2021-2022学年北京市海淀区八年级（下）期末数学试卷（含解析）

2021-2022学年北京市海淀区八年级（下）期末数学试卷

一、选择题（本大题共8小题，共24分）

1. 下列二次根式中，最简二次根式是(    )

A.  B.  C.  D.

2. 以下列长度的三条线段为边，能组成直角三角形的是(    )

A. ，， B. ，， C. ，， D. ，，

3. 某函数的图象如图所示，随着的增大，函数(    )

A. 增大 B. 减小
C. 不变 D. 有时增大有时减小

4. 如图，矩形的对角线，相交于点，，，则矩形对角线的长等于(    )

A.  B.  C.  D.

5. 如图，在平行四边形中，，为上一动点，，分别为，的中点，则的长为(    )

A.  B.  C.  D. 不确定

6. 下表记录了四名同学最近几次一分钟踢毽子选拔赛成绩的平均数与方差．

根据表中数据，要从中选择两名成绩更好且发挥稳定的同学参加正式比赛，应选择(    )

A. 甲和乙 B. 乙和丙 C. 甲和丁 D. 甲和丙

7. 如图，有一架秋千，当它静止时，踏板离地米，将它往前推米时，踏板离地米，此时秋千的绳索是拉直的，则秋千的长度是(    )

A. 米
B. 米
C. 米
D. 米

8. 如图，分别在四边形的各边上取中点，，，，连接，在上取一点，连接，过作，交于，将四边形中的四边形和移动后按图中方式摆放，得到四边形和，延长，相交于点，得到四边形下列说法中错误的是(    )

A.  B.
C. 四边形是平行四边形 D.

二、填空题（本大题共7小题，共14分）

9. 函数，自变量的取值范围是______．
10. 比较大小： ______填“”，“”或“”．
11. 若一次函数的图象过点，请写出一个符合条件的函数解析式______．
12. 如图，在中，，，为线段的中点，则______

13. 菱形的面积为，对角线的长为，则的长为______．
14. 如图，直线与交于点则不等式的解集为______．

15. 某班有名同学利用假期参与了社区志愿服务活动，他们的社区服务时长如表所示．

这名同学社区服务的平均时长是______小时．

三、解答题（本大题共13小题，共62分）

16. 如图，在平面直角坐标系中，四边形为正方形，点的坐标为若直线：和直线：被正方形的边所截得的线段长度相等，写出一组满足条件的与的值______．

17. 计算：．
18. 已知：，求的值．
19. 已知：如图，，求作：平行四边形作法：
    在边上任取点，连接，以点为圆心，长为半径画弧，交线段于点；
    分别以点，为圆心，，长为半径画弧，两弧相交于点，使点和点在的两旁；
    连接，．
    四边形即为所求．
    根据题意，在图中补全图形保留作图痕迹；
    完成下面的证明．
    证明：连接，
    ，，，
    ≌．
    ______．
    ______填推理的依据．
    ，
    四边形为平行四边形______填推理的依据．

20. 如图，在菱形中，为边上一点，过点作，交于点，交于点求证：．

21. 如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都是，点，，，是网格线的交点．
    求证：；
    四边形的面积为______．

22. 在平面直角坐标系中，直线与轴相交于点，与轴相交于点．
    求点和点的坐标；
    点为直线上一动点，若的面积为，则点的坐标为______．
23. 水龙头关闭不严会造成滴水．下表记录了内个时间点的漏水量，其中表示时间，表示漏水量．

解决下列问题：
在平面直角坐标系中，描出上表中以各对对应值为坐标的点，根据描出的点连线；
结合表中数据写出滴水量关于时间的函数解析式______不要求写自变量的取值范围；
在这种漏水状态下，若不及时关闭水龙头，估算一天的漏水量约为______．

24. 如图，在中，是上一点，，平分交于点，平分交于点，．
    求证：四边形是矩形；
    若，，连接，求的长．

25. 为比较营养液和营养液对某种小西红柿产量的影响，甲、乙两个生物小组各选取了株长势相近的小西红柿秧苗进行对照实验．甲组使用营养液，乙组使用营养液将每株的产量记录整理，并绘制了如下两个条形图．
    
