2022-2023学年福建省莆田市涵江区八年级（下）期中数学试卷（含解析）

2022-2023学年福建省莆田市涵江区八年级（下）期中数学试卷

一、选择题（本大题共10小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  下列式子中，是二次根式的是(    )

A.  B.  C.  D.

2.  如图，小肖同学有根长度不一的木棍，取其中三根木棍可以拼成一个直角三角形的是(    )

A. ，， B. ，，
C. ，， D. ，，

3.  下列根式中，能与合并的是(    )

A.  B.  C.  D.

4.  如图，四边形是平行四边形，添加下列一个条件，仍不能判定四边形是矩形的是(    )

A.
B.
C.
D.

5.  下列计算中，正确的是(    )

A.  B.
C.  D.

6.  平行四边形的两条对角线交于点，若，则两条对角线的和为(    )

A.  B.  C.  D.

7.  如图所示的是菱形网格窗的一部分网格窗中每个菱形边长相同，若两个固定点间的距离，，则每个小菱形的边长为(    )

A.
B.
C.
D.

8.  已知是正整数，是整数，则的最小值是(    )

A.  B.  C.  D.

9.  如图所示的是一个长方体笔筒，底面的长、宽分别为和，高为，将一支长为的签字笔放入笔筒内，则签字笔露在笔筒外的长度最少为(    )

 

A.  B.  C.  D.

10.  如图，四边形是学校的一块空地，经数学兴趣小组的测量可知，米，米，米，米为了提高校园的绿化面积，现学校决定在空地内铺草坪，若铺设每平方米草坪需要元，则将这块空地全部铺满一层草坪的费用是(    )

A. 元 B. 元 C. 元 D. 元

二、填空题（本大题共6小题，共24.0分）

11.  化简： ______ ．

12.  在菱形中，，，对角线的长为______ ．

13.  在中，，，则的面积为______ ．

14.  如图，在中，，，，分别是，边的中点，以和为边作平行四边形若，则四边形的周长为______ ．

15.  已知，，则的值为______ ．

16.  如图，在正方形中，是边上的一点，在边的延长线上，且，连接交边于点过点作，垂足为，交边于点当，时，则线段的长为______ ．

三、解答题（本大题共9小题，共86.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17.  本小题分
计算：．

18.  本小题分
在▱中，点、分别在、上，且求证：四边形是平行四边形．

19.  本小题分
先化简，后求值：，其中．

20.  本小题分
兔年到来前，小刚家装修，已知他家电视背景墙是长为，宽为的长方形，现要在中间拼接两个形状、大小相同的长方形大理石图案图中阴影部分，长为，宽为．
求电视背景墙的周长结果化为最简二次根式
除去大理石图案部分，其他部分贴墙布，求墙布的面积．

21.  本小题分
如图，四边形的两条对角线相交于点，是边上一点，连接并延长交于点若，．
求证：四边形是平行四边形．
若，，的周长为，求的长．

22.  本小题分
如图，在中，，，．
请用无刻度的直尺和圆规作出边的垂直平分线，交于点，交于点要求：不写作法，保留作图痕迹，标出字母
连接，求的长度．

23.  本小题分
为响应政府“公园城市建设”的号召，某小区进行小范围绿化，要在一块如图所示的四边形空地进行绿化改造，测得，，，，．
若要在，两点间铺一条鹅卵石路，铺设成本为元，求铺设这条鹅卵石路的最低花费．
如果种植草皮的费用是元，那么在整块空地上种植草皮共需投入多少元？

24.  本小题分
如图，在矩形中，是边上一点，连接，过点作交于点，连接．
若，求证：．
若恰好是边的中点，试探究的形状，并说明理由．
在的条件下，当时，直接写出的值．

25.  本小题分
综合与探究：
如图，在平面直角坐标系中，为坐标原点，的边在轴上，点，，的坐标分别为，，，且满足，点从点出发以每秒个单位长度的速度在线段上向左匀速运动，到达点即停止运动设点的运动时间为秒，连接．
填空： ______ ， ______ ，的长度为______ 用含有的式子表示．
当时，求点的坐标．
是轴上一点，，过点作于点，连接，在点的运动过程中，是否存在点，使平分？若不存在，请说明理由；若存在，求出的值．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：、的被开方数是负数，该代数式无意义，不符合题意；
B、符合二次根式的定义，符合题意；
C、属于三次根式，不符合题意；
D、不是根式，不符合题意．
故选：．
根据二次根式的定义解答即可．
本题考查的是二次根式的定义，熟知一般地，我们把形如的式子叫做二次根式是解题的关键．
 

