八年级下学期期末数学试题

这是一份八年级下学期期末数学试题，共33页。试卷主要包含了 定义新运算等内容，欢迎下载使用。
第二学期期末质量检测
八年级数学试题
注意事项：
1.本卷共4页，共25小题，满分120分，考试时限120分钟．
2.答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡指定的位置．
3.选择题必须使用铅笔在指定位置填涂：非选择题必须使用0.5厘米黑色墨水签字笔答题．不得使用铅笔或圆珠笔等笔作答，超出答题卡区域和在试卷、草稿纸上答题无效．
4.字体工整，笔迹清晰，保持答题卡的整洁．
一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分）下列各题均有四个各选答案，其中有且仅有一个答案是正确的，请用2B铅笔在答题卡上将正确的答案代号涂黑．
1. 下列二次根式中，最简二次根式是（ ）
A. B. C. D.
2. 下列运算正确的是（ ）
A. B.
C. D.
3. 菱形和矩形一定都具有的性质是（　　）
A. 对角线相等 B. 对角线互相垂直
C. 对角线互相平分 D. 对角线互相平分且相等
4. 下列各命题的逆命题成立的是（ ）
A. 全等三角形的对应角相等
B. 如果两个数相等，那么它们的绝对值相等
C. 两直线平行，同位角相等
D. 如果两个角都是直角，那么这两个角相等
5. 某班有50人，一次体能测试后，老师对测试成绩进行了统计．由于小刚没有参加本次集体测试，因此计算其他49人平均分为90分，方差．后来小刚进行了补测，成绩为90分，关于该班50人的测试成绩，下列说法正确的是（ ）
A. 平均分不变，方差变大 B. 平均分不变，方差变小
C. 平均分和方差都不变 D. 平均分和方差都改变
6. 如图，在矩形中，对角线相交于点于点E．若，则边的长是（ ）

A. B. C. D. 6
7. 定义新运算：，则对于函数，下列说法正确的是（ ）
A. 该函数图像经过点 B. 该函数不经过第四象限
C. 当时， D. 随增大而减小
8. 如图，已知直线与相交于点A，则根据图中信息判断不等式解集为（ ）

A. B. C. D.
9. 如图1，点从菱形的顶点A出发，沿以的速度匀速运动到点B，图2是点运动时，的面积随时间变化的关系图象，则的值为（ ）

A. 3 B. 5 C. D.
10. 如图，直线分别与轴、轴交于点，点在线段上，线段沿翻折，点O落在边上点D处．以下结论：①；②直线的解析式为；③点；④若线段上存在一点，使得以点为顶点的四边形为菱形，则点的坐标是．其中正确的结论是（ ）

A ①② B. ①②③ C. ①③④ D. ①②④
二、填空题（本题有6个小题，每小题3分，共18分）
11. 二次根式在实数范围内有意义，则x的取值范围为___．
12. 已知一组从小到大排列的数据：2，5，x，y，2x，11的平均数与中位数都是7，则这组数据的众数是_____．
13. 如图，在菱形ABCD中，AB的垂直平分线交对角线BD于点F，垂足为点E，连接AF、AC，若∠DCB＝80°，则∠FAC＝______．

14. 若点在一次函数的图象上，则代数式的值是________．
15. 如图，在矩形内画了一些直线，已知，，四边形的面积分别是12，32，96，那么图中阴影部分的面积是________．

16. 如图，平面内三点，，，，，以为对角线作正方形，连接，则的最大值是______．

三、解答题（本题有9个小题，共72分）
17. 计算：
18. 如图，平行四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，E、F分别是OA，OC的中点，连接BE、DF，求证：BE∥DF．

19. 同学们都玩过荡秋千吧？如图，已知秋千顶端离地面的距离为，秋千静止时座位离地面的距离是．当秋千荡到最高处，此时座位离地面的距离恰为．试求出秋千荡出的水平距离的长．

20. 2022年10月，中共中央胜利召开了第二十次全国代表大会，我县组织全体学生开展了“学习二十大、争做好队员”的主题阅读活动，受到了各校的广泛关注和同学们的积极响应．某校为了解同学们的阅读情况，随机抽查了部分学生的在某一周的主题阅读文章的篇数，并制成了如图所示的统计图．
某校抽查的学生阅读篇数统计表
文章阅读篇数
4
5
6
7
人数
8
m
20
4
某校抽查的学生阅读人数统计

