八年级下学期期末数学试题

这是一份八年级下学期期末数学试题，共29页。
第二学期期末学业质量监测
八年级数学
注意事项
考生在答题前请认真阅读本注意事项：
1．本试卷共6页，满分为150分，考试时间为120分钟．考试结束后，请将答题卡交回．
2．答题前，请务必将自己的姓名、考试号用0.5毫米黑色字迹的签字笔填写在答题卡上指定的位置．
3．答案必须按要求填涂、书写在答题卡上，在试卷、草稿纸上答题一律无效．
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项的字母代号填涂在答题卡相应位置上）
1. 下列志愿服务标志为中心对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
2. 下列事件为随机事件的是（ ）
A. 通常加热到100℃时水沸腾 B. 三角形的内角和是360°
C. 掷骰子一次向上点数不小于1 D. 经过有信号灯的路口时遇到红灯
3. 函数y中自变量x取值范围是（　　）
A. x＞3 B. x≠3 C. x≥3 D. x≥0
4. 甲、乙、丙、丁四人进行射击测试，每人10次射击的平均成绩均是9.2环．方差分别为0.42，0.56，0.78，0.63，四人中成绩最稳定的是（ ）
A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁
5. 在中（如图），连接，已知，，则（ ）

A. B. C. D.
6. 关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则m的值可能是（ ）
A 9 B. 6 C. 4 D. －1
7. 为了解某小区居民的用水情况，随机抽查了若干户家庭的某月用水量，统计结果如图．这若干户家庭该月用水量的众数是（ ）
月用水量（吨）
3
4
5
6
户数
4
6
8
2

A. 5 B. 6 C. 6.5 D. 8
8. 如图，在中，，，以点B为圆心，任意长为半径作弧，分别交、于点P，Q，再分别以P，Q为圆心，大于长为半径作弧，两弧在内交于点M，连接并延长交于点，则的长为（ ）

A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
9. 如图，函数和图象交于点，则关于x的不等式的解集为（ ）

A. B. C. D.
10. 如图1（图中各角均为直角），动点P从点A出发，以每秒1个单位长度的速度沿A→B→C→D→E路线匀速运动，的面积y与点P运动的时间x（秒）之间的函数关系图象如图2所示，则的长度为（ ）

A. 5 B. 6 C. 7 D. 8
二、填空题（本大题共8小题，第11~12题每小题3分，第13~18题每小题4分，共30分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上）
11. 长方形的周长是26，它的长y与宽x的函数关系式是________．
12. 一次函数，y随x的增大而减小，则k的值可以是_______________（写出一个即可）．
13. 木箱里装有仅颜色不同的9个红球和若干个蓝球，随机从木箱里摸出一个球，记下颜色后再放回，经过多次的重复实验，发现摸到红球的频率稳定在0.6附近，则估计木箱中蓝球有________个．
14. 学校举行科技创新赛，各项成绩均为百分制，然后按理论知识占20%，创新设计占50%，现场展示占30%计算选手的综合成绩（百分制）．小彤的三项成绩依次是85分，88分，90分，那么她的综合成绩是________分．
15. 如图，在平面直角坐标系中，已知点，将绕原点O顺时针旋转至，则点A的坐标是________．

16. 如图，中，，D、E分别为的中点，P为上一点，且满足，则______

17. 已知m，n是方程的两个根，则代数式的值等于_________．
18. 如图，在正方形中，，点E为对角线上的动点，以为边作正方形．点H是上一点，且，连接，则的最小值为________．

三、解答题（本大题共8小题，共90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19. 解方程：
（1）；
（2）．
20. 如图，在中，连接．为边的中点，，的延长线交于点，连接．

