八年级下学期期末数学试题

这是一份八年级下学期期末数学试题，共30页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
下学期八年级期末试卷
数 学
（满分：150分；考试时间：120分钟）
一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的
1. 下列各式中属于最简二次根式的是（　 ）．
A. B. C. D.
2. 在□ABCD中，如果∠A+∠C＝140°，那么∠C等于（　 　）．
A. 70° B. 60° C. 40° D. 20°
3. 下列计算正确的是（ ）
A. B.
C. D.
4. 为庆祝中国共产主义青年团建团100周年，某校团委组织以“扬爱国精神，展青春风采”为主题的合唱活动，下表是九年级一班的得分情况：
评委1
评委2
评委3
评委4
评委5
9.9
97
9.6
10
9.8
数据9.9，9.7，9.6，10，9.8的中位数是（ ）
A. 9.6 B. 9.7 C. 9.8 D. 9.9
5. 如图，在四边形中，对角线、相交于点，下列条件不能判定四边形为平行四边形的是（　　）

A. B.
C. D.
6. 已知一次函数的图象经过过一、二、四象限，那么，的取值范围是（ ）
A. ， B. ， C. ， D. ，
7. 如图，正方形ABCD的边长为4．对角线AC，BD交于点O，E是AC延长线上一点，且CE＝CO．则BE的长度为（　　）

A 4 B. 6 C. 2 D. 4
8. 如图，函数的图象经过点B（m，0）（），与函数的图象交于点A，则不等式的解集为（ ）

A. B. C. D.
9. 如图，已知四边形ABCD是平行四边形，若AF、BE分别是、的平分线，，，则EF的长是（ ）

A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
10. 已知点，点，点是平面直角坐标系内一点，当最大时，点的坐标可以是（ ）
A. B. C. D.
二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分．
11. 若一直角三角形两直角边长分别为6和8，则斜边长为__．
12. 若二次根式有意义，则的值可以是 _______．（写出符合题意的一个的值即可）
13. 如图所示，D，E分别是△ABC的边AB，AC的中点，若DE＝4，则BC＝_____．

14. 甲、乙、丙三人进行飞镖比赛，已知他们每人五次投得成绩如图6－Z－2所示，那么三人中成绩最稳定的是________．

15. 如图，菱形，点、、、均在坐标轴上，，点，点是的中点，点是上的一动点，则的最小值是______．

16. 如图，矩形中，，，动点分别从点、点出发沿方向，方向运动，速度为，动点分别从点、点出发沿方向、方向运动，速度为，四个动点同时出发且若有一个点到达矩形顶点，则所有点都停止运动，在运动过程中，对四边形形状描述正确的是_________（填写序号）
①一定是平行四边形；②可能是矩形；③不可能是菱形；④不可能是正方形

三、解答题：本题共9小题，共86分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
17. 计算：
18. 已知，x=1-，y=1+，求的值．
19. 如图，矩形的对角线交于点O，点E，F分别是上的点，且，连接．求证：．

20. 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，AB＝10，AB的垂直平分线分别交AB、AC于点D、E．求AE的长．

21. 某校准备购进一批篮球和足球供训练使用，若购买7个篮球和9个足球共需花费2190元；若购买10个篮球和8个足球共需花费2400元，
（1）求篮球和足球的单价各是多少元？
（2）现学校拟购买篮球和足球共100个，且篮球的数量不少于足球数量的，问：最多需花费多少元？
22. 为了鼓励更多的学生参与社区志愿者服务，甲、乙两所学校举办了志愿服务团队选拔活动．经过初选，两所学校各有名学生进入综合素质展示环节．为了了解两所学校学生的整体情况，从两校进入综合素质展示环节的学生中分别随机抽取了名学生的综合素质展示成绩分（为整数），并对数据（成绩）进行整理、描述和分析．下面给出了部分信息：
甲学校学生成绩的频数分布直方图如下图所示（数据分成组： ，，，），乙学校学生成绩的扇形统计图如下表所示（数据分成组，其中A组：，组：，组：）

（1）在各校抽取的名学生中，甲学校学生A、乙学校学生的综合素质展示成绩同为分，如果按照成绩从高到低进行排名（成绩高的排名在前），请判断A、在各自学校所抽取出来的名学生中的综合素质展示排名谁更靠前？并说明理由
（2）根据所学的知识对数据进行分析，你认为从哪个角度能更合理评估两所学校综合素质成绩的高低.请简单说明理由并作出比较
23. 如图，△中，，

