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2022-2023学年北京市海淀区八年级（下）期末数学试卷（含解析）
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这是一份2022-2023学年北京市海淀区八年级（下）期末数学试卷（含解析），共26页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2022-2023学年北京市海淀区八年级（下）期末数学试卷
一、选择题（本大题共8小题，共24.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 要使二次根式 x有意义，那么x的取值范围是( )
A. x>0 B. x<0 C. x≥0 D. x≤0
2. 用长度相等的火柴棒首尾相连拼接直角三角形，若其中两条直角边分别用6根和8根火柴棒，则斜边需用火柴棒的根数为根．( )
A. 12 B. 10 C. 8 D. 6
3. 下列化简正确的是( )
A. 6=3 B. 33=13 C. − (−3)2=3 D. 12=2 3
4. 在平面直角坐标系xOy中，点A(2,y1)，B(3,y2)在函数y=−3x的图象上，则( )
A. y1>y2 B. y1=y2 C. y1
A. 5m
B. 7.5m
C. 10m
D. 15m
6. 一次函数y=ax+b的自变量和函数值的部分对应值如下表所示：
x
0
5
y
3
5
则关于x的不等式ax+b>x的解集是( )
A. x<5 B. x>5 C. x<0 D. x>0
7. 如图，AB=12，∠A=45°，点D是射线AF上的一个动点，DC⊥AB，垂足为点C，点E为DB的中点，则线段CE的长的最小值为( )
A. 6 B. 2 3 C. 6 D. 3 2
8. 某校足球队队员年龄分布如图所示，下面关于该队年龄统计数据的说法正确的是( )
A. 平均数比16大
B. 中位数比众数小
C. 若今年和去年的球队成员完全一样，则今年方差比去年大
D. 若年龄最大的选手离队，则方差将变小
二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）
9. ▱ABCD中，∠A+∠C=140°，则∠B=______．
10. 如图，数轴上点A，B，C，D所对应的数分别是−1，1，2，3，若点E对应的数是2 2则点E落在______ 之间.(填序号)
①A和B；
②B和C；
③C和D．
11. 如图，大正方形是由四个全等的直角三角形和面积分别为S1S2的两个正方形所拼成的.若直角三角形的斜边长为2，则S1+S2的值为______ ．
12. 在一次演讲比赛中，甲的演讲内容、演讲能力、演讲效果成绩如下表所示：
项目
演讲内容
演讲能力
演讲效果
成绩
90
80
90
若按照演讲内容占50%，演讲能力占40%，演讲效果占10%，计算选手的综合成绩，则该选手的综合成绩为______
13. 在矩形ABCD中，∠BAD的角平分线交BC于点E，连接ED，若ED=5，CE=3，则线段AE的长为______ ．
14. 已知直线l：y=kx+b(k≠0)，将直线l向上平移5个单位后经过点(3,7)将直线l向下平移5个单位后经过点(7,7)，那么直线l向______ (填“左”或“右”)平移______ 个单位后过点(1,7)．
三、解答题（本大题共12小题，共58.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
15. (本小题6.0分)
计算：(1)2 5− 20+ 45．
(2) 48÷ 3− 12× 8．
16. (本小题4.0分)
如图，将▱ABCD的对角线BD向两个方向延长，分别至点E和点F，且使BE=DF.求证：四边形AECF是平行四边形．
17. (本小题4.0分)
已知一次函数y=−2x+1．
(1)在如图所示的平面直角坐标系中，画出该一次函数的图象；
(2)该一次函数图象与x轴交点坐标为______ .当y<0时，自变量x的取值范围是______ ．
18. (本小题4.0分)
如图，小明在方格纸中选择格点作为顶点画▱ABCD和△BCE．
(1)请你在方格纸中找到点D，补全▱ABCD；
(2)若每个正方形小格的边长为1，请计算线段CE的长度并判断AD与CE的位置关系，并说明理由．
19. (本小题4.0分)
快递公司为顾客交寄的快递提供纸箱包装服务，现有三款包装纸箱，底面规格如下表：
型号
长
宽
小号
20cm
18cm
中号
25cm
20cm
大号
30cm
25cm
已知甲乙两件礼品底面都是正方形，底面积分别为80cm2，180cm2若要将它们合在一个包装箱中寄出，底面摆放方式如图，从节约材料的角度考虑，应选择哪种底面型号的纸箱？请说明理由．
20. (本小题4.0分)
已知一次函数的图象经过点A(2,4)，B(−1,1)．
(1)求这个一次函数的解析式；
(2)若正比例函数y=mx(m≠0)的图象与线段AB有公共点，直接写出m的取值范围．
21. (本小题4.0分)
如图，在△ABC中，AB=AC，点D，E，F分别为BC，AB，AC的中点．
(1)求证：四边形AEDF是菱形；
(2)若AB=6，BC=10，求四边形AEDF的面积．
22. (本小题5.0分)
邻边比为 5−12的矩形叫做“黄金矩形”.黄金矩形给我们以协调、匀称的美感.若要将一张边长为2的正方形纸片ABCD剪出一个以AB为边的黄金矩形ABMN，小松同学的作法如下：
①作AB的垂直平分线分别交AB，CD于点E，F；
②连接AF，作∠BAF的角平分线，交BC于点M；
③过点M作MN⊥AD于点N；
矩形ABMN即为所求．
(1)根据上述作图过程，补全图形；
(2)小松证明四边形ABMN是黄金矩形的思路如下：作MP⊥AF于点P，连接MF，设BM=x，
根据角平分线的性质，可知MP=BM=x．
根据条件，可求得AF的长度为______ ，AP的长度为______ ．
在Rt△MPF和Rt△CMF中，由勾股定理可得MP2+PF2=MF2=MC2+CF2．
由此可列关于x的方程为______ ．
解得BM=x= ______ ．
所以BMAB= 5−12，矩形ABMN为黄金矩形．
23. (本小题5.0分)
甲、乙两名选手参加25米手枪速射资格赛.资格赛规则为每名选手完成60发射击，得分按整数计.例如：9.7环计9分，每发最高得10分，满分600分.甲、乙各射击60发的成绩如下表所示：
得分
频数
选手
6
7
8
9
10
甲
3
3
21
21
乙
3
3
12
27
已知甲、乙两名选手在资格赛中9分段的详细数据如下：
甲的9分段频数分布表
分组(环)
频数
9.0≤x<9.2
2
9.2≤x<9.4
3
9.4≤x<9.6
2
9.6≤x<9.8
5
9.8≤x<10
9
根据以上信息，整理分析两名选手得分数据如下：
选手
平均数
中位数
众数
甲
8.9
______
9，10
乙
______
9
______
(1)补全上述表格中的信息；
(2)进入决赛后，资格赛成绩不带入决赛.每名选手最多完成40发，每发按照“击中”或“脱靶”统计，9.6环及以上计为击中，9.6环以下计为脱靶，只有击中才累计环数，按照总环数高低进行排名.若甲、乙两名选手均进入决赛，请你推断哪位选手更可能获胜，并说明理由．
24. (本小题5.0分)
实数a与b满足b= 4−a．
(1)写出a与b的取值范围；
(2)已知 3b是有理数．
①当a是正整数时，求b的值；
②当a是整数时，将符合条件的a的值从大到小排列，请直接写出排在第3个位置和11个位置的数．
