2023高考数学二轮专题复习与测试专题强化练十二圆锥曲线的方程与几何性质

这是一份2023高考数学二轮专题复习与测试专题强化练十二圆锥曲线的方程与几何性质，共12页。试卷主要包含了已知抛物线E，已知双曲线C，已知抛物线C1，已知直线l与曲线C，已知抛物线C，已知F1，F2是双曲线C等内容，欢迎下载使用。
专题强化练(十二)　圆锥曲线的方程与几何性质
1．(2022·高州市二模)已知抛物线E：y2＝2x的焦点为F，A、B、C为抛物线E上三点，当＋＋＝0时，称△ABC为“特别三角形”，则“特别三角形”有(　　)
A．1个　　　　　　 B．2个
C．3个 D．无数个
解析：抛物线方程为y2＝4x，A、B、C为抛物线三点，
当满足＋＋＝0时，F为△ABC的重心，
连接AF并延长至D，使FD＝AF，

当D在抛物线内部时，存在以D为中点的弦BC，则这样的三角形有无数个．
故“特别三角形”有无数个，
故选D.
答案：D
2．(2022·天河区三模)已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)，点F是双曲线C的右焦点，A是双曲线C的右顶点，过点F作x轴的垂线，交双曲线于M，N两点，若tan∠MAN＝－，则双曲线C的离心率为(　　)
A. B.
C．2 D．3
解析：由题意可设∠MAN＝2θ，θ∈(0，)，则tan 2θ＝＝－，
解得tan θ＝3，即＝3，可得c2＋2a2－3ac＝0，即e2＋2－3e＝0，e>1，解得e＝2.
故选C.

答案：C
3．(2022·广州二模)已知抛物线C1：y2＝4x，圆C2：(x－2)2＋y2＝2，直线l：y＝k(x－1)与C1交于A，B两点，与C2交于M，N两点，若|AB|＝8，则|MN|＝(　　)
A.　　　　　　　　　　　 B.
C. D.
解析：由得，k2x2－(2k2＋4)x＋k2＝0，
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
因为Δ>0，所以x1＋x2＝＝＋2，
因为直线l：y＝k(x－1)过抛物线的焦点(1，0)，
所以|AB|＝x1＋x2＋2＝8，
所以x1＋x2＝6，所以＋2＝6，解得k＝±1，
由圆关于x轴对称可知，k＝1和k＝－1时|MN|相同，
故不妨取k＝1，直线l为y＝x－1，即x－y－1＝0，
圆心(2，1)到的距离d＝＝，
所以|MN|＝2＝2 ＝，故选B.
答案：B
4．(2022·汕头二模)已知椭圆的左、右焦点分别为F1，F2，直线AB过F1与椭圆交于A，B两点，若△F2AB为正三角形，该椭圆的离心率为(　　)
A. B.
C. D.
解析：不妨设椭圆的方程为＋＝1(a>b>0)，
则|AF1|＝2a－|AF2|，|BF1|＝2a－|BF2|，
因为△F2AB为正三角形，所以|AF1|＝|BF1|，即F1为线段AB的中点，
根据椭圆的对称性知AB垂直与x轴，
设|F1F2|＝2c，则|AF1|＝2c·tan 30°＝，
|AF2|＝＝，
所以＋＝2a，即2c＝2a，
所以e＝＝.
故选C.
答案：C
5．(2022·广州三模)已知直线l与曲线C：x2－＝1在y轴左、右两侧的交点分别是Q，P，且以线段PQ为直径的圆恰过坐标原点O，则|OP|2＋|OQ|2的值不可能为(　　)
A．6 B．8
C. D.
解析：因为以线段PQ为直径的圆恰过坐标原点O，所以·＝0，
因为Q，P分别在双曲线左，右两支上，所以OP，OQ的斜率均存在，可设OP的斜率为k，则OQ的斜率为－，直线的方程为y＝kx，
由解得
所以|OP|2＝x2＋y2＝＋＝.
同理可求|OQ|2＝，
所以＋＝＋＝，
所以，|OP|2＋|OQ|2＝2(|OP|2＋|OQ|2)·(＋)＝2(1＋＋＋1)≥2(2＋2)＝8，
当且仅当|OP|＝|OQ|时取等号．故|OP|2＋|OQ|2≥8.
故选A.
答案：A
6．(2022·佛山模拟)已知抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点为F，过焦点且斜率为2的直线l与抛物线C交于A，B(A在B的上方)两点，若|AF|＝λ|BF|，则λ的值为(　　)
A． B．
C．2 D．
解析：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y＝2px1，y＝2px2，
|AB|＝x1＋x2＋p＝＝p，即有x1＋x2＝p，
由直线l的斜率为2，
则直线l的方程为：y－0＝2(x－)，
即y＝2x－p，联立抛物线方程，
消去y并整理，得
4x2－5px＋p2＝0，
则x1x2＝，可得x1＝p，x2＝p，
则＝＝2，故λ的值为2.
故选C.
答案：C
7．(2022·茂名模拟)已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的右焦点为F，左顶点为A，M为C的一条渐近线上一点，延长FM交y轴于点N，直线AM经过ON(其中O为坐标原点)的中点B，且|ON|＝2|BM|，则双曲线C的离心率为(　　)
A．2 B．
C． D．2
解析：记M为双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的渐近线bx－ay＝0上的点，因为|ON|＝2|BM|，且|OB|＝|BN|，所以∠BOM＝∠BMO，∠BMN＝∠BNM.

