2022-2023学年北京市海淀区八年级（下）期末考试数学试卷（含解析）

这是一份2022-2023学年北京市海淀区八年级（下）期末考试数学试卷（含解析），共29页。试卷主要包含了选择题，填空题，计算题，解答题等内容，欢迎下载使用。

2022-2023学年北京市海淀区八年级（下）期末考试数学试卷
一、选择题（本大题共8小题，共24.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 要使二次根式 x有意义，那么x的取值范围是(    )
A. x>0 B. x<0 C. x≥0 D. x≤0
2. 用长度相等的火柴棒首尾相连拼接直角三角形，若其中两条直角边分别用6根和8根火柴棒，则斜边需用火柴棒的根数为(    )
A. 12 B. 10 C. 8 D. 6
3. 下列化简正确的是(    )
A. 6=3 B. 33=13 C. − (−3)2=3 D. 12=2 3
4. 在平面直角坐标系xOy中，点A2,y1，B3,y2在函数y=−3x的图像上，则(    )
A. y1>y2 B. y1=y2 C. y1 5. 如图，A，B两点被池塘隔开，小林在池塘外选定一点C，然后测量出CA，CB的中点D，E的距离，若DE=5m，则A，B两点间的距离为(    )

A. 5m B. 7.5m C. 10m D. 15m
6. 一次函数y=ax+b的自变量和函数值的部分对应值如下表所示：
x
0
5
y
3
5
则关于x的不等式ax+b>x的解集是(    )

A. x<5 B. x>5 C. x<0 D. x>0
7. 如图，AB=12，∠A=45∘，点D是射线AF上的一个动点，DC⊥AB，垂足为点C，点E为DB的中点，则线段CE的长的最小值为(    )

A. 6 B. 2 3 C. 6 D. 3 2
8. 某校足球队队员年龄分布如图所示，下面关于该队年龄统计数据的说法正确的是(    )

A. 平均数比16大
B. 中位数比众数小
C. 若今年和去年的球队成员完全一样，则今年方差比去年大
D. 若年龄最大的选手离队，则方差将变小
二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）
9. 在▱ABCD中，若∠A+∠C=140∘，则∠B=            ∘．
10. 如图，数轴上点A，B，C，D所对应的数分别是−1，1，2，3，若点E对应的数是2 2，则点E落在          之间．(填序号)
  
①A和B    ②B和C    ③C和D

11. 如图，大正方形是由四个全等的直角三角形和面积分别为S1，S2的两个正方形所拼成的．若直角三角形的斜边长为2，则S1+S2的值为          ．

12. 在一次演讲比赛中，甲的演讲内容、演讲能力、演讲效果成绩如下表所示：
项目
演讲内容
演讲能力
演讲效果
成绩
90
80
90
若按照演讲内容占50%，演讲能力占40%，演讲效果占10%，计算选手的综合成绩，则该选手的综合成绩为          ．

13. 在矩形ABCD中，∠BAD的角平分线交BC于点E，连接ED，若ED=5，CE=3，则线段AE的长为          ．

14. 已知直线l:y=kx+b(k≠0)，将直线l向上平移5个单位后经过点(3,7)，将直线l向下平移5个单位后经过点(7,7)，那么直线l向          (填“左”或“右”)平移          个单位后过点(1,7)．
三、计算题（本大题共1小题，共6.0分）
15. 计算：
(1)2 5− 20+ 45；
(2) 48÷ 3− 12× 8．

四、解答题（本大题共11小题，共52.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
16. (本小题4.0分)
如图，将平行四边形ABCD的对角线BD向两个方向延长，分别至点E和点F，且使BE=DF.求证：四边形AECF是平行四边形．


17. (本小题4.0分)
已知一次函数y=−2x+1．
  
(1)在下图所示的平面直角坐标系中，画出该一次函数的图象；
(2)该一次函数图象与x轴交点坐标为__________.当y<0时，自变量x的取值范围是__________．

