2024高三数学开学摸底考试卷01（新高考地区）

这是一份2024高三数学开学摸底考试卷01（新高考地区），文件包含高三开学摸底考试卷01新高考I卷变式卷解析版docx、高三开学摸底考试卷01新高考I卷变式卷原卷版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共22页， 欢迎下载使用。

高三开学摸底考试卷01（新高考I卷变式卷）
一． 选择题
1．（2023春•米东区校级月考）已知集合，0，1，2，，，则　　
A． B．，0， C．，0，1， D．，0，1，2，
【解析】，
又，0，1，2，，
．
故选：．
2．（2023春•横山区校级期中）已知复数满足是虚数单位），则的虚部是　　
A． B． C． D．
【解析】，
则，其虚部为．
故选：．
3．（2023春•顺德区校级期中）已知向量，，若，则的值为　　
A． B．1 C．2 D．1或2
【解析】，，
，
，
，解得．
故选：．
4．（2023春•梅河口市校级期末）下列函数中，既是奇函数，又在上单调递减的函数是　　
A． B．
C． D．
【解析】根据题意，依次分析选项：
对于，，其定义域为，
有，为奇函数，
设，则为减函数，而为增函数，
故在上为减函数，符合题意；
对于，，，不是奇函数，不符合题意；
对于，，，不是奇函数，不符合题意；
对于，，，不是奇函数，不符合题意；
故选：．
5．（2023•淄博模拟）直线经过椭圆的左焦点，交椭圆于，两点，交轴于点，若，则该椭圆的离心率为　　
A． B． C． D．
【解析】由直线方程可得，，则，
又，即，根据相似三角形可得，，
则，
，
故选：．


6．（2023•全国Ⅱ卷模拟）已知直线，圆，若在直线上存在一点，使得过点作圆的切线，（点，为切点），满足，则的取值范围为　　
A．， B． C．， D．
【解析】根据题意，圆化为：，圆心为，半径，
过点作圆的两条切线，切点为，，连接，
若，则，如图所示：

又由，
则，
若直线上存在点，满足，
则有到直线的距离，
解得：，
即的取值范围是，．
故选：．
7．（2023春•临川区校级期末）设等差数列的前项和为，首项，公差，，则最大时，的值为　　
A．11 B．10 C．9 D．8
【解析】．
首项，公差，，
，．
则最大时，的值为10．
故选：．
8．（2023春•分宜县校级月考）设，，，则，，的大小关系是　　
A． B． C． D．
【解析】因为，

，，
因为，
所以．
故选：．
二．多选题
9．（2023•吉阳区校级开学）在某地区某高传染性病毒流行期间．为了建立指标来显示疫情已受控制，以便向该地区居民显示可以过正常生活，有公共卫生专家建议的指标是“连续7天每天新增感染人数不超过5”，根据连续7天的新增病例数计算，下列各选项中，一定符合上述指标的是　　
A．平均数
B．平均数且标准差
C．平均数且极差小于或等于2
D．众数等于1且极差小于或等于4
【解析】错，举反例：0，0，0，0，2，6，6，其平均数，不符合指标，
错，举反例：0，3，3，3，3，3，6，其平均数，且标准差，不符合指标，
对，若极差等于0或1，在的条件下，显然符合指标；
若极差等于2且，则每天新增感染人数的最小值和最大值有下列可能：
①0，2，②1，3，③2，4，符合指标，
对，若众数等于1且极差小于或等于4，则最大值不超过5，符合指标，
故选：．
10．（2023•扬中市校级开学）某食品的保鲜时间（单位：小时）与存储温度（单位：满足函数关系且该食品在的保鲜时间是16小时．已知甲在某日上午10时购买了该食品，并将其遗忘在室外，且此日的室外温度随时间变化如图所示，则下列结论正确的有　　

