2022-2023学年福建省泉州市南安市七年级（下）期中数学试卷（含解析）

2022-2023学年福建省泉州市南安市七年级（下）期中数学试卷

一、选择题（本大题共10小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  下列各式中，不是方程的是(    )

A.  B.
C.  D.

2.  将方程改写成用含的式子表示的形式，结果是(    )

A.  B.  C.  D.

3.  若，则下列各式中正确的是(    )

A.  B.  C.  D.

4.  若是方程的一个解，则的值为(    )

A.  B.  C.  D.

5.  一元一次方程，去分母后变形正确的是(    )

A.  B.
C.  D.

6.  若与是同类项，则，的值分别是(    )

A. ， B. ， C. ， D. ，

7.  我国古代数学著作孙子算经中有“多人共车”问题：今有三人共车，二车空；二人共车，九人步问人与车各几何？其大意是：每车坐人，两车空出来；每车坐人，多出人无车坐问人数和车数各多少？设车辆，根据题意，可列出的方程是(    )

A.  B.
C.  D.

8.  若是关于，的二元一次方程，则的值为(    )

A.  B.  C. 或 D.

9.  若关于的不等式组无解，则的取值范围是(    )

A.  B.  C.  D.

10.  在如图所示的三阶幻方中，填写了一些数、式子和汉字其中每个式子或汉字都表示一个数，若每一横行，每一竖列，以及每条对角线上的个数之和都相等，则“诚实守信”这四个字表示的数之和为(    )

A.
B.
C.
D.

二、填空题（本大题共6小题，共24.0分）

11.  请写一个“未知数的系数是且方程的解是”的一元一次方程______ ．

12.  判断 ______ 填“是”或“不是”方程组的解．

13.  若的解集为，则的取值范围是______ ．

14.  阅读框图，在四个步骤中，依据“等式性质”的步骤是______ 填序号．

15.  解方程组时，一学生把看错而得到，而正确的解是，那么______．

16.  将长为、宽为大于且小于的长方形纸片按如图所示的方式折叠并压平，剪下一个边长等于长方形宽的正方形，称为第一次操作：再把剩下的长方形按如图所示的方式折叠并压平，剪下个边长等于此时长方形宽的正方形，称为第二次操作：如此反复操作下去，若在第次操作后，剩下的长方形恰为正方形，则操作终止当时，的值为______．
 

三、计算题（本大题共1小题，共8.0分）

17.  解方程组：．

四、解答题（本大题共8小题，共78.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

18.  本小题分
解方程：．

19.  本小题分
解不等式：，并将它的解集在数轴上表示出来．

20.  本小题分
解不等式组：．

21.  本小题分
某城市自来水收费实行阶梯水价，收费标准如表所示：

某户月份交水费元，则该用户月份的用水量是多少？

22.  本小题分
已知关于，的方程组的解满足．
求的值；
求此方程组的解．

23.  本小题分
图中的数阵是由全体正奇数排成的．

图中平行四边形框内的九个数之和与中间的数有什么关系？
在图中任意作一类似中的平行四边形框，这九个数之和还有这种规律吗？请说出理由这九个数之和能等于吗？呢？若能，请写出这九个数中最小的一个；若不能，请说出理由．

24.  本小题分

“人间四月芳菲尽，山寺桃花始盛开”，为了感受大自然，描绘大自然的美景，小明和同学打算购买画笔与画板两种写生工具数量若干．已知购买盒画笔和个画板共需元，购买盒画笔和个画板共需元．

