2023年福建省福州市鼓楼区铜盘中学中考数学模拟试卷（6月份）（含解析）

这是一份2023年福建省福州市鼓楼区铜盘中学中考数学模拟试卷（6月份）（含解析），共22页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

2023年福建省福州市鼓楼区铜盘中学中考数学模拟试卷（6月份）
一、选择题（本大题共10小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 在−1.5，−3，−1，−5四个数中，最大的数是(    )
A. −1.5 B. −3 C. −1 D. −5
2. 下列几何体的俯视图是矩形的是(    )
A. B. C. D.
3. 2023年2月10日，神舟十五号航天员乘组圆满完成了他们的首次出舱任务，飞船的时速为每小时28亿千米，28亿千米用科学记数法表示应为(    )
A. 2.8×108米 B. 2.8×109米 C. 28×1012米 D. 2.8×1012米
4. 下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是(    )
A. B. C. D.
5. 一副三角板如图放置，两三角板的斜边互相平行，每个三角板的直角顶点都在另一个三角板的斜边上，图中∠α的度数为(    )






A. 45° B. 60° C. 75° D. 85°
6. 不等式组−2x<4x−2>1的解集为(    )
A. −2−2 C. x>3 D. 2 7. 小明收集整理了本校八年级1班20名同学的定点投篮比赛成绩(每人投篮10次)，并绘制了折线统计图，如图所示.那么这次比赛成绩的中位数、众数分别是(    )

A. 6，7 B. 7，7 C. 5，8 D. 7，8
8. 下列运算正确的是(    )
A. 3x+3y=6xy B. 2a2÷a=2a
C. (a+b)2=a2+b2 D. (−3pq)2=−6p2q2
9. 如图，一枚运载火箭从地面L处发射，雷达站R与发射点L距离6km，当火箭到达A点时，雷达站测得仰角为43°，则这枚火箭此时的高度AL为(    )



A. 6sin43°
B. 6cos43°
C. 6tan43∘
D. 6tan43°


10. 已知抛物线y=ax2−2ax+c(a<0)过点A(x1,m)，B(x2,m)，C(x3,n)，D(x4,n)，其中x1n，则下列式子一定正确的是(    )
A. 01 D. x2x4>1
二、填空题（本大题共6小题，共24.0分）
11. −2023的相反数是______．
12. 大小、形状完全相同的5张卡片，背面分别写着“我”“的”“中”“国”“梦”这5个字，从中随机抽取一张，则这张卡片背面恰好写着“中”字的概率是______．
13. 如图，点A，B，C，D在⊙O上，∠AOC=140°，点B是AC的中点，则∠D的度数是______ ．


14. 《九章算术》勾股章有一问题，其意思是：现有一竖立着的木柱，在木柱上端系有绳索，绳索从木柱上端顺木柱下垂后，堆在地面的部分尚有3尺，牵着绳索退行，在离木柱根部8尺处时绳索用尽，请问绳索有多长？若设绳索长度为x尺，根据题意，可列方程为______．
15. 如图.将扇形AOB翻折，使点A与圆心O重合，展开后折痕所在直线l与AB交于点C，连接AC.若OA=2，则图中阴影部分的面积是______ ．


16. 如图，△OAC和△BAD都是等腰直角三角形，∠ACO=∠ADB=90°，反比例函数y=kx在第二象限的图象过点B，且OA2−AB2=8，则k的值是______ ．


三、解答题（本大题共9小题，共86.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17. (本小题8.0分)
计算： 8−|1− 2|−(15)−1．
18. (本小题8.0分)
如图，在▱ABCD中，E、F分别是AD和BC上的点，∠DAF=∠BCE.求证：BF=DE．

19. (本小题8.0分)
先化简，再求值：(1−3a+2)÷a2−2a+1a2−4，其中a= 2+1．
20. (本小题8.0分)
新学期，某校开设了一门课程.为了解学生对新开设课程的掌握情况，从八年级学生中随机抽取了部分学生进行了一次综合测试.测试结果分为四个等级：A级(80分≤x<100分)，B级(60分≤x<80分)，C级(40分≤x<60分)，D级(20分≤x<40分).将测试结果绘制了如图两幅不完整的统计图.根据统计图中的信息解答下列问题：

