2023年福建省福州市鼓楼区立志中学中考数学三模试卷（含解析）

这是一份2023年福建省福州市鼓楼区立志中学中考数学三模试卷（含解析），共25页。试卷主要包含了选择题，填空题，计算题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2023年福建省福州市鼓楼区立志中学中考数学三模试卷一、选择题（本大题共10小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）1.  实数的相反数是(    )A.  B.  C.  D. 2.  下列图形中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是(    )A.  B.
C.  D. 3.  如图所示的几何体的主视图是(    )A.
B.
C.
D. 4.  神舟十三号飞船在太空中以约每小时千米的速度飞行，每分钟绕地球一圈．将用科学记数法表示应为(    )A.  B.  C.  D. 5.  下列说法正确的是(    )A. 要了解我市九年级学生的身高，应采用普查的方式
B. 若甲队成绩的方差为，乙队成绩的方差为，则甲队成绩不如乙队成绩稳定
C. 如果明天下雨的概率是，那么明天一定会下雨
D. 一组数据，，，，，，的中位数和众数都是6.  下列各运算中，计算正确的是(    )A.  B.
C.  D. 7.  不等式组的解集在数轴上表示为(    )A.  B.
C.  D. 8.  在九章算术中有“盈不足术”的问题，原文如下：今有共买物，人出八，盈三；人出七，不足四．问人数几何？大意为：现有一些人共同买一个物品，每人出元，还盈余元；每人出元，则还差元．问人数是多少？若设人数为，则下列关于的方程符合题意的是(    )A.  B.
C.  D. 9.  如图，点、、在上，，则的度数是(    )A.
B.
C.
D.
 10.  已知二次函数其中是自变量的图象经过不同两点，，且该二次函数的图象与轴有公共点，则的值为(    )A.  B.  C.  D. 二、填空题（本大题共6小题，共24.0分）11.  把多项式分解因式的结果是______ ．12.  点在函数的图象上，则代数式的值等于______ ．13.  已知扇形的圆心角为，面积为，则扇形的半径是______．14.  如图，将边长相等的正六边形和正五边形的边重合叠放在一起，则的度数是______．
 15.  如图，建筑物上有一旗杆，从与相距的处观测旗杆顶部的仰角为，观测旗杆底部的仰角为，则该旗杆的高度是______ ，结果保留小数点后一位．
 16.  如图，在反比例函数的图象上有动点，连接，的图象经过的中点，过点作轴交函数的图象于点，过点作轴交函数的图象于点，交轴点，连接，，，与交于点下列结论：
；
；
：：；
若，则．
其中正确的是______ 填正确的序号
三、计算题（本大题共1小题，共12.0分）17.  某小区计划新建、两型停车位共个，已知新建个型停车位和个型停车位共需万元；新建个型停车位和个型停车位共需万元，预销售过程中发现：型停车位的销售单价单位：万元与其销量单位：个有如下关系：，型停车位的销售单价单位：万元与其销量单位：个有如下关系：，且两种车位全部预售出．
该小区新建个型停车位和个型停车位各需多少万元？
若型停车位的销售单价至少比型停车位贵万元，求预售完后型停车位的总利润比型停车位的总利润至少多多少万元？
现小区进行促销，决定把型停车位每个降低为正整数万元，结果发现当时，销售总利润随的增大而增大，直接写出的最小值．四、解答题（本大题共8小题，共74.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）18.  本小题分
计算：．19.  本小题分
先化简，再求值：其中．20.  本小题分
如图，是等边三角形，点，分别在，的延长线上，且求证：．
21.  本小题分
某班以“我最喜欢的冰雪运动项目”为主题对全班学生进行随机抽样调在，调查的运动项目有：短道速滑、冰壶、单板滑雪、自由式滑雪及其它项目每位同学仅选一项，根据调查结果绘制了如下统计表：运动项目频数人数频率短道速滑冰壶单板滑雪自由式滑雪其它根据以上信息解答下列问题：
频数分布表中的______；
若将各运动项目的人数所占比例绘制成扇形统计图，则“冰壶”对应扇形的圆心角度数为______；
若在选择“自由式滑雪”的名学生中，有名男生，名女生．现需从这人中随机抽取名学生进行项目介绍，请用树状图或列表的方法求所抽取的名学生恰好是名男生的概率．22.  本小题分
在▱中，，．
在边上求作一点，使点到边，的距离相等；要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹
在的条件下，连接，若，求的面积．
23.  本小题分
如图，已知的半径为，是的直径，点是延长线上一点以为边作，使得，，与的交点为，连接，．
判断直线和位置关系；
若的长为，，延长交于点，求证：．
24.  本小题分
在正方形中，点，，分别在边，，上，于点．
如图，求证：；
如图，延长，交的延长线于，连接，交于若，，求的值；
如图，若，，将线段绕点顺时针旋转至线段，连接，则线段的最小值为______直接写出结果

