八年级下学期期末数学试题

这是一份八年级下学期期末数学试题，共32页。试卷主要包含了 有下列二次根式， 已知a、b都正整数，若，则等内容，欢迎下载使用。
八年级第二学期期末测试
数学试卷
一．选择题（1-10题，每题3分，11-16题，每题2分）
1. 下列方程中，是一元二次方程的是（ ）
A. B. C. D.
2. 有下列二次根式：① ② ③ ④ ⑤ ⑥琪琪说：“最简二次根式只有①④”，嘉嘉说：“我认为最简二次根式只有③⑥”，则（ ）
A. 嘉嘉说的对 B. 琪琪说的对
C. 嘉嘉和琪琪合在一起对 D. 嘉嘉和琪琪合在一起也不对
3. 已知某一元二次方程两根分别为，则这个方程可能为（ ）
A. B.
C. D.
4. 已知a、b都正整数，若，则（ ）
A. B. C. D.
5. 若点在平面直角坐标系的第三象限，则一次函数的大致图象是（ ）
A. B. C. D.
6. 依据所标数据，下列四边形不一定为矩形的是（ ）
A. B. C. D.
7. 在正比例函数中，y随x的增大而减小，则关于x的方程根的情况是（ ）
A. 有两个相等的实数根 B. 有两个不相等的实数根
C. 无实数根 D. 无法确定
8. 为了解“睡眠管理”落实情况，某初中学校随机调查50名学生每天平均睡眠时间（时间均保留整数），将样本数据绘制成统计图（如图），其中有两个数据被遮盖关于睡眠时间的统计量中，与被遮盖的数据无关的是（ ）

A. 平均数 B. 中位数 C. 众数 D. 方差
9. 如图所示，中，，是边的高线，，则等于（ ）．

A. 2 B. 4 C. 6 D. 8
10. 下列一次函数中，y的值随x的值减小而减小的有（ ）
①；②；③；④．
A. ①②③ B. ①②④ C. ①③④ D. ②③④
11. 如图，将绕边的中点顺时针旋转180°．嘉淇发现，旋转后的与构成平行四边形，并推理如下：
点，分别转到了点，处，
而点转到了点处．
∵，
∴四边形是平行四边形．

小明为保证嘉淇推理更严谨，想在方框中“∵，”和“∴四边形……”之间作补充．下列正确的是（ ）
A. 嘉淇推理严谨，不必补充 B. 应补充：且，
C. 应补充：且 D. 应补充：且，
12. 已知关于x的方程，则①无论k取何值，方程一定无实数根；②时，方程只有一个实数根；③且时，方程有两个实数根；④无论k取何值，方程一定有两个实数根．上述说法正确的个数是（ ）
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
13. 如图，在中，，由图中的尺规作图得到射线与交于点E，点F为的中点，连接EF，若，则的周长为（ ）

A. B. 4 C. D.
14. 如图，已知直线：交x轴负半轴于点A，交y轴于点B，点C是x轴上的一点，且，则的面积为（ ）

A. 1 B. 2 C. 5或2 D. 5或1
15. 如图，三角形纸片ABC，AB=AC，∠BAC=90°，点E为AB中点，沿过点E的直线折叠，使点B与点A重合，折痕现交于点F，已知EF=，则BC的长是（　　）

A. B. 3 C. 3 D. 3
16. 在平面直角坐标系中，直线l：与x轴交于点，如图所示，依次作正方形，正方形，…，正方形，使得点，……，在直线l上，点，…，在y轴正半轴上，则点的坐标为（ ）

A. B. C. D.
二．填空题（17，18题每题3分，19题每空2分）
17. 关于x的方程是一元二次方程，则______．
18. 已知一组数据，，，，，的众数是和，则这组数据的平均数是______．
19. 如图，边长为的菱形是由边长为的正方形“形变”得到的，若这个菱形一组对边之间的距离为，则称为这个菱形的“形变度”．
（1）一个“形变度”为3的菱形与其“形变”前的正方形的面积之比为____________．
（2）如图，A、B、C为菱形网格（每个小菱形的边长为1，“形变度”为）中的格点，则的面积为_____________．