    解答下列问题：
    甲组产量的众数为______，乙组产量的中位数为______；
    经过计算发现两组产量的平均数接近，为了使产量更稳定，则应选择营养液______填“”或“”；
    产量个及以上为秧苗长势良好．现在选用第问推荐的营养液培育株秧苗，请估计长势良好的大约为______株．
26. 已知：在平面直角坐标系中，直线：与直线：．
    若直线与直线，交于点，求，的值；
    过点作垂直于轴的直线分别交，于点，，结合函数图象回答下列问题：
    当时，若，求的值；
    当时，在点运动的过程中，恒大于请写出两个符合条件的的值______．
27. 在等边中，，，分别是边，，上的动点，满足，且作点关于的对称点，连接，．
    当点，，在如图所示的位置时，请在图中补全图形，并证明四边形是平行四边形；
    当，时，求的度数．
     

28. 在平面直角坐标系中，已知的顶点，，对于点和，给出如下定义：如果上存在三个点，使得以点和这三个点为顶点的四边形是平行四边形，则称点是的“平行连接点”例如，图中，，两点的坐标分别为，，上存在，和三个点，使得四边形是平行四边形，故点是的“平行连接点”．
    如图，当点的坐标为时，
    点，，，中，是的“平行连接点”的是______．
    若是的“平行连接点”，请在图中画出一个以点和上的三个点为顶点的平行四边形，这个平行四边形对角线交点的纵坐标为______，的取值范围为______．
    如图，当点的坐标为时，直线上存在的“平行连接点”，则的取值范围为______．
     

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：、，故A不符合题意；
B、是最简二次根式，故B符合题意；
C、，故C不符合题意；
D、，故D不符合题意；
故选：．
根据最简二次根式的定义，逐一判断即可解答．
本题考查了最简二次根式，熟练掌握最简二次根式的定义是解题的关键．
 

2.【答案】 

【解析】解：，
以，，为边不能组成直角三角形，故本选项不符合题意；
B.，
以，，为边不能组成直角三角形，故本选项不符合题意；
C.，
以，，为边能组成直角三角形，故本选项符合题意；
D.，
以，，为边不能组成直角三角形，故本选项不符合题意．
故选：．
先分别求出两小边的平方和和最长边的平方，再看看是否相等即可．
本题考查了勾股定理的逆定理，能熟记勾股定理的逆定理是解此题的关键，注意：如果一个三角形的两边、的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形．
 

3.【答案】 

【解析】解：由图象可知，随着的增大，函数增大．
故选：．
根据函数图象判断即可．
本题考查的是函数的图象，能根据函数图象在坐标系中的增减性判断出函数的增减性是解答此题的关键．
 

4.【答案】 

【解析】解：四边形是矩形，
，，，
，
，
是等边三角形，
，
，
故选：．
根据等边三角形的性质首先证明是等边三角形即可解决问题．
本题考查矩形的性质、等边三角形的判定等知识，解题的关键是发现是等边三角形，属于基础题．
 

5.【答案】 

【解析】解：如图，在在平行四边形中，．
，分别为，的中点，
是的中位线，
．
故选：．
首先由平行四边形的对边相等的性质求得；然后利用三角形中位线定理求得．
本题主要考查了平行四边形的性质和三角形中位线定理，解题过程中是利用平行四边形的性质结合三角形中位线定理来求有关线段的长度的．
 

6.【答案】 

【解析】解：由表知，甲、乙、丙成绩的平均数高，其中甲、丙成绩的方差小，
所以甲、丙成绩更好且发挥稳定，
故选：．
根据平均数和方差的意义判断即可．
本题主要考查方差，解题的关键是掌握平均数及方差的意义．
 

7.【答案】 

【解析】解：设米，
米，米，
米，米，
在中，米，米，米，
根据勾股定理得：，
解得：，
则秋千的长度是米．
故选：．
设米，用表示出的长，在直角三角形中，利用勾股定理列出关于的方程，求出方程的解即可得到结果．
此题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解本题的关键．
 

8.【答案】 

【解析】解：如图，


因为四边形≌四边形，
四边形≌四边形，四边形≌四边形，四边形≌四边形，
≌，
故A正确；
顺次连接，连接，得▱，于是，
可得≌，所以，
故B正确；
由对称性可得：，
，
，
四边形是平行四边形，
故C正确；
四边形是平行四边形，
，
不一定平行于，
不一定等于，
不一定等于，
故D不正确，
故答案为：．
≌，从而A正确；根据对称或全等得出B正确；根据，得出C正确；得出D错误．
本题考查了平行四边形的判定和性质，中心对称及其性质的，全等图形判定等知识，解决问题的关键是掌握有关知识．
 