请根据统计图表中的信息，解答下列问题：
（1）被抽查的学生人数是 人， ；
（2）本次抽查的学生阅读篇数的中位数是 ，众数是 ；
（3）求本次抽查的学生平均每人阅读的篇数；
（4）若该校共有学生1000人，请估计该校学生在本周内阅读篇数为4篇的人数．
21. 如图，在中，，点D是BC的中点，连接．分别以点为圆心，的长为半径在外画弧，两弧交于点，连接，过点作于点．

（1）求证：四边形为菱形；
（2）若，求的长．
22. 如图，一次函数图象过点，与正比例函数的图象交于点A，过点A作轴于点．

（1）求的面积；
（2）若点在轴上，且，求线段的长度．
23. 今年的4月23日是世界第27个读书日，为培养学生的阅读兴趣，某校准备购进甲、乙两种图书．经调查，甲种图书费用元与购进本数之间的函数关系如图所示，乙种图书每本25元．

（1）求与之间的函数关系式；
（2）现学校准备购进400本图书，且两种图书均不少于100本，如何购买，才能使总费用最少？最少总费用多少元？
24. 正方形，点分别在上，与相交于点O．

（1）如图1，，求证：；
（2）如图2，平移图1中线段，使点与点重合，点在延长线上，连接，取的中点，连接，试探究线段和的数量关系并证明你的结论；
（3）如图3，，边长，则的长为________（直接写出结果）．
25. 如图1所示，直线与轴、轴分别交于B、C两点，点A为轴正半轴上一点，且．

（1）请直接写出点B、C的坐标及直线的解析式；
（2）如图2所示，点是的中点，点是上一点，连接，过点作交于点，连接，若，求出点的坐标；
（3）点是直线上一点，过点作轴，交直线于点，点为轴上一点，点为平面直角坐标系内一点，当以点为顶点的四边形是正方形时，直接写出点的坐标．
第二学期期末质量检测
八年级数学试题
注意事项：
1.本卷共4页，共25小题，满分120分，考试时限120分钟．
2.答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡指定的位置．
3.选择题必须使用铅笔在指定位置填涂：非选择题必须使用0.5厘米黑色墨水签字笔答题．不得使用铅笔或圆珠笔等笔作答，超出答题卡区域和在试卷、草稿纸上答题无效．
4.字体工整，笔迹清晰，保持答题卡的整洁．
一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分）下列各题均有四个各选答案，其中有且仅有一个答案是正确的，请用2B铅笔在答题卡上将正确的答案代号涂黑．
1. 下列二次根式中，最简二次根式是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据最简二次根式的定义进行求解即可：被开方数不含能开的尽的因数或因式；被开方数的因数是整数，因式是整式
【详解】解：A、，不是最简二次根式，不符合题意；
B、，是最简二次根式，符合题意；
C、，不是最简二次根式，不符合题意；
D、，不是最简二次根式，不符合题意；
故选B．
【点睛】本题主要考查了最简二次根式，熟知最简二次根式的定义是解题的关键．
2. 下列运算正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据二次根式的加减法法则，乘除法法则计算并依次判断．
【详解】解：A选项： 与不能合并，故A选项不符合题意；
B选项：，故B选项不符合题意；
C选项：原式 ==，故C选项符合题意；
D选项：原式 =，故D选项不符合题意．
故选：C．
【点睛】此题考查二次根式的运算，掌握二次根式的加减法法则，乘除法法则是解题的关键．
3. 菱形和矩形一定都具有的性质是（　　）
A. 对角线相等 B. 对角线互相垂直
C. 对角线互相平分 D. 对角线互相平分且相等
【答案】C
【解析】
【分析】菱形的对角线互相垂直且平分，矩形的对角线相等且平分．菱形和矩形一定都具有的性质是对角线互相平分．
【详解】解：菱形的对角线互相垂直且平分，矩形的对角线相等且平分．
菱形和矩形一定都具有的性质是对角线互相平分．
故选C．
【点睛】本题考查了菱形及矩形的性质,熟知菱形和矩形的对角线的性质是解决本题的关键．
4. 下列各命题逆命题成立的是（ ）
A. 全等三角形的对应角相等
B. 如果两个数相等，那么它们的绝对值相等
C. 两直线平行，同位角相等
D. 如果两个角都是直角，那么这两个角相等
【答案】C
【解析】
【分析】首先写出各个命题的逆命题，再进一步判断真假．
【详解】解：A、逆命题是：三个角对应相等的两个三角形全等，错误，不符合题意；
B、逆命题是：绝对值相等的两个数相等，错误，不符合题意；
C、逆命题是：同位角相等，两条直线平行，正确，符合题意；
D、逆命题是：相等的两个角都是直角，错误，不符合题意．
故选：C．
【点睛】本题考查了逆命题，解题的关键是写出各个命题的逆命题，条件和结论换位置，再进一步判断真假．
5. 某班有50人，一次体能测试后，老师对测试成绩进行了统计．由于小刚没有参加本次集体测试，因此计算其他49人的平均分为90分，方差．后来小刚进行了补测，成绩为90分，关于该班50人的测试成绩，下列说法正确的是（ ）
A. 平均分不变，方差变大 B. 平均分不变，方差变小
C. 平均分和方差都不变 D. 平均分和方差都改变
【答案】B
【解析】
【分析】根据平均数，方差的定义计算即可．
【详解】解：小刚的成绩和其他49人的平均成绩相同，都是90分，
该班50人的测试成绩的平均分为90分，平均分不变
新数据的每个数据与平均数差的平方和保持不变，而总人数在原数据的基础上增加1
新数据方差变小．
故选：B
【点睛】本题考查方差，算术平均数等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
6. 如图，在矩形中，对角线相交于点于点E．若，则边的长是（ ）