购买一盒画笔和一个画板各需要多少元？

小明和同学商量，需要画笔盒数和画板个数总共为，且购买这些写生工具的总费用不超过元，请问最少购买画板多少个？

在的条件下，若最多只需要购买画板个，哪种购买方案更省钱？

25.  本小题分
被人们视为枯燥无味的数字，一旦与规律“联姻”就能获得新的生机，显示出浓厚的数趣，因此我们把遵循一定规律的数字视为“趣味数”．
【阅读一】一个大于的正整数，若能满足被不大于的整数的每一个整数除余数均为，那么称这个正整数为“趣味”数取最大．
例如：：被除余，被除余，被除余，那么为“趣四味”数．
【阅读二】设不大于的整数的所有正整数的最小公倍数为，那么“趣味”数可以表示为为正整数．
例如：不大于的所有正整数，，，，，，，的最小公倍数是，那么“趣八味”数可以表示为为正整数．
请你判断，是“趣______ 味”数；
求出最小的三位“趣三味”数；
一个“趣三味”数与一个“趣四味”数的和为，求出这两个数．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：根据方程的定义可知，、、都是方程，不是方程，
故选：．
根据方程的定义含有未知数的等式称为方程依次进行判断即可．
本题主要考查方程的定义，深刻理解方程的定义是解题关键．
 

2.【答案】 

【解析】解：方程，
解得：，
故选：．
把看做已知数求出即可．
此题考查了解二元一次方程，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
 

3.【答案】 

【解析】解：，
，故本选项不合题意；
B.，
，故本选项不合题意；
C.，
，故本选项符合题意；
D.，
，故本选项不合题意；
故选：．
根据不等式的性质对各选项进行逐一分析即可．
本题考查的是不等式的性质．解题的关键是掌握不等式的性质，即：不等式两边加或减同一个数或式子，不等号的方向不变；不等式两边乘或除以同一个正数，不等号的方向不变；不等式两边乘或除以同一个负数，不等号的方向改变．
 

4.【答案】 

【解析】解：把代入方程得：，
解得：．
故选：．
把与的值代入方程计算即可求出的值．
此题考查了二元一次方程的解，方程的解即为能使方程左右两边相等的未知数的值．
 

5.【答案】 

【解析】解：，
去分母，得，
去括号，得，
故选：．
方程两边乘以去分母得到结果，即可做出判断．
本题主要考查了解一元一次方程，熟练掌握解一元一次方程的基本步骤是解答本题的关键．
 

6.【答案】 

【解析】解：与是同类项，
，，
解得，．
故选：．
根据同类项的定义即可求出答案．
本题考查同类项．解题的关键是熟练运用同类项的定义．同类项的定义：所含字母相同，并且相同字母的指数也相同，这样的项叫做同类项．
 

7.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查从实际问题抽象出一元一次方程  设车辆，根据乘车人数不变，即可得出关于的一元一次方程即可．
【解答】

解：设车辆，
根据题意得：
故选B．

8.【答案】 

【解析】解：由题意知：，，
解得．
故选：．
根据二元一次方程的定义，方程有两个未知数，那么未知数的系数不能为，求出的值．
本题主要考查了二元一次方程的定义，二元一次方程必须符合以下三个条件：方程中只含有个未知数；含未知数项的最高次数为一次；方程是整式方程．
 

9.【答案】 

【解析】解：，
由得：，
不等式组无解，
．
故选：．
先解出第二个不等式，根据不等式组无解，可得．
本题主要考查了根据不等式组的解集求参数的范围，熟练掌握一元一次不等式组的解法和解集是解题的关键．
 

10.【答案】 

【解析】解：由第列、第行，得
，
解得，
由第行、第列，得
实，
实，
当时，
，
，
，
每一横行，每一竖列，以及每条对角线上的个数之和，
诚，
实，
守，
信，
“诚实守信”这四个字表示的数之和．
故选：．
观察幻方，可由第列、第行列方程求出，由第行、第列可用的代数式表示出“实”，由此可求出各代数式的值，并根据由下向上对角线上三个数的和求出所以幻方中的数，进而使问题得到解决．
本题考查一元一次方程的应用，解答时需要用到列代数式、求代数式的值，有理数的加减等知识，解题的关键是能够从幻方中发现一个可以求出的等量关系．
 