(1)本次抽样测试的学生人数是______ 名；
(2)扇形统计图中表示A级的扇形圆心角α的度数是______ °.
(3)请求出被抽取出来这部分学生的平均成绩．
21. (本小题8.0分)
如图，AB为⊙O的直径，C、D为⊙O上的两个点，AC=CD=DB，连接AD，过点D作DE⊥AC交AC的延长线于点E．
(1)求证：DE是⊙O的切线．
(2)若AC=6，求DB的长．

22. (本小题10.0分)
2023年是中国农历癸卯兔年.春节前，某商场进货员打算进货“吉祥兔”和“如意兔”两种布偶，发现用8800元购进的“吉祥兔”的数量是用4000元购进的“如意兔”‘的2倍，且每件“吉祥兔”的进价比“如意兔”贵了4元．
(1)“吉祥兔”、“如意兔”每件的进价分别是多少元？
(2)该商场把“如意兔”的销售价定为60元，每天可卖80件.调研发现，如果调整价格每降价1元，每天可多卖10件.如何定价才能使“如意兔”的利润最大？最大利润是多少？
23. (本小题10.0分)
如图，已知▱ABCD，∠ABC=120°，点E为线段BC上的一点，连接AE．
(1)将线段AE绕点A逆时针旋转60°得到线段AF，点E的对应点是点F，请用尺规作图作出线段AF(保留作图痕迹，不写作法)；
(2)在(1)的条件下，求证：点F在∠ABC的平分线上．

24. (本小题12.0分)
如图，锐角△ABC中∠A的平分线交BC于点E，交△ABC的外接圆于点D、边BC的中点为M．
(1)求证：MD垂直BC；
(2)若AC=5，BC=6，AB=7.求BDAD的值；
(3)作∠ACB的平分线交AD于点P，若将线段MP绕点M旋转180°后，点P恰好与△ABC外接圆上的点P′重合，则tan∠BAC= ______ ．

25. (本小题14.0分)
如图1，经过原点O的抛物线y=ax2+bx(a、b为常数，a≠0)与x轴相交于另一点A(4,0).在第一象限内与直线y=x交于点B(5,t)，抛物线的顶点为C点．
(1)求抛物线的解析式；
(2)抛物线上是否存在点D，使得∠DOB=∠OBC？若存在，求出所有点D的坐标；若不存在，请说明理由；
(3)如图2，点E是点B关于抛物线对称轴的对称点，点F是直线OB下方的抛物线上的动点，EF与直线OB交于点G.设△BFG和△BEG的面积分别为S1和S2，求S1S2的最大值．


答案和解析

1.【答案】C 
【解析】解：∵|−1.5|=1.5，|−3|=3，|−1|=1，|−5|=5，
且5>3>1.5>1，即|−5|>|−3|>|−1.5|>|−1|，
∴−5<−3<−1.5<−1，
即最大的数是−1．
故选：C．
根据负数比较大小的法则比较即可．
本题考查有理数大小比较中的几个负数比较，解题的关键是掌握负数比较大小的方法，本题还可将所给的几个负数在数轴上表示出来，再确定答案．

2.【答案】C 
【解析】
【分析】
本题考查立体图形的俯视图，熟练掌握俯视图即是从上面向下看所得到的图形是解题的关键．
根据俯视图是从上面向下看所得到的图形，对各个选项进行分析判定即可．
【解答】
解：A、其俯视图为圆形，不符合题意；
B、其俯视图为三角形，不符合题意；
C、其俯视图为矩形，符合题意；
D、其俯视图为梯形，不符合题意，
故选：C．  
3.【答案】D 
【解析】解：28亿千米=2800000000000米=2.8×1012米．
故选：D．
科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正数；当原数的绝对值<1时，n是负数．
此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．

4.【答案】C 
【解析】解：A、原图是轴对称图形，但不是中心对称图形，故此选项不符合题意；
B、原图是轴对称图形，但不是中心对称图形，故此选项不符合题意；
C、原图既是轴对称图形，又是中心对称图形，故此选项符合题意；
D、原图既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故此选项不符合题意．
故选：C．
根据轴对称：一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形；中心对称图形：在平面内，把一个图形绕着某个点旋转180°，如果旋转后的图形与自身重合；由此问题可求解．
本题主要考查中心对称图形及轴对称图形，熟练掌握中心对称图形及轴对称图形的定义是解题的关键．

