2022-2023学年安徽省宿州市萧县八年级（下）期末数学试卷（含解析）

这是一份2022-2023学年安徽省宿州市萧县八年级（下）期末数学试卷（含解析），共17页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

2022-2023学年安徽省宿州市萧县八年级（下）期末数学试卷
一、选择题（本大题共10小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 中国“二十四节气“已被正式列入联合国教科文组织人类非物质文化遗产代表作品录，下列四幅作品分别代表“立春“、“谷雨“、“白露“、“大雪”，其中是中心对称图形的是(    )
A. B. C. D.
2. 如果把分式x3x+y中的x，y都扩大2倍，那么分式的值(    )
A. 扩大2倍 B. 不变 C. 缩小到原来的之12 D. 扩大4倍
3. 当m为自然数时，(4m+5)2−9一定能被下列哪个数整除(    )
A. 5 B. 6 C. 7 D. 8
4. 如果分式x2−12x+2的值为0，则x的值是(    )
A. 1 B. 0 C. −1 D. ±1
5. 若3m−5x3+m>4是关于x的一元一次不等式，则该不等式的解集是(    )
A. x<−25 B. x>−25 C. x<−2 D. x>−2
6. 三角形的三边长分别为6，8，10，则它的最长边上的高为(    )
A. 4.8 B. 8 C. 6 D. 2.4
7. 一件商品的标价为240元，比进价高出60%，为吸引顾客，先降价处理，要使售后利润率不低于10%，则最多可以降价为(    )
A. 150元 B. 165元 C. 160元 D. 120元
8. 已知非负数a，b，c，满足bc=12(a2−b2−c2)，则下列结论一定正确的是(    )
A. a=b+c B. b=a+c C. c=b+a D. ab=a2+c2
9. 如图，正五边形ABCDE和正方形CDFG的边CD重合，连接EF，则∠DFE的度数为(    )
A. 68°
B. 81°
C. 85°
D. 87°


10. 如图，在△ABC中，AD是BC边上的高线，CE是AB边上的中线，DG⊥CE于点G，CD=AE.若BD=6，CD=5，则△DCG的面积是(    )


A. 10 B. 5 C. 103 D. 53
二、填空题（本大题共6小题，共24.0分）
11. 若实数a、b满足a+b=5，a2b+ab2=−10，则ab的值是______．
12. 若x2−4xy+4y2=0，则x−yx+y= ______ ．
13. 如图，在△ABC中，D、E分别为AB、AC的中点，点F在DE上，且AF⊥CF，若AC=3，BC=5，则DF=______．


14. 如图，平行四边形ABCD的面积为10.点P在对角线AC上，E、F分别在AB、AD上，且PE//BC，PF//CD，连接EF，图中阴影部分的面积为______ ．


15. 已知关于x的分式方程xx−2−4=k2−x的解为正数，则k的取值范围是______．
16. 如图，直线AB与x轴，y轴分别交于点A，B，且点A(3,0)，B(0,6)，另有两点C(−1,4)，D(−3,4)，若点P是直线AB上的动点，点Q为y轴上的动点，要使以Q，P，C，D为顶点的四边形是平行四边形，且线段CD为平行四边形的一边，则满足条件的P点坐标为______．


三、解答题（本大题共7小题，共86.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17. (本小题16.0分)
把下列各式因式分解：
(1)a2(x−y)+9b2(y−x)；
(2)(a2+9)2−36a2．
18. (本小题10.0分)
先化简，再求值：x−1x2+2x+1÷(2x+1−1)，其中：x= 2−1．
19. (本小题10.0分)
如图，在△ABC中，∠A=36°，∠C=72°，BD是∠ABC的角平分线．
(1)求∠ABD的度数；
(2)若DE⊥AB于点E，AC=6，求AE的长．