三．解答题（共68分）
20. 解方程
（1）
（2）
（3）
（4）
21. 如图，在矩形中无重叠放入面积分别为和的两张正方形纸片，

（1）______；
（2）求图中空白部分的面积．
22. 如图，已知，延长到E，使，连接，若．

（1）求证：四边形是矩形；
（2）连接，若，求的长．
23. 2021年是中国共产党建党100周年．为让红色基因、革命薪火代代相传，某校组织了七、八年级学生进行党史知识竞赛．为了解成绩分布情况，学校随机抽取了部分学生的成绩．整理数据后，绘制了如下尚不完整的统计图表．
分组
A
B
C
D
E
60分以下




频数
1
a
4
6
b

其中D组得分分别为：88，85，84，87，85，89
请根据以上图表，解答下列问题：
（1）表格中______，______；
（2）在扇形统计图中，组别C所对应的扇形圆心角为______；
（3）这20名学生的成绩的中位数是______；
（4）已知参加竞赛的学生共有1500名，若考试成绩80分（含80分）以上为良好，请你估计这次党史知识竞赛中，达到良好的人数为多少？
24. 如图，已知直线：交x轴于点A，交y轴于点B，在直线上方以为腰作等腰，直线：交y轴于点D．

（1）求点A，B的坐标；
（2）当时x的取值范围为：______；
（3）点E是坐标平面上的一点，以A，B，D，E四点为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出点E的坐标______．
25. 2023年河北省第6届旅发大会在邯郸举办，特此发行了甲乙两种旅游纪念品，某商店准备采购300件纪念品．已知购进40件甲种纪念品和30件乙种纪念品需要5000元，购进10件甲种纪念品和50件乙种纪念品需要3800元．其中甲种纪念品的售价为120元/件，乙种纪念品的售价为80元/件．
（1）求甲、乙两种纪念品每件进价分别为多少元？
（2）若乙种纪念品的数量不少于甲种纪念品数量的3倍，且利润不低于7400元，设利润为w元，请通过计算说明商店的最大利润为多少；
（3）若甲种纪念品每件售价降低元，乙种纪念品售价不变，在（2）的条件下，该商店销售这300件纪念品获得的最大利润为5720元，则m的值为______．
26. 如图1和图2，在中，，点M，N分别在上，且．点P从点M出发沿折线匀速运动，到达点N后停止运动，点Q从点C出发沿线段匀速运动，到A点后立即以原速返回．两点同时出发，当其中一个点到达终点后，另一点随之停止运动．已知P，Q运动速度均为每秒2个单位长度，运动时间为t秒．

（1）求；
（2）当点P在线段上运动时，若，求t的值；
（3）①当点P在线段上运动时，设点P到的距离为x，试用含x的代数式表示点P到边所在直线的距离______；
②当点P在线段上运动时，设点P到的距离为x，试用含x的代数式表示点P到边所在直线的距离______；
（4）在点Q从点A向点C运动过程中，直接写出______秒时，面积最大，此时______．