A．该食品在的保鲜时间是8小时
B．当，时，该食品的保鲜时间随着的增大而逐渐减少
C．到了此日13时，甲所购买的食品还在保鲜时间内
D．到了此日14时，甲所购买的食品已经过了保鲜时间
【解析】由题意，当时，保鲜时间小时，解得，
对于，当时，，故选项正确；
对于，当，时，时间不变，故选项错误；
对于，由已知可得，在上午10点购买的该食品的保鲜时间是2小时，所以到了13点，已经过了保鲜时间，故选项错误；
对于，由已知可知，在上午10点购买的该食品的保鲜时间是2小时，所以到了14点，已经过了保鲜时间，故选项正确．
故选：．
11．（2023•渝中区校级模拟）已知定义在上的函数满足，且函数为奇函数，则下列说法一定正确的是　　
A．是周期函数
B．的图象关于点对称
C．是上的偶函数
D．是上的奇函数
【解析】，，即是周期为4的周期函数，故正确；
由为奇函数，可知的图象关于点对称，
因为周期是4，故正确；
，，
又的图象关于点对称，
，即，
，故是偶函数，故正确；
举反例，如满足已知条件，但它是一个偶函数，故错误，
故选：．
12．（2023春•铜山区期中）在棱长为2的正方体中，点为的中点，点是正方形内部（含边界）的一个动点，则下列说法正确的是　　
A．存在唯一一点，使得
B．存在唯一一点，使得直线与平面所成角取到最小值
C．若直线平面，则点的轨迹长度为
D．若，则三棱锥的体积为
【解析】对于，在正方体中，，，
，
所以平面，
所以当在线段上时，都满足，
此时点有无数个，故错误；
对于，在正方体中，平面，
所以是直线与平面所成的角，
因为，且，，
所以当直线与平面所成角取到最小时，最大，亦有最大，
所以当且仅当点与重合时，最大，故正确；

对于，分别取，的中点为，，连接，，，，
在正方形中，因为，分别是，的中点，
所以，
又平面，平面，
所以平面，
同理可证平面，，平面，，
所以平面平面，
所以若直线平面，
则点在线段上，点的轨迹长度即为线段的长度，
在中，，故正确；

对于，以为原点建立如图所示的空间直角坐标系，

则，0，，，2，，，0，，
由，得，
，，，
设平面的一个法向量为，
则，即，可取，
设点到平面的距离为，
则，
在中，，，
则等腰底边上的高，，
所以三棱锥的体积，故正确．
故选：．
三．填空题
13．（2023春•连云港期末）从0，1，2，3这4个数字中选出3个不同数字能组成个 　　三位数．
【解析】根据题意，三位数的百位数字可以为1、2、3，有3种情况，
其十位数字有3种情况，其个位数字有2种情况，
则可以有个三位数；
故答案为：18．
14．（2023•安徽模拟）已知正四棱台内接于半径为1的球，且球心是四边形的中心，若该棱台的侧棱与底面所成的角是，则该棱台的体积为 　　．
【解析】由题意球心是四边形的中心可知，侧棱与底面所成的角是，则，
所以△是等边三角形，则棱台的侧棱长为1，
棱台的高为，上底面边长，下底面边长为，
所以该棱台的体积是．
故答案为：．

15．（2023•河南模拟）已知函数，周期为，且，则实数的最小值为 　　（用弧度制表示）
【解析】依题意，由，得，
则，即有，
因此，所以的最小值为．
故答案为：．
16．（2023•泉州模拟）已知双曲线的左、右焦点分别为，，的渐近线与圆在第一象限的交点为，线段与交于点，为坐标原点．若，则的离心率为 　　．
【解析】如图，