18. (本小题4.0分)
如图，小明在方格纸中选择格点作为顶点画▱ABCD和△BCE．
  
(1)请你在方格纸中找到点D，补全▱ABCD；
(2)若每个正方形小格的边长为1，请计算线段CE的长度并判断AD与CE的位置关系，并说明理由．

19. (本小题4.0分)
快递公司为顾客交寄的快递提供纸箱包装服务．现有三款包装纸箱，底面规格如下表：
型号
长
宽
小号
20cm
18cm
中号
25cm
20cm
大号
30cm
25cm
  已知甲、乙两件礼品底面都是正方形，底面积分别为80cm2，180cm2，若要将它们合在一个包装箱中寄出，底面摆放方式如左上图，从节约材料的角度考虑，应选择哪种底面型号的纸箱？请说明理由．

20. (本小题4.0分)
已知一次函数的图像经过点A(2,4)，B(−1,1)．

(1)求这个一次函数的解析式；
(2)若正比例函数y=mx(m≠0)的图像与线段AB有公共点，直接写出m的取值范围．

21. (本小题4.0分)
如图，在△ABC中，AB=AC，点D，E，F分别为BC，AB，AC的中点．

(1)求证：四边形AEDF是菱形；
(2)若AB=6，BC=10，求四边形AEDF的面积．

22. (本小题5.0分)
邻边比为 5−12的矩形叫做“黄金矩形”.黄金矩形给我们以协调、匀称的美感．若要将一张边长为2的正方形纸片ABCD剪出一个以AB为边的黄金矩形ABMN，小松同学的作法如下：
  
①作AB的垂直平分线分别交AB，CD于点E，F；
②连接AF，作∠BAF的角平分线，交BC于点M；
③过点M作MN⊥AD于点N；
矩形ABMN即为所求．
(1)根据上述作图过程，补全图形；
(2)小松证明四边形ABMN是黄金矩形的思路如下：
作MP⊥AF于点P，连接MF，设BM=x，
根据角平分线的性质，可知MP=BM=x．
根据条件，可求得AF的长度为__________，AP的长度为__________．
在Rt▵MPF和Rt▵CMF中，由勾股定理可得MP2+PF2=MF2=MC2+CF2．
由此可列关于x的方程为__________．
解得BM=x=__________．
所以BMAB= 5−12，矩形ABMN为黄金矩形．

23. (本小题5.0分)
甲、乙两名选手参加25米手枪速射资格赛．资格赛规则为每名选手完成60发射击，得分按整数计．例如：9.7环计9分，每发最高得10分，满分600分．甲、乙各射击60发的成绩如下表所示：

已知甲、乙两名选手在资格赛中9分段的详细数据如下：
甲的9分段频数分布表
分组(环)
频数
9.0≤x<9.2
2
9.2≤x<9.4
3
9.4≤x<9.6
2
9.6≤x<9.8
5
9.8≤x<10
9
  根据以上信息，整理分析两名选手得分数据如下：
选手
平均数
中位数
众数
甲
8.9

9，10
乙

9

(1)补全上述表格中的信息；
(2)进入决赛后，资格赛成绩不带入决赛，每名选手最多完成40发，每发按照“击中”或“脱靶”统计，9.6环及以上计为击中，9.6环以下计为脱靶、只有击中才累计环数，按照总环数高低进行排名．若甲、乙两名选手均进入决赛，请你推断哪位选手更可能获胜，并说明理由．

24. (本小题5.0分)
实数a与b满足b= 4−a．
(1)写出a与b的取值范围；
(2)已知 3b是有理数．
①当a是正整数时，求b的值；
②当a是整数时，将符合条件的a的值从大到小排列，请直接写出排在第3个位置和第11个位置的数．

25. (本小题6.0分)
在正方形ABCD中，点E在射线BD上，点M在BC的延长线上，CN为∠DCM的角平分线，点F为射线CN上一点，且CE=FE．
  
(1)如图，当点E在线段BD上时，补全图形，求证：2∠BEC+∠CEF=180∘；
(2)在(1)的条件下，用等式表示线段CF，DE，BE之间的数量关系，并证明；
(3)若AB=4，BE=3DE，直接写出线段CF的长．

26. (本小题7.0分)
在平面直角坐标系xOy中，对于点P(x0,y0)，给出如下定义：若存在实数x1，x2，y1，y2使得x0−x1=x1−x2且y0−y1=y1−y2，则称点P为以点(x1,y1)和(x2,y2)为端点的线段的等差点．
  