A. B. C. D. 6
【答案】C
【解析】
【分析】根据，得出，，求出，证明垂直平分，得出，根据勾股定理求出．
【详解】解：∵，
∴，，
∵矩形，
∴，，，，
∴，
∴
∵，
∴垂直平分，
∴，
∴，故C正确．
故选：C．
【点睛】本题考查了矩形的性质，垂直平分线判定和性质，勾股定理，解题的关键是证明垂直平分，得出．
7. 定义新运算：，则对于函数，下列说法正确的是（ ）
A. 该函数图像经过点 B. 该函数不经过第四象限
C. 当时， D. 随增大而减小
【答案】D
【解析】
【分析】根据新运算“”的运算方法，得出与的函数关系式，再根据函数关系式逐一判断即可．
【详解】解：，
．
A．当时，，所以该函数图像不经过点，故本选项不符合题意；
B．该函数图象经过第一、二、四象限，故本选项不符合题意；
C．当时，，故本选项不符合题意；
D．∵，∴随增大而减小，故本选项符合题意；
故选：D．
【点睛】本题考查了函数的图象以及一次函数，读懂题目信息，理解新运算的运算方法是解题的关键．
8. 如图，已知直线与相交于点A，则根据图中信息判断不等式的解集为（ ）

A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】不等式的解集即为一次函数图象在一次函数图象上方或交点处的自变量的取值范围，据此求解即可．
【详解】解：由题意得，不等式的解集为，故C正确．
故选：C．
【点睛】本题主要考查了根据两直线交点确定不等式的解集，利用数形结合的思想求解是解题的关键．
9. 如图1，点从菱形的顶点A出发，沿以的速度匀速运动到点B，图2是点运动时，的面积随时间变化的关系图象，则的值为（ ）

A. 3 B. 5 C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】通过分析图象，点从点A到用，此时，的面积为，依此可求菱形的高，再由图象可知，应用两次勾股定理分别求和的值即可．
【详解】解：如下图，过点作于点，

由图象可知，点由点A到点用时为，的面积为，
∴，
∴，即，
∴，
当点从到时，用时，
∴，
在中，，
∵四边形是菱形，
∴，
在中，可有，
即，
解得．
故选：B．
【点睛】本题主要考查了菱形性质和函数图象、勾股定理，理解函数图象变化与动点位置之间的关系是解题的关键．
10. 如图，直线分别与轴、轴交于点，点在线段上，线段沿翻折，点O落在边上的点D处．以下结论：①；②直线的解析式为；③点；④若线段上存在一点，使得以点为顶点的四边形为菱形，则点的坐标是．其中正确的结论是（ ）

A. ①② B. ①②③ C. ①③④ D. ①②④
【答案】A
【解析】
【分析】①先求出点A，点B坐标，由勾股定理可求的长，可判断①；
②由折叠的性质可得，，，由勾股定理可求的长，可得点坐标，利用待定系数法可求解析式，可判断②；
③由面积公式可求的长，代入解析式可求点坐标，可判断③；
④由菱形的性质可得，可得点纵坐标为，可判断④，即可求解．
【详解】解：直线分别与、轴交于点A、B，
点，点，
，，
，故①正确；
线段沿翻折，点落在边上的点处，
，，，
，
，
，
，
点，
设直线解析式为：，
，
，
直线解析式为：，故②正确；
如图，过点作于，

