，yC=−xC+d，yD=−xD+d，再由ABCD=13，可得CD=3AB=3 2，建立方程求解即可得出答案；
(3)过点E作EG//x轴交抛物线对称轴于点G，过点F作FH//x轴交抛物线对称轴于点H，则AM//EG//FH，可得：PMPE=AMEG，PMPF=AMFH，设直线PM的解析式为y=kx+n，可得：P(1,k+n)，M(−nk,0)，联立并整理得：整理得：x2−(k+2)x+1−n=0，利用根与系数关系可得：xE+xF=k+2，xE⋅xF=1−n，再分两种情况：k0，分别求出PMPE+PMPF的值即可．
本题是二次函数综合题，考查了待定系数法求函数解析式，三角形面积，相似三角形的判定和性质，一元二次方程根与系数关系，勾股定理等，涉及知识点较多，难度较大，解题关键是运用根与系数关系解决问题．
x
…
−2
−1
1
2
4
…
y
…
0
n
−3
m
−3
…
A
B
C
D
A
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(B,A)
(C,A)
(D,A)
B
(A,B)
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(C,B)
(D,B)
C
(A,C)
(B,C)
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(D,C)
D
(A,D)
(B,D)
(C,D)
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