(1)若线段m的两个端点坐标分别为(1,2)和(3,−2)，则下列点是线段m等差点的有__________；(填写序号即可)
①P1(−1,6)；②P2(2,0)；③P3(4,−4)；④P4(5,−6)．
(2)点A，B都在直线y=−x上，已知点A的横坐标为−2，M(t,0)，N(t+1,1)．
①如图1，当t=−1时，线段AB的等差点在线段MN上，求满足条件的点B的坐标；
②如图2，点B横坐标为2，以AB为对角线构造正方形ACBD，在正方形ACBD的边上(包括顶点)任取两点连接的线段中，若线段MN上存在其中某条线段的等差点，直接写出t的取值范围__________．

答案和解析

1.【答案】C 
【解析】
【分析】根据二次根式有意义的条件，求解即可．
【详解】解：∵二次根式 x有意义，
∴x≥0．
故选：C
【点睛】本题考查了二次根式有意义的条件，解本题的关键是熟练掌握二次根式中的被开方数是非负数．
  
2.【答案】B 
【解析】
【分析】根据勾股定理求解．
【详解】要构成直角三角形，则第三边平方=62+82=100
∴第三边=10；
故选：B．
【点睛】本题考查勾股定理，解题的关键是掌握勾股定理．
  
3.【答案】D 
【解析】
【分析】利用二次根式的化简逐一判断即可解题．
【详解】解：A． 6是最简二次根式，故不正确；
B. 33是最简二次根式，故不正确；
C.− (−3)2=−3，故不正确；
D. 12=2 3，正确；
故选D．
【点睛】本题考查二次根式的化简，掌握二次根式的化简是解题的关键．
  
4.【答案】A 
【解析】
【分析】根据一次函数的增减性即可求解．
【详解】解：函数y=−3x在平面直角坐标系xOy中，y随x的增大而减小，
∵2<3，
∴y1>y2，
故选：A．
【点睛】本题主要考查一次函数的性质，理解并掌握一次函数的增减性是解题的关键．
  
5.【答案】C 
【解析】
【分析】连接AB，根据三角形的中位线性质得出DE=12AB，再代入求出答案即可．
【详解】连接AB，
∵D、E分别是AC、BC的中点，
∴DE=12AB，
∵DE=5m，
∴AB=10(m)，
即A、B两点间的距离是10m，
故选：C．
    
【点睛】本题考查了三角形的中位线性质，能根据三角形的中位线性质得出DE=12AB是解此题的关键，注意：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半．
  
6.【答案】A 
【解析】
【分析】根据待定系数法先求出一次函数的解析式，再运用不等式的性质解一元一次不等式即可求解．
【详解】解：根据题意可知，一次函数y=ax+b的图像过(0,3)，(5,5)，
∴b=35a+b=5，解得，a=25b=3,
∴一次函数的解析式为y=25x+3，
∴解不等式25x+3>x，
移项，x−25x<3，
合并同类项，35x<3，
系数化为1，x<5，
故选：A．
【点睛】本题主要考查一次函数与一元一次不等式的综合，掌握待定系数法求一次函数解析式，解一元一次不等式的方法是解题的关键．
  
7.【答案】D 
【解析】
【分析】由直角三角形的斜边上的中线等于斜边的一半可以得到CE=12BD，继而分析可知当BD⊥AF时，BD长最小，此时CE的长最小，利用勾股定理计算解题即可．
【详解】解：由题意可知：∠DCB=90∘，
∵点E为DB的中点，
∴CE=12BD，
当BD⊥AF时，BD长最小，此时CE的长最小，
∵∠A=45∘，
∴∠B=45∘=∠A，
∴DA=DB,
∴DC=CA=CB=6，
∴BD= DC2+BC2= 62+62=6 2，
即CE=3 2，
故选：D．
【点睛】本题考查勾股定理，直角三角形的性质，掌握直角三角形斜边中线等于斜边的一半是解题的关键．
  