25. (本小题6.0分)
在正方形ABCD中，点E在射线BD上，点M在BC的延长线上，CN为∠DCM的角平分线，点F为射线CN上一点，且CE=FE．
(1)如图，当点E在线段BD上时，补全图形，求证：2∠BEC+∠CEF=180°．
(2)在(1)的条件下，用等式表示线段CF，DE，BE之间的数量关系，并证明；
(3)若AB=4，BE=3DE，直接写出线段CF的长．
26. (本小题7.0分)
在平面直角坐标系xOy中，对于点P(x0,y0)，给出如下定义：若存在实数x1，x2，y1，y2使得x0−x1=x1−x2且y0−y1=y1−y2，则称点P为以点(x1,y1)和(x2,y2)为端点的线段的等差点．
(1)若线段m的两个端点坐标分别为(1,2)和(3,−2)，则下列点是线段m等差点的有______ ；(填写序号即可)
①P1(−1,6)；
②P2(2,0)；
③P3(4,−4)；
④P₄(5,−6)．
(2)点A，B都在直线y=−x上，已知点A的横坐标为−2，M(t,0)，N(t+1,1)．
①如图1，当t=−1时，线段AB的等差点在线段MN上，求满足条件的点B的坐标；
②如图2，点B横坐标为2，以AB为对角线构造正方形ACBD，在正方形ACBD的边上(包括顶点)任取两点连接的线段中，若线段MN上存在其中某条线段的等差点，直接写出t的取值范围______ ．
答案和解析
1.【答案】C
【解析】解：∵二次根式 x有意义，
∴x≥0．
故选：C．
根据二次根式有意义的条件，求解即可．
本题考查了二次根式有意义的条件，解本题的关键是熟练掌握二次根式中的被开方数是非负数．
2.【答案】B
【解析】解：由勾股定理得：斜边需用火柴棒的根数= 62+82=10(根)，
故选：B．
根据勾股定理列式计算即可．
本题考查的是勾股定理，如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a2+b2=c2．
3.【答案】D
【解析】解：∵ 8=2 2，
∴A不符合题意．
∵ 33≠13，
∴B不符合题意．
∵− (−3)2=−3，
∴C不符合题意．
∵ 12=2 3，
∴D符合题意．
故选：D．
根据基二次根式的性质一一排除即可得出结论．
本题考查了二次根式的性质与化简，其中熟练掌握二次根式的化简是解题的关键．
4.【答案】A
【解析】解：∵点A(2,y1)，B(3,y2)在函数y=−3x的图象上，
∴y1=−3×2=−6，y2=−3×3=−9，
∴y1>y2，
故选：A．
首先将点A(2,y1)，B(3,y2)代入y=−3x之中求出y1，y2即可得出答案．
此题主要考查了一次函数图象上的点的坐标，解答此题的关键是理解一次函数图象上的点都满足函数的表达式，满足一次函数表达式的点都在函数的图象上．
5.【答案】C
【解析】解：连接AB，
∵D、E分别是AC、BC的中点，
∴DE=12AB，
∵DE=5m，
∴AB=10(m)，
即A、B两点间的距离是10m，
故选：C．
连接AB，根据三角形的中位线性质得出AB=2DE，再代入求出答案即可．
本题考查了三角形的中位线性质，能根据三角形的中位线性质得出DE=12AB是解此题的关键，注意：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半．
6.【答案】A
【解析】解：由题意得：5k+3=5，解得：k=0.4，
∴y=0.4x+3，
∴0.4x+3>x，
解得：x<5，
故选：A．
先根据待定系数法求出一次函数的解析式，再解不等式求解．
本题考查了一次函数与一元一次不等式，掌握待定系数法是解题的关键．
7.【答案】D
【解析】解：∵DC⊥AB，
∴∠ACD=∠BCD=90°，
∵点E为DB的中点，
∴CE=12BD，
∴当BD⊥AE时，BD的值最小，
即线段CE的值最小，
∵∠A=45°，
∴△ABC是等腰直角三角形，
∴AD=BD= 22AB=6 2，
∴CE=12BD=3 2，
故线段CE的长的最小值为3 2，
故选：D．
根据直角三角形的性质得到CE=12BD，当BD⊥AE时，BD的值最小，即线段CE的值最小，推出△ABC是等腰直角三角形，得到AD=BD= 22AB=6 2，求得CE=12BD=3 2，于是得到结论．
本题考查了垂线段最短，直角三角形斜边上的中线，等腰直角三角形的性质，正确地得出当BD⊥AE时，BD的值最小是解题的关键．
8.【答案】D
【解析】解：足球队队员年龄按由小到大的顺序排列为：13、13、14、14、14、14、14、14、15、15、15、15、15、15、15、15，16、16、16、17、17、18，
A、平均数为：122×(2×13+6×14+8×15+3×16+2×17+18)=15<16，故选项表述错误，不符合题意；
B、中位数为：15+152=15，众数为15，项表述错误，不符合题意；
C、若今年和去年的球队成员完全一样，则今年方差与去年相等，故选项表述错误，不符合题意；
D、若年龄最大的选手离队，则方差将变小，故选项表述正确，符合题意；
故选：D．
根据平均数、中位数、众数和方差的定义进行判断．
本题考查了平均数、众数、中位数以及方差，掌握平均数、众数、中位数以及方差的意义是解题的关键．
9.【答案】110°
【解析】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠A=∠C，AD//BC，
∴∠A+∠B=180°，
∵∠A+∠C=140°，
∴∠A=70°，
∴∠B=180°−70°=110°，
故答案为：110°．
由平行四边形的性质可得∠A=∠C，∠A+∠B=180°，再求出∠A=70°，即可求出∠B的度数．
本题考查了平行四边形的性质，掌握平行四边形的性质是本题的关键．
10.【答案】③
【解析】解：∵2<2 2<3，
∴点E落在C和D之间．
故答案为：③．
根据2 2=8，而4<8<9，即可解决问题．
本题考查估算无理数的大小，实数与数轴，解题的关键是掌握数轴的知识．
11.【答案】4
【解析】解：如图，∵直角三角形的斜边长为2，
∴AB2+BC2=S1+S2=AC2=22=4，
故答案为：4．
根据勾股定理和正方形的面积公式即可得到结论．
本题考查了全等图形，勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键．
12.【答案】86
【解析】解：该选手的综合成绩为：90×50%+80×40%+90×10%=86，
故答案为：86．
根据加权平均数的计算方法进行计算即可．
本题考查加权平均数，掌握加权平均数的计算方法是正确解答的关键．
13.【答案】4 2
【解析】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠BAD=∠B=∠C=90°，AB=CD，
∵ED=5，CE=3，
∴CD= ED2−CE2= 52−32=4，
∴AB=4，
∵AD//BC，
∴∠DAE=∠BEA，
∵∠BAD的角平分线交BC于点E，
∴∠DAE=∠BAE，
∴∠BAE=∠BEA，
∴EB=AB=4，
∴AE= EB2+AB2= 42+42=4 2，
故答案为：4 2．
由矩形的性质得∠BAD=∠B=∠C=90°，AB=CD，由ED=5，CE=3，根据勾股定理得CD= ED2−CE2=4，则AB=4，由AD//BC，得∠DAE=∠BEA，而∠DAE=∠BAE，则∠BAE=∠BEA，所以EB=AB=4，则AE= EB2+AB2=4 2，于是得到问题的答案．
此题重点考查矩形的性质、勾股定理、平行线的性质、等腰三角形的判定等知识，证明EB=AB是解题的关键．
14.【答案】左 4
【解析】解：直线l：y=kx+b(k≠0)向上平移5个单位后的解析式为：y=kx+b+5，