11.【答案】答案不唯一 

【解析】解：未知数的系数是且方程的解是，
方程满足条件，
故答案为：答案不唯一．
由一元一次方程，结合题意写出一个满足条件的一元一次方程即可．
本题考查一元一次方程的定义，熟练掌握一元一次方程的一般形式及定义是解题的关键．
 

12.【答案】不是 

【解析】解：把分别代入到两个方程中，看左、右两边的值是否相等即可，可发现它不是方程的解，不是方程的解，所以它不是这个方程组的解．
故答案为：不是．
将代入到方程组中去检验即可．
本题考查了二元一次方程组的解，掌握二元一次方程组解的步骤是关键．
 

13.【答案】 

【解析】解：的解集是，
，
解得：．
故答案为：．
根据不等式的性质解答即可．
本题主要考查了不等式的性质，不等式的两边都乘以或除以同一个负数，不等号的方向改变．
 

14.【答案】 

【解析】解：解方程时，移项，化系数为时，用到等式的性质，
故答案为：．
根据等式的性质判断即可．
本题考查等式的性质：性质、等式两边加同一个数或式子结果仍得等式；性质、等式两边乘同一个数或除以一个不为零的数，结果仍得等式．
 

15.【答案】 

【解析】解：把与代入得：
，即，
得：，
把代入得：，
把代入得：，
解得：，
则．
故答案为：
把两个解代入第一个方程求出与的值，把正确解代入第二个方程求出的值，代入原式计算即可求出值．
此题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法．
 

16.【答案】或 

【解析】解：第次操作，剪下的正方形边长为，剩下的长方形的长宽分别为、，由，得
第次操作，剪下的正方形边长为，所以剩下的长方形的两边分别为、，
当，即时，
则第次操作时，剪下的正方形边长为，剩下的长方形的两边分别为、，
则，解得；
，即时
则第次操作时，剪下的正方形边长为，剩下的长方形的两边分别为、，
则，解得；
故答案为或．
经过第一次操作可知剩下的长方形一边长为，另一边长为；
若第二次操作后，剩下的长方形恰好是正方形，则所以剩下的长方形的两边分别为、，
根据第次剩下的长方形分两种情况讨论，若第三次操作后，剩下的长方形恰好是正方形，由此可得出关于的一元一次方程，解之即可得出结论．
本题考查了一元一次方程的应用，解题的关键是根据剪纸的操作找出．
 

17.【答案】解：，
，得，
解得，．
把代入，得，
解得．
原方程组的解为． 

【解析】由于组中两个方程的系数是、，可用加减消元法求解．
本题考查了解二元一次方程组，掌握解二元一次方程组的一般步骤是解决本题的关键．
 

18.【答案】解；去分母，得
，
移项、合并同类项，得
． 

【解析】根据解一元一次方程的一般步骤，可得答案．
本题考查了解一元一次方程，注意去分母时整数也要乘分母的最小公倍数．
 

19.【答案】解：，
，
，
，
．
表示在数轴上如下：
 

【解析】根据解一元一次不等式基本步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为可得．
本题主要考查解一元一次不等式的基本能力，严格遵循解不等式的基本步骤是关键，尤其需要注意不等式两边都乘以或除以同一个负数不等号方向要改变．
 

20.【答案】解：，
由得，
由得，即，
根据“同大取大”可得不等式组解集为． 

【解析】根据解一元一次不等式组的方法步骤，逐个解出构成不等式组的不等式的解集，再利用求不等式组解集的原则：大取大、小取小、大小小大中间找、大大小小无解了求解集即可得到答案．
本题考查解一元一次不等式组，熟练掌握求不等式组解集的原则：大取大、小取小、大小小大中间找、大大小小无解了是解决问题的关键．
 

21.【答案】解：如果一个月用水吨，则需水费：元，
如果一个月用水吨，则需交水费：元，
月份交水费元元，
所以月份，用水量超过了吨，
设该用户月份的用水量是吨，
，
解得．
答：该用户月份的用水量是吨． 