（1）请仅用无刻度的直尺和圆规在△内求作点，使（保留作图痕迹，不写作法）；
（2）在（1）的条件下，延长交于点，若为中点且，求△的面积．
24. 如图，已知直线分别交轴、轴正半轴于两点，直线交轴负半轴于点．

（1）求证：无论取何值，直线必过一定点；
（2）点分别为延长线上的点，且到轴的距离相等，当时，
①试证明直线与直线互相垂直；
②连接，是否为定值？若是，请求出该定值；若不是，请说明理由．
25. 如图，在正方形中，为边上异于的一个动点，将正方形沿折叠，点为点的对应点，延长分别交直线于点，

（1）如图1，将正方形沿再次折叠，点恰好与点重合，
①求证：；
②连接并延长交于点，分别记△，△，正方形的面积为，试探究之间的数量关系，并给出证明；
（2）如图2，连接，若正方形边长为4，设，△ 的面积为，求关于的函数关系式











下学期八年级期末试卷
数 学
（满分：150分；考试时间：120分钟）
一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的
1. 下列各式中属于最简二次根式的是（　 ）．
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据最简二次根式的定义逐个判断即可．
【详解】A. =可化简，错误；
B. 是最简二次根式 ，正确；
C.=，可化简，错误；
D.=，可化简，错误．
故选B．
【点睛】本题考查了最简二次根式，解题的关键是掌握判断最简二次根式的两个条件：
（1）在二次根式的被开方数中，只要含有分数或小数，就不是最简二次根式；
（2）在二次根式的被开方数中的每一个因式（或因数），如果幂的指数大于或等于2，也不是最简二次根式．
2. 在□ABCD中，如果∠A+∠C＝140°，那么∠C等于（　 　）．
A. 70° B. 60° C. 40° D. 20°
【答案】A
【解析】
【详解】分析：根据平行四边形的对角相等即可求出答案．
详解：∵四边形ABCD为平行四边形， ∴∠A=∠C， ∵∠A+∠C=140°，
∴∠A=∠C=70°， 故选A．
点睛：本题主要考查的是平行四边形的性质，属于基础题型．明确平行四边形对角相等是解决这个问题的关键．
3. 下列计算正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】由二次根式的加减运算可判断A，C，由二次根式的化简可判断B，D，从而可得答案．
【详解】解：，不是同类二次根式，不能合并，故A不符合题意；
，故B不符合题意；
，故C符合题意；
，故D不符合题意；
故选C．
【点睛】本题考查的是二次根式的化简，二次根式的加减运算，掌握“二次根式的加减运算的运算法则”是解本题的关键．
4. 为庆祝中国共产主义青年团建团100周年，某校团委组织以“扬爱国精神，展青春风采”为主题的合唱活动，下表是九年级一班的得分情况：
评委1
评委2
评委3
评委4
评委5
9.9
9.7
9.6
10
9.8
数据9.9，9.7，9.6，10，9.8的中位数是（ ）
A. 9.6 B. 9.7 C. 9.8 D. 9.9
【答案】C
【解析】
【分析】根据中位数的概念分析即可．
【详解】解：将数据按照从小到大的顺序排列为：9.6，9.7，9.8，9.9，10，则中位数为9.8．
故选：C．
【点睛】本题主要考查中位数．将一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数；如果这组数据个数是偶数，则最中间两个数的平均数就是这组数据的中位数．
5. 如图，在四边形中，对角线、相交于点，下列条件不能判定四边形为平行四边形的是（　　）

A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据平行四边形的判定定理逐项分析判断即可求解．
【详解】A、根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形，可以判定，不符合题意；
B、无法判定，四边形可能是等腰梯形，也可能是平行四边形,符合题意；
C、根据对角线互相平分的四边形是平行四边形，可以判定，不符合题意；
D、根据两组对边分别相等的四边形是平行四边形，可以判定，不符合题意；
故选：B．
【点睛】本题考查了平行四边形的判定，熟练掌握平行四边形的判定定理是解题的关键．
6. 已知一次函数的图象经过过一、二、四象限，那么，的取值范围是（ ）
A. ， B. ， C. ， D. ，
【答案】D
【解析】
【分析】由一次函数的图像经过过一、二、四象限可得：＜且＞从而可得答案．
【详解】解：因为一次函数的图象经过过一、二、四象限，
所以：＜且＞
所以：，，
故选D．
【点睛】本题考查的是一次函数的图像的性质，同时考查一元一次不等式的解法，掌握一次函数的图像的性质是解题的关键．
7. 如图，正方形ABCD的边长为4．对角线AC，BD交于点O，E是AC延长线上一点，且CE＝CO．则BE的长度为（　　）