9.【答案】 

【解析】解：，
．
故答案为：．
根据二次根式的被开方数是非负数即可得出答案．
本题考查了函数自变量的取值范围，掌握二次根式的被开方数是非负数是解题的关键．
 

10.【答案】 

【解析】解：，
，
．
故答案为：．
先估算的值，然后判断即可．
本题考查了实数的大小比较，算术平方根，熟练准确估算无理数的大小是解题的关键．
 

11.【答案】答案不唯一 

【解析】解：设一次函数的解析式为：，
把代入得．
一次函数的解析式为：，
故答案为：答案不唯一．
可设的系数为或其他不为的数都可以，把点的坐标代入求的值即可．
本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，需注意应先确定的系数，然后把适合的点代入求得常数项．
 

12.【答案】 

【解析】解：在中，，，
．
为线段的中点，
，
．
故答案是：．
由“直角三角形的两个锐角互余”得到根据“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”得到，则等边对等角，即．
本题考查了直角三角形的性质．解题关键是熟练掌握在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半．
 

13.【答案】 

【解析】解：四边形是菱形，
菱形的面积，
即，
，
即的长为，
故答案为：．
由菱形面积公式即可得出结论．
本题考查了菱形的性质，熟记菱形面积等于两条对角线长的乘积的一半是解题的关键．
 

14.【答案】 

【解析】解：直线与交于点，
不等式的解集为．
故答案是：．
写出直线在直线上方所对应的自变量的范围即可．
本题考查了一次函数与一元一次不等式：从函数的角度看，就是寻求使一次函数的值大于或小于的自变量的取值范围；从函数图象的角度看，就是确定直线在轴上或下方部分所有的点的横坐标所构成的集合．
 

15.【答案】 

【解析】解：这名同学社区服务的平均时长是：
小时．
故答案为：．
根据加权平均数的公式直接代入数据计算即可．
本题考查了加权平均数，正确理解加权平均数的概念是解题的关键．
 

16.【答案】，答案不唯一 

【解析】解：设直线：和直线：被正方形的边所截得的线段分别为、，
根据题意，当时，两直线被正方形的边所截得的线段长度相等，
当，时，，
故满足条件的与的值可以是，，
故答案为：，答案不唯一．
设直线：和直线：被正方形的边所截得的线段分别为、，根据题意，当时，两直线被正方形的边所截得的线段长度相等，据此写出一组与的值即可．
本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，正方形的性质，能够明确题意是解题的关键．
 

17.【答案】解：原式
． 

【解析】应用二次根式的加减法法则进行计算即可得出答案．
本题主要考查了二次根式的加减法，熟练掌握二次根式的加减法运算法则进行求解是解决本题的关键．
 

18.【答案】解：：，


，


． 

【解析】把化成，代入求出即可．
本题考查了二次根式的化简求值和完全平方公式的应用，主要考查学生的计算能力．
 

19.【答案】  内错角相等，两直线平行  一组对边平行且相等的四边形是平行四边形 

【解析】解：如图，即为补全的图形；

证明：连接，
，，，
≌．
．
内错角相等，两直线平行．
，
四边形为平行四边形一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．
故答案为：；内错角相等，两直线平行；一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．
根据作图过程即可补全图形；
根据平行四边形的判定方法即可完成证明．
本题考查了作图复杂作图，全等三角形的判定与性质，平行四边形的判定与性质，解决本题的关键是掌握基本作图方法．
 

20.【答案】解：四边形是菱形，
，，，
，
，
四边形是平行四边形，，
，，
，
，
． 

【解析】由平行四边形的性质得，，，再证四边形是平行四边形，，得，然后证，则，即可得出结论．
本题考查了菱形的性质、平行四边形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质等知识，熟练掌握菱形的性质和平行四边形的判定与性质是解题的关键．
 

21.【答案】 

【解析】证明：连接，

由题意得：，
，
，
，
是直角三角形，
；
解：如图：

由题意得：
四边形的面积的面积的面积



，
故答案为：．
根据勾股定理的逆定理，进行计算即可解答；
根据题意可得：四边形的面积的面积的面积，然后进行计算即可解答．
本题考查了勾股定理的逆定理，熟练掌握勾股定理的逆定理是解题的关键．
 

22.【答案】或 

【解析】解：当时，，
点的坐标为；
当时，，解得：，
点的坐标为．
，的面积为，
，即，
，
点的坐标为或，
故答案为：或
分别代入，求出与之对应的，的值，进而可得出点，的坐标；
通过的面积为，求得的横坐标为，代入解析式即可求得纵坐标．
本题考查了一次函数图象上点的坐标特征、一次函数的性质，解题的关键是：利用一次函数图象上点的坐标特征，求出点，的坐标；利用三角形面积求出点的横坐标．
 