（1）求证；
（2）若，，，求四边形面积．
21. 为了解文明礼仪校本课程学习情况，学校从七八年级各随机抽取了10名学生的测试成绩（单位：分）如下：
七年级：99，98，98，98，95，93，91，90，89，79；
八年级：99，99，99，91，96，90，93，87，91，85．
整理得下表：
年级/统计量
平均数
中位数
众数
方差
七年级
93
94
a
34
八年级
93
b
99
23.4
根据以上信息，解答下列问题．
（1）填空：________，________；
（2）七年级小齐同学和八年级小钟同学成绩均为93分，请你估计哪位同学的成绩在本年级的排名更靠前？并说明理由
（3）七八年级均有300名学生，若成绩不低于95分的可以获奖，估计两个年级获奖的共有多少人？
22. 中国古代有很多辉煌的数学成就，《周髀算经》《九章算术》《海岛算经》等都是我国古代数学的重要文献．某数学兴趣小组准备采用抽签的方式确定学习内容，将书目制成编号为A，B，C的3张卡片（如图所示，卡片除编号和书目外，其余完全相同）．现将这3张卡片背面朝上，洗匀放好．

（1）从3张卡片中随机抽取1张，求抽到《周髀算经》的概率；
（2）若甲同学从3张卡片中随机抽取1张后放回洗匀，乙同学再从3张卡片中随机抽取1张，请用列表或画树状图的方法，求甲乙两位同学抽中不同书目的概率．
23. 如图，直线：与直线：相交于点，交轴于点，交轴负半轴于点，且．

（1）求直线和的解析式；
（2）若是直线上一点，且的面积是9，求点D的坐标．
24. 一款服装每件进价为80元，销售价为120元时，每天可售出20件．经市场调查发现，如果每件服装降价1元，那么平均每天可多售出2件．
（1）设每件服装降价x元，则每天销售量增加________件，每件服装盈利________元（用含x的代数式表示）；
（2）在让利于顾客的情况下，每件服装降价多少元时，商家平均每天能盈利1200元？
25. 如图1，在矩形中，，，点E，F分别从点B，A出发，同时以每秒的速度沿直线向左运动，当点E与点A重合时两点都停止运动，设运动时间为t秒．连接，，得到四边形．

（1）当运动时间t为多少秒时，四边形是菱形？
（2）如图2，在（1）的条件下，连接．将绕点D逆时针旋转，在旋转过程中的两边与线段，分别交于点M，N，连接．
①当时，旋转角的度数为________度，的长度为________；
②试探究线段，，之间的数量关系，并说明理由．
26. 定义：函数图象上到两坐标轴的距离都不大于的点叫做这个函数图象的“n级限距点”．例如，点是函数图象的“级限距点”；点是函数图象的“2级限距点”．
（1）在①；②；③三点中，是函数图象的“1级限距点”的有________（填序号）；
（2）若y关于x一次函数图象的“2级限距点”有且只有一个，求k的值；
（3）若y关于x的函数图象存在“n级限距点”，求出n的取值范围．