A 4 B. 6 C. 2 D. 4
【答案】C
【解析】
【分析】由正方形的性质得到OB=OC=CE，BD⊥AC，根据勾股定理可求出BO=，OE=，再利用勾股定理即可求出BE的长度．
【详解】解：∵四边形ABCD是正方形，
∴AC⊥BD，AO=BO=CO=DO，
∵正方形ABCD的边长为4，
∴BC=4，
在Rt△BOC中，
BO2+CO2=BC2，
即2BO2=42，
解得BO=，
∵CE=CO=BO，
∴OE=，
在Rt△BOE中，
BE=，
故选：C．
【点睛】本题考查了正方形的性质：正方形的四条边都相等，四个角都是直角；正方形的两条对角线相等，互相垂直平分，并且每条对角线平分一组对角；正方形具有四边形、平行四边形、矩形、菱形的一切性质．
8. 如图，函数的图象经过点B（m，0）（），与函数的图象交于点A，则不等式的解集为（ ）

A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】先求出A点坐标，再通过函数图象求得符合条件的x的范围．
【详解】解：∵点A在函数的图象上，A点纵坐标为2，
∴在函数中，令y=2，解得x=1，即A点坐标为．
由图可知，当时，函数的图象在函数的图象的下方，
即当时，不等式成立，
∴不等式的解集为．
故选：C．
【点睛】本题考查了一次函数的图象性质，以及一次函数与不等式的关系，求出A点坐标，运用数形结合的思想求得不等式的解集，是解题的关键．
9. 如图，已知四边形ABCD是平行四边形，若AF、BE分别是、的平分线，，，则EF的长是（ ）

A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
【答案】B
【解析】
【分析】由四边形ABCD是平行四边形，若AF、BE分别是、的平分线，易得与是等腰三角形，继而求得，则可求得答案．
【详解】四边形ABCD是平行四边形，
，，，
，，
、BE分别是、的平分线，
，，
，，
，，
．
故选B．
【点睛】此题考查了平行四边形的性质以及等腰三角形的判定与性质．注意证得与是等腰三角形是关键．
10. 已知点，点，点是平面直角坐标系内一点，当最大时，点的坐标可以是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】先用待定系数法求出直线的解析式，再根据三角形的三边关系得到当在一条直线上，且在的左侧或在的右侧时，最大，逐项分析各个点即可得到答案．
【详解】解：设直线的解析式为：，
将点，点代入得，
，
解得：，
直线的解析式为：，
当不共线时，根据三角形的三边关系可得：，
当在一条直线上，且在的左侧或在的右侧时，最大，
当时，，
在直线上，但在的中间，不符合题意，
当时，，
在直线上，但在的中间，不符合题意，
当时，，
在直线上，且在的左侧，符合题意，
当时，，
不在直线上，不符合题，
当最大时，点的坐标可以是，
故选：C．
【点睛】本题主要考查了待定系数法求一次函数的解析式，三角形的三边关系，解题的关键是得到当在一条直线上，且在的左侧或在的右侧时，最大．
二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分．
11. 若一直角三角形两直角边长分别为6和8，则斜边长为__．
【答案】10
【解析】
【分析】已知两直角边求斜边可以根据勾股定理求解．
【详解】解：在直角三角形中，斜边的平方等于两条直角边平方和，
故斜边长，
故答案为：10．
【点睛】本题考查了根据勾股定理计算直角三角形的斜边，正确的运用勾股定理是解题的关键．
12. 若二次根式有意义，则的值可以是 _______．（写出符合题意的一个的值即可）
【答案】4（答案不唯一）
【解析】
【分析】先根据二次根式有意义的条件列出关于的不等式，求出的取值范围，从而即可得到答案．
【详解】解：根据题意可得：，
解得：，
的值可以是4，
故答案为：4（答案不唯一）．
【点睛】本题考查的是二次根式有意义的条件，熟知二次根式的被开方数是非负数是解答此题的关键．
13. 如图所示，D，E分别是△ABC的边AB，AC的中点，若DE＝4，则BC＝_____．