，
，
，
，
当时，，
，
点，故③错误；
线段上存在一点，使得以点、、、为顶点的四边形为菱形，且，
∴，
点纵坐标为，
把代入得：，
解得：，
即点P的坐标为，故④错误；
综上分析可知，正确的结论为①②，故A正确．
故选：A．
【点睛】本题是一次函数综合题，考查了利用待定系数法求解析式，折叠的性质，等积法，勾股定理等知识，灵活运用这些性质解决问题是本题的关键．
二、填空题（本题有6个小题，每小题3分，共18分）
11. 二次根式在实数范围内有意义，则x的取值范围为___．
【答案】x≥﹣．
【解析】
【分析】先根据二次根式有意义的条件列出关于x的不等式，求出x的取值范围即可．
【详解】由于二次根式在实数范围内有意义，所以2x+1≥0，即：x≥﹣．
故答案是x≥﹣．
12. 已知一组从小到大排列的数据：2，5，x，y，2x，11的平均数与中位数都是7，则这组数据的众数是_____．
【答案】5
【解析】
【详解】【分析】抓住平均数和中位数都是7，可以列出（2+5+x+y+2x+11）=（x+y）=7，解方程得.
【详解】∵一组从小到大排列的数据：2，5，x，y，2x，11的平均数与中位数都是7，
∴（2+5+x+y+2x+11）=（x+y）=7，
解得y=9，x=5，
∴这组数据的众数是5．
故正确答案为：5.
【点睛】本题考核知识点：平均数、中位数. 解题关键：抓住题中涉及的数量关系，列出相关式子.
13. 如图，在菱形ABCD中，AB的垂直平分线交对角线BD于点F，垂足为点E，连接AF、AC，若∠DCB＝80°，则∠FAC＝______．

【答案】10°##10度
【解析】
【分析】由是线段AB的垂直平分线得到AF=BF，继而证明，由菱形的性质结合等腰三角形的性质解得，最后由解答．
【详解】解：是线段AB的垂直平分线，
，
，
四边形ABCD是菱形，∠DCB＝80°，
，
，
，
，
，
故答案：10°．
【点睛】本题考查菱形的性质、等腰三角形的性质、线段垂直平分线的性质、直角三角形的性质等知识，掌握相关知识是解题关键．
14. 若点在一次函数的图象上，则代数式的值是________．
【答案】
【解析】
【分析】把代入中得到，再把整体代入所求式子中求解即可．
【详解】解：∵点在一次函数的图象上，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了一次函数图象上点的坐标特点，代数式求值，熟知一次函数图象上的点的横纵坐标一定满足对应的一次函数解析式是解题的关键．
15. 如图，在矩形内画了一些直线，已知，，四边形的面积分别是12，32，96，那么图中阴影部分的面积是________．

【答案】52
【解析】
【分析】设矩形的面积为S，则，由图形可知，，从而得到阴影部分的面积．
【详解】解：设矩形的面积为S，作，，如图所示：

∵， ，
又∵四边形为矩形
∴，，
则，
∴，
∴，
∴，
．
故答案为：52．
【点睛】本题考查阴影部分的面积，分析整体和部分的和差关系，利用相加、相减的方法是常用的方法．
16. 如图，平面内三点，，，，，以为对角线作正方形，连接，则的最大值是______．

【答案】
【解析】
【分析】将绕点顺时针旋转得到，连接，由旋转性质可知，，，由此可得是等腰直角三角形，则，由此可得当的值最大时，的值最大，利用三角形的三边关系求出的最大值即可解决问题．
【详解】解：如图，将绕点D顺时针旋转得到，连接，
则，
∴是等腰直角三角形，，
∴(舍负)，
∴当的值最大时，的值最大，
∵， ，，
∴，（A、C、M三点共线时取等号）
∴的最大值为，
∴的最大值为．
故答案为：．

【点睛】本题考查了正方形的性质，旋转的性质，勾股定理的应用，三角形的三边关系等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，用转化的思想解决问题．
三、解答题（本题有9个小题，共72分）
17. 计算：
【答案】
【解析】
【分析】根据二次根式混合运算法则，绝对值的意义，零指数幂运算法则，进行计算即可．
【详解】解：