第二学期期末学业质量监测
八年级数学
注意事项
考生在答题前请认真阅读本注意事项：
1．本试卷共6页，满分为150分，考试时间为120分钟．考试结束后，请将答题卡交回．
2．答题前，请务必将自己的姓名、考试号用0.5毫米黑色字迹的签字笔填写在答题卡上指定的位置．
3．答案必须按要求填涂、书写在答题卡上，在试卷、草稿纸上答题一律无效．
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项的字母代号填涂在答题卡相应位置上）
1. 下列志愿服务标志为中心对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据中心对称图形的定义：在平面内，把一个图形绕着某个点旋转后能够与原图形完全重合即是中心对称图形，即可解出本题．
【详解】A．此图形绕着某个点旋转后不能与原图形重合，所以此图形不是中心对称图形，故此选项不符合题意；
B．此图形绕着某个点旋转后能与原图形重合，所以此图形是中心对称图形，故此选项符合题意．
C．此图形绕着某个点旋转后不能与原图形重合，所以此图形不是中心对称图形，故此选项不符合题意；
D．此图形绕着某个点旋转后不能与原图形重合，所以此图形不是中心对称图形，故此选项不符合题意．
故选：B．
【点睛】此题主要考查了中心对称图形的定义，熟练掌握定义是解决问题的关键．
2. 下列事件为随机事件的是（ ）
A. 通常加热到100℃时水沸腾 B. 三角形的内角和是360°
C. 掷骰子一次向上点数不小于1 D. 经过有信号灯的路口时遇到红灯
【答案】D
【解析】
【分析】根据随机事件的定义判断．
【详解】A. 通常加热到100℃时水沸腾，为必然事件；
B. 三角形的内角和是360°，为必然事件；
C. 掷骰子一次向上点数不小于1，为必然事件；
D. 经过有信号灯的路口时遇到红灯，结果不确定，为随机事件；
故选：D
【点睛】本题考查随机事件的定义，理解相关概念是解题的基础．
3. 函数y中自变量x的取值范围是（　　）
A. x＞3 B. x≠3 C. x≥3 D. x≥0
【答案】C
【解析】
【分析】根据二次根式有意义的条件：被开方数大于或等于0，可以求出x的范围．
【详解】由题意得：x-3≥0，
解得：x≥3，
故选C.
【点睛】本题考查了求函数自变量的范围，一般从三个方面考虑：(1)当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；(2)当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0；(3)当函数表达式是二次根式时，被开方数为非负数．
4. 甲、乙、丙、丁四人进行射击测试，每人10次射击的平均成绩均是9.2环．方差分别为0.42，0.56，0.78，0.63，四人中成绩最稳定的是（ ）
A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁
【答案】A
【解析】
【分析】平均数相同的前提下，方差越小，成绩越稳定解答即可.
【详解】解：∵这四个人平均数相同，且他们的方差满足：，
∴成绩最稳定的是甲；
故选：A.
【点睛】本题考查了方差的意义，熟知方差越小，成绩越稳定是解题关键.
5. 中（如图），连接，已知，，则（ ）

A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据平行四边形的对边平行和两直线平行内错角相等的性质，再通过等量代换即可求解．
【详解】解：∵四边形ABCD为平行四边形，
∴ABCD
∴∠DCA＝∠CAB，
∵∠DCA+∠ACB，，
∴40º+80º=120º，
故选：C．
【点睛】此题考查了平行四边形的性质和平行线的性质，解题的关键是熟记性质并熟练运用．
6. 关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则m的值可能是（ ）
A. 9 B. 6 C. 4 D. －1
【答案】D
【解析】
【分析】根据一元二次方程根的情况的判别式可得，把各系数代入即可求出m的取值范围．
【详解】∵关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，
，
解得，
故选：D．
【点睛】本题主要考查一元二次方程根的判别式，熟练掌握通过判别式判断一元二次方程根的情况是解题的关键．
7. 为了解某小区居民的用水情况，随机抽查了若干户家庭的某月用水量，统计结果如图．这若干户家庭该月用水量的众数是（ ）
月用水量（吨）
3
4
5
6
户数
4
6
8
2

A. 5 B. 6 C. 6.5 D. 8
【答案】A
【解析】
【分析】根据众数定义判断：一组数据中出现次数最多的数据．
【详解】根据众数定义，5出现次数最多
故选：A．
【点睛】本题考查众数的定义，需熟练掌握众数的定义．
8. 如图，在中，，，以点B为圆心，任意长为半径作弧，分别交、于点P，Q，再分别以P，Q为圆心，大于长为半径作弧，两弧在内交于点M，连接并延长交于点，则的长为（ ）

A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
【答案】B
【解析】
【分析】根据作图过程可得平分；再根据角平分线的性质和平行四边形的性质可证明，证出，即可得出的长．
【详解】解：根据作图的方法得：平分，