20. (本小题12.0分)
观察以下等式：
第1个等式：21−32=12；
第2个等式：32−56=23；
第3个等式：43−712=34；
第4个等式：54−920=45；
…
按照以上规律，解决下列问题：
(1)写出第5个等式；
(2)写出你猜想的第n个等式(用含n的等式表示)，并证明．
21. (本小题12.0分)
如图，在平面直角坐标系中，Rt△ABC三个顶点都在格点上，点A、B、C的坐标分别为A(−2,3)，B(−4,1)，C(−2,1).请解答下列问题：
(1)将△ABC先向右平移5个单位，再向下平移2个单位得△A1B1C1，画出△A1B1C1，并写出B1的坐标．
(2)画出△ABC绕点O顺时针旋转90°后得到的△A2B2C2，并写出A2的坐标．

22. (本小题12.0分)
疫情防控，人人有责．某公司为了解决员工的口罩问题上，准备采购A、B两种型号的口罩，A种口罩每件单价比B种口罩每件多200元，用3000元购进A种口罩和用1800元购进B种口罩的数量相同．
(1)A种口罩每件的单价和B种口罩的单价各是多少元？
(2)公司计划用15000元的资金购进A、B两种型号的口罩共40件，其中A种口罩数量不得低于B种口罩数量的一半，该公司有几种采购方案？
23. (本小题14.0分)
如图，等边△ABC的边长是4，D，E分别为AB，AC的中点，延长BC至点F，使CF=12BC，连接CD和EF．
(1)求证：四边形DEFC是平行四边形；
(2)求EF的长；
(3)求四边形DEFC的面积．


答案和解析

1.【答案】D 
【解析】解：选项D能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180°后与原来的图形重合，所以是中心对称图形；
选项A、B、C均不能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180°后与原来的图形重合，所以不是中心对称图形，
故选：D．
根据中心对称图形的概念和各图的特点求解．
本题主要考查了中心对称图形，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．

2.【答案】B 
【解析】解：2x6x+2y=x3x+y，
故选：B．
根据分式的基本性质即可求出答案．
本题考查分式的基本性质，解题的关键是熟练运用分式的基本性质．

3.【答案】D 
【解析】解：(4m+5)2−9
=(4m+5+3)(4m+5−3)
=(4m+8)(4m+2)
=8(m+2)(2m+1)，
∴(4m+5)2−9一定能被8整除；
故选：D．
将(4m+5)2−9因式分解即可得到答案．
本题主要考查因式分解的应用，将整式分解因式是解题的关键．

4.【答案】A 
【解析】解：由分式的值为零的条件得x2−1=0，2x+2≠0，
由x2−1=0，得x=±1，
由2x+2≠0，得x≠−1，
综上，得x=1．
故选：A．
根据分式的值为零的条件可以求出x的值．
本题考查了分式的值为零的条件：(1)分子为0；(2)分母不为0.这两个条件缺一不可．

5.【答案】C 
【解析】解：∵3m−5x3+m>4是关于x的一元一次不等式，
∴3+m=1，∴m=−2，
∴−6−5x>4，
∴该不等式的解集是x<−2，
故选：C．
根据一元一次不等式的定义得出3+m=1，求出m的值，再把m的值代入原式，再解不等式即可．
此题考查了一元一次不等式的定义和解法，关键是根据一元一次不等式的定义求出m的值．

6.【答案】A 
【解析】解：∵三角形的三边长分别为6，8，10，符合勾股定理的逆定理62+82=102，
∴此三角形为直角三角形，则10为直角三角形的斜边，
设三角形最长边上的高是h，
根据三角形的面积公式得：12×6×8=12×10h，
解得h=4.8．
故选：A．
根据已知先判定其形状，再根据三角形的面积公式求得其高．
本题考查了勾股定理的逆定理，解答此题的关键是先判断出三角形的形状，再根据三角形的面积公式解答．