2.【答案】 

【解析】解：，故A不符合题意；
，故B符合题意；
，不能组成三角形，故C不符合题意；
，不能组成三角形，故D不符合题意；
故选：．
由勾股定理的逆定理可判断，，由三角形的三边关系可判断，不能组成三角形，从而可得答案．
本题考查的是三角形三边的关系，勾股定理的逆定理的应用，熟记三角形的三边关系与勾股定理的逆定理是解本题的关键．
 

3.【答案】 

【解析】解：、不能与合并，不符合题意；
B、，不能与合并，不符合题意；
C、，不能与合并，不符合题意；
D、，能与合并，符合题意；
故选：．
根据二次根式的性质把各个二次根式化简，根据同类二次根式的概念判断即可．
本题考查的是二次根式的性质、同类二次根式，把几个二次根式化为最简二次根式后，如果它们的被开方数相同，就把这几个二次根式叫做同类二次根式．
 

4.【答案】 

【解析】解：四边形是平行四边形，，
四边形是矩形，故A不符合题意；
四边形是平行四边形，，
四边形是矩形，故B不符合题意；
四边形是平行四边形，
，
，
，
，
，
四边形是菱形，故C符合题意；
，
，
四边形是平行四边形，
，，
，，
四边形是矩形，故D不符合题意；
故选：．
根据给定的条件加上平行四边形条件，对每个选项进行分析证明，从而可得答案．
本题考查的是平行四边形的性质，矩形，菱形的判定，熟记矩形的判定方法是解本题的关键．
 

5.【答案】 

【解析】解：．，故计算错误，不符合题意；
B.，故计算错误，不符合题意；
C.，故计算错误，符合题意；
D.，故计算错误，不符合题意；
故选：．
根据算术平方根的含义可判断；
根据二次根式的除法运算可判断；
根据二次根式的乘法运算可判断；
根据二次根式的减法运算可判断．
本题考查了算术平方根的含义，二次根式的加减乘除运算，掌握相应的运算法则是解本题的关键．
 

6.【答案】 

【解析】解：平行四边形的两条对角线交于点，
，，
两条对角线的和为，
故选：．
根据平行四边形的性质即可求解．
本题考查了平行四边形的性质，掌握平行四边形的对角互相平分是解题的关键．
 

7.【答案】 

【解析】解：如图：

四边形和四边形是全等的菱形，
，
又，
是等边三角形，
，
故选：．
根据菱形的四条边都相等的性质和有一个角是的等腰三角形是等边三角形推出菱形的边长．
此题考查了菱形的性质、等边三角形的判定与性质，解题的关键是熟练掌握上述知识．
 

8.【答案】 

【解析】解：，且是整数，
是个完全平方数，完全平方数是能表示成一个整式的平方的数
的最小值是．
故选：．
首先把进行化简，然后根据是整数确定的最小值．
此题主要考查了二次根式的定义，做题的关键是推导“是个完全平方数”．
 

9.【答案】 

【解析】解：由题意知：笔筒底面对角长为，
笔筒的对角线长：，
签字笔长，
签字笔露在笔筒外面的最短长度是：．
故选：．
长方体内斜对角线是最长的，当签字笔在笔筒里对角放置的时候露在外面的长度最小，求出笔筒的对角线长度即可得签字笔露在外面的最短长度．
本题主要考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键．
 

10.【答案】 

【解析】解：连接，

，
在中，，
在中，，，
，
，
，

元，
这块地全部种草的费用是元．
故选：．
连接，先证明是直角三角形，根据求出四边形的面积即可解决问题．
本题考查勾股定理以及勾股定理的逆定理的应用，解题的关键是证明是直角三角形，属于中考常考题型．
 

11.【答案】 

【解析】解：，
故答案为：．
根据分母有理化进行计算，即可解答．
本题考查了分母有理化，二次根式的乘除法，准确熟练地进行计算是解题的关键．
 

12.【答案】 

【解析】解：四边形是菱形，

，，，
，
，
；
故答案为：．
由菱形的性质得出，，，由勾股定理求出，即可得出答案．
本题考查了菱形的性质，勾股定理；熟练掌握菱形的性质是本题的关键．
 

13.【答案】 

【解析】解：先画图如下，作于点，

，，，
，
，
，
故答案为：．
利用等腰三角形的三线合一性质和勾股定理求出三角形的高，再利用三角形面积公式求解即可．
此题主要考查等腰三角形的高和面积的求法．利用等腰三角形的顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高的重合的性质，勾股定理，关键是利用三角形的面积求解．
 

14.【答案】 

【解析】解：在中，
，，
，
是的中点，
，
是等边三角形，
，
、分别是、的中点，
，
平行四边形的周长．
故答案为：．
先证明是等边三角形求出的长，再根据三角形中位线定理求出的长，据此即可求得平行四边形的周长．
本题考查了三角形中位线定理的运用，熟悉直角三角形的性质，等边三角形的判定和性质．熟练运用三角形的中位线定理和直角三角形性质是解题的关键．
 