四边形是平行四边形，
，，
，
，
，
；
故选B
【点睛】此题考查了平行四边形的性质、等腰三角形的判定．熟练掌握平行四边形的性质，证出是解决问题的关键．
9. 如图，函数和的图象交于点，则关于x的不等式的解集为（ ）

A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据函数图象写出不等式的解集即可.
【详解】解：函数和的图象交于点，
由函数图象可得，当时，
故选：C
【点睛】本题考查了一次函数与一元一次不等式，根据函数图象及交点坐标，判断出关于的不等式的解集是解答本题的关键．
10. 如图1（图中各角均为直角），动点P从点A出发，以每秒1个单位长度的速度沿A→B→C→D→E路线匀速运动，的面积y与点P运动的时间x（秒）之间的函数关系图象如图2所示，则的长度为（ ）

A. 5 B. 6 C. 7 D. 8
【答案】B
【解析】
【分析】将实际运行状态与函数图象对应，关注图象中的拐点，给合函数图象给定的信息确定等量关系求解．
【详解】如图，点P运动至点B时，，即，
的面积，解得：
∴
时,点P运动至点E，即
∴
故选：B
【点睛】本题考查函数图象问题，注意将实际运行状态与函数图象对应，关注图象中的拐点是解题的关键．
二、填空题（本大题共8小题，第11~12题每小题3分，第13~18题每小题4分，共30分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上）
11. 长方形的周长是26，它的长y与宽x的函数关系式是________．
【答案】##
【解析】
【分析】根据长方形的周长公式即可求解．
【详解】解：，整理可得：，
故答案为：．
【点睛】本题考查了列函数关系式，题目较为基础，正确对原式进行变形是解题的关键．
12. 一次函数，y随x的增大而减小，则k的值可以是_______________（写出一个即可）．
【答案】（答案不唯一，即可）
【解析】
【分析】根据一次函数的增减性即可得．
【详解】一次函数，y随x的增大而减小

则k的值可以是
故答案为：．（答案不唯一，即可）
【点睛】本题考查了一次函数的增减性，掌握一次函数的性质是解题关键．
13. 木箱里装有仅颜色不同9个红球和若干个蓝球，随机从木箱里摸出一个球，记下颜色后再放回，经过多次的重复实验，发现摸到红球的频率稳定在0.6附近，则估计木箱中蓝球有________个．
【答案】6
【解析】
【分析】根据频率估算概率，设蓝球有x个，根据概率公式列出算式，再进行计算即可得出答案．
【详解】设蓝球有x个，根据题意得：
，
解得：，
经检验是原方程的解，
则估计木箱中蓝色球有6个．
故答案为：6．
【点睛】本题利用了用大量试验得到的频率可以估计事件的概率，概率公式，关键是根据蓝色球的频率得到相应的等量关系．
14. 学校举行科技创新赛，各项成绩均为百分制，然后按理论知识占20%，创新设计占50%，现场展示占30%计算选手的综合成绩（百分制）．小彤的三项成绩依次是85分，88分，90分，那么她的综合成绩是________分．
【答案】88
【解析】
【分析】根据加权平均数的计算方法进行计算即可；
【详解】（分）
故答案为：88
【点睛】本题考查加权平均数，理解加权平均数的定义，掌握加权平均数的计算方法是正确解答的关键．
15. 如图，在平面直角坐标系中，已知点，将绕原点O顺时针旋转至，则点A的坐标是________．

【答案】
【解析】
【分析】过点A作轴于B，过点作轴于，证明即可求解．
【详解】解：如图，过点A作轴于B，过点作轴于，

∵点，
∴，
∵绕原点O顺时针旋转至，，
∴，，
∵，，
∴，
在和中，

∴，
∴，，
∴．
故答案为：
【点睛】本题考查了求绕原点旋转90度的点的坐标，旋转的性质，全等三角形的性质与判定，坐标与图形，掌握以上知识是解题的关键．
16. 如图，中，，D、E分别为的中点，P为上一点，且满足，则______