7.【答案】B 
【解析】解：设该商品可以降到x元，
根据题意得：x−2401+60%≥2401+60%×10%，
解得：x≥165，
∴x的最小值为165，
∴最多可以降到165元．
故选：B．
设该商品可以降到x元，利用利润=售价−进价，结合利润率不低于10%，可得出关于x的一元一次不等式，解之取其中的最小值，即可得出结论．
本题考查了一元一次不等式的应用，根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式是解题的关键．

8.【答案】A 
【解析】解：∵bc=12(a2−b2−c2)，
∴b2+2bc+c2=a2，即(b+c)2=a2；
∵a，b，c是非负数，
∴b+c=a．
故选：A．
由bc=12(a2−b2−c2)，可得b2+2bc+c2=a2，即(b+c)2=a2；a，b，c是非负数，可得b+c=a．
本题考查了因式分解的应用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键，综合性较强，难度适中．

9.【答案】B 
【解析】解：∵正五边形ABCDE，
∴∠CDE=180°−360°5=108°，
∵四边形CDFG是正方形，
∴∠CDF=90°，
∵正五边形ABCDE和正方形CDFG的边CD重合，
∴∠EDF=108°−90°=18°，DE=DF，
∴∠DEF=∠DFE=12(180°−18°)=81°，
故选：B．
先分别求解正五边形与正方形的每一个内角的大小，再证明DE=DF，可得∠DEF=∠DFE，再利用三角形的内角和定理可得答案．
本题考查的是正多边形的内角和与外角和的综合应用，等腰三角形的性质，熟练的利用正多边形的外角求解正多边形的内角的大小是解本题的关键．

10.【答案】B 
【解析】解：∵CE是AB边上的中线，
∴AE=BE，
∵CD=AE=5，
∴AB=10，
根据勾股定理得：AD= AB2−BD2=8，
∴△ABC的面积为12⋅BC⋅AD=12×11×8=44，
∵CE是△ABC的中线，
∴S△BCE=S△ACE=22，
∵BD=6，AD=8，AD⊥BC，
∴S△ABD=12⋅BD⋅AD=12×6×8=24，
∵DE是△ABD的中线，
∴S△BDE=12，
∴S△DCE=S△BCE−S△BDE=10，
∵DE=AE=12AB，DC=AE，
∴DC=DE，
∵DG⊥CE，
∴S△DCG=12S△DCE=12×10=5．
故选：B．
先由CD=AE得到，AB的长度，继而求得DE=5，从而证明△CDE为等腰三角形，求得△ABC的面积，根据CE中线的性质，求出△BCE的面积，再用△BCE的面积减去△BDE的面积即可求解．
本题考查直角三角形斜边中线的性质，解直角三角形，三角形的面积等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考常考题型．

11.【答案】−2 
【解析】解：∵a+b=5，a2b+ab2=−10，
∴ab(a+b)=−10，
∴5ab=−10，
∴ab=−2．
故答案为：−2．
直接利用直接提取公因式法将已知变形进而得出答案．
此题主要考查了提取公因式法分解因式，正确找出公因式是解题关键．

12.【答案】13 
【解析】解：x2−4xy+4y2=0；
(x−2y)2=0；
x=2y；
原式=2y−y2y+y=y3y=13．
故答案为：13．
把x2−4xy+4y2=0因式分解得到(x−2y)2=0，解得x=2y，再代入式子中求解即可．
本题考查了完全平方式因式分解，分式的值，准确因式分解是解题的关键．

13.【答案】1 
【解析】解：∵D、E分别为AB、AC的中点，
∴DE=12BC=2.5，
∵AF⊥CF，E为AC的中点，
∴EF=12AC=1.5，
∴DF=DE−EF=1，
故答案为：1．
根据三角形中位线定理求出DE，根据直角三角形的性质求出EF，计算即可．
本题考查的是三角形中位线定理、直角三角形的性质，掌握三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半是解题的关键．

