2024届高考数学二轮专题复习与测试第一部分专题五解析几何微专题2圆锥曲线的方程与几何性质小题考法1圆锥曲线的定义及标准方程

这是一份2024届高考数学二轮专题复习与测试第一部分专题五解析几何微专题2圆锥曲线的方程与几何性质小题考法1圆锥曲线的定义及标准方程，共2页。
(2)(2023·广东二模)已知F1，F2分别是椭圆C：eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)的左、右焦点，M是C上一点且MF2与x轴垂直，直线MF1与C的另一个交点为N.若直线MN在y轴上的截距为3，且eq \(MN,\s\up6(→))＝4eq \(F1N,\s\up6(→))，则椭圆C的标准方程为____________________．
解析：(1)依题意C的开口朝上，可设C的标准方程为x2＝2py(p>0)，
因为抛物线C的焦点到准线的距离为eq \r(3)，所以p＝eq \r(3)，
所以抛物线C的标准方程为x2＝2eq \r(3)y.
(2)由对称性不妨令点M在第一象限，令直线MN交y轴于点A，过N作NB⊥x轴于B，令F1(－c，0)，F2(c，0)，
因为MF2⊥x轴，则OA∥MF2，而O为F1F2的中点，又A为MF1中点，而|OA|＝3，
于是|MF2|＝2|OA|＝6，由eq \(MN,\s\up6(→))＝4eq \(F1N,\s\up6(→))知，eq \f(|NF1|,|MF1|)＝eq \f(1,3)，显然NB∥MF2，
因此|NB|＝eq \f(1,3)|MF2|＝2，|BF1|＝eq \f(1,3)|F1F2|＝eq \f(2c,3)，于是N(－eq \f(5c,3)，－2)，又M(c，6)，
则eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(\f(25c2,9a2)＋\f(4,b2)＝1，,\f(c2,a2)＋\f(36,b2)＝1，))解得b2＝54，a2＝3c2，
而a2＝b2＋c2，则c2＝27，a2＝81，
所以椭圆C的标准方程为eq \f(x2,81)＋eq \f(y2,54)＝1.
答案：(1)x2＝2eq \r(3)y (2)eq \f(x2,81)＋eq \f(y2,54)＝1
1．求解圆锥曲线的标准方程的方法是：“先定位、再定量”，定位即确定焦点的位置，定量即计算方程中参数的值．
2．解决圆锥曲线问题时，学会灵活运用圆锥曲线的定义实施转化，使得解答问题简捷、明快．
1．(2023·泰安一模)已知双曲线C：eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的右顶点为A，以A为圆心，b为半径的圆与双曲线C的一条渐近线交于M，N两点，若∠MAN＝60°，则以(e，0)(e为双曲线C的离心率)为焦点的抛物线的标准方程为____________________．
解析：根据题意知A(a，0)，双曲线的一条渐近线方程为bx－ay＝0，
又△MAN是边长为b的等边三角形，
所以A到MN的距离是eq \f(\r(3),2)b，
所以eq \f(|ab－0|,\r(a2＋b2))＝eq \f(ab,c)＝eq \f(\r(3)b,2)，e＝eq \f(c,a)＝eq \f(2,\r(3))，
所以对于抛物线y2＝2px，有eq \f(p,2)＝eq \f(2,\r(3))，2p＝eq \f(8,\r(3))＝eq \f(8\r(3),3)，
所以抛物线方程为y2＝eq \f(8\r(3),3)x.
答案：y2＝eq \f(8\r(3),3)x
2．(2023·青岛三模)已知椭圆C的长轴长为4，它的一个焦点与抛物线y＝eq \f(1,4)x2的焦点重合，则椭圆C的标准方程为________________．
解析：因为抛物线方程化为标准方程得x2＝4y，所以焦点坐标为F(0，1)，
因为抛物线焦点与椭圆C的一个焦点重合，
所以椭圆焦点在y轴，
设椭圆方程为eq \f(y2,a2)＋eq \f(x2,b2)＝1，(a>b>0)，
则由焦点坐标和长轴长知c＝1，2a＝4，所以a＝2，
所以b2＝a2－c2＝3，
所以椭圆C的标准方程为eq \f(y2,4)＋eq \f(x2,3)＝1.
答案：eq \f(y2,4)＋eq \f(x2,3)＝1