 25.  本小题分
如图，直线交轴于点，交轴于点，点在轴上，，经过点，的抛物线交直线于另一点．
求抛物线的解析式；
点为直线上方抛物线上一点，过点作轴于点，交于点当时，求点的坐标；
抛物线与轴的另一个交点为，过点的任意直线不与轴平行与抛物线交于点，，直线，分别交轴于点，，是否存在的值使得与的积为定值？若存在，求的值，若不存在，请说明理由．


答案和解析 1.【答案】 【解析】解：的相反数是．
故选：．
根据相反数的定义解答即可．
本题考查的是实数的性质及相反数的定义，熟知只有符号不同的两个数叫做互为相反数是解题的关键．
 2.【答案】 【解析】解：、原图不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项不合题意；
B、原图是中心对称图形，不是轴对称图形，故此选项不合题意；
C、原图不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项不合题意；
D、原图既是中心对称图形，又是轴对称图形，故此选项符合题意；
故选：．
根据中心对称图形与轴对称图形的概念进行判断即可．
本题考查的是中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转度后与自身重合．
 3.【答案】 【解析】解：如图所示的几何体的主视图如下：
．
故选：．
从正面看到的平面图形是主视图，根据主视图的含义可得答案．
此题主要考查了简单组合体的三视图；用到的知识点为：主视图，左视图，俯视图分别是从物体的正面，左面，上面看得到的图形．
 4.【答案】 【解析】【分析】
此题考查科学记数法的表示方法．
根据科学记数法的表示形式解答即可．
【解答】
解：．
故选：．  5.【答案】 【解析】解：要了解我市九年级学生的身高，应采用抽样调查的方式，
选项A不符合题意；
 
若甲队成绩的方差为，乙队成绩的方差为，则，
甲队成绩不如乙队成绩稳定，
选项B符合题意；
 
如果明天下雨的概率是，只能说明明天下雨的可能性大，但是并不说明明天一定会下雨，
选项C不符合题意；
 
一组数据，，，，，，的中位数是，众数是和，
选项D不符合题意．
故选：．
根据概率的意义和应用，全面调查与抽样调查的选择，以及统计量的选择，逐项判断即可．
此题主要考查了概率的意义和应用，全面调查与抽样调查的选择，以及统计量的选择，要熟练掌握．
 6.【答案】 【解析】【分析】
本题考查了合并同类项法则，完全平方公式，幂的乘方和积的乘方等知识点，能正确求出每个式子的值是解此题的关键．
根据合并同类项法则，完全平方公式，幂的乘方和积的乘方分别求出每个式子的值，再判断即可．
【解答】
解：结果是，故本选项不符合题意；
B.和不能合并，故本选项不符合题意；
C.结果是，故本选项不符合题意；
D.结果是，故本选项符合题意；
故选D．  7.【答案】 【解析】解：解不等式，得：；
解不等式，得：，
所以不等式组的解集为：，
数轴上表示为：，
故选：．
先求出每个不等式的解集，再求出不等式组的解集，最后在数轴上表示出来即可．
本题考查了解一元一次不等式组和在数轴上表示不等式组的解集，能根据不等式的解集求出不等式组的解集是解此题的关键．
 8.【答案】 【解析】【分析】
本题主要考查由实际问题抽象出一元一次方程，解题的关键是理解题意，确定相等关系，并据此列出方程．
根据“物品钱数不变”可列方程．
【解答】
解：设人数为，
则可列方程为：
故选A．  9.【答案】 【解析】解：如图，作弧所对的圆周角，