14.【答案】5 
【解析】解：如图，设AP交EF于点O，

∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB//CD，AD//BC，
∵PE//BC，PF//CD，
∴AE//PF，AF//EP，
∴四边形AEPF是平行四边形，
∴OA=OP，OE=OF，
∴S△AEO=S△PFO，
∴S阴影=12S▱ABCD=12×10=5．
故答案为：5．
根据平行四边形的性质得到阴影部分的面积=原平行四边形的面积的一半，据此求解即可．
考查了平行四边形的判定与性质以及三角形面积，熟记平行四边形的对角线将其面积分为相等的四部分是解题的关键．

15.【答案】k>−8且k≠−2 
【解析】解：方程的两边都乘(x−2)，得x−4(x−2)=−k．
整理，得−3x=−k−8，
∴x=k+83．
∵方程的解为正数，
∴k+83>0且k+83=2．
∴k>−8且k≠−2．
故答案为：k>−8且k≠−2．
先解分式方程，再根据分式方程解为正数得到关于k的不等式，求解不等式得结论．
本题考查了解分式方程、一元一次不等式，掌握分式方程、一元一次不等式的解法是解决本题的关键．

16.【答案】(2,2)或(−2,10) 
【解析】解：设直线AB的解析式为：y=kx+b，由题意得，
b=63k+b=0，
∴b=6k=−2，
∴y=−2x+6，
∵C(−1,4)，D(−3,4)，
∴CD=−1−(−3)=2，
∵PQ//CD，PQ=CD=2，
∴点P的横坐标为：2或−2，
当xP=2时，y=−2×2+6=2，
∴P(2,2)，
当xP=−2时，y=−2×(−2)+6=10，
∴P(−2,10)，
故答案为：(2,2)或(−2,10)．
先根据A，B两点求出AB的函数解析式，根据CD=2可得出P点横坐标是2或−2，进而求得点P的坐标．
本题考查了平行四边形性质，求一次函数的解析式等知识，解决问题的关键是熟练掌握有关基础知识．

17.【答案】解：(1)原式=a2(x−y)−9b2(x−y)
=(x−y)(a2−9b2)
=(x−y)(a+3b)(a−3b)；
(2)原式=(a2+9+6a)(a2+9−6a)
=(a+3)2(a−3)2． 
【解析】(1)先提公因式(x−y)，再利用平方差公式进行计算即可；
(2)先利用平方差公式，再利用完全平方公式进行因式分解即可．
本题考查提公因式法、公式法分解因式，掌握完全平方公式、平方差公式的结构特征是正确应用的前提．

18.【答案】解：原式=x−1(x+1)2÷(2x+1−x+1x+1)
=x−1(x+1)2÷−(x−1)x+1
=x−1(x+1)2⋅x+1−(x−1)
=−1x+1．
当x= 2−1时，
原式=−1 2−1+1=− 22． 
【解析】先利用分式的混合运算的法则化简，再将x主要代入运算即可．
本题主要考查了分式的化简求值，熟练掌握分式的混合运算的法则是解题的关键．

19.【答案】解：(1)∵∠A=36°，∠C=72°，
∴∠ABC=180°−36°−72°=72°，
∵BD是∠ABC的平分线，
∴∠ABD=12∠ABC=36°；
(2)∵∠C=∠ABC=72°，
∴AB=AC=6，
∵∠ABD=∠A=36°，
∴AD=BD，
∵DE⊥AB，
∴AE=BE=12AB=3． 
【解析】本题考查了角平分线的定义，等腰三角形的判定和性质，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键．
(1)根据三角形的内角和定理得到∠ABC=180°−36°−72°=72°，根据角平分线的定义即可得到结论；
(2)根据等腰三角形的判定定理得到AB=AC=6，求得AD=BD，再根据等腰三角形性质可得到结论．