15.【答案】 

【解析】解：，，
，，



；
故答案为：．
由已知条件先求解，，结合，再代入求值即可．
本题考查的是利用完全平方公式的变形求值，二次根式的加减乘法运算，求解代数式的值，掌握完全平方公式的变形是解本题的关键．
 

16.【答案】 

【解析】解：如图：连接、、，

四边形是正方形
设，，
在与中，
，
≌，
，
是等腰三角形，
又，
垂直平分，
，
又，
，
在中，，
，
解得，
，，，
在中，，
，
故答案为：．
连接、、，首先可证得≌，，可证得垂直平分，可得，再根据勾股定理即可求得正方形的边长，再根据勾股定理即可求得的长．
本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，线段垂直平分线的性质，勾股定理，证得垂直平分是解决本题的关键．
 

17.【答案】解：

． 

【解析】先计算二次根式的乘法运算，再化简二次根式，合并同类二次根式即可．
本题考查的是二次根式的混合运算，熟记运算法则是解本题的关键．
 

18.【答案】证明：四边形是平行四边形，
，，
，
，
，
四边形是平行四边形． 

【解析】根据平行四边形的性质得出，，求出，根据平行四边形的判定得出即可．
本题考查了平行四边形的性质和判定的应用，能灵活运用定理进行推理是解此题的关键．
 

19.【答案】解：

；
当时，
原式． 

【解析】根据平方差公式，单项式乘以多项式先计算整式的乘法运算，再合并得到化简的结果，再把代入进行计算即可．
本题考查的是整式的乘法的混合运算，平方差公式的应用，二次根式的乘法运算，熟记运算法则是解本题的关键．
 

20.【答案】解：由题意可得：，
答：矩形的周长为米；
墙布的面积为：；
答：墙布的面积为：平方米． 

【解析】根据长方形的周长长宽计算即可；
由墙布面积等于大的长方形的面积减去两块大理石的面积即可．
本题考查了二次根式的应用，最简二次根式，掌握是解题的关键．
 

21.【答案】证明：，
，，
又，
≌，
，
四边形是平行四边形；
解：四边形是平行四边形，
，，
，
的周长为，
，
，，
同理，≌，
，
． 

【解析】利用平行线的性质证明，根据证明≌，推出，根据对角互相平分的四边形是平行四边形即可得到结论；
根据平行四边形的性质得到，利用的周长为，求得，证明≌，求得，据此求解即可．
本题考查了平行四边形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，证明四边形是平行四边形是解题的关键．
 

22.【答案】解：如下图：即为所求；

边的垂直平分线是，
，
，
，即，
解得：． 

【解析】根据作线段的垂直平分线的作法作图；
根据勾股定理求解．
本题考查了基本作图，掌握勾股定理是解题的关键．
 

23.【答案】解：如图，连接，

，，，
，
铺设成本为元，
铺设这条鹅卵石路的最低花费为元．
，，．
，
，
整块空地的面积为：，
种植草皮的费用是元，
整块空地上种植草皮共需投入元． 

【解析】如图，连接，再利用勾股定理先求解，从而可得答案；
先利用勾股定理的逆定理证明，可得整块空地的面积为：，再计算总费用即可．
本题考查的是勾股定理与勾股定理的逆定理的实际应用，理解题意，确定勾股定理与勾股定理的逆定理是使用情境是解本题的关键．
 

24.【答案】证明：，，
四边形为矩形，
，，，
，，
，
，
≌，
．
解：是等腰三角形，理由如下：
如图，延长、交于点，

在矩形中，，
，，
点为的中点，，
≌，
，
，
，是的中点，
，
，，
是等腰三角形．
解：如图，连接，
，
，而，
，

，
，，
，
． 

【解析】先证明，，，可得≌，根据全等三角形的性质可得结论；
延长、交于点，证明≌，根据全等三角形的性质得，则，即是的中点，根据直角三角形斜边上的中线即可得出结论；
如图，连接，证明，而，可得，可得，，，从而可得答案．
本题考查的是全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定，线段的垂直平分线的定义与性质，勾股定理的应用，矩形的性质，作出合适的辅助线是解本题的关键．
 

25.【答案】     

【解析】解：，
，，
，，
由题意得：；
故答案为：，，；
如图，，

，
，
，
在中，，
，
解得：，
；
存在，
如图，

平分，，，
，
，
，
由勾股定理得：，
，，，
≌，
，
，
由勾股定理得：，
，
解得：．
由非负性可求，的值，根据点的运动速度和时间可得的长；
根据等腰三角形的判定可得，由勾股定理列方程，即可求解；
先根据勾股定理计算，根据全等三角形的性质和勾股定理可求解．
本题是三角形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，勾股定理等知识，利用勾股定理解决问题是解本题的关键．