八年级第二学期期末测试
数学试卷
一．选择题（1-10题，每题3分，11-16题，每题2分）
1. 下列方程中，是一元二次方程的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据一元二次方程的定义即可求解．
【详解】解：、，是一元二次方程，符合题意；
、，是二元一次方程，不符合题意；
、，分母中含有未知数，不一元二次方程，不符合题意；
、，不是一元二次方程，不符合题意；
故选：．
【点睛】本题主要考查一元二次方程的定义，理解并掌握一元二次方程的定义是解题的关键．
2. 有下列二次根式：① ② ③ ④ ⑤ ⑥琪琪说：“最简二次根式只有①④”，嘉嘉说：“我认为最简二次根式只有③⑥”，则（ ）
A. 嘉嘉说的对 B. 琪琪说的对
C. 嘉嘉和琪琪合在一起对 D. 嘉嘉和琪琪合在一起也不对
【答案】C
【解析】
【分析】直接利用最简二次根式的定义分析得出答案．
【详解】解：②；⑤=；不是最简二次根式；
①；③；④；⑥，都是最简二次根式．
故嘉嘉和琪琪合在一起对．
故选：C．
【点睛】此题主要考查了最简二次根式，正确把握最简二次根式的定义是解题关键．
3. 已知某一元二次方程的两根分别为，则这个方程可能为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】分别求出各选项中方程的根，然后再根据一元二次方程的根的定义进行判断即可得到答案.
【详解】解：A、，解得：，，符合题意；
B、，解得：，，不符合题意；
C、，解得：，，不符合题意；
D、，解得：，，不符合题意；
故选：A.
【点睛】本题考查了一元二次方程的根，解题的关键是掌握解一元二次方程的方法.
4. 已知a、b都是正整数，若，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据二次根式的的性质进行化简，可得a，b的值，再一一判断即可得出答案．
【详解】解：因为，
所以a=3，b=2，
所以a＞b，故A、B选项错误；
a+b=3+2=5，故C选项错误；
a-b=3-2=1，故D选项正确；
故选：D.
【点睛】本题考查了二次根式的性质与化简，熟练掌握二次根式的性质是解题关键．
5. 若点在平面直角坐标系的第三象限，则一次函数的大致图象是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据在第三象限可以得到m、n的取值范围，从而可以判断一次函数的大致图象．
【详解】解：∵在第三象限，
∴，
∴经过二、三、四象限，
故选：D．
【点睛】本题主要考查了平面直角坐标系中每个象限点的坐标特征，一次函数图象与其系数之间的关系，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解．
6. 依据所标数据，下列四边形不一定为矩形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据矩形的判定方法“有三个角是直角的四边形是矩形；有一个角是直角的平行四边形是矩形”即可求解．
【详解】解：A、∵，，
∴四边形是平行四边形，
但不能说明四边形是矩形，故该选项符合题意；
B、有三个角是直角的四边形是矩形，故该选项不符合题意；
C、∵，
∴，又，
∴四边形是平行四边形，
∵，
∴四边形矩形，故该选项不符合题意；
D、∵，，
∴四边形是平行四边形，
∵，
∴是直角三角形，且，
∴四边形是矩形，故该选项不符合题意；
故选：A．
【点睛】本题考查了矩形的判定方法，熟练掌握矩形的判定方法是解题的关键．
7. 在正比例函数中，y随x的增大而减小，则关于x的方程根的情况是（ ）
A. 有两个相等的实数根 B. 有两个不相等的实数根
C. 无实数根 D. 无法确定
【答案】B
【解析】
【分析】根据正比例函数的性质得到，再根据一元二次方程的根的判别式即可解答．
【详解】解：∵正比例函数中，的值随值的增大而减小，
∴，
∵关于的一元二次方程为，
∴，
∴一元二次方程为有两个不相等的实数根．
故选：B．
【点睛】本题考查了正比例函数的性质，一元二次方程根的判别式，掌握一元二次方程根的判别式是解题的关键．
8. 为了解“睡眠管理”落实情况，某初中学校随机调查50名学生每天平均睡眠时间（时间均保留整数），将样本数据绘制成统计图（如图），其中有两个数据被遮盖关于睡眠时间的统计量中，与被遮盖的数据无关的是（ ）

A. 平均数 B. 中位数 C. 众数 D. 方差
【答案】B
【解析】
【分析】根据题意可得，计算平均数、众数及方差需要全部数据，从统计图可得：前三组的数据共有5+11+16=32，共有50名学生，中位数为第25与26位的平均数，据此即可得出结果．
【详解】解：根据题意可得，计算平均数、方差需要全部数据，故A、D不符合题意；
∵50-5-11-16=18＞16，
∴无法确定众数分布在哪一组，故C不符合题意；
从统计图可得：前三组的数据共有5+11+16=32，
共有50名学生，中位数为第25与26位的平均数，
∴已知的数据中中位数确定，且不受后面数据的影响，
故选：B．
【点睛】题目主要考查条形统计图与中位数、平均数、众数及方差的关系，理解题意，掌握中位数、平均数、众数及方差的计算方法是解题关键．
9. 如图所示，中，，是边的高线，，则等于（ ）．