所以NF⊥OM.因为右焦点F(c，0)到渐近线bx－ay＝0的距离|MF|＝＝b，
所以|OM|＝|OA|＝a.所以∠BMO＝∠BAO，
所以∠BOM＝∠BAO，
所以Rt△AOB≌Rt△OMN，
所以∠ABO＝∠ONM，
又因为∠MNB＝∠NMB，∠ABO＝∠NBM.
所以△MNB为等边三角形，所以∠FNO＝60°，
所以∠MFO＝30°，
即＝tan 60°＝，所以e＝＝2.
故选A.
答案：A
8．(2022·广东三模)已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)，F1，F2分别是双曲线的左、右焦点，M是双曲线右支上一点，连接MF1交双曲线C左支于点N，若△MNF2是以F2为直角顶点的等腰直角三角形，则双曲线的离心率为(　　)
A． B．
C．2 D．
解析：设|MF2|＝m，
因为△MNF2是以F2为直角顶点的等腰直角三角形，所以|MN|＝m，|NF2|＝m，

由双曲线的定义知，|MF1|－|MF2|＝2a，
|NF2|－|NF1|＝2a
所以|MF1|＝2a＋m，|NF1|＝m－2a，
又|MN|＝|MF1|－|NF1|，所以m＝(2a＋m)－(m－2a)＝4a，即m＝2a，
在△MF1F2中，由余弦定理知，|F1F2|2＝|MF1|2＋|MF2|2－2|MF1|·|MF2|cos∠F1MF2，
所以4c2＝(2a＋m)2＋m2－2(2a＋m)·mcos 45°＝4a2＋4am＋2m2－m(2a＋m)，
即4c2＝4a2＋4a·2a＋2·(2a)－·2a(2a＋2a)，
整理得，c2＝3a2，即c＝a，
所以离心率e＝＝.
故选B.
答案：B
9．(2022·广东一模)已知F1，F2是双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点，A是C的右顶点，点P在过点A且斜率为的直线上，△PF1F2为等腰三角形，∠F1F2P＝120°，则C的离心率为(　　)
A． B．2
C．3 D．4
解析：如图所示，

由题意知：A(a，0)，F1(－c，0)，
F2(c，0)，
直线AP的方程为y＝(x－a)，
由∠F1F2P＝120°，|PF2|＝|F1F2|＝2c，
则P(2c，c)，
代入直线方程，可得c＝(2c－a)，
整理得：2a＝c，
所以所求的双曲线离心率为e＝＝2.
故选B.
答案：B
10．(多选题)(2022·顺德区三模)已知曲线C的方程为－＝1，下列说法正确的是(　　)
A．若曲线C为焦点在x轴上的椭圆，则m>－n>0
B．曲线C可能是圆
C．若mnm>0，故A错误；
对于B：当m＝－n>0时曲线C表示圆，故B正确；
对于C：若m＝－n＝1，满足mn0，
当时，－＝1表示焦点在y轴上的双曲线，其渐近线方程为y＝± x，
当时，－＝1表示焦点在x轴上的双曲线，其渐近线方程为y＝± x，故D正确；
故选BD.
答案：BD
11.(多选题)(2022·深圳模拟)已知定圆A的半径为1，圆心A到定直线l的距离为d，动圆C与圆A和直线l都相切，圆心C的轨迹为如图所示的两条抛物线，记这两抛物线的焦点到对应准线的距离分别为p1，p2，则(　　)