【答案】1
【解析】
【分析】先由勾股定理求出，证明是的中位线，得到，再证明，则，即可求出．
【详解】解：∵中，，
∴，
∵D、E分别为的中点，
∴是中位线，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
故答案为：1．
【点睛】本题主要考查了三角形中位线定理，勾股定理，直角三角形斜边上的中线的性质，求出的长是解题的关键．
17. 已知m，n是方程的两个根，则代数式的值等于_________．
【答案】7
【解析】
【分析】由，是方程的两个根知，，，代入到原式逐步计算可得．
【详解】解：∵m，n是方程的两个根，
∴，，，
∴，
∴




故答案为：7．
【点睛】本题主要考查根与系数的关系，，是一元二次方程的两根时，，．
18. 如图，在正方形中，，点E为对角线上的动点，以为边作正方形．点H是上一点，且，连接，则的最小值为________．

【答案】##
【解析】
【分析】连接，证明，推出，推出点G的运动轨迹是射线，根据垂线段最短可知，当时，的值最小．
【详解】解：连接．

∵四边形是正方形，四边形是正方形，
∴，，，，
∴，
∴，
∴，
∴点G的运动轨迹是射线，
根据垂线段最短可知，当时，的值最小，
∵，
∴，
在中，



故答案为：．
【点睛】本题主要考查最短路径问题、正方形的性质及勾股定理，关键是由题意得到动点的运动轨迹，然后根据正方形的性质及勾股定理进行求解即可．
三、解答题（本大题共8小题，共90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19. 解方程：
（1）；
（2）．
【答案】（1），
（2），．
【解析】
【分析】（1）利用配方法得到，然后利用直接开平方法解方程；
（2）利用因式分解法解方程．
【小问1详解】
解：移项得，
配方得，即，
∴，
解得，．
【小问2详解】
解：提公因式得，
∴或
解得，．
【点睛】本题考查了解一元二次方程-因式分解法：因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法．也考查了配方法．
20. 如图，在中，连接．为边的中点，，的延长线交于点，连接．

（1）求证；
（2）若，，，求四边形的面积．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】（1）根据平行四边形的性质得到，根据平行线的性质得到，根据全等三角形的判定定理即可得到结论；
（2）根据全等三角形的性质得到．推出四边形是平行四边形．根据矩形的判定定理得到四边形是矩形，根据勾股定理即可得到结论．
【小问1详解】
证明：∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，
在 和 中，

∴．
【小问2详解】
解：∵，
∴．
又∵，
∴四边形是平行四边形，
又∵，
∴四边形是矩形，
，
∴
∴．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握平行四边形的性质是解题的关键．
21. 为了解文明礼仪校本课程学习情况，学校从七八年级各随机抽取了10名学生的测试成绩（单位：分）如下：
七年级：99，98，98，98，95，93，91，90，89，79；
八年级：99，99，99，91，96，90，93，87，91，85．
整理得下表：
年级/统计量
平均数
中位数
众数
方差
七年级
93
94
a
34
八年级
93
b
99
23.4
根据以上信息，解答下列问题．
（1）填空：________，________；
（2）七年级小齐同学和八年级小钟同学成绩均为93分，请你估计哪位同学的成绩在本年级的排名更靠前？并说明理由
（3）七八年级均有300名学生，若成绩不低于95分的可以获奖，估计两个年级获奖的共有多少人？
【答案】（1），；
（2）小钟，理由见解析；
（3）估计两个年级获奖的共有人．
【解析】
【分析】（1）根据众数与中位数的含义可得答案；
（2）把成绩与各年级的中位数进行比较即可得到答案；
（3）由各年级的总人数乘以不低于95分的占比，再求和，从而可得答案．
【小问1详解】
解：由题意可得：
七年级成绩的众数是，
∵八年级：99，99，99，96， 93，91，91， 90，87， 85．
∴中位数为：；
故答案为：，；
【小问2详解】
小钟，
理由： 七年级和八年级的中位数分别为94和92，小钟的成绩高于中位数，小齐的成绩低于中位数，所以小钟同学的成绩在本年级的排名更靠前；
【小问3详解】
估计两个年级获奖的共有（人）．
【点睛】本题考查的是从统计表中获取信息，中位数，众数的含义，利用样本估计总体，掌握基础的统计知识是解本题的关键．
22. 中国古代有很多辉煌的数学成就，《周髀算经》《九章算术》《海岛算经》等都是我国古代数学的重要文献．某数学兴趣小组准备采用抽签的方式确定学习内容，将书目制成编号为A，B，C的3张卡片（如图所示，卡片除编号和书目外，其余完全相同）．现将这3张卡片背面朝上，洗匀放好．