直线l：y=kx+b(k≠0)向下平移5个单位后的解析式为：y=kx+b−5，
将点(3,7)代入y=kx+b+5，将点(7,7)代入y=kx+b−5，
得3k+b+5=77k+b−5=7，
解得：k=52，b=−112，
直线l为：y=52x−112，
设直线l向“左”平移后的解析式为y=52(x+m)−112，
∵过点(1,7)，
∴7=52+52m−112，
解得m=4，
∴直线l向左平移4个单位后过点(1,7)，
故答案为：左，4．
直线l：y=kx+b(k≠0)向上平移5个单位后的解析式为：y=kx+b+5，直线l：y=kx+b(k≠0)向下平移5个单位后的解析式为：y=kx+b−5，根据题意得到关于k、b的方程组，解方程组求得直线l的解析式为：y=52x−112，设直线l向“左”平移后的解析式为y=52(x+m)−112，代入点(1,7)，求得m的值，即可求出答案．
本题主要考查一次函数与几何变换的知识，一次函数图象上点的坐标特征，利用待定系数法求得直线l的解析式是解此题的关键．
15.【答案】解：(1)2 5− 20+ 45
=2 5−2 5+3 5
=3 5；
(2) 48÷ 3− 12× 8
= 16− 4
=4−2
=2．
【解析】(1)先把每一个二次根式化成最简二次根式，然后再进行计算即可解答；
(2)先计算二次根式的乘除法，再算减法，即可解答．
本题考查了二次根式的混合运算，准确熟练地进行计算是解题的关键．
16.【答案】证明：连接AC，设AC与BD交于点O.如图所示：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA=OC，OB=OD，
又∵BE=DF，
∴OE=OF．
∴四边形AECF是平行四边形．
【解析】由四边形ABCD是平行四边形易知OA=OC，OC=OD，再证得OE=OF，即可得出结论．
此题考查了平行四边形的性质和判定，熟练掌握平行四边形的判定与性质是解题的关键，解题时要注意选择适宜的判定方法．
17.【答案】(12,0) x>12
【解析】解：(1)
(2)一次函数图象与x轴交点坐标为(12,0)，当y<0时，自变量x的取值范围是x>12．
故答案为：(12,0)，x>12．
(1)一次函数y=−2x+1与x轴的交点为(12,0)，与y轴的交点为(0,1)，连接两点并延长即为一次函数的图形；
(2)求一次函数图象与x轴交点坐标，即y=0，代入解析式，求出x的值，y<0时，解不等式−2x+1<0或通过图象确定x的取值．
本题考查了一次函数的图象即图象的性质，解题的关键是掌握一次函数的图象特点和性质．
18.【答案】解：(1)所作点D如图所示：
(2)由图得：BC= 22+42=2 5，CE= 42+82=4 5，BE=10，
∴BC2+EC2=BE2，
∴三角形BCE是直角三角形，
∴BC⊥CE，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD//BC，
∴AD⊥CE．
【解析】(1)在过C点且平行于AB的直线上截取4个单位长度，即找到点D；
(2)证明三角形BCE是直角三角形，BC⊥EC，再由BC//AD，即可证明．
本题考查了作图能力，平行四边形的判断及勾股定理的逆定理等知识点是解题关键．
19.【答案】解：从节约材料的角度考虑，应选择中号底面型号的纸箱．理由如下：
∵甲乙两件礼品底面都是正方形，底面积分别为80cm2，180cm2，
∴甲礼品的底面边长为 80=4 5cm，乙礼品的底面边长为 180=6 5cm，
∵4 5+6 5=10 5，
∴20<10 5<25，6 5<20，
∴小号包装纸箱长度尺寸不够，大号包装纸箱长度尺寸偏大，中号包装纸箱长、宽尺寸适中，
∴从节约材料的角度考虑，应选择中号底面型号的纸箱．
【解析】根据甲乙两件礼品的底面积大小，可以估计这两件礼品的底面边长大小，然后与三款包装纸箱的尺寸比较，从而找到合适的纸箱．
本题考查了二次根式的应用，正方形的面积，无理数的估算，理解题意得出要求包装的纸箱的尺寸范围是解题的关键．
20.【答案】解：(1)设一次函数为y=kx+b(k≠0)，
∵一次函数的图象经过点A(2,4)，B(−1,1)，
∴2k+b=4−k+b=1，
解得k=1b=2，
∴这个一次函数的解析式为y=x+2；
(2)当直线y=mx经过点A(2,4)时，
则2m=4，
解得m=2，
当直线y=mx经过点B(−1,1)时，
则−m=1，
解得：m=−1，
∴当正比例函数y=mx(m≠0)的图象与线段AB有公共点时，m≤−1或m≥2．
【解析】(1)利用待定系数法求得即可．
(2)分别求出直线y=mx(m≠0)过点A、点B时m的值，再结合函数图象即可求出m的取值范围．
本题考查了待定系数法求一次函数的解析式，一次函数图象上点的坐标特征，一次函数与系数的关系，数形结合是解题的关键．
21.【答案】(1)证明：∵D，E分别是BC，AB的中点，
∴DE//AC且DE=AF=12AC．
同理DF//AB且DF=AE=12AB．
又∵AB=AC，
∴DE=DF=AF=AE，
∴四边形AEDF是菱形．
(2)解：∵AB=6，BC=10，点D，E，F分别为BC，AB，AC的中点，
∴BD=5，EF=5，
∴AD= AB2−BD2= 62−52= 11，
∴菱形AEDF的面积为12EF⋅AD=12×5× 11=5 112．
【解析】(1)由题意易得DE//AC且DE=AF=12AC，DF//AB且DF=AE=12AB.结合已知推导出DE=DF=AF=AE，从而证明四边形AEDF是菱形；
(2)依据点D，E，F分别为BC，AB，AC的中点，分别求出AD、EF，然后根据菱形AEDF的面积=12EF⋅AD解答即可．
此题主要考查菱形的判定及性质以及三角形中位线定理等，解答本题的关键是掌握三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半．
22.【答案】 5 2 ( 5−2)2+x2=12+(2−x)2 5−1
【解析】解：(1)补全图形如图：
(2)证明：作MP⊥AF于点P，连接MF，
设BM=x，则CM=2−x，
根据角平分线的性质，可知MP=BM=x，
∵EF是AB的垂直平分线，
∴DF=CF=12CD=12AD=1，
∴AF= AD2+DF2= 5，
∵AM=AM，BM=PM，
∴Rt△ABM≌Rt△APM(HL)，
∴AP=AB=2，
∴PF=AF−AP= 5−2，
在Rt△MPF和Rt△CMF中，
由勾股定理可得MP2+PF2=MF2=MC2+CF2，
∴( 5−2)2+x2=12+(2−x)2，
解得BM=x= 5−1，
∴BMAB= 5−12，
∴矩形ABMN为黄金矩形．
故答案为： 5，2，( 5−2)2+x2=12+(2−x)2， 5−1．
(1)根据题意作图即可；
(2)作MP⊥AF于点P，连接MF，设BM=x，则CM=2−x，由角平分线的性质可得MP=BM=x，求出AF= 4D2+DF2= 5，证明Rt△ABM≌Rt△APM(HL)，得到AP=AB=2，则PF=AF−AP= 5−2，由勾股定理得到( 5−2)2+x2=12+(2−x)2，解得BM=x= 5−1.所以BMAB= 5−12，即得矩形ABMN为黄金矩形．
本题主要考查了矩形的性质，勾股定理，角平分线的性质，全等三角形的性质与判定，垂线的尺规作图等，灵活运用所学知识是解题的关键．
23.【答案】9 9 10
【解析】解：(1)由题意得，甲资格赛成绩的中位数为9+92=9，
乙资格赛成绩的平均数为：160×(6×3+7×3+8×12+9×15+10×27)=9，
乙资格赛成绩的众数为10．
故答案为：9，9，10；