【解析】要求月份用水量多少，就要先设出未知数，先把未知数定出区间，再通过理解题意可知本题的等量关系．
本题考查了一元一次方程的应用，解题要先把区间划分出来，先计算出极限数值，这样有利于解题．
 

22.【答案】解：，
方程方程得：，
又，
，
解得：，
的值为；
将代入原方程组得：，
方程方程得：，
，
将代入得：，
，
此方程组的解为． 

【解析】由方程方程，可得出，结合，可得出关于的一元一次方程，解之即可求出的值；
将代入原方程组，解之即可求出方程组的解．
本题考查了二元一次方程组的解以及解二元一次方程组，解题的关键是：由原方程组的解满足，找出关于的一元一次方程；代入的值，解方程组．
 

23.【答案】解：图中平行四边形框内的九个数的和为：，
，
所以图中平行四边形框内的九个数之和是中间的数的倍；
在数阵图中任意作一类似中的平行四边形，这九个数之和还有这种规律．理由如下：
设数阵图中中间的数为，则其余的个数为，，，，，，，，
这九个数的和为：，
所以图中平行四边形框内的九个数之和是中间的数的倍；
根据题意，得，解得，
数阵是由全体奇数排成，
数阵图中中间的数为不合题意；
根据题意，得，解得，符合题意，
这九个数中最小的一个是． 

【解析】求出图中平行四边形框内的九个数的和，即可发现其与中间的数的关系；
设数阵图中中间的数为，用含的代数式分别表示其余的个数，求出九个数的和，即可发现这九个数之和还有这种规律；根据这九个数之和分别等于，，列出方程，解方程求出的值，根据实际意义确定即可．
本题考查了一元一次方程的应用，发现数阵中个数之间的关系是解题的关键．
 

24.【答案】解：设购买一盒画笔需要元，一个画板需要元，
依题意得：，
解得：．
答：购买一盒画笔需要元，一个画板需要元．
设购买个画板，则购买盒画笔，
依题意得：，
解得：，
又为正整数，
的最小值为．
答：最少购买画板个．
最多只需要购买画板个，且为正整数，
可以为或，
共有种购买方案，
方案：购买个画板，盒画笔，所需费用为元，
方案：购买个画板，盒画笔，所需费用为元．
，
在的条件下，购买个画板，盒画笔更省钱． 

【解析】设购买一盒画笔需要元，一个画板需要元，根据“购买盒画笔和个画板共需元，购买盒画笔和个画板共需元”，即可得出关于，的二元一次方程组，解之即可得出结论；
设购买个画板，则购买盒画笔，利用总价单价数量，结合总价不超过元，即可得出关于的一元一次不等式，解之取其中的最小整数值即可得出结论；
由中的取值范围，结合最多只需要购买画板个，即可得出各购买方案，再求出选择各方案所需费用，比较后即可得出结论．
本题考查了二元一次方程组的应用、一元一次不等式的应用以及有理数的混合运算，解题的关键是：找准等量关系，正确列出二元一次方程组；根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式；利用总价单价数量，分别求出各方案所需费用．
 

25.【答案】六 

【解析】解：被除余，被除余，被除余，被除余，
是“趣六味”数，
故答案为：六；
被除余，
最小的三位“趣三味”数是：；
设这个“趣三味”数为，这个“趣四味”数为，均为正整数，
根据题意，得，
，
满足条件的，有或，
，或，，
所以这两个数为，或，．
根据“趣味数”的定义求解即可；
三位数从开始，按照“趣三味”数的定义即可求出；
设这个“趣三味”数为，这个“趣四味”数为，均为正整数，根据题意，得二元一次方程，分别给，赋值即可求出．
本题考查了新定义与二元一次方程的综合，理解新定义的含义是解题的关键．