【答案】8
【解析】
【分析】根据三角形中位线定理解答．
【详解】解：∵D，E分别是△ABC的边AB，AC的中点，
∴BC＝2DE＝8，
故答案为：8．
【点睛】本题考查的是三角形中位线定理，掌握三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半是解题的关键．
14. 甲、乙、丙三人进行飞镖比赛，已知他们每人五次投得的成绩如图6－Z－2所示，那么三人中成绩最稳定的是________．

【答案】乙
【解析】
【分析】通过图示波动的幅度即可推出.
【详解】通过图示可看出，一至三次甲乙丙中，乙最稳定，波动最小，四至五次三人基本一样，故选乙
【点睛】考查数据统计的知识点

15. 如图，菱形，点、、、均在坐标轴上，，点，点是的中点，点是上的一动点，则的最小值是______．

【答案】3
【解析】
【分析】根据题意得，E点关于直线的对称点是的中点，连接交于点P，此时有最小值，求出此时的最小值即可．
【详解】解∶根据题意得， E点关于直线的对称点是的中点，连接交与点P，此时有最小值为，

∵四边形是菱形，，点，
∴，
∴是等边三角形，
∴，
即的最小值是3，
故答案为∶3．
【点睛】本题主要考查菱形的性质，熟练掌握菱形的性质，等边三角形的判定和性质是解题的关键．
16. 如图，矩形中，，，动点分别从点、点出发沿方向，方向运动，速度为，动点分别从点、点出发沿方向、方向运动，速度为，四个动点同时出发且若有一个点到达矩形顶点，则所有点都停止运动，在运动过程中，对四边形形状描述正确的是_________（填写序号）
①一定是平行四边形；②可能是矩形；③不可能是菱形；④不可能是正方形

【答案】①②④
【解析】
【分析】由可证明和，得到和，从而得到四边形是平行四边形，即可判断①，根据矩形的性质假设设时四边形是矩形，则，通过证明，，即，求解即可判断②，假设时四边形是菱形，则，即，求解即可判断③，假设时四边形是正方形，则，，由②和③可得，求解即可判断④，从而得到答案．
【详解】解：根据题意画出图如图所示：
，
由题意可得：，，，
，
在和中，
，
，
，
同理可得：，
，
四边形是平行四边形，故①正确，
假设时四边形是矩形，则，
，
，
，
，
，，动点分别从点、点出发沿方向，方向运动，速度为，动点分别从点、点出发沿方向、方向运动，速度为，
，
，
解得：，
，
当时，四边形是矩形，故②正确，
假设时四边形是菱形，则，
，，
，
解得：，
当时，四边形是菱形，故③错误，
假设时四边形是正方形，则，，
由②和③可得：，
此时无解，
四边形不可能正方形，故④正确，
综上所述：正确的是①②④，
故答案为：①②④．
【点睛】本题主要考查了平行四边形判定与性质、矩形的判定与性质、菱形的判定与性质、正方形的判定与性质、三角形全等的判定与性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理，熟练掌握平行四边形的判定与性质、矩形的判定与性质、菱形的判定与性质、正方形的判定与性质、三角形全等的判定与性质、相似三角形的判定与性质，是解题的关键．
三、解答题：本题共9小题，共86分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
17. 计算：
【答案】
【解析】
【分析】先进行二次根式的乘除运算，再化简合并，即可求解．
【详解】解：
＝
＝
=
【点睛】本题主要考查了二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的混和运算的顺序，并注意二次根式的化简是解题的关键．
18. 已知，x=1-，y=1+，求的值．
【答案】7
【解析】
【分析】把所给的多项式化为，再计算x+y和xy的值后，代入计算即可．
【详解】解：原式=

∵，，
∴原式=4+3=7．
【点睛】本题考查了二次根式的化简以及因式分解的应用，要熟练掌握平方差公式和完全平方公式．
19. 如图，矩形的对角线交于点O，点E，F分别是上的点，且，连接．求证：．

【答案】见解析
【解析】
【分析】由矩形的性质得出，则，证明，由全等三角形的性质可得出结论．
【详解】∵四边形是矩形，
∴，
∴，
∴，
又∵，
∴，
即，
又∵，
∴，
∴．
【点睛】本题考查了矩形的性质，全等三角形的判定与性质，掌握矩形的性质是解题的关键．
20. 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，AB＝10，AB的垂直平分线分别交AB、AC于点D、E．求AE的长．