A. 2 B. 4 C. 6 D. 8
【答案】C
【解析】
【分析】由图中相关线段间的和差关系可知，则在中， 根据勾股定理，
得．
【详解】解：，，
，
，
，
在中， 根据勾股定理， 得．
故选：C．
【点睛】本题考查了勾股定理，掌握勾股定理是解题的关键．
．
10. 下列一次函数中，y的值随x的值减小而减小的有（ ）
①；②；③；④．
A. ①②③ B. ①②④ C. ①③④ D. ②③④
【答案】C
【解析】
【分析】根据一次函数的性质依次分析各项即可．
【详解】解：①③④中，y的值随着x值的减小而减小，符合题意；
②中，y的值随着x值的增大而减小，不符合题意．
故选：C．
【点睛】本题考查的是一次函数的性质，解答本题的关键是熟练掌握一次函数的性质：当时，y的值随着x值的减小而减小；当时，y的值随着x值的增大而减小．
11. 如图，将绕边的中点顺时针旋转180°．嘉淇发现，旋转后的与构成平行四边形，并推理如下：
点，分别转到了点，处，
而点转到了点处．
∵，
∴四边形是平行四边形．

小明为保证嘉淇的推理更严谨，想在方框中“∵，”和“∴四边形……”之间作补充．下列正确的是（ ）
A. 嘉淇推理严谨，不必补充 B. 应补充：且，
C. 应补充：且 D. 应补充：且，
【答案】B
【解析】
【分析】根据平行四边形的判定方法“两组对边分别相等的四边形是平行四边形”即可作答．
【详解】根据旋转的性质得： CB=AD，AB=CD，
∴四边形ABDC是平行四边形；
故应补充“AB=CD”，
故选：B．
【点睛】本题主要考查了平行四边形的判定和旋转的性质，牢记旋转前、后的图形全等，熟练掌握平行四边形的判定方法是解题的关键．
12. 已知关于x的方程，则①无论k取何值，方程一定无实数根；②时，方程只有一个实数根；③且时，方程有两个实数根；④无论k取何值，方程一定有两个实数根．上述说法正确的个数是（ ）
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
【答案】B
【解析】
【分析】利用根的判别式，可得出，进而根据各选项的情况得出结论．
【详解】解：关于x的方程，
，
当时，关于x的方程为，则，
方程只有一个实数根，故②说法正确；
当，解得，则且时，方程有两个实数根，故③说法正确，①④说法错误；
综上，上述说法正确的是②③，共2个，
故选：B．
【点睛】本题主要考查一元二次方程根的判别式，根与系数的关系，牢记“当时，方程有两个实数根”是解题的关键．
13. 如图，在中，，由图中尺规作图得到射线与交于点E，点F为的中点，连接EF，若，则的周长为（ ）

A. B. 4 C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】由尺规作图可知，为的平分线，结合等腰三角形的性质可得，，利用勾股定理得，进而可得，，即可得出答案.
【详解】解：由题意得，为的平分线，
∵，
∴,，
由勾股定理得，，
∵点F为的中点，
∴，，
∴的周长为，
故选：C．
【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质，是考试中常见的题型.
14. 如图，已知直线：交x轴负半轴于点A，交y轴于点B，点C是x轴上的一点，且，则的面积为（ ）

A. 1 B. 2 C. 5或2 D. 5或1
【答案】D
【解析】
【分析】分两种情况考虑：①C点在x轴正半轴；②C点在x轴负半轴．分别计算三角形的面积即可．
【详解】解：对于直线：，
令，则；令，则，求得；
∴，，
则，，
如图，分两种情况考虑：
①当点C在x轴正半轴上时，，
∴的面积为；
②当点C在x轴负半轴上时，，
∴的面积为．

故选：D．
【点睛】本题考查了一次函数的图象和性质，理解分类讨论思想是解题的关键．
15. 如图，三角形纸片ABC，AB=AC，∠BAC=90°，点E为AB中点，沿过点E的直线折叠，使点B与点A重合，折痕现交于点F，已知EF=，则BC的长是（　　）

A. B. 3 C. 3 D. 3
【答案】B
【解析】
【分析】折叠的性质主要有：1.重叠部分全等；2.折痕是对称轴,对称点的连线被对称轴垂直平分. 由折叠的性质可知,所以可求出∠AFB=90°，再直角三角形的性质可知,所以,的长可求，再利用勾股定理即可求出BC的长．
【详解】解：