5.【答案】C 
【解析】解：如图，

∵EF//BC，
∴∠FDC=∠F=30°，
∴∠α=∠FDC+∠C=30°+45°=75°，
故选：C．
根据EF//BC得出∠FDC=∠F=30°，进而得出∠α=∠FDC+∠C即可．
此题考查平行线的性质，关键是根据EF//BC得出∠FDC的度数和三角形外角性质分析．

6.【答案】C 
【解析】解：−2x<4①x−2>1②，
由不等式①，得
x>−2，
由不等式②，得
x>3，
故原不等式组的解集是x>3，
故选：C．
根据解一元一次不等式组的方法可以解答本题．
本题考查解一元一次不等式组，解答本题的关键是明确解一元一次不等式组的方法．

7.【答案】B 
【解析】解：八年级1班20名同学的定点投篮比赛成绩按照从小到大的顺序排列如下：
3，3，5，5，5，5，6，6，6，7，7，7，7，7，7，8，8，8，9，9，
这次比赛成绩的中位数是7+72=7，众数是7，
故选：B．
将八年级1班20名同学的定点投篮比赛成绩按照从小到大的顺序排列，根据众数、中位数的定义求解即可．
此题考查了折线统计图、中位数以及众数，根据折线统计图得出解题所需数据并熟练掌握众数、中位数定义是解题的关键．

8.【答案】B 
【解析】
【分析】
本题考查了整式的运算、完全平方公式和解题的关键是掌握整式的运算法则、完全平方公式．
分别根据整式的运算以及完全平方公式逐一判断即可．
【解答】
解：A.3x和3y不是同类项，不能合并，故本选项不合题意；
B.2a2÷a=2a，故本选项符合题意；
C.(a+b)2=a2+2ab+b2，故本选项不合题意；
D.(−3pq)2=9p2q2，故本选项符合题意．
故选：B．  
9.【答案】D 
【解析】
【分析】
根据正切的定义即可求解．
本题考查了锐角三角函数，仰角问题，掌握三角函数的定义是解题的关键．
【解答】
解：在Rt△ALR中，RL=6，∠ARL=43°，
∴tanR=ALLR，
∴AL=LR⋅tanR=6tan43°．
故选：D．  
10.【答案】B 
【解析】解：∵抛物线y=ax2−2ax+c(a<0)，
∴抛物线开口向下，对称轴为直线x=−−2a2a=1，则当x>1时，y随x的增大而减小，当x<1时，y随x的增大而增大，
∵抛物线y=ax2−2ax+c(a<0)过点A(x1,m)，B(x2,m)，C(x3,n)，D(x4,n)，其中x1n，
∴x3 ∵x3、x1的符号无法确定，
∴x1x3可能为负，
∵1 ∴0 故选：B．
由题意可知抛物线开口向下，对称轴为直线x=−−2a2a=1，则x3 本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，能够得出x3
11.【答案】2023 
【解析】解：−2023的相反数是−(−2023)=2023．
故答案为：2023．
由相反数的概念即可解答．
本题考查相反数的概念，关键是掌握：只有符号不同的两个数叫做互为相反数，求一个数的相反数的方法就是在这个数的前边添加“−”．

12.【答案】15 
【解析】解：∵在我”“的”“中”“国”“梦”这5个字的卡片中只有1张写有“中”字，
∴这张卡片上面恰好写着“中”字的概率是15
故答案为：15．
由在我”“的”“中”“国”“梦”这5个字的卡片中只有1张写有“中”字，利用概率公式计算可得．
本题考查了统计与概率中概率的求法．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．

13.【答案】35° 
【解析】解：连接OB，如图所示，
∵点B是AC的中点，∠AOC=140°，
∴∠AOB=12∠AOC=70°，
由圆周角定理得，∠D=12∠AOB=35°，
故答案为：35°．
根据圆心角、弧、弦的关系定理得到∠AOB=12∠AOC，再根据圆周角定理解答即可．
本题考查的是圆心角、弧、弦的关系定理、圆周角定理，掌握在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半是解题的关键．

14.【答案】(x−3)2+82=x2 
【解析】解：设绳索长为x尺，可列方程为(x−3)2+82=x2，
故答案为：(x−3)2+82=x2．
设绳索长为x尺，根据勾股定理列出方程解答即可．
本题考查了勾股定理的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．