【答案】
【解析】
【分析】连接BE，先利用勾股定理求出BC的长，根据线段垂直平分线的性质可得AE＝BE，然后设AE＝BE＝x，再由勾股定理可得方程（8−x）2＋62＝x2，求解后即可得出答案．
【详解】解：连接BE，

在Rt△ABC中，
∵∠C＝90°，AC＝8，AB＝10，
∴AC2＋BC2＝AB2．
即82＋BC2＝102，
解得：BC＝6．
∵DE是AB的垂直平分线，
∴AE＝BE．
设AE＝BE＝x，则EC＝8−x，
∵Rt△BCE中，EC2＋BC2＝BE2，
∴（8−x）2＋62＝x2，
解得：x＝，
∴AE＝．
【点睛】此题考查了线段垂直平分线的性质以及勾股定理，掌握线段垂直平分线的性质并结合勾股定理求解线段的长度是解题的关键，且要注意数形结合思想应用．
21. 某校准备购进一批篮球和足球供训练使用，若购买7个篮球和9个足球共需花费2190元；若购买10个篮球和8个足球共需花费2400元，
（1）求篮球和足球的单价各是多少元？
（2）现学校拟购买篮球和足球共100个，且篮球的数量不少于足球数量的，问：最多需花费多少元？
【答案】（1）一个篮球的售价是120元，一个足球的售价是150元
（2）最多需花费13860元．
【解析】
【分析】（1）设一个篮球和一个足球的售价各是x元、y元，根据题意列出相应的二元一次方程组，从而可以解答本题；
（2）设购进足球a个，则购进篮球个，总花费为w，根据题意列出相应的不等式和一次函数，然后根据一次函数的性质解答本题．
【小问1详解】
设一个篮球和一个足球的售价各是x元、y元，
根据题意得：，
得：．
答：一个篮球的售价是120元，一个足球的售价是150元．
【小问2详解】
设购进足球a个，则购进篮球个，总花费为w，
根据题意可得，，
解得，，
∵，
∵
∴w随a的增大而增大，
∴当时，w取得最大值，即（元）．
∴最多需花费13860元．
【点睛】本题考查一元一次不等式的应用、二元一次方程组的应用，一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，列出相应的方程组和不等式，利用方程的思想和不等式的性质解答．
22. 为了鼓励更多的学生参与社区志愿者服务，甲、乙两所学校举办了志愿服务团队选拔活动．经过初选，两所学校各有名学生进入综合素质展示环节．为了了解两所学校学生的整体情况，从两校进入综合素质展示环节的学生中分别随机抽取了名学生的综合素质展示成绩分（为整数），并对数据（成绩）进行整理、描述和分析．下面给出了部分信息：
甲学校学生成绩的频数分布直方图如下图所示（数据分成组： ，，，），乙学校学生成绩的扇形统计图如下表所示（数据分成组，其中A组：，组：，组：）

（1）在各校抽取的名学生中，甲学校学生A、乙学校学生的综合素质展示成绩同为分，如果按照成绩从高到低进行排名（成绩高的排名在前），请判断A、在各自学校所抽取出来的名学生中的综合素质展示排名谁更靠前？并说明理由
（2）根据所学的知识对数据进行分析，你认为从哪个角度能更合理评估两所学校综合素质成绩的高低.请简单说明理由并作出比较
【答案】（1）乙校学生的排名靠前．理由见解析
（2）从中位数的角度推断甲学校的综合素质成绩更高，理由见解析．
【解析】
【分析】（1）根据名学生成绩的中位数进行判断即可；
（2）从中位数来进行分析即可得到结论．
【小问1详解】
解：乙校学生的排名靠前．
理由如下：甲校名学生成绩的中位数在分以上，而乙校学生成绩的中位数低于，
因此乙校学生的排名靠前．
【小问2详解】
解：根据以上信息，推断甲学校的综合素质成绩更高，理由为：与乙校相比，甲校的中位数更高，
说明甲校综合素质成绩高的学生更多，甲校80分以上为人，
乙校80分以上为人，
与乙校相比较，甲校优秀人数较多，
∴从中位数的角度推断甲学校的综合素质成绩更高．
【点睛】此题考查了频数分布直方图和扇形统计图，中位数等知识，利用中位数进行数据分析是解题的关键．
23. 如图，△中，，