AB＝AC，
,
故选B.
【点睛】本题考查了折叠的性质、等腰直角三角形的判断和性质以及勾股定理的运用，求出∠AFB=90°是解题的关键．
16. 在平面直角坐标系中，直线l：与x轴交于点，如图所示，依次作正方形，正方形，…，正方形，使得点，……，在直线l上，点，…，在y轴正半轴上，则点的坐标为（ ）

A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据一次函数图象上点的坐标特征结合正方形的性质可得出点、的坐标，同理可得出、、、、及、、、、的坐标，根据点的坐标的变化可找出变化规律“（n为正整数）”，依此规律即可得出结论．
【详解】解：当时，有，
解得：，
点的坐标为．
四边形为正方形，
点的坐标为．
同理，，，，，
，，，，，
（n为正整数），
点的坐标为．
故选：C．
【点睛】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征、正方形的性质以及规律型：点的坐标，根据点的坐标的变化找出变化规律“为正整数”是解题的关键．
二．填空题（17，18题每题3分，19题每空2分）
17. 关于x的方程是一元二次方程，则______．
【答案】
【解析】
【分析】根据一元二次方程的定义解题即可．
【详解】解：由题意得，
解得：，
故答案：．
【点睛】本题考查了一元二次方程的概念．只有一个未知数且未知数最高次数为2的整式方程叫做一元二次方程，一般形式是．特别要注意的条件．这是在做题过程中容易忽视的知识点．
18. 已知一组数据，，，，，的众数是和，则这组数据的平均数是______．
【答案】
【解析】
【分析】根据众数的概念，先判定的值，再根据平均数的技术方法即可求解．
【详解】解：∵众数是和，
∴，
∴这组数据为，，，，，，
∴平均数为，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查众数，平均数的综合，理解众数的概念，掌握平均数的计算方法是解题的关键．
19. 如图，边长为的菱形是由边长为的正方形“形变”得到的，若这个菱形一组对边之间的距离为，则称为这个菱形的“形变度”．
（1）一个“形变度”为3的菱形与其“形变”前的正方形的面积之比为____________．
（2）如图，A、B、C为菱形网格（每个小菱形的边长为1，“形变度”为）中的格点，则的面积为_____________．

【答案】 ①. ②.
【解析】
【分析】（1）分别表示出正方形的面积和菱形的面积，再根据“形变度”为3，即可得到菱形与其“形变”前的正方形的面积之比；
（2）根据两面积之比=菱形的“形变度”，即可解答．
【详解】解：（1）∵边长为a的正方形面积=，边长为a的菱形面积=，
∴菱形面积：正方形面积，
∵菱形的变形度为3，即，
∴“形变度”为3的菱形与其“形变”前的正方形的面积之比，
故答案为：；
（2）∵菱形的边长为1，“形变度”为，
∴菱形形变前的面积与形变后的面积之比为，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查了正方形的性质，菱形的性质以及四边形综合，根据题意得出菱形形变前的面积与形变后的面积之比是解题关键．
三．解答题（共68分）
20. 解方程
（1）
（2）
（3）
（4）
【答案】（1），
（2）
（3），
（4），
【解析】
【分析】（1）直接开方法即可求解；
（2）运用公式法即可求解；
（3）运用因式分解法即可求解；
（4）运用因式分解法即可求解．
【小问1详解】
解：
移项，
方程两边同时开方，，
∴原方程的解为：，．
【小问2详解】
解：
运用完全平方公式得，，
∴，
∴原方程的解为：．
【小问3详解】
解：
因式分解得，，
∴，，
∴原方程的解为：，．
【小问4详解】
解：
移项，，
因式分解得，，
∴，，
∴原方程的解为：，．
【点睛】本题主要考查解一元二次方程的综合，掌握因式分解法，公式法，直接开方法等知识解一元二次方程的方法是解题的关键．
21. 如图，在矩形中无重叠放入面积分别为和的两张正方形纸片，

（1）______；
（2）求图中空白部分的面积．
【答案】（1）
（2）空白部分的面积．
【解析】
【分析】（1）根据正方形的面积求出边长，即可求解；
（2）求得的长，利用矩形面积公式即可求解．
【小问1详解】
解：∵两张正方形纸片的面积分别为和，
∴它们的边长分别为，．
∴，
故答案为：；
【小问2详解】
解：∴，
∴空白部分的面积．
【点睛】本题主要考查了二次根式的应用，解本题的要点在于求出两个正方形的边长，从而求出空白部分面积．
22. 如图，已知，延长到E，使，连接，若．