15.【答案】2π3− 3 
【解析】解：连接CO，直线l与AO交于点D，如图所示，

∵扇形AOB中，OA=2，
∴OC=OA=2，
∵点A与圆心O重合，
∴AD=OD=1，CD⊥AO，
∴OC=AC，
∴OA=OC=AC=2，
∴△OAC是等边三角形，
∴∠COD=60°，
∵CD⊥OA，
∴CD= OC2−OD2= 3，
∴阴影部分的面积为：60π×22360−12×2× 3=2π3− 3．
故答案为：2π3− 3．
由翻折的性质得到CA=CO，而OA=OC，得到△OAC是等边三角形，求出扇形OAC的面积，△AOC的面积，即可求出阴影的面积．
本题考查扇形面积的计算、翻折变换，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．

16.【答案】−4 
【解析】解：设B点坐标为(a,b)，
∵△OAC和△BAD都是等腰直角三角形，
∴OA= 2AC，AB= 2AD，OC=AC，AD=BD，
∵OA2−AB2=8，
∴2AC2−2AD2=8，即AC2−AD2=4，
∴(AC+AD)(AC−AD)=4，
∴(OC+BD)⋅CD=4，
∴a⋅b=−4，
∴k=−4．
故答案为：−4．
设B点坐标为(a,b)，根据等腰直角三角形的性质得OA= 2AC，AB= 2AD，OC=AC，AD=BD，则OA2−AB2=8变形为AC2−AD2=4，利用平方差公式得到(AC+AD)(AC−AD)=4，所以(OC+BD)⋅CD=4，则有a⋅b=−4，根据反比例函数图象上点的坐标特征易得k=−4．
本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征：反比例函数y=kx(k为常数，k≠0)的图象是双曲线，图象上的点(x,y)的横纵坐标的积是定值k，即xy=k．

17.【答案】解： 8−|1− 2|−(15)−1
=2 2−( 2−1)−5
=2 2− 2+1−5
= 2−4． 
【解析】先化简各式，然后再进行计算即可解答．
本题考查了实数的运算，负整数指数幂，准确熟练地进行计算是解题的关键．

18.【答案】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠B=∠D，∠BAD=∠BCD，AB=CD，
又∵∠DAF=∠BCE，
∴∠BAF=∠DCE，
在△ABF和△CDE中，
∠B=∠D AB=CD ∠BAF=∠DCE ，
∴△ABF≌△CDE(ASA)，
∴BF=DE． 
【解析】本题考查了平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质；熟练掌握平行四边形的性质，证明三角形全等是解题的关键．
由平行四边形的性质得出∠B=∠D，∠BAD=∠BCD，AB=CD，证出∠ABF=∠DCE，证明△ABF≌△CDE(ASA)，即可得出BF=DE．

19.【答案】解：原式=a−1a+2⋅(a+2)(a−2)(a−1)2
=a−2a−1，
当a= 2+1时，原式= 2+1−2 2+1−1= 2−1 2=2− 22． 
【解析】先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再把a的值代入进行计算即可．
本题考查的是分式的化简求值，熟知分式混合运算的法则是解答此题的关键．

20.【答案】40  54 
【解析】解：(1)本次抽样测试的学生人数是：12÷30%=40(名)，
故答案为：40；
(2)扇形统计图中表示A级的扇形圆心角α的度数是：360°×640=54°，
故答案为：54；
(3)A、B、C、D四个等级的组中值分别为：90分，70分，50分，30分，
C等级学生有40−6−12−8=14(人)，
所抽取的学生的平均分为：6×90+12×70+14×50+8×3040=55.5(分)，
答：被抽取出来这部分学生的平均成绩55.5分．
(1)根据B级的人数和所占的百分比，可以求得本次抽样测试的学生人数；
(2)用360°乘A级所占百分比即可；
(3)根据加权平均数的计算公式解答即可．
本题考查条形统计图、扇形统计图、加权平均数，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．