（1）请仅用无刻度的直尺和圆规在△内求作点，使（保留作图痕迹，不写作法）；
（2）在（1）的条件下，延长交于点，若为中点且，求△的面积．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】（1）先作的垂直平分线，再以的中点O为圆心，为半径画圆，再以点C为圆心，为半径画圆，交于点D，连接、；
（2）由（1）易得，由直角三角形斜边中线的性质可得，证明是等边三角形，可得，根据勾股定理求出的长度，即可计算△的面积．
【小问1详解】
如图，点D即为所求，
【小问2详解】
由（1）可得，

∵，
∴，
∵为中点且，，
∴，
∵，，
∴是等边三角形，，
∵，
∴，
∴，
∴△的面积为．
【点睛】本题考查了尺规作图，勾股定理，等边三角形判定与性质，直角三角形的性质等知识，综合运用以上知识是解题的关键．
24. 如图，已知直线分别交轴、轴的正半轴于两点，直线交轴负半轴于点．

（1）求证：无论取何值，直线必过一定点；
（2）点分别为延长线上的点，且到轴的距离相等，当时，
①试证明直线与直线互相垂直；
②连接，是否为定值？若是，请求出该定值；若不是，请说明理由．
【答案】（1）见解析 （2）①见解析；②不是定值，理由见解析
【解析】
【分析】（1）由得到无论取何值，时，，则无论取何值，直线一定过定点；
（2）①先由直线分别交轴、轴的正半轴于两点，得到，，且，进一步得到，，再根据，得到，写出直线的解析式为：，并求出，从而得到，计算得到，从而证明，得到，最后根据在中，，得到，即，即可得证；
②如图，过点作轴于，过点作轴于，则，先根据点分别为延长线上的点，且到轴的距离相等，设，则，且，，，再依次证明，，，，最后计算，即可得到答案．
【小问1详解】
证明：直线，
无论取何值，时，，
无论取何值，直线一定过定点；
【小问2详解】
解：①直线分别交轴、轴的正半轴于两点，
令，则，
解得：，
令，则，且，
，，
，，
把代入直线得，，
，
，
直线的解析式为：，
令，则，
解得：，
，
，
，，
，
，
，
，
在中，，
，
即，
，
即直线与直线垂直；
②不是定值，理由如下：
如图，过点作轴于，过点作轴于，则，

点分别为延长线上的点，且到轴的距离相等，
设，则，且，，
，
，
，
，
，
，
，
,
，
，
，
，
，
，
，
，
随的变化而变化，
即不是定值．
【点睛】本题主要考查了一次函数的几何应用，求点到坐标轴的距离，相似三角形的判定与性质，熟练掌握一次函数的性质及相似三角形的判定与性质，添加适当的辅助线，采用数形结合的思想解题，是解题的关键．
25. 如图，在正方形中，为边上异于的一个动点，将正方形沿折叠，点为点的对应点，延长分别交直线于点，

（1）如图1，将正方形沿再次折叠，点恰好与点重合，
①求证：；
②连接并延长交于点，分别记△，△，正方形面积为，试探究之间的数量关系，并给出证明；
（2）如图2，连接，若正方形的边长为4，设，△ 的面积为，求关于的函数关系式
【答案】（1）①证明见详解；②；
（2）；
【分析】（1）①设，交于点，，交于点，利用折叠的性质由，求得，再由矩形的判定和性质即可证明；②由折叠的性质可得，于是和面积相等，再由平行四边形的判定和性质求得，得到以及的表达式即可解答；
（2）连接，设，则，由折叠的性质可得和，在直角中由勾股定理求得，于是可得，然后在直角和直角中利用勾股定理建立方程求得的表达式即可解答；
【小问1详解】
解：①如图设，交于点，，交于点，

由折叠的性质可知，，，，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴四边形是矩形，
∴，；
②如图过点作，交正方形的两于点，，

由正方形的性质可知，，，
∴，，
由折叠的性质可知，，
∴，
∵和等高，
∴和面积相等，
由①结论和可得四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∵，
∴；
【小问2详解】
解：如图，连接，设，则，

由折叠的性质可知，，，
直角中由勾股定理可得，
∴，
直角中由勾股定理可得，
直角中由勾股定理可得，
∴，

∵，
∴，
∴；