（1）求证：四边形是矩形；
（2）连接，若，求的长．
【答案】（1）见解析 （2）．
【解析】
【分析】（1）证明四边形是平行四边形，根据题意得到，根据矩形的判定定理证明；
（2）根据矩形的性质得到，根据勾股定理求出，再根据勾股定理计算即可．
【小问1详解】
证明：∵四边形是平行四边形，
∴，，
∵，
∴，
∴四边形是平行四边形，
∵，
∴，
∴四边形是矩形；
【小问2详解】
解：如图，

∵，
∴．
∵，，
∴，
∴．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质，矩形的性质，勾股定理，证得四边形是矩形是本题的关键．
23. 2021年是中国共产党建党100周年．为让红色基因、革命薪火代代相传，某校组织了七、八年级学生进行党史知识竞赛．为了解成绩分布情况，学校随机抽取了部分学生的成绩．整理数据后，绘制了如下尚不完整的统计图表．
分组
A
B
C
D
E
60分以下




频数
1
a
4
6
b

其中D组得分分别为：88，85，84，87，85，89
请根据以上图表，解答下列问题：
（1）表格中的______，______；
（2）在扇形统计图中，组别C所对应的扇形圆心角为______；
（3）这20名学生的成绩的中位数是______；
（4）已知参加竞赛的学生共有1500名，若考试成绩80分（含80分）以上为良好，请你估计这次党史知识竞赛中，达到良好的人数为多少？
【答案】（1）2，6 （2）
（3）86 （4）估计这次党史知识竞赛中，达到良好的人数约为975人．
【解析】
【分析】（1）用组别C的人数除以其占比求得调查的总人数，再用参与调查的总人数乘以组别E的占比即可求出b，进而可以求出a；
（2）用乘以组别C的占比即可得到答案；
（3）根据中位数的定义求解即可；
（4）用1500乘以样本中良好人数占比即可得到答案．
【小问1详解】
解：由题意得调查的总人数为（人），
，
∴，
故答案为：2，6；
【小问2详解】
解：，
∴组别C所对应的扇形圆心角为，
故答案为：；
【小问3详解】
解：组别A、B、C的人数分别为1、2、4，
把这20名学生的成绩按照从小到大排列处在第10名和第11名的成绩在D组，
D组成绩按照从小到大排列为84，85，85，87，88，89，
∴第10名和第11名的成绩分别为85，87，
∴这20名学生的成绩的中位数是，
故答案为：86；
【小问4详解】
解：（人），
∴估计这次党史知识竞赛中，达到良好的人数约为975人．
【点睛】本题主要考查了统计表与扇形统计图信息相关联，用样本估计总体，中位数，正确读懂统计图是解题的关键．
24. 如图，已知直线：交x轴于点A，交y轴于点B，在直线上方以为腰作等腰，直线：交y轴于点D．

（1）求点A，B的坐标；
（2）当时x的取值范围为：______；
（3）点E是坐标平面上的一点，以A，B，D，E四点为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出点E的坐标______．
【答案】（1）点A的坐标为，点B的坐标为；
（2）
（3）点E的坐标为或或．
【解析】
【分析】（1）利用直线的解析式即可求得点A，B的坐标；
（2）根据函数图象即可求解；
（3）分当为对角线、为对角线、为对角线时，三种情况讨论，利用中点坐标公式求解即可．
【小问1详解】
解：直线：，
令，则；令，则；
∴点A的坐标为，点B的坐标为；
【小问2详解】
解：由图象知，当时，直线在直线的上方，
∴当时x的取值范围为：；
故答案为：；
【小问3详解】
解：过点C作轴于点F，

