2024高三数学开学摸底考试卷07（新高考地区）

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2024高三开学摸底考试卷07
考生注意：
1．本试卷分选择题和非选择题两部分．满分150分，考试时间120分钟．
2．答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚．
3．考生作答时，请将答案答在答题卡上．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效．
4．本试卷主要命题范围：高考范围．
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．
1. 已知集合，，则（ ）
A. B. C. D.
2. 已知复数是纯虚数，则（ ）
A. 3 B. 1 C. D.
3. 古代名著《九章算术》中记载了求“方亭”体积的问题，方亭是指正四棱台，今有一个方亭型的水库，该水库的下底面的边长为20km，上底面的边长为40km，若水库的最大蓄水量为，则水库深度（棱台的高）为（ ）
A. 10m B. 20m
C 30m D. 40m
4. 已知抛物线C：，过焦点F的直线与C在第四象限交于M点，则（ ）
A. 3 B. 4 C. 5 D. 6
5. 若，，则（ ）
A B. C. D. 0
6. 某部门统计了某地区今年前7个月在线外卖的规模如下表：
月份代号x
1
2
3
4
5
6
7
在线外卖规模y（百万元）
11
13
18
★
28
★
35
其中4、6两个月的在线外卖规模数据模糊，但这7个月的平均值为23．若利用回归直线方程来拟合预测，且7月相应于点的残差为，则（ ）
A. 1.0 B. 2.0 C. 3.0 D. 4.0
7. 已知球O的半径为2，四棱锥的顶点均在球O的球面上，当该四棱锥的体积最大时，其高为（ ）
A. B. 2 C. D.
8. 已知曲线在点处的切线与轴交于点，曲线在点处的切线与轴交于点，若，则的取小值为（ ）
A. B. C. D.
二、选则题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分．
9. 与圆和都相切的直线的方程为（ ）
A. B.
C. D.
10. 记函数的最小正周期为，且，函数的图象关于点对称，则（ ）
A. B.
C. D. 当取得最小值时，
11. 已知椭圆的焦距长为，点为椭圆上一点，、是椭圆上关于坐标原点对称的两点（、非椭圆顶点），过作轴的垂线，垂足为，直线交椭圆于另一点，则（ ）
A. 椭圆的方程为
B.
C. 若为椭圆的一个焦点时，则的面积为
D. 若，则的面积为
12. 已知函数，定义域均为，且，，若为偶函数，，则（ ）
A. B.
C. D.
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13. 已知向量，，若，则实数___________．
14. 已知的展开式中的系数为，则实数______．
15. 已知，是该函数的极值点，定义表示超过实数x的最小整数，则的值为______．
16. 现取长度为2的线段的中点，以为直径作半圆，该半圆的面积为（图1），再取线段的中点，以为直径作半圆．所得半圆的面积之和为（图2），再取线段的中点，以为直径作半圆，所得半圆的面积之和为，以此类推，则______．

四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17. 已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，．
（1）证明：为定值；
（2）若，，求的周长．
18. 已知为数列的前项和，，．
（1）求；
（2）若，证明：．
19. 青少年近视问题备受社会各界广泛关注，某研究机构为了解学生对预防近视知识的掌握程度，对某校学生进行问卷调查，并随机抽取200份问卷，发现其得分（满分：100分）都在区间中，并将数据分组，制成如下频率分布表：
分数





频率
0.15
025

0.30
0.10

（1）试估计这200份问卷得分平均值（同一组中的数据用该组区间的中点值代表）；
（2）用样本估计总体，用频率估计概率，从该校学生中随机抽取4人深入调查，设X为抽取的4人中得分在的人数，求的分布列与数学期望．
20. 在四棱锥中，底面，，，，，．

（1）证明：平面平面；
（2）若，求二面角的余弦值．
21. 已知双曲线的渐近线方程为，点，分别为双曲线的左、右焦点，过且垂直于轴的直线与双曲线交于第一象限的点，且的周长为．
（1）求双曲线的方程；
（2）若直线与双曲线的左支、右支分别交于，两点，与直线，分别交于P，Q两点，求的取值范围．
22. 已知函数（）．
（1）讨论的单调性；
（2）若，（）是的两个极值点，证明：．