8.【答案】D 
【解析】
【分析】根据方差，平均数，众数和中位数的定义进行求解判断即可．
【详解】解：平均数为2×13+6×14+8×15+3×16+2×17+182+6+8+3+2+1=15，故 A不符合题意；
∵一共有2+6+8+3+2+1=22(人)，
∴把年龄按照从小到大排列，中位数为第11名和第12名年龄的平均数，即中位数为15+152=15，
∵年龄为15的人数最多，
∴众数为15，
∴中位数与众数相等，故B不符合题意；
∵去年的所有成员都比今年对应成员小一岁，
∴去年的平均数为14岁，
∴去年的方差为2×(12−14)2+6×(13−14)2+8×(14−14)2+3×(15−14)2+2×(16−14)2+(17−14)222≈1.55今年的方差为2×(13−15)2+6×(14−15)2+8×(15−15)2+3×(16−15)2+2×(17−15)2+(18−15)222≈1.55，
∴今年方差跟去年方差相同，故C不符合题意；
年龄最大的选手离队，方差将变小，故D符合题意；
故选D．
【点睛】本题主要考查了求方差，平均数，众数和中位数，熟知相关定义是解题的关键．
  
9.【答案】 110∘/110度 
【解析】
【分析】根据平行四边形对角相等求出∠A=∠C=70∘，再根据∠A+∠B=180∘，即可得到答案．
【详解】解：如图，
  
在▱ABCD中，∠A+∠C=140∘，∠A=∠C，AB//CD，
∴∠A=∠C=70∘，∠C+∠B=180∘，
∴∠B=180∘−∠C=110∘，
故答案为：110∘
【点睛】此题考查了平行四边形的性质，熟练掌握平行四边形对角相等是解题的关键
  
10.【答案】③ 
【解析】
【分析】利用无理数的估算解题即可．
【详解】解：∵2<2 2= 8<3，
∴点E落在C和D之间，
故答案为：③．
【点睛】本题考查无理数的估算，掌握无理数的估算方法是解题的关键．
  
11.【答案】4 
【解析】
【分析】根据勾股定理与正方形的面积计算方法即可求解．
【详解】解：如图所示，

根据题意得，△AEF≌△FAK≌△FHC≌△CGF，AF=CF=2，四边形ABCD,BHFK,DEFG都是正方形，
∴AE=KF=BH=BK=HF，AK=EF=DG=ED=FG=HC，
在Rt△AEF中，AF2=EF2+AE2，
∵S1=AE2,S2=EF2，
∴S1+S2=AE2+EF2=AF2=22=4，
故答案为：4．
【点睛】本题主要考查图形与面积的计算方法，掌握勾股定理，正方形的面积计算方法是解题的关键．
  
12.【答案】86 
【解析】
【分析】利用加权平均数的计算方法解题即可．
【详解】解：选手的综合成绩为90×50%+80×40%+90×10%=86,
故答案为：86
【点睛】本题考查加权平均数的计算，掌握加权平均数的计算方法是解题的关键．
  
13.【答案】 4 2 
【解析】
【分析】先利用勾股定理求出DC=4，利用矩形的性质和角平分线可以得到BE=AB=CD=4，再利用勾股定理解题即可．
【详解】解：∵ABCD是矩形，
∴AB=CD,∠BAD=∠B=∠C=90∘，
在Rt△DCE中，
DC= DE2−CE2= 52−32=4，
又∵AE是∠BAD的角平分，
∴∠BAE=45∘，
∴∠AEB=45∘=∠BAE，
∴BE=AB=CD=4，
∴AE= AB2+BE2= 42+42=4 2，
故答案为：4 2．
【点睛】本题考查勾股定理，矩形的性质，等腰三角形的判定，灵活运用勾股定理进行计算是解题的关键．
  