(2)乙选手更可能获胜，理由如下：
在资格赛成绩中，甲9.6环及以上所占百分比为：14+2160×100%≈58.3%，
乙9.6环及以上所占百分比为：11+2760×100%≈63.3%，
∵63.3%>58.3%，
∴推断乙选手更可能获胜．
(1)分别根据中位数、加权平均数以及众数的定义解答即可；
(2)比较资格赛两人9.6环及以上所占比例即可．
本题考查了众数、中位数以及平均数，掌握众数、中位数以及平均数的定义是解题的关键．
24.【答案】解：(1)要使 4−a在实数范围有意义，须有4−a≥0，
∴a≤4，
∴b≥0．
(2)①∵a是正整数，
∴a只能是4、3、2、1．
又∵ 3b是有理数，
∴a只能是4或1．
当a=4时，b=0， 3b=0；
当a=1时，b= 3， 3b= 3．
∴b=0或b= 3．
②∵a是整数，且 3b是有理数，
∴b是 3的整数倍．
∵符合条件的a的第一值为a=4，b=0，
∴设b= 3(m−1)(m=1,2,3…)，
∴ 4−a= 3(m−1)，两边同时平方并整理得，a=−3(m−1)2+4．
∴当m=3时，a=−8，b=2 3， 3b= 3×2 3=6是有理数；
当m=11时，a=−296，b=10 3， 3b= 3×10 3=30是有理数．
∴当a是整数时，将符合条件的a的值从大到小排列，排在第3个位置和11个位置的数分别是−8和−296．
【解析】(1)要使二次根式有意义，被开方数须不小于0，由此得出a与b的取值范围；
(2)①当a是正整数时，a只能是4、3、2、1，从中选出符合条件的b的值即可；
②若a是整数，且 3b是有理数，则b必是 3的整数倍．可设b= 3(m−1)(m=1,2,3…)，整理为a=−3(m−1)2+4，分别计算当m=3和m=11时a的值即可．
本题考查实数及其大小比较，比较简单，但该部分内容非常重要，是中学数学的基础，一定要牢牢掌握．
25.【答案】(1)证明：如图1，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ABC=∠BCD=90°，∠CBD=12∠ABC=45°，
∴∠DCM=90°，
∵CN平分∠DCM，
∴∠MCN=45°，
∴∠CBD=∠MCN，
∴CN//BD，
∴∠BEC=∠ECF，
∵CE=FE，
∴∠ECF=∠EFC，
∴∠BEC=∠ECF=∠EFC，
在△ECF中，∠ECF+∠EFC+∠CEF=180°，
∴2∠BEC+∠CEF=180°；
(2)解：CF+DE=BE，证明如下：
如图2，连接AC交BD于点O，过点E作EH⊥CF于点H，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AC⊥BD，
由(1)可知，CN//BD，
∴EH⊥BD，
∴EH//AC，
∴四边形CHEO是矩形，
∴CH=OE，
∵CE=FE，EH⊥CF，
∴CH=FH，
∴CF=2CH=2OE=2(BE−OB)=2BE−2OB=2BE−BD=BE−(BD−BE)=BE−DE，
∴CF+DE=BE；
(3)解：∵四边形ABCD是正方形，AB=4，
∴AD=AB=4，OB=OD，∠BAD=90°，
∴BD= 2AB=4 2，
∴OB=12BD=2 2，
①点E在线段BD上时，BE+DE=BD=4 2，
∵BE=3DE，
∴4DE=4 2，
∴DE= 2，
由(2)可知，CF+DE=BE，
∴CF=BE−DE=2DE=2 2；
②如图3，点E在线段BD的延长线上时，BE=DE+BD，
连接AC交BD于点O，过点E作EH⊥CF于点H，
∵BE=3DE，
∴2DE=4 2，
∴DE=2 2，
∴BE=3DE=6 2，
∵EH⊥CF，CE=FE，
∴CF=2CH=2OE=2(BE−OB)=2(6 2−2 2)=8 2；
综上所述，线段CF的长为2 2或8 2．
【解析】(1)证∠CBD=∠MCN，得CN//BD，再由平行线的性质和等腰三角形的性质得∠BEC=∠ECF=∠EFC，然后由三角形内角和定理即可得出结论；
(2)连接AC交BD于点O，过点E作EH⊥CF于点H，证四边形CHEO是矩形，得CH=OE，再由等腰三角形的性质得CH=FH，即可解决问题；
(3)分两种情况，①点E在线段BD上时，BE+DE=BD=4 2，求出DE= 2，再由(2)可知，CF+DE=BE，即可得出结论；
②点E在线段BD的延长线上时，BE=DE+BD，连接AC交BD于点O，过点E作EH⊥CF于点H，求出DE=2 2，则BE=3DE=6 2，再由等腰三角形的性质即可得出结论．
本题是四边形综合题目，考查了正方形的性质、矩形的判定与性质、平行线的判定与性质、等腰三角形的性质、角平分线定义、三角形内角和定理以及分类讨论等知识，本题综合性强，熟练掌握正方形的性质和等腰三角形的性质是解题的关键，属于中考常考题型．
26.【答案】①④ −7≤t≤−2或1≤t≤6
【解析】解：(1)m的两个端点坐标分别为(1,2)和(3,−2)
①P1(−1,6)：∵−1−1=1−3，6−2=2−(−2)，
∴P1(−1,6)是等差点；
②P2(2,0)：∵2−1≠1−3，且2−3≠3−1，
∴P2(2,0)不是等差点；
③P3(4,−4)：∵4−1≠1−3，且4−3≠3−1，
∴P3(4,−4)不是等差点；
④P4(5,−6)：∵5−3=3−1，且−6−(−2)=(−2)−2，
∴P4(5,−6)是等差点．
故答案为：①④．
(2)①∵点A直线y=−x上，横坐标为−2，
∴A(−2,2)，
当t=−1时，M(−1,0)，N(0,1)，
设直线MN解析式为y=kx+b(k≠0)，
则−x+b=0b=1，
解得k=1b=1，
∴直线MN解析式为y=x+1，
联立y=x+1y=−x，
解得x=−0.5y=0.5，
∴交点即等差点坐标为(−0.5,0.5)；
设点B(a,−a)，
则−0.5−a=a−(−2)或−0.5−(−2)=(−2)−a，
解得a=−1.25或a=−1.75，
∴B(−1.25,1.25)或(−3.5,3.5)；
②如图，点B横坐标为2，以AB为对角线构造正方形ACBD，
可知A(−2,2)，B(2,−2)，C(−2,−2)，D(2,2)，且M(t,0)，N(t+1,1)分别在x轴、直线y=1上，
根据等差点定义知，正方形上两点(2,2)，(−2,1.5)的一个等差点为(−6,1)，
∴点N(t+1,1)位于N1(−6,1)时，t取最小值，
∴t+1=−6，
即t=−7；
正方形上两点(−2,2)，(2,1)的一个等差点为(6,0)，
∴点M(t,0)位于M4(6,0)时，t取最大值，
即t=6；
∵正方形ACBD的边上(包括顶点)任取两点连接的线段的等差点不可能出现在正方形内部，
∴t≤−2或t+1≥2，
即t≤−2或t≥1，
综上，−7≤t≤−2或1≤t≤6．
故答案为：−7≤t≤−2或1≤t≤6．
(1)m的两个端点坐标分别为(1,2)和(3,−2)，根据定义计算检验即可；
(2)①根据解析式得A(−2,2)，当t=−1时，M(−1,0)，N(0,1)，待定系数法确定直线MN解析式为y=x+1，联立y=−x，求解交点即等差点坐标为(−0.5,0.5)；设点B(a,−a)，根据定义即可求解；
②如图，点B的横坐标为2，可知A(−2,2)，B(2,−2)，C(−2,−2)，D(2,2)，且M(t,0)，N(t+1,1)分别在x轴、直线y=1上，如图，正方形上两点(2,2)，(−2,1.75)的一个等差点为(−6,1)，点N(t+1,1)位于N1(−6,1)时，t取最小值，t=−7；正方形上两点(−2,2)，(2,1)的一个等差点为(6,0)，点M(t,0)位于M4(6,0)时，t取最大值，t=6；任取两点连接的线段的等差点不可能出现在正方形内部，故t≤−2或t≥1，所以−7≤t≤−2或1≤t≤6．