21.【答案】(1)证明：连接OD，
∵AC=CD=DB，
∴∠BOD=13×180°=60°，
∵CD=DB，
∴∠EAD=∠DAB=12∠BOD=30°，
∵OA=OD，
∴∠ADO=∠DAB=30°，
∵DE⊥AC，
∴∠E=90°，
∴∠EAD+∠EDA=90°，
∴∠EDA=60°，
∴∠EDO=∠EDA+∠ADO=90°，
∴OD⊥DE，
∴DE是⊙O的切线；
(2)解：连接BD，
AC=DB，
∴DB=AC=6，
∠DOB=60°，OD=OB，
∴△DOB为等边三角形，
∴OB=BD=3，
∴弧DB的长=60π×6180=2π． 
【解析】(1)连接OD，根据已知条件得到∠BOD=13×180°=60°，根据等腰三角形的性质得到∠ADO=∠DAB=30°，得到∠EDA=60°，求得OD⊥DE，于是得到结论；
(2)连接BD，由AC=DB，得出DB=AC=6，因为∠DOB=60°，OD=OB，得出△DOB为等边三角形，则OB=BD=3，则弧DB的长=60π×6180=2π．
本题考查了切线的判定和性质，勾股定理，圆周角定理，正确的作出辅助线是解题的关键．

22.【答案】解：(1))设“吉祥兔”每件的进价为x元，“如意兔”每件的进价为(x−4)元，
根据题意得：8800x=2×4000x−4，
解得x=44，
经检验x=44是原方程的根，
此时x−4=40，
答：“吉祥兔”每件的进价为44元，“如意兔”每件的进价为40元；
(2)设商场把“如意兔”的销售价定为m元/件，利润为y元，
根据题意得：y=(m−40)[80+10(60−m)]=−10m2+1080x−27200=−10(m−54)2+1960，
∵−10<0，40≤m≤60，
∴当m=54时，y有最大值，最大值为1960元，
答：商场把“如意兔”的销售价定为54元/件时利润最大，最大利润为1960元． 
【解析】(1)设“吉祥兔”每件的进价为x元，“如意兔”每件的进价为(x−4)元，根据用8800元购进的“吉祥兔”的数量是用4000元购进的“如意兔”‘的2倍列出方程，解方程即可；
(2)设商场把“如意兔”的销售价定为m元/件，利润为y元，根据总利润=每件“如意兔”的利润×销售量列出函数解析式，并根据函数的性质求最值．
本题考查了分式方程的应用和二次函数的应用的应用，找准数量关系，正确列出分式方程或函数解析式是解题的关键．

23.【答案】(1)解：如图，线段AF即为所求。


(2)证明：在AD上取一点H，使得AH=AB，连接BH，FH．
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD//BC，
∴∠DAB+∠ABC=180°，
∵∠ABC=120°，
∴∠BAH=60°，
∵AH=AB，
∴△ABH是等边三角形，
∴∠AHB=∠ABH=60°，
∵∠EAF=60°，
∴∠EAF=∠BAH，
∴∠FAH=∠EAB，
在△FAH和△EAB中，
AF=AE∠FAH=∠EABAH=AB，
∴△FAH≌△EAB(SAS0,
∴∠AHF=∠ABE=120°，
∴∠AHF+∠AHB=180°，
∴B，H，F共线，
∵∠FBA=∠FBE=60°，
∴点F在∠ABC的角平分线上。 
【解析】(1)作∠DAT=∠EAB，在射线AT上截取AF，使得AE=AF即可。
(2)在AD上取一点H，使得AH=AB，连接BH，FH.证明△ABH是等边三角形，证明B，H，F共线可得结论。
本题考查作图−旋转变换，平行四边形的性质，等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线面构造全等三角形解决问题。

24.【答案】 3 
【解析】(1)证明：∵AD平分∠BAC，
∴BD=CD，
∴BD=CD，
又∵M是BC的中点，
∴MD⊥BC；
(2)解：∵∠DBC与∠CAD都是CD所对的圆周角，
∴∠DBC=∠CAD，
∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD=∠CAD，
∴∠BAD=∠DBC，
又∵∠D是公共角，
∴△DBE∽△DAB，
∴DBBE=DAAB，即BEAB=BDAD，
∵AB=7，
∴BE=7BDAD，
同理，△DEC∽△DCA，
∴CEAC=CDAD，
∵BD=CD，AC=5，
∴CE=5BDAD，
∵BE+CE=BC=6，
∴7BDAD+5BDAD=6，
∴BDAD=12；
(3)解：如图，连接BP、BP′、CP′，