联立，解得，
为的中点，且，为的中点，
则，，代入，得，
整理得：，即．
故答案为：．
四． 解答题
17．（2023•福州模拟）已知函数，将图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再将得到的图象向左平移个单位长度，得到函数的图象．
（1）求函数的单调递减区间；
（2）记锐角三角形内角，，的对边分别为，，，已知，求的取值范围．
【解析】（1）将图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，得到，
再将得到的图象向左平移个单位长度，
得到，则．
当函数单调递增时，单调递减，
故函数的单调递减区间为．
（2），，，又为锐角，，．
，．
．
为锐角三角形，
即解得，
，．
的取值范围为．
18．（2023春•南海区校级月考）如图所示，在四棱锥中；平面平面，，且，设平面与平面的交线为．
（1）作出交线（写出作图步骤），并证明平面；
（2）记与平面的交点为，点在交线上，且，求平面与平面夹角的正弦值．

【解析】证明：（1）延长，交于点，连结，则直线即为所求作的直线．
，，
又，，即，分别为，的中点，
，，
，平面平面且交线为，且平面，
平面，
平面，，
又，且平面，平面，
平面，即平面．
（2）取的中点，连结，则，
又平面平面且交线为，且平面，平面，
以为原点，建立空间直角坐标系如图：则，0，，，1，，，0，，，0，，
由，得，0，，
则，0，，，1，，
设平面的法向最为，，，则且，
即，令，则，，即，，，
则面的一个法向量，
平面的一个法向量为，0，，
则，
则平面与平面所成角的正弦值．

19．（2023•江油市模拟）已知函数．
（1）讨论的单调性；
（2）若有两个不相同的零点，，设的导函数为．证明：．
【解析】（1）的定义域为，
且，
当时，恒成立，在上单调递增，
当时，令，解得，令，解得，
故在上单调递减，在上单调递增，
综上：当时，在上单调递增，
当时，在上单调递减，在上单调递增；
（2）证明：由（1）知：当时，在上单调递增，故至多有一个零点，不合要求，故，
要想有两个不相同的零点，，则（a），
解得：，，故，
要证，即证，
即证：，
因为在上单调递增，
所以只需证，不妨设，，
两式相减得：，
变形为，
下面证明在上成立，
只需证，即，
令，即证，
构造，，
则恒成立，
故在上单调递增，
故（1），所以，，
故，即，所以，，证毕．
20．（2023春•珠海校级期中）已知数列满足．
（1）求证：数列是等比数列；
（2）设，求的前项和．
【解析】（1）证明：由，
可得，
即是首项为2，公比为2的等比数列，
（2）由（1）知，，，
因为，所以，
所以．
令，
，
两式相减可得，
所以，
所以，
又，
所以．
21．（2023春•铜山区期中）甲乙两名同学利用课余时间进行羽毛球比赛，规定每一局比赛中获胜方记2分，失败方记0分，没有平局，谁先获得10分就获胜，比赛结束．假设每局比赛甲获胜的概率都是．
（1）求比赛结束时恰好打了6局的概率；
（2）若现在是甲以的比分领先，记表示结束比赛还需要打的局数，求的概率分布列及数学期望．
【解析】（1）记比赛结束时恰好打了6局为事件，
若甲胜，则，
若乙胜，则．
，
所以比赛结束时恰好打了6局的概率为；
（2）所有可能的取值为2，3，4，5，
，
，
，
，
的分布列为：

2
3
4
5





．
22．（2023•锦江区校级模拟）设椭圆过点，且左焦点为．
（1）求椭圆的方程；
（2）内接于椭圆，过点和点的直线与椭圆的另一个交点为点，与交于点，满足，求面积的最大值．
【解析】（1）令椭圆的半焦距为，依题意，，解得，，
所以椭圆的方程为．
（2）设点，，的坐标分别为，，，，，

显然均不为零，依题意，令，有且，
又，，，四点共线，从而，
即，，，，，，
于是，
从而①，②，
又点，在椭圆上，即③，④，
①②并结合③，④得，即动点总在定直线上，
因此直线方程为，
由消去得，△，
设，，，，则，
于是，设，
则点到直线的距离，其中锐角由确定，
因此，
当且仅当时取等号，
所以的面积最大值为．