14.【答案】左     
4
 
【解析】
【分析】结合已知条件，根据一次函数的图象平移性质列得关于k，b的二元一次方程组，从而求得直线l的解析式，然后设它向左平移m个单位后过点1,7，列得关于m的方程，解方程即可．
【详解】已知直线l:y=kx+bk≠0
则该直线向上平移5个单位后对应的解析式为y=kx+b+5k≠0
∵它过点3,7
∴3k+b+5=7
原直线向下平移5个单位后对应的解析式为y=kx+b−5k≠0
∵它过点7,7
∴7k+b−5=7
解方程组3k+b+5=77k+b−5=7得k=52b=−112,
∴y=52x−112
设它向左平移m个单位后过点1,7
y=52x+m−112过点1,7
即521+m−112=7
解得：m=4
即直线向左平移4个单位后过点1,7，
故答案为：左，4．
【点睛】本题考查一次函数图像的平移，掌握“左加右减，上加下减”的平移规律是解题的关键．
  
15.【答案】(1)解：2 5− 20+ 45
=2 5−2 5+3 5
=3 5
(2)解： 48÷ 3− 12× 8
= 16− 4
=4−2
=2
 
【解析】
【分析】(1)先化简二次根式，然后合并计算即可；
(2)先运用二次根式的乘除法则计算，然后合并解题即可．
【点睛】本题考查二次根式的混合运算，掌握运算法则和运算顺序是解题的关键．
  
16.【答案】解：证明：连接AC，设AC与BD交于点O.如图所示：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA=OC，OB=OD，
又∵BE=DF，
∴OE=OF．
∴四边形AECF是平行四边形．

 
【解析】
【分析】由四边形ABCD是平行四边形易知OA=OC，OB=OD，再证得OE=OF，即可得出结论．
【点睛】此题考查了平行四边形的性质和判定，解题时要注意选择适宜的判定方法．
  
17.【答案】(1)解：当x=0时，y=−2×0+1=1，
当y=0时，0=−2x+1，
∴x=12．
如图，
  
(2)∵y=0时，x=12，
∴一次函数图象与x轴交点坐标为12,0．
由图象可知，当y<0时，自变量x的取值范围是x>12．
故答案为：12,0，x>12．
 
【解析】
【分析】(1)用两点法画图即可；
(2)由(1)可得一次函数图象与x轴交点坐标，根据图形可得当y<0时，自变量x的取值范围．
【点睛】本题考查了两点法画一次函数图象，一次函数图形与坐标轴的交点，以及利用图象解不等式，正确画出图象是解答本题的关键．
  
18.【答案】(1)解：如图所示，即为所求；
∵AB=CD,AB//CD，
∴四边形ABCD是平行四边形；
  
(2)解：AD⊥CE，理由如下：
由勾股定理得CE2=42+82=80，BC2=22+42=20，BE2=102=100，
∴CE=4 5，CE2+BC2=BE2，
∴△BCE是直角三角形，即∠BCE=90∘，
∴BC⊥CE
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD//BC，
∴AD⊥CE．
 
【解析】
【分析】(1)如图所示，取格点D，连接AD、CD，则四边形ABCD即为所求；
(2)利用勾股定理求出CE2 ，BC2、BE2，进而求出CE的长，再利用勾股定理的逆定理证明BC⊥CE，由平行四边形的性质可得AD//BC，由此可得AD⊥CE．
【点睛】本题主要考查了勾股定理和勾股定理的逆定理，平行四边形的性质与判定等等，灵活运用所学知识是解题的关键．
  
19.【答案】解：应选择中型号的纸箱，理由如下：
∵甲、乙两件礼品底面都是正方形，底面积分别为80cm2，180cm2，
∴甲、乙两件礼品的边长分别为4 5cm,6 5cm，
∴甲、乙两件礼品的边长之和为45+65=105(cm)，
∵400<500<625<900，
∴20<10 5<25<30，
∴只有中型号和大型号两个型号可供选择，
∵25×20<30×25，
∴从节约材料的角度考虑，应选择中底面型号的纸箱．
 
【解析】
【分析】先求出甲、乙两件礼品的边长之和为10 5cm，进而估算出20<10 5<25<30，由此即可得到答案．
【点睛】本题主要考查了二次根式的应用，正确估算出甲、乙两件礼品的边长之和的范围是解题的关键．
  