20.【答案】解：(1)第1个等式：21−32=12，
第2个等式32−56=23，
第3个等式43−712=34，
第4个等式54−920=45，……
∴第5个等式为：65−1130=56．
故答案为：65−1130=56．
(2)由(1)得，第n个等式：n+1n−2n+1n(n+1)=nn+1，
证明如下：n+1n−2n+1n(n+1)=(n+1)(n+1)n(n+1)−2n+1n(n+1)=n2+2n+1n(n+1)−2n+1n(n+1)=n2n(n+1)=nn+1，
等式左边=右边，
故答案为：n+1n−2n+1n(n+1)=nn+1． 
【解析】(1)根据上述等式可知，减数的分母是被减数分母分子的乘积，分子是被减数分子分母的和，差与被减数互为倒数，被减数的分母比分子小1，由此即可得到第5个等式；
(2)根据上述等式的规律，求解等式的左边等于等式的右边，即可．
本题主要考查了分式有关的规律探索，解题的关键是观察等式，得到规律，进行解答．

21.【答案】解：(1)如图，△A1B1C1为所作，点B1的坐标为(1,−1)；
(2)如图，△A2B2C2为所作，点A2的坐标为(3,2)．
 
【解析】(1)利用点平移的坐标变换规律得到点A1、B1、C1的坐标，然后描点即可；
(2)利用网格特点和旋转的性质画出点A、B、C的对应点，从而得到△A2B2C2，从而得到点A2的坐标．
本题考查了作图−旋转变换：根据旋转的性质可知，对应角都相等都等于旋转角，对应线段也相等，由此可以通过作相等的角，在角的边上截取相等的线段的方法，找到对应点，顺次连接得出旋转后的图形．也考查了平移变换．

22.【答案】解：(1)设A种口罩每件的单价为x元，则B种口罩的单价为(x−200)元．
由题意，得：3000x=1800x−200，
解得：x=500．
经检验：x=500是原方程的解，且符合题意，
则x−200=300(元)．
答：A种口罩每件的单价为500元，则B种口罩的单价为300元．
(2)设A种口罩购进y件，则B种口罩购进(40−y)件．
由题意，得：500y+300(40−y)≤15000,y≥40−y2.
解得：403≤y≤15．
∵y为正整数，
∴y=14或15．
∴该公司两种采购方案：
方案一：A种口罩购进14件，B种口罩购进26件；
方案二：A种口罩购进15件，B种口罩购进25件． 
【解析】(1)设A种口罩每件的单价为x元，则B种口罩的单价为(x−200)元．由题意：用3000元购进A种口罩和用1800元购进B种口罩的数量相同．列出分式方程，解方程即可；
(2)设A种口罩购进y件，则B种口罩购进(40−y)件．由题意：公司计划用15000元的资金购进A、B两种型号的口罩共40件，其中A种口罩数量不得低于B种口罩数量的一半，列出一元一次不等式组，解不等式组即可．
本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式组的应用，解题的关键是：(1)找准等量关系，正确列出分式方程；(2)找出数量关系，正确列出一元一次不等式组．

23.【答案】(1)证明：在△ABC中，
∵D、E分别为AB、AC的中点，
∴DE为△ABC的中位线，
∴DE=12BC，DE//BC，
∵CF=12BC，
∴DE=CF
∵DE//CF，
∴四边形DEFC是平行四边形．
(2)解：∵AC=BC，AD=BD，
∴CD⊥AB，
∵BC=4，BD=2，
∴CD= 42−22=2 3，
∵DE//CF，DE=CF，
∴四边形DEFC是平行四边形，
∴EF=CD=2 3．
(3)解：过点D作DH⊥BC于H．

∵∠DHC=90°，∠DCB=30°，
∴DH=12DC= 3，
∵DE=CF=2，
∴S四边形DEFC=CF⋅DH=2× 3=2 3． 
【解析】(1)利用三角形中位线定理即可解决问题．
(2)先求出CD，再证明四边形DEFC是平行四边形即可．
(3)过点D作DH⊥BC于H，求出CF、DH即可解决问题．
本题考查等边三角形的性质、三角形中位线定理、勾股定理、平行四边形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活应用这些知识解决问题，记住平行四边形的面积公式，学会添加常用辅助线，属于中考常考题型．