本题考查一次函数的综合应用，主要考查正方形性质，一次函数，待定系数法求解析式，理解新定义是解题的关键，注意动态问题的多情况分析．
2022-2023学年北京市海淀区八年级（下）期末数学试卷
一、选择题（本大题共8小题，共24.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 要使二次根式 x有意义，那么x的取值范围是( )
A. x>0 B. x<0 C. x≥0 D. x≤0
2. 用长度相等的火柴棒首尾相连拼接直角三角形，若其中两条直角边分别用6根和8根火柴棒，则斜边需用火柴棒的根数为根．( )
A. 12 B. 10 C. 8 D. 6
3. 下列化简正确的是( )
A. 6=3 B. 33=13 C. − (−3)2=3 D. 12=2 3
4. 在平面直角坐标系xOy中，点A(2,y1)，B(3,y2)在函数y=−3x的图象上，则( )
A. y1>y2 B. y1=y2 C. y1
A. 5m
B. 7.5m
C. 10m
D. 15m
6. 一次函数y=ax+b的自变量和函数值的部分对应值如下表所示：
x
0
5
y
3
5
则关于x的不等式ax+b>x的解集是( )
A. x<5 B. x>5 C. x<0 D. x>0
7. 如图，AB=12，∠A=45°，点D是射线AF上的一个动点，DC⊥AB，垂足为点C，点E为DB的中点，则线段CE的长的最小值为( )
A. 6 B. 2 3 C. 6 D. 3 2
8. 某校足球队队员年龄分布如图所示，下面关于该队年龄统计数据的说法正确的是( )
A. 平均数比16大
B. 中位数比众数小
C. 若今年和去年的球队成员完全一样，则今年方差比去年大
D. 若年龄最大的选手离队，则方差将变小
二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）
9. ▱ABCD中，∠A+∠C=140°，则∠B=______．
10. 如图，数轴上点A，B，C，D所对应的数分别是−1，1，2，3，若点E对应的数是2 2则点E落在______ 之间.(填序号)
①A和B；
②B和C；
③C和D．
11. 如图，大正方形是由四个全等的直角三角形和面积分别为S1S2的两个正方形所拼成的.若直角三角形的斜边长为2，则S1+S2的值为______ ．
12. 在一次演讲比赛中，甲的演讲内容、演讲能力、演讲效果成绩如下表所示：
项目
演讲内容
演讲能力
演讲效果
成绩
90
80
90
若按照演讲内容占50%，演讲能力占40%，演讲效果占10%，计算选手的综合成绩，则该选手的综合成绩为______
13. 在矩形ABCD中，∠BAD的角平分线交BC于点E，连接ED，若ED=5，CE=3，则线段AE的长为______ ．
14. 已知直线l：y=kx+b(k≠0)，将直线l向上平移5个单位后经过点(3,7)将直线l向下平移5个单位后经过点(7,7)，那么直线l向______ (填“左”或“右”)平移______ 个单位后过点(1,7)．
三、解答题（本大题共12小题，共58.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
15. (本小题6.0分)
计算：(1)2 5− 20+ 45．
(2) 48÷ 3− 12× 8．
16. (本小题4.0分)
如图，将▱ABCD的对角线BD向两个方向延长，分别至点E和点F，且使BE=DF.求证：四边形AECF是平行四边形．
17. (本小题4.0分)
已知一次函数y=−2x+1．
(1)在如图所示的平面直角坐标系中，画出该一次函数的图象；
(2)该一次函数图象与x轴交点坐标为______ .当y<0时，自变量x的取值范围是______ ．
18. (本小题4.0分)
如图，小明在方格纸中选择格点作为顶点画▱ABCD和△BCE．
(1)请你在方格纸中找到点D，补全▱ABCD；
(2)若每个正方形小格的边长为1，请计算线段CE的长度并判断AD与CE的位置关系，并说明理由．
19. (本小题4.0分)
快递公司为顾客交寄的快递提供纸箱包装服务，现有三款包装纸箱，底面规格如下表：
型号
长
宽
小号
20cm
18cm
中号
25cm
20cm
大号
30cm
25cm
已知甲乙两件礼品底面都是正方形，底面积分别为80cm2，180cm2若要将它们合在一个包装箱中寄出，底面摆放方式如图，从节约材料的角度考虑，应选择哪种底面型号的纸箱？请说明理由．
20. (本小题4.0分)
已知一次函数的图象经过点A(2,4)，B(−1,1)．
(1)求这个一次函数的解析式；
(2)若正比例函数y=mx(m≠0)的图象与线段AB有公共点，直接写出m的取值范围．
21. (本小题4.0分)
如图，在△ABC中，AB=AC，点D，E，F分别为BC，AB，AC的中点．
(1)求证：四边形AEDF是菱形；
(2)若AB=6，BC=10，求四边形AEDF的面积．
22. (本小题5.0分)
邻边比为 5−12的矩形叫做“黄金矩形”.黄金矩形给我们以协调、匀称的美感.若要将一张边长为2的正方形纸片ABCD剪出一个以AB为边的黄金矩形ABMN，小松同学的作法如下：
①作AB的垂直平分线分别交AB，CD于点E，F；
②连接AF，作∠BAF的角平分线，交BC于点M；
③过点M作MN⊥AD于点N；
矩形ABMN即为所求．
(1)根据上述作图过程，补全图形；
(2)小松证明四边形ABMN是黄金矩形的思路如下：作MP⊥AF于点P，连接MF，设BM=x，
根据角平分线的性质，可知MP=BM=x．
根据条件，可求得AF的长度为______ ，AP的长度为______ ．
在Rt△MPF和Rt△CMF中，由勾股定理可得MP2+PF2=MF2=MC2+CF2．
由此可列关于x的方程为______ ．
解得BM=x= ______ ．
所以BMAB= 5−12，矩形ABMN为黄金矩形．
23. (本小题5.0分)
甲、乙两名选手参加25米手枪速射资格赛.资格赛规则为每名选手完成60发射击，得分按整数计.例如：9.7环计9分，每发最高得10分，满分600分.甲、乙各射击60发的成绩如下表所示：
得分
频数
选手
6
7
8
9
10
甲
3
3
21
21
乙
3
3
12
27
已知甲、乙两名选手在资格赛中9分段的详细数据如下：
甲的9分段频数分布表
分组(环)
频数
9.0≤x<9.2
2
9.2≤x<9.4
3
9.4≤x<9.6
2
9.6≤x<9.8
5
9.8≤x<10
9
根据以上信息，整理分析两名选手得分数据如下：
选手
平均数
中位数
众数
甲
8.9
______
9，10
乙
______
9
______
(1)补全上述表格中的信息；
(2)进入决赛后，资格赛成绩不带入决赛.每名选手最多完成40发，每发按照“击中”或“脱靶”统计，9.6环及以上计为击中，9.6环以下计为脱靶，只有击中才累计环数，按照总环数高低进行排名.若甲、乙两名选手均进入决赛，请你推断哪位选手更可能获胜，并说明理由．
24. (本小题5.0分)
实数a与b满足b= 4−a．
(1)写出a与b的取值范围；
(2)已知 3b是有理数．
①当a是正整数时，求b的值；
②当a是整数时，将符合条件的a的值从大到小排列，请直接写出排在第3个位置和11个位置的数．
25. (本小题6.0分)
在正方形ABCD中，点E在射线BD上，点M在BC的延长线上，CN为∠DCM的角平分线，点F为射线CN上一点，且CE=FE．
(1)如图，当点E在线段BD上时，补全图形，求证：2∠BEC+∠CEF=180°．
(2)在(1)的条件下，用等式表示线段CF，DE，BE之间的数量关系，并证明；