20.【答案】(1)解：∵一次函数的图像经过点A(2,4)，B(−1,1)，设一次函数解析式为y=kx+b(k≠0)，
∴2k+b=4−k+b=1，解得，k=1b=2,
∴一次函数解析式为y=x+2．
(2)解：正比例函数y=mx(m≠0)的图像与线段AB有公共点，
∴y=x+2y=mxm≠0，解得，x=2m−1y=2mm−1m≠0且m≠1，
∴当x=2m−1的取值有意义，正比例函数y=mx(m≠0)的图像与线段AB有公共点，
∴m≠0且m≠1．
 
【解析】
【分析】(1)运用待定系数法即可求解；
(2)根据两直线有交点，联立方程组求解即可．
【点睛】本题主要考查待定系数法求一次函数解析式，两直线交点坐标的计算方法，掌握以上知识的综合运用是解题的关键．
  
21.【答案】(1)证明：∵点D，E，F分别为BC，AB，AC的中点，
∴DE是△ABC的中位线，AF=12AC，
∴DE=12AC=AF，
同理可得DF=12AB=AE，
∵AB=AC，
∴DE=AF=AE=DF，
∴四边形AEDF是菱形；
(2)解：设AD、EF交于O，
同理可证EF是△ABC的中位线，
∴EF=12BC=5，
∵AB=6，
∴AE=3，
∵四边形AEDF是菱形，
∴AD⊥EF,OE=12EF=2.5，AD=2OA，
在Rt▵AEO中，由勾股定理得OA= AE2−OE2= 112，
∴AD= 11，
∴S菱形AEDF=12AD⋅EF=5 112．
  
 
【解析】
【分析】(1)证明DE是△ABC的中位线，得到DE=12AC=AF，同理可得DF=12AB=AE，再由AB=AC，得到DE=AF=AF=DF，则四边形AEDF是菱形；
(2)设AD、EF交于O，利用三角形中位线定理求出EF=5，再根据菱形的性质和勾股定理求出AD的长即可得到答案．
【点睛】本题主要考查了菱形的性质与判定，勾股定理，三角形中位线定理，熟知菱形的性质与判定定理是解题的关键．
  
22.【答案】(1)解：如图所示，即为所求；
  
(2)证明：作MP⊥AF于点P，连接MF，
设BM=x，则CM=2−x，
根据角平分线的性质，可知MP=BM=x，
∵EF是AB的垂直平分线，  
∴DF=CF=12AD=1，
∴AF= AD2+DF2= 5，
∵AM=AM,BM=PM，
∴Rt△ABM≌Rt△APM(HL)，
∴AP=AB=2，
∴PF=AF−AP= 5−2，
在Rt▵MPF和Rt▵CMF中，由勾股定理可得MP2+PF2=MF2=MC2+CF2．
∴ 5−22+x2=12+2−x2．
解得BM=x= 5−1．
所以BMAB= 5−12，
∴矩形ABMN为黄金矩形．
  
 
【解析】
【分析】(1)根据题意作图即可；
(2)作MP⊥AF于点P，连接MF，设BM=x，则CM=2−x，由角平分线的性质可得MP=BM=x，求出AF= AD2+DF2= 5，证明Rt△ABM≌Rt△APM(HL)得到AP=AB=2，则PF=AF−AP= 5−2，勾股定理得到 5−22+x2=12+2−x2，解得BM=x= 5−1.所以BMAB= 5−12，则矩形ABMN为黄金矩形．
【点睛】本题主要考查了矩形的性质，勾股定理，角平分线的性质，全等三角形的性质与判定，垂线的尺规作图等等，灵活运用所学知识是解题的关键．
  
23.【答案】(1)解：∵每名选手完成60发射击，
∴甲得分为8的频数为：60−3−3−21−21=12，
乙得分为9的频数为：60−3−3−12−27=15，
∴甲乙射击的图如下所示，

∴甲的中位数为60÷2=30，即为频数30、31的平均得分，由上图知，中位数为9；
乙的平均数为(3×6+3×7+12×8+15×9+27×10)÷60=9，众数为频数最大的得分，即为10；
∴两名选手得分数据如下：
选手
平均数
中位数
众数
甲
8.9
9
9，10
乙
9
9
10
(2)解：设每位选手射击得分在9.6环及以上为事件A，
由题目信息可知，当每位选手完成60发射击时，
甲的得分在9.6环及以上的频数为5+9=14，乙的得分在9.6环及以上的频数为3+8=11，
∴P(A)1=1460=730，P(A)2=1160，
∵P(A)1>P(A)2，
∴甲选手更可能获胜．
 
