高中数学2.3 直线的交点坐标与距离公式精品练习

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2.3 直线的交点坐标与距离公式

课程标准
核心素养
1.能用解方程组的方法求两直线的交点坐标．
2.探索并掌握两点间的距离公式.
3.探索并掌握点到直线的距离公式.
4.会求两条平行直线间的距离.
直观想象、数学抽象、数学运算





知识点1 两直线的交点坐标
1、已知两条直线的方程是l1：A1x＋B1y＋C1＝0, l2：A2x＋B2y＋C2＝0，设这两条直线的交点为P，则点P既在直线l1上，也在直线l2上．所以点P的坐标既满足直线l1的方程A1x＋B1y＋C1＝0，也满足直线l2的方程A2x＋B2y＋C2＝0，即点P的坐标就是方程组的解．
2、直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0和直线l2：A2x＋B2y＋C2＝0的位置关系如表所示：
方程组的解
一组
无数组
无解
直线l1与l2的公共点个数
一个
无数个
零个
直线l1与l2的位置关系
相交
重合
平行




注：(1)判断两直线位置关系的方法，关键是看两直线的方程组成的方程组的解的情况．
有唯一解的等价条件是A1B2－A2B1≠0，即两条直线相交的等价条件是A1B2－A2B1≠0.
(2)虽然利用方程组解的个数可以判断两直线的位置关系，但是由于运算量较大，一般较少使用．

【即学即练1】直线x＋2y－2＝0与直线2x＋y－3＝0的交点坐标是(　　)
A．(4,1)　　　　　　　 B．(1,4)
C. D.

【即学即练2】分别判断下列直线是否相交，若相交，求出交点坐标．
(1)l1：2x－y＝7和l2：3x＋2y－7＝0；
(2)l1：2x－6y＋4＝0和l2：4x－12y＋8＝0；
(3)l1：4x＋2y＋4＝0和l2：y＝－2x＋3.

知识点2　两点间的距离公式
1．公式：点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)间的距离公式|P1P2|＝ .
原点O(0,0)与任一点P(x，y)的距离|OP|＝.
2．文字叙述：平面内两点的距离等于这两点的横坐标之差与纵坐标之差的平方和的算术平方根．
注：（1）两点间的距离公式与两点的先后顺序无关．
（2）①当直线P1P2平行于x轴时，|P1P2|＝|x2－x1|.
②当直线P1P2平行于y轴时，|P1P2|＝|y2－y1|.
③当点P1，P2中有一个是原点时，|P1P2|＝.

④当P1P2与坐标轴不平行时，如图，在Rt △P1QP2中，|P1P2|2＝|P1Q|2＋|QP2|2，

所以|P1P2|＝.
即两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)间的距离|P1P2|＝.
⑤已知斜率为k的直线上的两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，由两点间的距离公式可得
|P1P2|＝＝|x2－x1|，或|P1P2|＝|y2－y1|.

【即学即练3】已知M(2,1)，N(－1,5)，则|MN|等于(　　)
A．5 B. C. D．4

【即学即练4】已知点A(－2，－1)，B(a,3)，且|AB|＝5，则a的值为(　　)
A．1 B．－5
C．1或－5 D．－1或5

知识点3 直线系过定点问题
1．平行于直线Ax＋By＋C＝0的直线系方程为Ax＋By＋λ＝0(λ≠C)．
2．垂直于直线Ax＋By＋C＝0的直线系方程为Bx－Ay＋λ＝0.
3．过两条已知直线A1x＋B1y＋C1＝0，A2x＋B2y＋C2＝0交点的直线系方程为A1x＋B1y＋C1＋λ(A2x＋B2y＋C2)＝0(不包括直线A2x＋B2y＋C2＝0)．
【即学即练5】无论m为何值，直线l：(m＋1)x－y－7m－4＝0恒过一定点P，求点P的坐标．

【即学即练6】经过直线3x＋2y＋6＝0和2x＋5y－7＝0的交点，且在两坐标轴上的截距相等的直线方程为____________．


知识点4　点到直线的距离与两条平行线间的距离

点到直线的距离
两条平行直线间的距离
定义
点到直线的垂线段的长度
夹在两条平行直线间公垂线段的长度
公式
点P0(x0，y0)到直线l：Ax＋By＋C＝0的距离
d＝
两条平行直线l1：Ax＋By＋C1＝0与l2：Ax＋By＋C2＝0(C1≠C2)之间的距离
d＝
注：（1）应用点到直线距离公式的前提是直线方程为一般式．
（2）在使用两平行线间距离公式时，两直线的方程为一般式且x，y的系数分别相同．
（3）若直线方程为Ax＋By＋C＝0，则当A＝0或B＝0时公式也成立，但由于直线是特殊直线(与坐标轴垂直)，故也可用数形结合求解．
（4）已知点P(x0，y0)及直线l上任意一点M，那么点P到直线l的距离|PQ|等于两点间距离|PM|的最小值．

（5）点到直线距离的向量表示
如图，设n为过点P且垂直于l的单位向量，就是在n上的投影向量，点P到直线l的距离||＝|·n|.

