2024高三数学开学摸底考试卷02（新高考地区）

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高三开学摸底考试卷02
一． 选择题
1．（2023春•信阳月考）已知复数满足，则在复平面内对应的点位于　　
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
2．（2023•2月份模拟）设集合，3，，，，，．若，，则　　
A． B． C．1 D．3
3．（2023春•重庆期中）中国古代中的“礼、乐、射、御、书、数”合称“六艺”．“礼”，主要指德育；“乐”，主要指美育；“射”和“御”，就是体育和劳动；“书”，指各种历史文化知识；“数”，指数学．某校国学社团开展“六艺”课程讲座活动，每艺安排一节，连排六节，一天课程讲座排课有如下要求：“乐”和“书”两门课程相邻排课，则“六艺”课程讲座不同的排课顺序共有　　
A．240种 B．36种 C．120种 D．360种
4．（2022秋•甘谷县期末）已知，，则（3）的值为　　
A． B．13 C．7 D．
5．（2023•湖滨区三模）设椭圆的离心率为，则“”是“”的　　
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
6．（2023春•利州区校级期中）若函数有三个单调区间，则实数的取值范围是　　
A．， B．， C． D．，
7．（2023春•江西月考）已知是第二象限角，且，则　　
A．2 B． C． D．
8．（2023•大兴区校级模拟）是由实数构成的无穷等比数列，，关于数列，给出下列命题：
①数列中任意一项均不为0；
②数列中必有一项为0；
③数列中一定不可能出现；
④数列中一定不可能出现．
其中正确的命题个数是　　
A．0 B．1 C．2 D．3
二． 多选题
9．（2023春•宁波期末）如图，在棱长为2的正方体中，点为的中点，点在线段（不包含端点）上运动，记二面角的大小为，二面角的大小为，则　　

A．异面直线与所成角的范围是
B．的最小值为
C．当的周长最小时，三棱锥的体积为
D．用平面截正方体，截面的形状为梯形
10．（2023•安徽二模）已知抛物线的焦点到准线的距离为4，直线与交于，两点，且，，若过点，分别作的两条切线交于点，则　　
A． B．
C． D．以为直径的圆过点
11．（2023•昌江县二模）函数的定义域为，它的导函数的部分图象如图所示，则下面结论正确的是　　

A．在上函数为增函数
B．在上函数为增函数
C．在上函数有极大值
D．是函数在区间，上的极小值点
12．（2023春•思明区校级期末）某工厂有3个车间生产同型号的电子元件，第一车间的次品率为，第二车间的次品率为，第三车间的次品率为，三个车间的成品都混合堆放在一个仓库．假设第一、二、三车间生产的成品比例为，现有一客户从该仓库中随机取一件，则下列说法正确的有　　
A．取出的该件是次品的概率约为0.012
B．取出的该件是次品的概率约为0.016
C．若取出的电子元件是次品，则它是第一车间生产的概率约为0.5
D．若取出的电子元件是次品，则它是第一车间生产的概率约为0.4
三． 填空题
13．（2022春•成都期末）已知向量，，其中，．若，则的值为 　　．
14．（2023春•辽宁月考）某车间对一个正六棱柱形的工件进行加工，该工件的所有棱长均为．需要在底面的中心处打一个半径为的圆柱形通孔（如图所示），当工件加工后的表面积最大时，加工后的工件体积为 　　．

15．（2023•江西二模）圆，，过作圆的切线，，过作斜率为1的直线与圆交于点在内），线段上有一点使，则的坐标为 　　．
16．（2022秋•合肥期末）已知函数的最小正周期为，其图象过点，则　　．
四． 解答题
17．（2023•大埔县三模）在中，内角，，的对边分别为，，、且．
（1）求；
（2）若，，点，分别在边，上，且将分成面积相等的两部分，求的最小值．
18．（2023春•龙泉驿区月考）已知各项均为正数的数列满足，其中是数列的前项和．
（1）求数列的通项公式；
（2）数列满足，求的前100项和．
19．（2023•秀英区校级三模）某加盟连锁店总部对旗下600个加盟店中每个店的日销售额（单位：百元）进行了调查，如图是随机抽取的50个加盟店的日销售额的频率分布直方图．若将日销售额在，的加盟店评定为“四星级”加盟店，日销售额在，的加盟店评定为“五星级”加盟店．
（1）根据上述调查结果，估计这50个加盟店日销售额的平均数和中位数（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表，结果精确到；
（2）若该加盟连锁店总部旗下所有加盟店的日销售额，其中近似为（1）中的样本平均数，根据的分布估计这600个加盟店中“五星级”加盟店的个数（结果精确到整数）；
（3）该加盟连锁店总部决定对样本中“四星级”及“五星级”加盟店进一步调研，现从这些加盟店中随机抽取3个，设为抽取的“五星级“加盟店的个数，求的概率分布列与数学期望．
参考数据：若，则，，．

20．（2023春•上高县校级月考）如图，在四棱台中，，，四边形为平行四边形，点为棱的中点．
（1）求证：平面；
（2）若四边形为正方形，平面，，求二面角的余弦值．

21．（2023秋•松江区期末）已知双曲线经过点，两条渐近线的夹角为，直线交双曲线于、两点．
（1）求双曲线的方程；
（2）若过原点，为双曲线上异于，的一点，且直线、的斜率，均存在，求证：为定值；
（3）若过双曲线的右焦点，是否存在轴上的点，使得直线绕点无论怎样转动，都有成立？若存在，求出的坐标；若不存在，请说明理由．
22．（2023•鼓楼区校级模拟）已知函数．
（1）讨论函数的单调性；
（2）若函数有两个零点，，且，求证：（其中是自然对数的底数）．