【解析】
【分析】(1)根据题目所给信息求出中位数、平均数、众数即可；
(2)题目求的是两位选手的获胜可能性，要用概率来解决此类问题，根据题目信息来计算即可．
【点睛】本题主要考查中位数、平均数、众数以及概率等相关概念，根据题目所给信息计算是关键．
  
24.【答案】(1)a≤4,b≥0
(2)①b= 3或b=0②a=−8,a=−296
 
【解析】
【分析】(1)由二次根式有意义的条件解题即可；
(2)①把正整数a的值一次代入，将 3b是有理数的数值留下即可；②要使 3b是有理数，则b为 3的整数倍，即可以得到知第3个数b=2 3，第11个数b=10 3，代入求出a的值．
【详解】(1)解：由题可知：4−a≥0b≥0
解得：a≤4,b≥0;
(2)①∵a是正整数时，
∴a可以取1,2,3,4，
这时b的对应值为： 3, 2,1,0，
又∵ 3b是有理数，
∴b= 3或b=0；
②∵ 3b是有理数，
∴b是 3的整数倍，
当a是正整数时，则a=4,a=1，
由①可知第3个数b=2 3，第11个数b=10 3，
即4−a=12,4−a=300，
解得：a=−8,a=−296．
【点睛】本题考查二次根式有意义的条件和二次根式的乘法，掌握二次根式的有意义条件是解题的关键．
  
25.【答案】(1)解：如图所示，即为所求；
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠DBC=45∘,∠BCD=∠DCM=90∘，
∵CN为∠DCM的角平分线，
∴∠FCM=12∠DCM=45∘，
∴∠FCM=∠DBC，
∴BD//CF，
∴∠BEC=∠ECF，
∵CE=FE，
∴∠ECF=∠EFC，
∵∠ECF+∠EFC+∠CEF=180∘，
∴2∠ECF+∠CEF=180∘，
∴2∠BEC+∠CEF=180∘；
  
(2)解：BE=CF+DE，证明如下：
如图所示，在BD上截取BH=CF，连接CH、DF，
∵CN为∠DCM的角平分线，
∴∠DCF=12∠DCM=45∘，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠DBC=45∘,BC=CD，
∴∠CBH=∠DCF，
∴△CBH≌△DCFSAS，
∴CH=DF，∠CHB=∠DFC，
∵CF//BD，
∴∠BDF+∠DFC=180∘，
∵∠DHC+∠BHC=180∘，
∴∠EHC=∠EDF，
∵2∠BEC+∠CEF=180∘，∠BEC+∠CEF+∠DEF=180∘，
∴∠CEH=∠FED，
∴△CEH≌△FEDAAS，
∴HE=DE，
∵BE=BH+HE，
∴BE=CF+DE；
  
(3)解：如图3−1所示，当点E在BD上时，
∵在正方形ABCD中，AB=4，
∴BC=CD=4,∠BCD=90∘，
∴BD= BC2+CD2=4 2，
∵BE=3DE，
∴BE=34BD=3 2,DE=14BD= 2，
由(2)的结论可知BE=CF+DE，
∴CF=BE−DE=2 2；
  
如图3−2所示，当点E在BD延长线上时，
在射线BE上截取BH=CF，连接CH、DF，
同理可证明△CBH≌△DCF，
∴CH=DF，∠CHB=∠DFC，
∵CF//BD，
∴∠FDE=∠CFD，∠DEC=∠ECF,∠HEF=∠EFC
∴∠FDE=∠CHE；
∵EC=EF，
∴∠ECF=∠EFC，
∴∠DEC=∠HEF，
∴∠DEF=∠HEC
∴△DEF≌△HECAAS，
∴HE=DE，
∵BH=BE+EH，
∴CF=BE+DE，
∵BE=3DE,BD=4 2，
∴BE=6 2,DE=2 2，
∴CF=8 2；
综上所述，CF=2 2或CF=8 2．