(3)若AB=4，BE=3DE，直接写出线段CF的长．
26. (本小题7.0分)
在平面直角坐标系xOy中，对于点P(x0,y0)，给出如下定义：若存在实数x1，x2，y1，y2使得x0−x1=x1−x2且y0−y1=y1−y2，则称点P为以点(x1,y1)和(x2,y2)为端点的线段的等差点．
(1)若线段m的两个端点坐标分别为(1,2)和(3,−2)，则下列点是线段m等差点的有______ ；(填写序号即可)
①P1(−1,6)；
②P2(2,0)；
③P3(4,−4)；
④P₄(5,−6)．
(2)点A，B都在直线y=−x上，已知点A的横坐标为−2，M(t,0)，N(t+1,1)．
①如图1，当t=−1时，线段AB的等差点在线段MN上，求满足条件的点B的坐标；
②如图2，点B横坐标为2，以AB为对角线构造正方形ACBD，在正方形ACBD的边上(包括顶点)任取两点连接的线段中，若线段MN上存在其中某条线段的等差点，直接写出t的取值范围______ ．
答案和解析
1.【答案】C
【解析】解：∵二次根式 x有意义，
∴x≥0．
故选：C．
根据二次根式有意义的条件，求解即可．
本题考查了二次根式有意义的条件，解本题的关键是熟练掌握二次根式中的被开方数是非负数．
2.【答案】B
【解析】解：由勾股定理得：斜边需用火柴棒的根数= 62+82=10(根)，
故选：B．
根据勾股定理列式计算即可．
本题考查的是勾股定理，如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a2+b2=c2．
3.【答案】D
【解析】解：∵ 8=2 2，
∴A不符合题意．
∵ 33≠13，
∴B不符合题意．
∵− (−3)2=−3，
∴C不符合题意．
∵ 12=2 3，
∴D符合题意．
故选：D．
根据基二次根式的性质一一排除即可得出结论．
本题考查了二次根式的性质与化简，其中熟练掌握二次根式的化简是解题的关键．
4.【答案】A
【解析】解：∵点A(2,y1)，B(3,y2)在函数y=−3x的图象上，
∴y1=−3×2=−6，y2=−3×3=−9，
∴y1>y2，
故选：A．
首先将点A(2,y1)，B(3,y2)代入y=−3x之中求出y1，y2即可得出答案．
此题主要考查了一次函数图象上的点的坐标，解答此题的关键是理解一次函数图象上的点都满足函数的表达式，满足一次函数表达式的点都在函数的图象上．
5.【答案】C
【解析】解：连接AB，
∵D、E分别是AC、BC的中点，
∴DE=12AB，
∵DE=5m，
∴AB=10(m)，
即A、B两点间的距离是10m，
故选：C．
连接AB，根据三角形的中位线性质得出AB=2DE，再代入求出答案即可．
本题考查了三角形的中位线性质，能根据三角形的中位线性质得出DE=12AB是解此题的关键，注意：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半．
6.【答案】A
【解析】解：由题意得：5k+3=5，解得：k=0.4，
∴y=0.4x+3，
∴0.4x+3>x，
解得：x<5，
故选：A．
先根据待定系数法求出一次函数的解析式，再解不等式求解．
本题考查了一次函数与一元一次不等式，掌握待定系数法是解题的关键．
7.【答案】D
【解析】解：∵DC⊥AB，
∴∠ACD=∠BCD=90°，
∵点E为DB的中点，
∴CE=12BD，
∴当BD⊥AE时，BD的值最小，
即线段CE的值最小，
∵∠A=45°，
∴△ABC是等腰直角三角形，
∴AD=BD= 22AB=6 2，
∴CE=12BD=3 2，
故线段CE的长的最小值为3 2，
故选：D．
根据直角三角形的性质得到CE=12BD，当BD⊥AE时，BD的值最小，即线段CE的值最小，推出△ABC是等腰直角三角形，得到AD=BD= 22AB=6 2，求得CE=12BD=3 2，于是得到结论．
本题考查了垂线段最短，直角三角形斜边上的中线，等腰直角三角形的性质，正确地得出当BD⊥AE时，BD的值最小是解题的关键．
8.【答案】D
【解析】解：足球队队员年龄按由小到大的顺序排列为：13、13、14、14、14、14、14、14、15、15、15、15、15、15、15、15，16、16、16、17、17、18，
A、平均数为：122×(2×13+6×14+8×15+3×16+2×17+18)=15<16，故选项表述错误，不符合题意；
B、中位数为：15+152=15，众数为15，项表述错误，不符合题意；
C、若今年和去年的球队成员完全一样，则今年方差与去年相等，故选项表述错误，不符合题意；
D、若年龄最大的选手离队，则方差将变小，故选项表述正确，符合题意；
故选：D．
根据平均数、中位数、众数和方差的定义进行判断．
本题考查了平均数、众数、中位数以及方差，掌握平均数、众数、中位数以及方差的意义是解题的关键．
9.【答案】110°
【解析】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠A=∠C，AD//BC，
∴∠A+∠B=180°，
∵∠A+∠C=140°，
∴∠A=70°，
∴∠B=180°−70°=110°，
故答案为：110°．
由平行四边形的性质可得∠A=∠C，∠A+∠B=180°，再求出∠A=70°，即可求出∠B的度数．
本题考查了平行四边形的性质，掌握平行四边形的性质是本题的关键．
10.【答案】③
【解析】解：∵2<2 2<3，
∴点E落在C和D之间．
故答案为：③．
根据2 2=8，而4<8<9，即可解决问题．
本题考查估算无理数的大小，实数与数轴，解题的关键是掌握数轴的知识．
11.【答案】4
【解析】解：如图，∵直角三角形的斜边长为2，
∴AB2+BC2=S1+S2=AC2=22=4，
故答案为：4．
根据勾股定理和正方形的面积公式即可得到结论．
本题考查了全等图形，勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键．
12.【答案】86
【解析】解：该选手的综合成绩为：90×50%+80×40%+90×10%=86，
故答案为：86．
根据加权平均数的计算方法进行计算即可．
本题考查加权平均数，掌握加权平均数的计算方法是正确解答的关键．
13.【答案】4 2
【解析】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠BAD=∠B=∠C=90°，AB=CD，
∵ED=5，CE=3，
∴CD= ED2−CE2= 52−32=4，
∴AB=4，
∵AD//BC，
∴∠DAE=∠BEA，
∵∠BAD的角平分线交BC于点E，
∴∠DAE=∠BAE，
∴∠BAE=∠BEA，
∴EB=AB=4，
∴AE= EB2+AB2= 42+42=4 2，
故答案为：4 2．
由矩形的性质得∠BAD=∠B=∠C=90°，AB=CD，由ED=5，CE=3，根据勾股定理得CD= ED2−CE2=4，则AB=4，由AD//BC，得∠DAE=∠BEA，而∠DAE=∠BAE，则∠BAE=∠BEA，所以EB=AB=4，则AE= EB2+AB2=4 2，于是得到问题的答案．
此题重点考查矩形的性质、勾股定理、平行线的性质、等腰三角形的判定等知识，证明EB=AB是解题的关键．
14.【答案】左 4
【解析】解：直线l：y=kx+b(k≠0)向上平移5个单位后的解析式为：y=kx+b+5，
直线l：y=kx+b(k≠0)向下平移5个单位后的解析式为：y=kx+b−5，
将点(3,7)代入y=kx+b+5，将点(7,7)代入y=kx+b−5，
得3k+b+5=77k+b−5=7，
解得：k=52，b=−112，
直线l为：y=52x−112，