（1）从3张卡片中随机抽取1张，求抽到《周髀算经》的概率；
（2）若甲同学从3张卡片中随机抽取1张后放回洗匀，乙同学再从3张卡片中随机抽取1张，请用列表或画树状图的方法，求甲乙两位同学抽中不同书目的概率．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）直接个怒江概率公式计算即可；
（2）画出树状图，利用树状图求解．
【小问1详解】
解：从3张卡片中随机抽取1张，抽到《周髀算经》的概率为．
【小问2详解】
解：画树状图如下：

共有9种等可能的结果，其中甲乙两位同学抽中不同书目的结果有6种，
∴甲乙两位同学抽中不同书目的概率为．
【点睛】本题考查了树状图法或列表法求概率，解题的关键是正确画出树状图或表格，然后用符合条件的情况数m除以所有等可能发生的情况数n即可，即．
23. 如图，直线：与直线：相交于点，交轴于点，交轴负半轴于点，且．

（1）求直线和的解析式；
（2）若是直线上一点，且的面积是9，求点D的坐标．
【答案】（1）直线的解析式为，直线的解析式为；
（2）或．
【解析】
【分析】（1）将点代入直线：可得直线的解析式，进而可求出点的坐标；利用可得点的坐标，利用待定系数法可求直线的解析式．
（2）根据的面积，可求出的高，即为点D横坐标的绝对值；因为是直线上一点，故可求出点D的坐标．
【小问1详解】
解：将点代入直线：
则，
∴直线的解析式为，
令，则，
∴．
∵，
∴．
将点，代入．
得直线的解析式为
【小问2详解】
解：设点
则，
∴．
当时，；当时，
∴或．
【点睛】本题考查了利用待定系数法求一次函数的解析式、一次函数与坐标轴的交点问题、一次函数的实际应用等．抓住函数与几何问题中，点的坐标―线段的长度―图形面积的转换是解决问题的关键．
24. 一款服装每件进价为80元，销售价为120元时，每天可售出20件．经市场调查发现，如果每件服装降价1元，那么平均每天可多售出2件．
（1）设每件服装降价x元，则每天销售量增加________件，每件服装盈利________元（用含x的代数式表示）；
（2）在让利于顾客的情况下，每件服装降价多少元时，商家平均每天能盈利1200元？
【答案】（1）2x，；
（2）每件服装降价20元时，能让利于顾客并且平均每天能赢利1200元．
【解析】
【分析】（1）每件服装降价x元，结合题意列出代数式即可；
（2）由每件服装的利润乘以销售数量列方程即可．
【小问1详解】
解：每件服装降价x元，则每天销售量增加件，每件服装盈利元；
【小问2详解】
依题意得：，
解得：，．
又∵需要让利于顾客，
∴．
答：每件服装降价20元时，能让利于顾客并且平均每天能赢利1200元．
【点睛】本题考查的是一元二次方程的应用，理解题意，确定相等关系是解本题的关键．
25. 如图1，在矩形中，，，点E，F分别从点B，A出发，同时以每秒的速度沿直线向左运动，当点E与点A重合时两点都停止运动，设运动时间为t秒．连接，，得到四边形．