A．d>1 B．p1＋p2＝2d
C．p1p2＝d2 D．＋>
解析：由题意设圆A的半径为1，圆C的半径为R，当圆C与圆A相外切时，如图所示，

则有点C到直线l的距离为R，|AC|＝1＋R，把直线l向左平移1个单位得到直线l′，可得C到l′的距离与到A的距离相等，故圆C的轨迹是以A为焦点，l′为准线的抛物线，所以p1＝d＋1，
同理p2＝d－1，所以d－1>0，所以d>1，故A正确；
因为p2＝d－1，所以p1＋p2＝2d，故B正确；
p1p2＝(d＋1)(d－1)＝d2－1，故C错误；
＋＝＋＝＝＝，故D正确；
故选ABD.
答案：ABD
12．(多选题)(2022·佛山模拟)已知直线l：y＝k·(x－)与抛物线C：y2＝2px(p>0)相交于A，B两点，点A在x轴上方，点M(－1，1)是抛物线C的准线与以AB为直径的圆的公共点，则下列结论正确的是(　　)
A．p＝2 B．k＝－2
C．MF⊥AB D．＝
解析：直线l：y＝k(x－)，恒过(，0)，即过抛物线的焦点F，
所以抛物准线方程为x＝－，点M(－1，－1)是抛物线C的准线与以AB为直径的圆的公共点，
M在抛物线的准线上，所以－＝－1，解得p＝2，
所以A正确，焦点坐标为(1，0)，
直线l整理可得y＝k(x－1)，
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，联立直线与抛物线的方程
整理可得：k2x2－(2k2＋4)x＋k2＝0，
x1x2＝1，x1＋x2＝，y1＋y2＝k(x1＋x2－2)＝，y1y2＝－4＝－4，
由题意可得·＝0，即(x1＋1，y1＋1)·(x2＋1，y2＋1)＝0，
整理可得x1x2＋(x1＋x2)＋1＋y1y2＋(y1＋y2)＋1＝0，代入可得1＋＋1－4＋＋1＝0，
解得：＋＋1＝0，解得k＝－2，所以B正确，
又kMF＝＝，所以KMF·k＝－1，所以MF⊥AB，所以C正确；
x1x2＝1，x1＋x2＝3，解得x1＝，x2＝，
|FA|＝＋1，|FB|＝＋1，所以＝，故D不正确．
故选ABC.
答案：ABC
13．(多选题)(2022·光明区校级模拟)已知P是椭圆C：＋y2＝1上的动点，过点Q(1，)的直线与椭圆交于M，N两点，则(　　)
A．椭圆C的焦距为
B．椭圆C的离心率为
C．当Q为MN中点时，直线MN的斜率为－3
D．若∠F1PF2＝90°，则△F1PF2的面积为1
解析：由椭圆C：＋y2＝1，得a2＝6，b2＝1，
则c＝＝，
所以椭圆C的焦距为2，故A错误；
椭圆C的离心率为e＝＝＝，故B正确；
设M(x1，y1)，N(x2，y2)，则＋y＝1，＋y＝1，
两式作差得：＝－(y1－y2)(y1＋y2)，
即＝－＝－＝－，故C错误；
设|PF1|＝m，|PF2|＝n，则
解得：mn＝2，所以△F1PF2的面积为1，故D正确．
故选BD.
答案：BD
14．(2022·光明区校级模拟)已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的右焦点为F，过点F作双曲线C的一条渐近线的垂线l，垂足为M.若直线l与双曲线C的另一条渐近线交于点N，且满足＋4＝5(O为坐标原点)，则双曲线C的离心率为________．
解析：点F(c，0)到渐近线bx±ay＝0的距离为＝b，在△OMF中，
|MF|＝b，|OF|＝c，
所以|OM|＝a，设∠MOF＝α，则tan α＝，
tan 2α＝＝＝，
因为＋4＝5，所以＝4，所以|NF|＝4b，所以|MN|＝5b，
在Rt△OMN中，tan∠MON＝＝tan 2α，
所以＝，解得＝，
故双曲线C的离心率为 ＝.
答案：
15．(2022·广东模拟)如图，已知F1，F2为椭圆C：＋＝1的左，右焦点，P为C上在第二象限内一点，以F1F2为直径的圆交PF1于点A，若OA∥PF2(O为坐标原点)，则△PF1F2的面积为 ________，直线PF1的方程为_____________________________．

解析：根据椭圆的性质可得：2a＝6，2c＝4，
即a＝3，c＝2，
所以焦点坐标F1(－2，0)，F2(2，0)，
故圆O的方程为：x2＋y2＝4，其中圆O的半径为2，
即|F1O|＝|OA|＝2.
因为OA∥PF2(O为坐标原点)，
所以＝＝，
所以|F2P|＝4.
又因为点P在椭圆C上，
所以|F1P|＋|F2P|＝2a＝6，即|F1P|＝2.
在△PF1F2中，应用余弦定理可得：
cos∠PF1F2＝＝
＝，
所以sin∠PF1F2＝ ＝，
所以△PF1F2的面积为×|F1P|×|F1F2|·sin∠PF1F2＝×2×4×＝.
因为cos∠PF1F2＝，sin∠PF1F2＝，
所以tan∠PF1F2＝，即直线PF1的斜率为，
又因为直线PF1过点F1(－2，0)，
所以直线PF1的方程为y－0＝(x＋2)，
即x－y＋2＝0.
答案：　x－y＋2＝0
16．(2022·天河区三模)已知P为抛物线y2＝12x上一个动点，Q为圆x2＋(y－4)2＝1上一个动点，那么点P到点Q的距离与点P到直线x＝－3的距离之和的最小值是________．
解析：抛物线y2＝12x的焦点为F(3，0)，圆x2＋(y－4)2＝1的圆心为E(0，4)，半径为1，
根据抛物线的定义可知点P到准线的距离等于点P到焦点的距离，
进而推断出当P，Q，F三点共线时P到点Q的距离与点P到直线x＝－1距离之和的最小为|QF|＝|EF|－r＝－1＝5－1＝4.

答案：4