，
，
．
故选：．
先求出弧所对的圆周角等于圆心角的一半，再根据圆内接四边形对角互补即可求出．
本题考查了圆周角定理和圆内接四边形的性质，要求对定理和性质熟练掌握并灵活运用．
 10.【答案】 【解析】解：由二次函数的图象与轴有公共点，
，即，
由抛物线的对称轴，抛物线经过不同两点，，
，即，，
代入得，，即，因此，
，
，
故选：．
求出抛物线的对称轴，再由抛物线的图象经过不同两点，，也可以得到对称轴为，可得，再根据二次函数的图象与轴有公共点，得到，进而求出、的值．
本题考查二次函数的图象和性质，理解抛物线的对称性、二次函数与一元二次方程的关系是解决问题的关键．
 11.【答案】 【解析】解：

，
故答案为：．
先提取公因式，再用平方差公式因式分解即可．
本题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键．
 12.【答案】 【解析】解：点在函数的图象上，
，
则．
，
故答案为．
把点的坐标代入一次函数解析式，得出，代入即可．
本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，掌握函数图象上点的坐标满足函数关系式．
 13.【答案】 【解析】解：根据扇形的面积公式，得
，
故答案为．
根据扇形的面积公式，得．
本题考查了扇形面积的计算，属于基础题，解答本题的关键是能够灵活运用扇形的面积公式．
 14.【答案】 【解析】解：在正六边形和正五边形中，，，
，
故答案为：．
据正五边形和正六边形性质可得答案．
本题考查了正多边形与圆，多边形的内角与外角，利用了正五边形的内角，正六边形的内角．
 15.【答案】 【解析】解：由题意得：，
在中，，，
，
在中，，
，
，
该旗杆的高度约为，
故答案为：．
根据题意可得：，然后分别在和中，利用锐角三角函数的定义求出和的长，从而利用线段的和差关系进行计算，即可解答．
本题考查了解直角三角形的应用仰角俯角问题，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键．
 16.【答案】 【解析】解：动点反比例函数的图象上，
设，
的中点为，
的图象经过点，
，故正确；
过点作轴交函数的图象于点，
的纵坐标，
把代入得，，
，
，
，故错误；
如图，过点作轴于．

，，，
过点作轴交函数的图象于点，交轴点，连接，，，与交于点．
，
直线的解析式为，直线的解析式为，
由，解得，
，
，
，
，
：：，故正确；
，，，
是的中点，
，
，
轴，
，
，
若，则，
，
故正确；
故答案为：．
设，则的中点为，即可求得，即可判断；表示出的坐标，即可表示出，利用三角形面积公式求得，即可判断；计算出，，即可求得：：，即可判断；先证得是的中点，然后根据直角三角形斜边直线的性质和平行线的性质得出，由等腰三角形的性质得出，从而得到，即可判断．
本题考查反比例函数与一次函数的交点，反比例函数系数的几何意义，待定系数法求一次函数的解析式，直角三角形斜边直线的性质，平行线的性质，解题的关键是学会利用参数解决问题，学会构建一次函数确定交点坐标，属于中考填空题中的压轴题．
 17.【答案】解：设该小区新建个型停车位需万元，新建个型停车位需万元，
由题意得：，
解得：，
，
答：该小区新建个型停车位需万元，新建个型停车位需万元．

由题意得：，，
得：，
又，则，
设型停车位总利润比型停车位多万，
则，
随的增大而增大，当取最小值时，有最小值万元．
故B型停车位的总利润比型停车位的总利润至少多万元．

促销后，，
设总利润为万元，
则，
将代入，
整理得，
时，随的增大而增大，结合图象性质，可知对称轴，得，
故的最小值为． 【解析】根据“新建、两型停车位共个”可设新建一个型停车位需万元，则一个型停车位需要万元，再根据“新建个型停车位和个型停车位共需万元”列一元一次方程，解方程即可；
根据“新建、两型停车位共个”，“型停车位的销售单价比型停车位贵万元”可得到，设型停车位总利润比型停车位多万元，而型停车位的销量单价型停车位的销量单价，得到一次函数，根据一次函数的性质，可求出的最小值；
促销后，，设总利润为万元，则，将代入，整理得，时，随的增大而增大，结合图象性质，可知对称轴，得，故的最小值为．
本题考查了一元一次方程的应用及一元一次不等式的应用，关键在于根据题意设未知数，列方程与不等式．
 18.【答案】解：原式

． 【解析】利用绝对值的意义，特殊角的三角函数值，二次根式的性质和负整数指数幂的意义化简运算即可．
本题主要考查了实数的运算，绝对值的意义，特殊角的三角函数值，二次根式的性质和负整数指数幂的意义，熟练掌握实数法则与性质是解题的关键．
 19.【答案】解：原式