（1）当运动时间t为多少秒时，四边形是菱形？
（2）如图2，在（1）的条件下，连接．将绕点D逆时针旋转，在旋转过程中的两边与线段，分别交于点M，N，连接．
①当时，旋转角的度数为________度，的长度为________；
②试探究线段，，之间的数量关系，并说明理由．
【答案】（1）当运动时间为秒时，四边形是菱形
（2）①，；②，理由见解析
【解析】
【分析】（1）先根据矩形的性质可得，再根据线段和差可得，根据平行四边形的判定可得四边形是平行四边形，然后根据当时，是菱形，在中，利用勾股定理求解即可得；
（2）①根据等腰三角形的性质可得，，再根据旋转的性质可得，由此即可得的度数；过点作于点，先证出，根据全等三角形的性质可得，再在中，利用勾股定理求解即可得的长度；
②先求出，，再将绕点逆时针旋转得，连接，从而可得，利用勾股定理可得，然后利用定理可证，根据全等三角形的性质可得，由此即可得出结论．
【小问1详解】
解：∵四边形是矩形，，，
∴，，，，
由题意得：，
∴，即，
∴，
又∵，
∴四边形是平行四边形．
∴当时，是菱形，
∵在中，，
∴，
解得，
∵，
∴．
∴当运动时间为秒时，四边形是菱形．
【小问2详解】
解：①∵四边形是矩形，
，
由（1）可知，，，
，
，
当时，则，
，
由旋转得：，
如图，过点作于点，

，
，，
，
，
在和中，，
，
，
，
又，
，
，
故答案为：，；
②，理由如下：
由（1）得：，
∴是等腰直角三角形，，
∴，
∵四边形是菱形，
∴．
∴，
如图，将绕点逆时针旋转得，连接．

∴，，，．
∴．
∴．
又∵，，
∴．
∴，
∴．
又∵，，
∴．
∴，
∴．
【点睛】本题考查了矩形的性质、旋转的性质、菱形的判定与性质、勾股定理等知识点，较难的是题（2）②，通过作辅助线，构造全等三角形是解题关键．
26. 定义：函数图象上到两坐标轴的距离都不大于的点叫做这个函数图象的“n级限距点”．例如，点是函数图象的“级限距点”；点是函数图象的“2级限距点”．
（1）在①；②；③三点中，是函数图象的“1级限距点”的有________（填序号）；
（2）若y关于x的一次函数图象的“2级限距点”有且只有一个，求k的值；
（3）若y关于x的函数图象存在“n级限距点”，求出n的取值范围．
【答案】（1）①②； （2）k的值为或；
（3）．
【解析】
【分析】（1）根据定义即可作出判断；
（2）作出以O为中心，边长为4的正方形，当直线与正方形区域只有唯一交点时，图象的“2级限距点”有且只有一个，当直线经过点时，解得；当直线经过点时，解得．
（3）画出在以O为中心，边长为的正方形，根据定义进行讨论即可得到n的取值范围．
【小问1详解】
解：根据定义可得，在①；②；③三点中，①；②是函数图象上的点，且到两坐标轴的距离都不大于1，
∴“1级限距点”有①；②；
故答案为：①②
【小问2详解】
解：如图，

在以O为中心，边长为4的正方形中，当直线与正方形区域只有唯一交点时，图象的“2级限距点”有且只有一个，
当直线经过点时，，解得；
当直线经过点时，，解得．
综上所述：k的值为或．
【小问3详解】
解：当时，，当时，，
在以O为中心，边长为的正方形中，当图象与正方形区域有公共部分时，
函数图象的“n级限距点”一定存在．

设，，，，
如图，当图象经过点时，代入得，
如图，当图象经过点时，代入得．
∴当时，函数图象的“n级限距点”一定存在．