．
【点睛】本题主要考查了实数混合运算，解题的关键是熟练掌握二次根式混合运算法则，绝对值的意义，零指数幂运算法则，准确计算．
18. 如图，平行四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，E、F分别是OA，OC的中点，连接BE、DF，求证：BE∥DF．

【答案】见解析
【解析】
【分析】由平行四边形的性质对角线互相平分得出OA=OC，OB=OD，利用中点的意义得出OE=OF，从而利用平行四边形的判定定理“对角线互相平分的四边形是平行四边形”判定BFDE是平行四边形，从而得出BE∥DF．
【详解】连接BF、DE，如图所示：

∵四边形ABCD是平行四边形
∴OA=OC，OB=OD
∵E、F分别是OA、OC的中点
∴OE=OA，OF=OC
∴OE=OF
∴四边形BFDE是平行四边形
∴BE∥DF
【点睛】考查了平行四边形的基本性质和判定定理的运用．性质：①平行四边形两组对边分别平行；②平行四边形的两组对边分别相等；③平行四边形的两组对角分别相等；④平行四边形的对角线互相平分．判定：①两组对边分别平行的四边形是平行四边形；②两组对边分别相等的四边形是平行四边形；③两组对角分别相等的四边形是平行四边形；④对角线互相平分的四边形是平行四边形；⑤一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．
19. 同学们都玩过荡秋千吧？如图，已知秋千顶端离地面的距离为，秋千静止时座位离地面的距离是．当秋千荡到最高处，此时座位离地面的距离恰为．试求出秋千荡出的水平距离的长．

【答案】秋千荡出的水平距离的长为
【解析】
【分析】根据题意求出，，根据勾股定理求出即可．
【详解】解：根据题意得：，，，
∴，，
∴，，
∵，
∴．
答：秋千荡出的水平距离的长为．
【点睛】本题主要考查了勾股定理的应用，解题的关键是理解题意，数形结合求出，，
20. 2022年10月，中共中央胜利召开了第二十次全国代表大会，我县组织全体学生开展了“学习二十大、争做好队员”的主题阅读活动，受到了各校的广泛关注和同学们的积极响应．某校为了解同学们的阅读情况，随机抽查了部分学生的在某一周的主题阅读文章的篇数，并制成了如图所示的统计图．
某校抽查的学生阅读篇数统计表
文章阅读篇数
4
5
6
7
人数
8
m
20
4
某校抽查的学生阅读人数统计

请根据统计图表中的信息，解答下列问题：
（1）被抽查的学生人数是 人， ；
（2）本次抽查的学生阅读篇数的中位数是 ，众数是 ；
（3）求本次抽查的学生平均每人阅读的篇数；
（4）若该校共有学生1000人，请估计该校学生在本周内阅读篇数为4篇的人数．
【答案】（1）50，18
（2）5，6 （3）本次抽查的学生平均每人阅读的篇数为篇；
（4）估计该校学生在这一周内文章阅读的篇数为4篇的有160人．
【解析】
【分析】（1）从统计图表可得，“阅读篇数为6篇”的有20人，占调查人数的，可求出调查人数；进而可求出阅读篇数为5篇的人数，即m的值；
（2）根据众数、中位数的意义，分别求出即可；
（3）根据加权平均数计算即可求解；
（4）先计算阅读4篇的学生人数占抽查学生的百分比，利用学生总数该项占的百分比计算即可．
【小问1详解】
解：（人），
，
答：被抽查的学生人数50人，m的值为18；
故答案为：50，18；
【小问2详解】
解：将学生阅读篇数从小到大排列处在第25、26位都是5，因此中位数是5，
学生阅读文章篇数出现次数最多的是6，出现20次，因此众数是6；
故答案为：5，6；
【小问3详解】
解：本次抽查的学生平均每人阅读的篇数为(篇)；
【小问4详解】
解：（人），
答：估计该校学生在这一周内文章阅读的篇数为4篇的有160人．
【点睛】本题考查了扇形统计图、中位数和众数、用样本估计总体等知识点．理解和应用图表是解决本题的关键．
21. 如图，在中，，点D是BC的中点，连接．分别以点为圆心，的长为半径在外画弧，两弧交于点，连接，过点作于点．