由题意得，，，
∴，
∴，，
∴点C的坐标为，
∴，解得，
∴直线：，
∴点D的坐标为，
设点E的坐标为，
当为对角线时，，，
解得，则点E的坐标为；
当为对角线时，，，
解得，则点E的坐标为；
当为对角线时，，，
解得，则点E的坐标为；
综上，点E的坐标为或或．
【点睛】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征、待定系数法求一次函数解析式以及平行四边形的性质，解题的关键是根据点的坐标，利用待定系数法求出一次函数解析式．
25. 2023年河北省第6届旅发大会在邯郸举办，特此发行了甲乙两种旅游纪念品，某商店准备采购300件纪念品．已知购进40件甲种纪念品和30件乙种纪念品需要5000元，购进10件甲种纪念品和50件乙种纪念品需要3800元．其中甲种纪念品的售价为120元/件，乙种纪念品的售价为80元/件．
（1）求甲、乙两种纪念品每件的进价分别为多少元？
（2）若乙种纪念品的数量不少于甲种纪念品数量的3倍，且利润不低于7400元，设利润为w元，请通过计算说明商店的最大利润为多少；
（3）若甲种纪念品每件售价降低元，乙种纪念品售价不变，在（2）的条件下，该商店销售这300件纪念品获得的最大利润为5720元，则m的值为______．
【答案】（1）甲纪念品每件的进价为80元，乙纪念品每件的进价为60元；
（2）商店的最大利润为7500元；
（3）．
【解析】
【分析】（1）设甲纪念品每件的进价为x元，乙纪念品每件的进价为y元，然后根据题意建立二元一次方程组求出其解即可；
（2）设甲种纪念品数量为a，则乙种纪念品的数量为，根据题意列出一元一次不等式组求a的范围，再列一元一次函数，利用一次函数的性质求解；
（3）设该商店销售这300件纪念品获得的最大利润为w，得到，然后根据得到，然后得到w随a的增大而减小，然后得到当时，，代入求解即可．
【小问1详解】
解：设甲纪念品每件的进价为x元，乙纪念品每件的进价为y元，由题意得：
，
解得：，
答：甲纪念品每件的进价为80元，乙纪念品每件的进价为60元；
【小问2详解】
解：设甲种纪念品数量为a，则乙种纪念品的数量为，
∴根据题意可得，
，
∴解得，
由题意得，
∵，
∴w随a的增大而增大，
∴当时，最大利润为，
商店的最大利润为7500元；
【小问3详解】
解：设该商店销售这300件纪念品获得的最大利润为w，
∴，
∵，
∴，
∴w随a的增大而减小，
∵，
∴当时，，
∴，
∴解得．
故答案为：．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，一元一次不等式组的应用，一次函数的应用等知识，根据题意列出方程组与不等式组是解题的关键．
26. 如图1和图2，在中，，点M，N分别在上，且．点P从点M出发沿折线匀速运动，到达点N后停止运动，点Q从点C出发沿线段匀速运动，到A点后立即以原速返回．两点同时出发，当其中一个点到达终点后，另一点随之停止运动．已知P，Q运动速度均为每秒2个单位长度，运动时间为t秒．

（1）求；
（2）当点P在线段上运动时，若，求t的值；
（3）①当点P在线段上运动时，设点P到的距离为x，试用含x的代数式表示点P到边所在直线的距离______；
②当点P在线段上运动时，设点P到的距离为x，试用含x的代数式表示点P到边所在直线的距离______；
（4）在点Q从点A向点C运动过程中，直接写出______秒时，面积最大，此时______．
【答案】（1）；
（2）；
（3）①；②
（4）8，
【解析】
【分析】（1）作于点D，利用等腰三角形的性质求得，再利用勾股定理求得，据此即可求解；
（2）由题意得，，根据，列式计算即可求解；
（3）利用三角形面积公式列式即可求解；
（4）作于点D，于点F，求得，利用三角形面积公式求得，利用二次函数的性质即可求解．
【小问1详解】
解：作于点D，

∵，
∴，
∴，
∴；
【小问2详解】
解：由题意得，则，，
∴，
解得；
【小问3详解】
解：①连接，如图，设点P到边所在直线的距离是，

由题意得，即，
∴，
故答案为：；
②连接，如图，设点P到边所在直线的距离是，

由题意得，即，
∴，
故答案为：；
【小问4详解】
解：，
∴，
作于点D，于点F，

∴，，，，
∵，
∴，
∴，即，
∴，
∴
，整理得，
∵，
∴当时，有最大值，最大值为．
故答案为：8，．