设直线l向“左”平移后的解析式为y=52(x+m)−112，
∵过点(1,7)，
∴7=52+52m−112，
解得m=4，
∴直线l向左平移4个单位后过点(1,7)，
故答案为：左，4．
直线l：y=kx+b(k≠0)向上平移5个单位后的解析式为：y=kx+b+5，直线l：y=kx+b(k≠0)向下平移5个单位后的解析式为：y=kx+b−5，根据题意得到关于k、b的方程组，解方程组求得直线l的解析式为：y=52x−112，设直线l向“左”平移后的解析式为y=52(x+m)−112，代入点(1,7)，求得m的值，即可求出答案．
本题主要考查一次函数与几何变换的知识，一次函数图象上点的坐标特征，利用待定系数法求得直线l的解析式是解此题的关键．
15.【答案】解：(1)2 5− 20+ 45
=2 5−2 5+3 5
=3 5；
(2) 48÷ 3− 12× 8
= 16− 4
=4−2
=2．
【解析】(1)先把每一个二次根式化成最简二次根式，然后再进行计算即可解答；
(2)先计算二次根式的乘除法，再算减法，即可解答．
本题考查了二次根式的混合运算，准确熟练地进行计算是解题的关键．
16.【答案】证明：连接AC，设AC与BD交于点O.如图所示：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA=OC，OB=OD，
又∵BE=DF，
∴OE=OF．
∴四边形AECF是平行四边形．
【解析】由四边形ABCD是平行四边形易知OA=OC，OC=OD，再证得OE=OF，即可得出结论．
此题考查了平行四边形的性质和判定，熟练掌握平行四边形的判定与性质是解题的关键，解题时要注意选择适宜的判定方法．
17.【答案】(12,0) x>12
【解析】解：(1)
(2)一次函数图象与x轴交点坐标为(12,0)，当y<0时，自变量x的取值范围是x>12．
故答案为：(12,0)，x>12．
(1)一次函数y=−2x+1与x轴的交点为(12,0)，与y轴的交点为(0,1)，连接两点并延长即为一次函数的图形；
(2)求一次函数图象与x轴交点坐标，即y=0，代入解析式，求出x的值，y<0时，解不等式−2x+1<0或通过图象确定x的取值．
本题考查了一次函数的图象即图象的性质，解题的关键是掌握一次函数的图象特点和性质．
18.【答案】解：(1)所作点D如图所示：
(2)由图得：BC= 22+42=2 5，CE= 42+82=4 5，BE=10，
∴BC2+EC2=BE2，
∴三角形BCE是直角三角形，
∴BC⊥CE，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD//BC，
∴AD⊥CE．
【解析】(1)在过C点且平行于AB的直线上截取4个单位长度，即找到点D；
(2)证明三角形BCE是直角三角形，BC⊥EC，再由BC//AD，即可证明．
本题考查了作图能力，平行四边形的判断及勾股定理的逆定理等知识点是解题关键．
19.【答案】解：从节约材料的角度考虑，应选择中号底面型号的纸箱．理由如下：
∵甲乙两件礼品底面都是正方形，底面积分别为80cm2，180cm2，
∴甲礼品的底面边长为 80=4 5cm，乙礼品的底面边长为 180=6 5cm，
∵4 5+6 5=10 5，
∴20<10 5<25，6 5<20，
∴小号包装纸箱长度尺寸不够，大号包装纸箱长度尺寸偏大，中号包装纸箱长、宽尺寸适中，
∴从节约材料的角度考虑，应选择中号底面型号的纸箱．
【解析】根据甲乙两件礼品的底面积大小，可以估计这两件礼品的底面边长大小，然后与三款包装纸箱的尺寸比较，从而找到合适的纸箱．
本题考查了二次根式的应用，正方形的面积，无理数的估算，理解题意得出要求包装的纸箱的尺寸范围是解题的关键．
20.【答案】解：(1)设一次函数为y=kx+b(k≠0)，
∵一次函数的图象经过点A(2,4)，B(−1,1)，
∴2k+b=4−k+b=1，
解得k=1b=2，
∴这个一次函数的解析式为y=x+2；
(2)当直线y=mx经过点A(2,4)时，
则2m=4，
解得m=2，
当直线y=mx经过点B(−1,1)时，
则−m=1，
解得：m=−1，
∴当正比例函数y=mx(m≠0)的图象与线段AB有公共点时，m≤−1或m≥2．
【解析】(1)利用待定系数法求得即可．
(2)分别求出直线y=mx(m≠0)过点A、点B时m的值，再结合函数图象即可求出m的取值范围．
本题考查了待定系数法求一次函数的解析式，一次函数图象上点的坐标特征，一次函数与系数的关系，数形结合是解题的关键．
21.【答案】(1)证明：∵D，E分别是BC，AB的中点，
∴DE//AC且DE=AF=12AC．
同理DF//AB且DF=AE=12AB．
又∵AB=AC，
∴DE=DF=AF=AE，
∴四边形AEDF是菱形．
(2)解：∵AB=6，BC=10，点D，E，F分别为BC，AB，AC的中点，
∴BD=5，EF=5，
∴AD= AB2−BD2= 62−52= 11，
∴菱形AEDF的面积为12EF⋅AD=12×5× 11=5 112．
【解析】(1)由题意易得DE//AC且DE=AF=12AC，DF//AB且DF=AE=12AB.结合已知推导出DE=DF=AF=AE，从而证明四边形AEDF是菱形；
(2)依据点D，E，F分别为BC，AB，AC的中点，分别求出AD、EF，然后根据菱形AEDF的面积=12EF⋅AD解答即可．
此题主要考查菱形的判定及性质以及三角形中位线定理等，解答本题的关键是掌握三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半．
22.【答案】 5 2 ( 5−2)2+x2=12+(2−x)2 5−1
【解析】解：(1)补全图形如图：
(2)证明：作MP⊥AF于点P，连接MF，
设BM=x，则CM=2−x，
根据角平分线的性质，可知MP=BM=x，
∵EF是AB的垂直平分线，
∴DF=CF=12CD=12AD=1，
∴AF= AD2+DF2= 5，
∵AM=AM，BM=PM，
∴Rt△ABM≌Rt△APM(HL)，
∴AP=AB=2，
∴PF=AF−AP= 5−2，
在Rt△MPF和Rt△CMF中，
由勾股定理可得MP2+PF2=MF2=MC2+CF2，
∴( 5−2)2+x2=12+(2−x)2，
解得BM=x= 5−1，
∴BMAB= 5−12，
∴矩形ABMN为黄金矩形．
故答案为： 5，2，( 5−2)2+x2=12+(2−x)2， 5−1．
(1)根据题意作图即可；
(2)作MP⊥AF于点P，连接MF，设BM=x，则CM=2−x，由角平分线的性质可得MP=BM=x，求出AF= 4D2+DF2= 5，证明Rt△ABM≌Rt△APM(HL)，得到AP=AB=2，则PF=AF−AP= 5−2，由勾股定理得到( 5−2)2+x2=12+(2−x)2，解得BM=x= 5−1.所以BMAB= 5−12，即得矩形ABMN为黄金矩形．
本题主要考查了矩形的性质，勾股定理，角平分线的性质，全等三角形的性质与判定，垂线的尺规作图等，灵活运用所学知识是解题的关键．
23.【答案】9 9 10
【解析】解：(1)由题意得，甲资格赛成绩的中位数为9+92=9，
乙资格赛成绩的平均数为：160×(6×3+7×3+8×12+9×15+10×27)=9，
乙资格赛成绩的众数为10．
故答案为：9，9，10；
(2)乙选手更可能获胜，理由如下：
在资格赛成绩中，甲9.6环及以上所占百分比为：14+2160×100%≈58.3%，
乙9.6环及以上所占百分比为：11+2760×100%≈63.3%，
∵63.3%>58.3%，
∴推断乙选手更可能获胜．
(1)分别根据中位数、加权平均数以及众数的定义解答即可；