（6）点到直线距离公式的推导
如图，平面直角坐标系中，已知点P(x0，y0)，直线l：Ax＋By＋C＝0(A≠0，B≠0)，怎样求出点P到直线l的距离呢？

方法一：根据定义，点P到直线l的距离是点P到直线l的垂线段的长，如图，设点P到直线l的垂线为l′，垂足为Q，由l′⊥l可知l′的斜率为，

∴l′的方程为y－y0＝(x－x0)，与l联立方程组，
解得交点Q，
∴|PQ|＝.
方法二：向量是解决空间距离、角度问题的有力工具，怎样用向量方法求点到直线的距离呢？

提示　可以看作在直线l的垂线上的投影向量，直线l：Ax＋By＋C＝0(AB≠0)的斜率为－，
所以m＝(B，－A)是它的一个方向向量．
(1) 由向量的数量积运算可求得与直线l垂直的一个单位向量n＝(A，B)．
(2) 在直线l上任取点M(x，y)，可得向量＝(x－x0，y－y0)．
(3) |PQ|＝||＝|·n|＝.
（7）怎样求两条平行直线Ax＋By＋C1＝0与Ax＋By＋C2＝0间的距离？
在直线Ax＋By＋C1＝0上任取一点P(x0，y0)，点P(x0，y0)到直线Ax＋By＋C2＝0的距离，就是这两条平行直线间的距离即d＝，
因为点P(x0，y0)在直线Ax＋By＋C1＝0上，
所以Ax0＋By0＋C1＝0，
即Ax0＋By0＝－C1，
因此d＝＝＝.


【即学即练7】原点到直线x＋2y－5＝0的距离为(　　)
A．1　　　 B.　　　　
C．2　　 D.

【即学即练8】点P(1，－1)到直线l：3y＝2的距离是(　　)
A．3　　　　　　　　　　 B.
C．1 D.

【即学即练9】已知点M(1,4)到直线l：mx＋y－1＝0的距离为3，则实数m＝(　　)
A．0 B.
C．3 D．0或

【即学即练10】已知直线l1：x＋y＋1＝0，l2：x＋y－1＝0，则l1，l2之间的距离为(　　)
A．1 B.
C. D．2

【即学即练11】已知直线3x＋2y－3＝0和6x＋my＋1＝0互相平行，则它们之间的距离是(　　)
A．4 B. C. D.



考点一 两条直线的交点问题
解题方略：
1．两条直线相交的判定方法
方法一：联立直线方程解方程组，若有一解，则两直线相交．
方法二：两直线斜率都存在且斜率不等．
2．过两条直线交点的直线方程的求法
(1)常规解法(方程组法)：一般是先解方程组求出交点坐标，再结合其他条件写出直线方程．
(2)特殊解法(直线系法)：运用过两直线交点的直线系方程：若两直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0有交点，则过l1与l2交点的直线系方程为A1x＋B1y＋C1＋λ(A2x＋B2y＋C2)＝0(λ为待定常数，不包括直线l2)，设出方程后再利用其他条件求解．
【例1-1】判断下列各对直线的位置关系．若相交，求出交点坐标：
(1)l1：2x＋y＋3＝0，l2：x－2y－1＝0；
(2)l1：x＋y＋2＝0，l2：2x＋2y＋3＝0.



变式1：求过直线2x－y＋2＝0和x＋y＋1＝0的交点，且斜率为3的直线方程．


变式2：设直线l经过2x－3y＋2＝0和3x－4y－2＝0的交点，且与两坐标轴围成等腰直角三角形，则直线l的方程为________．



【例1-2】直线3x＋my－1＝0与4x＋3y－n＝0的交点为(2，－1)，则m＋n的值为(　　)
A．12 B．10 C．－8 D．－6


变式1：两直线2x＋3y－k＝0和x－ky＋12＝0的交点在y轴上，那么k的值为________．


变式2：三条直线ax＋2y＋7＝0,4x＋y＝14和2x－3y＝14相交于一点，求a的值；


变式3：已知直线5x＋4y＝2a＋1与直线2x＋3y＝a的交点位于第四象限，则a的取值范围是______.

变式4：若直线l：y＝kx－与直线x＋y－3＝0相交，且交点在第一象限，则直线l的倾斜角θ的取值范围是(　　)
A．{θ|0°