∵M是BC的中点，点P与点P′关于点M对称，
∴四边形BPCP′是平行四边形，
∴∠BP′C=∠BPC，
∵点P′在圆上，
∴∠BP′C+∠BAC=180°，
∵点P是△ABC两个内角∠BAC与∠ACB的角平分线交点，
∴BP平分∠ABC，
∴∠BPC=90°+12∠BAC，
∴∠BP′C=90°+12∠BAC，
∴90°+12∠BAC+∠BAC=180°，
∴∠BAC=60°，
∴tan∠BAC=tan60°= 3．
故答案为： 3．
(1)先判断出BD=CD，即可得出结论；
(2)先判断出△DBE∽△DAB，得出BE=7BDAD，同理△DEC∽△DCA，得出CE=5BDAD，即可得出答案；
(3)如图，连接BP、BP′、CP′，先判断出∠BP′C+∠BAC=180°，进而判断出∠BAC=60°，再利用特殊角三角函数值即可．
本题是圆的综合题，主要考查了垂径定理，角平分线，圆周角定理，三角形内心，平行四边形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，特殊角三角函数值，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解本题的关键．

25.【答案】解：(1)∵直线y=x经过点B(5,t)，
∴t=5，
∴B(5,5)，
把A(4,0)，B(5,5)分别代入y=ax2+bx，
得：16a+4b=025a+5b=5，
解得：a=1b=−4，
∴该抛物线的解析式为y=x2−4x；
(2)存在点D，使得∠DOB=∠OBC．
∵y=x2−4x=(x−2)2−4，
∴抛物线的顶点为C(2,−4)，

如图1，当点D在直线OB的上方时，
∵∠DOB=∠OBC，
∴OD//BC，
设直线BC的解析式为y=kx+d，则5k+d=52k+d=−4，
解得：k=3d=−10，
∴直线BC的解析式为y=3x−10，
∴直线OD的解析式为y=3x，
联立，得：x2−4x=3x，
解得：x1=0(舍去)，x2=7，
当x=7时，y=3×7=21，
∴D(7,21)；
当点D在直线OB的下方时，如图1，过点B作BH⊥x轴于点H，过点H作HK⊥OB于点K，交BC于点M，连接OM交抛物线于点D′，
则H(5,0)，BH=OH=5，
∴点K是OB的中点，即K(52,52)，
∴HK是线段OB的垂直平分线，
∴MB=MO，
∴∠D′OB=∠OBC，
设直线HK的解析式为y=k′x+b′，则52k′+b′=525k′+b′=0，
解得：k′=−1b′=5，
∴直线HK的解析式为y=−x+5，
联立，得y=−x+5y=3x−10，
解得：x=154y=54，
∴M(154,54)，
设直线OM的解析式为y=k″x，则154k″=54，
解得：k″=13，
∴直线OM的解析式为y=13x，
与y=x2−4x联立，得x2−4x=13x，
解得：x1=0(舍去)，x2=133，
当x=133时，y=13×133=139，
∴D(133,139)；
综上所述，存在点D，使得∠DOB=∠OBC，点D的坐标为(7,21)或(133,139)；
(3)如图2，过点F作FW//x轴交直线OB于点W，

设F(t,t2−4t)，则W的纵坐标为t2−4t，
∵直线OB的解析式为y=x，
∴W(t2−4t,t2−4t)，
∴WF=t−(t2−4t)=−t2+5t，
∵B(5,5)，点E是点B关于抛物线对称轴直线x=2的对称点，
∴BE//x轴，BE=6，
∴BE//WF，
∴△WFG∽△BEG，
∴FGEG=WFBE=−t2+5t6，
∵S1S2=S△BFGS△BEG=FGEG=−t2+5t6=−16(t−52)2+2524，
∴当t=52时，S1S2的最大值为2524． 
【解析】(1)先求出点B的坐标，运用待定系数法可求得抛物线的解析式为y=x2−4x；
(2)存在点D，使得∠DOB=∠OBC.分两种情况：当点D在直线OB的上方时，当点D在直线OB的下方时，分别运用待定系数法求出直线OD的解析式，再联立方程组求解即可；
(3)如图，过点F作FW//x轴交直线OB于点W，设F(t,t2−4t)，则W(t2−4t,t2−4t)，WF=t−(t2−4t)=−t2+5t，再由点E是点B关于抛物线对称轴直线x=2的对称点，可得：BE//x轴，BE=6，根据相似三角形性质和等高三角形面积比可表达S1S2，再利用二次函数的性质可得出结论．
本题属于二次函数综合题，主要考查二次函数的性质，二次函数上的坐标特征，三角形的面积和全等三角形的判定及性质，解题的关键正确表达两个三角形面积的比．