(2)比较资格赛两人9.6环及以上所占比例即可．
本题考查了众数、中位数以及平均数，掌握众数、中位数以及平均数的定义是解题的关键．
24.【答案】解：(1)要使 4−a在实数范围有意义，须有4−a≥0，
∴a≤4，
∴b≥0．
(2)①∵a是正整数，
∴a只能是4、3、2、1．
又∵ 3b是有理数，
∴a只能是4或1．
当a=4时，b=0， 3b=0；
当a=1时，b= 3， 3b= 3．
∴b=0或b= 3．
②∵a是整数，且 3b是有理数，
∴b是 3的整数倍．
∵符合条件的a的第一值为a=4，b=0，
∴设b= 3(m−1)(m=1,2,3…)，
∴ 4−a= 3(m−1)，两边同时平方并整理得，a=−3(m−1)2+4．
∴当m=3时，a=−8，b=2 3， 3b= 3×2 3=6是有理数；
当m=11时，a=−296，b=10 3， 3b= 3×10 3=30是有理数．
∴当a是整数时，将符合条件的a的值从大到小排列，排在第3个位置和11个位置的数分别是−8和−296．
【解析】(1)要使二次根式有意义，被开方数须不小于0，由此得出a与b的取值范围；
(2)①当a是正整数时，a只能是4、3、2、1，从中选出符合条件的b的值即可；
②若a是整数，且 3b是有理数，则b必是 3的整数倍．可设b= 3(m−1)(m=1,2,3…)，整理为a=−3(m−1)2+4，分别计算当m=3和m=11时a的值即可．
本题考查实数及其大小比较，比较简单，但该部分内容非常重要，是中学数学的基础，一定要牢牢掌握．
25.【答案】(1)证明：如图1，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ABC=∠BCD=90°，∠CBD=12∠ABC=45°，
∴∠DCM=90°，
∵CN平分∠DCM，
∴∠MCN=45°，
∴∠CBD=∠MCN，
∴CN//BD，
∴∠BEC=∠ECF，
∵CE=FE，
∴∠ECF=∠EFC，
∴∠BEC=∠ECF=∠EFC，
在△ECF中，∠ECF+∠EFC+∠CEF=180°，
∴2∠BEC+∠CEF=180°；
(2)解：CF+DE=BE，证明如下：
如图2，连接AC交BD于点O，过点E作EH⊥CF于点H，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AC⊥BD，
由(1)可知，CN//BD，
∴EH⊥BD，
∴EH//AC，
∴四边形CHEO是矩形，
∴CH=OE，
∵CE=FE，EH⊥CF，
∴CH=FH，
∴CF=2CH=2OE=2(BE−OB)=2BE−2OB=2BE−BD=BE−(BD−BE)=BE−DE，
∴CF+DE=BE；
(3)解：∵四边形ABCD是正方形，AB=4，
∴AD=AB=4，OB=OD，∠BAD=90°，
∴BD= 2AB=4 2，
∴OB=12BD=2 2，
①点E在线段BD上时，BE+DE=BD=4 2，
∵BE=3DE，
∴4DE=4 2，
∴DE= 2，
由(2)可知，CF+DE=BE，
∴CF=BE−DE=2DE=2 2；
②如图3，点E在线段BD的延长线上时，BE=DE+BD，
连接AC交BD于点O，过点E作EH⊥CF于点H，
∵BE=3DE，
∴2DE=4 2，
∴DE=2 2，
∴BE=3DE=6 2，
∵EH⊥CF，CE=FE，
∴CF=2CH=2OE=2(BE−OB)=2(6 2−2 2)=8 2；
综上所述，线段CF的长为2 2或8 2．
【解析】(1)证∠CBD=∠MCN，得CN//BD，再由平行线的性质和等腰三角形的性质得∠BEC=∠ECF=∠EFC，然后由三角形内角和定理即可得出结论；
(2)连接AC交BD于点O，过点E作EH⊥CF于点H，证四边形CHEO是矩形，得CH=OE，再由等腰三角形的性质得CH=FH，即可解决问题；
(3)分两种情况，①点E在线段BD上时，BE+DE=BD=4 2，求出DE= 2，再由(2)可知，CF+DE=BE，即可得出结论；
②点E在线段BD的延长线上时，BE=DE+BD，连接AC交BD于点O，过点E作EH⊥CF于点H，求出DE=2 2，则BE=3DE=6 2，再由等腰三角形的性质即可得出结论．
本题是四边形综合题目，考查了正方形的性质、矩形的判定与性质、平行线的判定与性质、等腰三角形的性质、角平分线定义、三角形内角和定理以及分类讨论等知识，本题综合性强，熟练掌握正方形的性质和等腰三角形的性质是解题的关键，属于中考常考题型．
26.【答案】①④ −7≤t≤−2或1≤t≤6
【解析】解：(1)m的两个端点坐标分别为(1,2)和(3,−2)
①P1(−1,6)：∵−1−1=1−3，6−2=2−(−2)，
∴P1(−1,6)是等差点；
②P2(2,0)：∵2−1≠1−3，且2−3≠3−1，
∴P2(2,0)不是等差点；
③P3(4,−4)：∵4−1≠1−3，且4−3≠3−1，
∴P3(4,−4)不是等差点；
④P4(5,−6)：∵5−3=3−1，且−6−(−2)=(−2)−2，
∴P4(5,−6)是等差点．
故答案为：①④．
(2)①∵点A直线y=−x上，横坐标为−2，
∴A(−2,2)，
当t=−1时，M(−1,0)，N(0,1)，
设直线MN解析式为y=kx+b(k≠0)，
则−x+b=0b=1，
解得k=1b=1，
∴直线MN解析式为y=x+1，
联立y=x+1y=−x，
解得x=−0.5y=0.5，
∴交点即等差点坐标为(−0.5,0.5)；
设点B(a,−a)，
则−0.5−a=a−(−2)或−0.5−(−2)=(−2)−a，
解得a=−1.25或a=−1.75，
∴B(−1.25,1.25)或(−3.5,3.5)；
②如图，点B横坐标为2，以AB为对角线构造正方形ACBD，
可知A(−2,2)，B(2,−2)，C(−2,−2)，D(2,2)，且M(t,0)，N(t+1,1)分别在x轴、直线y=1上，
根据等差点定义知，正方形上两点(2,2)，(−2,1.5)的一个等差点为(−6,1)，
∴点N(t+1,1)位于N1(−6,1)时，t取最小值，
∴t+1=−6，
即t=−7；
正方形上两点(−2,2)，(2,1)的一个等差点为(6,0)，
∴点M(t,0)位于M4(6,0)时，t取最大值，
即t=6；
∵正方形ACBD的边上(包括顶点)任取两点连接的线段的等差点不可能出现在正方形内部，
∴t≤−2或t+1≥2，
即t≤−2或t≥1，
综上，−7≤t≤−2或1≤t≤6．
故答案为：−7≤t≤−2或1≤t≤6．
(1)m的两个端点坐标分别为(1,2)和(3,−2)，根据定义计算检验即可；
(2)①根据解析式得A(−2,2)，当t=−1时，M(−1,0)，N(0,1)，待定系数法确定直线MN解析式为y=x+1，联立y=−x，求解交点即等差点坐标为(−0.5,0.5)；设点B(a,−a)，根据定义即可求解；
②如图，点B的横坐标为2，可知A(−2,2)，B(2,−2)，C(−2,−2)，D(2,2)，且M(t,0)，N(t+1,1)分别在x轴、直线y=1上，如图，正方形上两点(2,2)，(−2,1.75)的一个等差点为(−6,1)，点N(t+1,1)位于N1(−6,1)时，t取最小值，t=−7；正方形上两点(−2,2)，(2,1)的一个等差点为(6,0)，点M(t,0)位于M4(6,0)时，t取最大值，t=6；任取两点连接的线段的等差点不可能出现在正方形内部，故t≤−2或t≥1，所以−7≤t≤−2或1≤t≤6．
本题考查一次函数的综合应用，主要考查正方形性质，一次函数，待定系数法求解析式，理解新定义是解题的关键，注意动态问题的多情况分析．
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