23.【答案】   

【解析】解：描点、连线如下：

滴水量关于时间的函数解析式为；
故答案为：；
一天的漏水量约为，
故答案为：．
根据表格描点、连线即可；
根据漏水量可得解析式；
将代入计算即可．
本题考查一次函数的应用，解题的关键是读懂题意，能根据表格写出函数关系式．
 

24.【答案】证明：平分，平分，
，，
，
即，
，
，
，
又，
四边形是矩形；
解：由可知，四边形是矩形，
，
，，
，
，是等边三角形，
，，
，
，
，
，
，
是的中位线，
，
在中，由勾股定理得：，
即的长为． 

【解析】证，，再由，即可得出结论；
证是等边三角形，得，，则，再由勾股定理得，然后由三角形中位线定理得，由勾股定理即可得出结论．
本题考查了矩形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、三角形中位线定理以及勾股定理等知识，熟练掌握矩形的判定与性质是解题的关键．
 

25.【答案】       

【解析】解：由条形统计图知：甲组产量的众数为，
乙组产量第个数是，第个数是，
乙组产量的中位数为，
故答案为：，；

，
，
由条形统计图得，甲组产量的波动较小，方差较小，产量更稳定，
所以应选择营养液．
故答案为：；

估计长势良好的大约为株，
故答案为：．
根据众数和中位数的概念求解可得；
利用方差的意义解答即可得；
利用样本估计总体思想求解可得．
本题考查中位数、众数和方差以及条形统计图，解题的关键是掌握众数、中位数和方差的意义．
 

26.【答案】， 

【解析】解：由题意得，令，则，
，代入，得：，
，
，的值为：，；
如图，

过点作垂直于轴的直线分别交，于点，，，
，，
，
，
；
如图，

把分别代入直线：与直线：，可得：，，
，
；
把分别代入直线：与直线：，可得：，，
，
，
或，
综上，的取值范围为：或，
符合条件的的值为：，，
故答案为：，．
先得出的值，得出点的坐标，再代入直线，得出的值即可；
把分别代入直线与直线，得出点，的坐标，再利用得出结论；
把和分别代入直线与直线，再根据恒大于，得出的取值范围，进而求解．
本题考查了一次函数的性质，一次函数与坐标轴交点问题，解题的关键是数形结合思想的运用．
 

27.【答案】解：如图，即为补全的图形，

证明：在等边中，，
点，点关于对称，
，，
，
，
即，
，，
，
在中，
，
，
在与中，
，
≌，
，
，
，
四边形是平行四边形；
四边形是平行四边形，
，，
，，
，
，，
是等边三角形，
，
点，点关于对称，
，，
，
，
在中，，
，
，
，
，
． 

【解析】根据题意即可补全图形；然后证明≌可得，进而可以解决问题；
根据题意证明是等边三角形，可得，由点，点关于对称，可得，，所以，进而可以解决问题．
本题考查了平行四边形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，解决本题的关键是得到≌．
 

28.【答案】       

【解析】解：由图可知，，，
当的“平行连接点”的纵坐标是时，轴，
，
点的横坐标为，
是的“平行连接点”，
故答案为：；
平行四边形的对角线、相交于边上，
交点的纵坐标是，
当时，且，满足题意；
当时，且，此时需满足才符合题意；
当时，上存在一点，使且，
此时，需满足才符合题意，
的取值范围为：，
故答案为：；
当直线与存在交点时，直线上才存在的“平行连接点”，
当直线过点时，不存在；
当直线过点时，直线上存在一点，使且，
将点代入，解得；
当直线过点时，直线上存在一点，使且，
将代入，解得；
综上所述：的取值范围是，
故答案为：．
当的“平行连接点”的纵坐标是时，轴，此时点的横坐标为，由已知点即可判断；
平行四边形的对角线、相交于边上，可知交点的纵坐标为；当时，满足题意；当时，此时需满足才符合题意；当时，需满足符合题意；
当直线与存在交点时，直线上才存在的“平行连接点”，当直线过点时，不存在；当直线过点时，将点代入，；当直线过点时，将代入，解得．
本题考查一次函数的图象及性质，熟练掌握一次函数的图象及性质，理解定义，能将所求知识与平行四边形的性质和一次函数的图象及性质结合是解题的关键．