，
当时，原式． 【解析】先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再把的值代入进行计算即可．
本题考查的是分式的化简求值，熟知分式混合运算的法则是解题的关键．
 20.【答案】证明：是等边三角形，
，，
，
，
即，
在和中，
，
≌，
． 【解析】根据等边三角形的性质，证明≌，即可得证．
本题考查等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质．熟练掌握等边三角形的性质，证明三角形全等，是解题的关键．
 21.【答案】 

画树状图为：

共有种等可能的结果，其中所抽取的名学生恰好是名男生的有种结果，
所以所抽取的名学生恰好是名男生的概率为． 【解析】【分析】
此题考查的是树状图法求概率以及概率公式等知识．树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合两步或两步以上完成的事件．正确画出树状图是解题的关键．
先由“短道速滑”的频数及其所占频率求出样本容量，再用样本容量乘以“单板滑雪”对应的频率即可得出的值；
用乘以“冰壶”人数所占比例即可；
画树状图，共有种等可能的结果，其中所抽取的名学生恰好是名男生的有种结果，再根据概率公式求解即可．
【解答】
解：样本容量为，
，
故答案为：；
“冰壶”对应扇形的圆心角度数为，
故答案为：；
见答案．  22.【答案】解：点即为所求；如图，

过点作延长线的垂线，垂足为，
在▱中，，，
，，
平分，
，
，

在中，

，
．
答：的面积为． 【解析】本题考查了作图复杂作图、角平分线的性质、平行四边形的性质，解决本题的关键是根据角平分线的性质准确画图．
根据角平分线的性质即可在边上求作一点，使点到边，的距离相等；
根据，即可求的面积．
 23.【答案】解：直线和相切，
理由：，，
，
，
，
是的半径，
直线和相切；
证明：设，
的长为，
，
解得，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
． 【解析】根据已知条件得到，根据等腰三角形的性质得到，根据切线的判定定理即可得到结论；
设，根据弧长公式得到，求得，根据等腰三角形的性质得到，求得，得到，根据等腰三角形的判定定理即可得到结论．
本题考查了直线与圆的位置关系，等腰三角形的判定和性质，熟练掌握切线的判定定理是解题的关键．
 24.【答案】 【解析】证明：如图中，作于．

四边形都是正方形，
，，
四边形是矩形，
，
，
，
，，
，，
≌，
．

解：如图中，

，不妨设，，则，，
，
，
，，
，
，
，，
，
，
∽，
．

解：如图中，延长到，使得，作于，交的延长线于，作于，则四边形，四边形都是矩形，≌．

，，
，
，
，
，
，
，
点的运动轨迹是射线，是的定值，作于，
根据垂线段最短可知：当与重合时，的值最小，
，设，，
在中，则有，
解得负根已经舍弃，
，
的最小值为．
如图中，作于证明≌，即可推出．
不妨设，，则，，推出，证明，推出，可得，，推出，再利用相似三角形的性质即可解决问题．
如图中，延长到，使得，作于，交的延长线于，作于，则四边形，四边形都是矩形，≌想办法证明，推出点的运动轨迹是射线，是的定值，作于，根据垂线段最短可知：当与重合时，的值最小．
本题属于相似三角形综合题，考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，垂线段最短等知识，第三个问题的突破点是确定点的运动轨迹，属于中考压轴题．
 25.【答案】解：在中，令得，令得，
，，，
，
，，
，
抛物线经过，，
，
解得，
抛物线的解析式为；
设，则，，
，，
，
，
解得或与重合，舍去，
；
存在的值使得与的积为定值，理由如下：

在中，令得，
解得或，
，
设，，
设直线的解析式为，
将点代入，得，
直线的解析式为，
令，则，
，
，
设直线的解析式为，
点代入，得，
直线的解析式为，
令，则，
，
，
，
设直线的解析式为，
联立方程组，
，
，，
，
当时，为定值，
当时，． 【解析】在中，可得，，，即知，用待定系数法得抛物线的解析式为；
设，则，，可得，，由，得，即可解得；
由得，设，，直线的解析式为，可得，，同理得，
，从而，设直线的解析式为，有，根据韦达定理得，，可求得，故当时，．
本题考查二次函数的综合应用，涉及待定系数法，函数图象上点坐标的特征，二次函数与一元二次方程的关系等知识，解题的关键是掌握二次函数相关性质，熟练应用二次函数与一元二次方程的关系解决问题．