 
【解析】
【分析】(1)先根据题意作图，由正方形的性质可得∠DBC=45∘,∠BCD=∠DCM=90∘，再由角平分线的定义可得∠FCM=45∘=∠DBC，由此证明BD//CF得到∠BEC=∠ECF，再由三角形内角和定理和等边对等角得到2∠ECF+∠CEF=180∘，则2∠BEC+∠CEF=180∘
(2)如图所示，在BD上截取BH=CF，连接CH、DF，证明△CBH≌△DCF，得到CH=DF，∠CHB=∠DFC，再证明△CEH≌△FED，得到HE=DE，即可得到BE=CF+DE；
(3)分图3−1和图3−2两种情况，通过证明CF，DE，BE之间的数量关系进行求解即可．  
【点睛】本题主要考查了正方形的性质，全等三角形的性质与判定，勾股定理，等边对等角，平行线的性质与判定，三角形内角和定理等等，正确作出辅助线构造全等三角形是解题的关键．
  
26.【答案】(1)解：m的两个端点坐标分别为(1,2)和(3,−2)
①P1(−1,6)：∵−1−1=1−3,6−2=2−(−2)
∴P1(−1,6)是等差点；
②P2(2,0)：∵2−1≠1−3,且2−3≠3−1
∴P2(2,0)不是等差点；
③P3(4,−4)：∵4−1≠1−3，且−4−3≠3−1
∴P3(4,−4)不是等差点；
④P4(5,−6)：∵5−3=3−1且−6−(−2)=(−2)−2
∴P4(5,−6)是等差点．
故答案为①④．
(2)解：①∵点A直线y=−x上，横坐标为−2，
∴A(−2,2)
当t=−1时，M(−1,0)，N(0,1)
设直线MN解析式为y=kx+b(k≠0)，则
−k+b=0b=1，解得k=1b=1,
∴直线MN解析式为y=x+1，联立y=−x，得
y=x+1y=−x，解得x=−0.5y=0.5
∴交点即等差点坐标为(−0.5,0.5)；
设点B(a,−a)，则−0.5−a=a−(−2),或−0.5−(−2)=(−2)−a，解得a=−1.25或a=−3.5
∴B(−1.25,1.25)或(−3.5,3.5)；
②如图，点B横坐标为2，以AB为对角线构造正方形ACBD，可知A(−2,2)，B(2,−2),C(−2,−2),D(2,2)，M(t,0)，N(t+1,1)，分别在x轴、直线y=1上，
如图，根据等差点定义知，正方形上两点2,2,−2,1.5的一个等差点为(−6,1)，点N(t+1,1)位于N1(−6,1)时，t取最小值，t+1=−6，t=−7；
  
如图，正方形上两点(−2,2),(2,1)的一个等差点为(6,0)，点M(t,0) 为 M4(6,0)时，t取最大值，t=6；
正方形ACBD的边上(包括顶点)任取两点连接的线段的等差点不可能出现在正方形内部，故t≤−2，或t+1≥2，即t≥1，
综上，−7≤t≤−2或1≤t≤6．
 
【解析】
【分析】(1)m的两个端点坐标分别为(1,2)和(3,−2)，根据定义计算检验即可；
(2)①根据解析式得A(−2,2)，当t=−1时，M(−1,0)，N(0,1)，待定系数法确定直线MN解析式为y=x+1，联立y=−x，求解交点即等差点坐标为(−0.5,0.5)；设点B(a,−a)，根据定义求解；
②如图，点B横坐标为2，可知A(−2,2)，B(2,−2),C(−2,−2),D(2,2)，M(t,0)，N(t+1,1)，分别在x轴、直线y=1上，如图，正方形上两点(2,2),(−2,1.75)的一个等差点为(−6,1)，点N(t+1,1)位于N1(−6,1)时，t取最小值，t=−7；正方形上两点(−2,2),(2,1)的一个等差点为(6,0)，点M(t,0)位于M4(6,0)时，t取最大值，t=6；任取两点连接的线段的等差点不可能出现在正方形内部，故t≤−2，或，t≥1，所以−7≤t≤−2或1≤t≤6．
【点睛】本题考查正方形性质，一次函数，待定系数法，理解新定义是解题的关键，注意动态问题的多情况分析．