（1）求证：四边形为菱形；
（2）若，求的长．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】（1）根据直角三角形斜边中线定理得，进而证得四边形的四边相等，即可得出结论．
（2）如图，过点作垂直于点，根据菱形面积证得，再由直角三角形面积得，求出，即可得出答案．
【小问1详解】
证明：在中，，点D是BC的中点，
，
又，
，
四边形为菱形．
【小问2详解】
解：如图，过点作垂直于点 ，

四边形为菱形，
，
，
，
在中，，
，
，
．
【点睛】本题主要考查了菱形的判定与性质，直角三角形斜边中线定理及勾股定理解三角形，掌握菱形的判定与性质，直角三角形斜边中线定理及作辅助线是解题关键．
22. 如图，一次函数的图象过点，与正比例函数的图象交于点A，过点A作轴于点．

（1）求的面积；
（2）若点在轴上，且，求线段的长度．
【答案】（1）
（2）的长为或
【解析】
【分析】（1）把点M的坐标代入求出k的值，得出一次函数解析式为，联立，求出点，得出，根据三角形面积公式求出结果即可；
（2）根据点在轴上，且，得出点P的坐标为：或，根据两点间距离公式求出结果即可．
【小问1详解】
解：∵一次函数的图象过点，
∴，
解得：，
∴一次函数解析式为，
联立，
解得：，
∴点，
∴，
∵，
∴．
【小问2详解】
解：∵点在轴上，且，
∴，
∴点P的坐标为：或，
当点P的坐标为时，；
当点P的坐标为时，；
综上分析可知，的长为或．
【点睛】本题主要考查了两点间距离公式，求直线围成的三角形面积，两条直线的交点坐标，求出一次函数解析式，解题的关键是数形结合，求出点A的坐标．
23. 今年的4月23日是世界第27个读书日，为培养学生的阅读兴趣，某校准备购进甲、乙两种图书．经调查，甲种图书费用元与购进本数之间的函数关系如图所示，乙种图书每本25元．

（1）求与之间的函数关系式；
（2）现学校准备购进400本图书，且两种图书均不少于100本，如何购买，才能使总费用最少？最少总费用多少元？
【答案】（1）与之间的函数关系式为：
（2）当甲图书购买300本，乙图书购买100本时，费用最少，最少费用8500元
【解析】
【分析】（1）根据图像，再利用待定系数法求解析式，即可得出函数关系式；
（2）设购进甲种图书本，购进乙种图书本，总费用为，根据（1）中的关系式和总费用=购进甲种图书的费用+购进乙种图书的费用，列出关系式，再根据一次函数的性质，即可得出结论．
【小问1详解】
解：当时，设，
把代入，可得：，
则函数关系式为：，
当时，设，
把和代入得，解得，
则函数关系式为：，
∴与之间的函数关系式为：．
【小问2详解】
解：设购进甲种图书本，购进乙种图书本，总费用为，
∵两种图书均不少于100本，
∴可得：，
∴由题意，可得：，
∵，
∴随的增大而减小，
∴当时，最小，，
∴当甲图书购买300本，乙图书购买100本时，费用最少，最少费用为8500元．
【点睛】本题考查了一次函数图像，一次函数的实际应用，解本题的关键在利用待定系数法求解析式和熟练掌握一次函数的性质．
24. 正方形，点分别在上，与相交于点O．

（1）如图1，，求证：；
（2）如图2，平移图1中线段，使点与点重合，点在延长线上，连接，取的中点，连接，试探究线段和的数量关系并证明你的结论；
（3）如图3，，边长，则的长为________（直接写出结果）．
【答案】（1）见解析 （2）；理由见解析
（3）
【解析】
【分析】（1）作平行四边形，则，，，通过证得，即可证得结论；
（2）在上截取一点，使得，连接，则是等腰直角三角形，再证明是三角形的中位线即可解决问；
（3）过点作交于点，则四边形是平行四边形，得出，，根据勾股定理求得，进而求得，作，交延长线于，通过证，证得，，，继而证得，证得，从而证得，设则，根据勾股定理求得，进一步根据勾股定理求得．
【小问1详解】
证明：作平行四边形，则，，，如图，

∴，
∴，
∵四边形为正方形，
∴，，
∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴
∴；
【小问2详解】
解：；理由如下：
在上截取一点，使得，连接，则是等腰直角三角形，，

根据解析（1）可知，，
∴，
，，
∴，
∵，
∴，
∴，
即．
【小问3详解】
解：过点作交于点，

∵四边形为正方形，
∴，
∴四边形是平行四边形，
∴，，
∵，，，
∴，
∴，

作，交延长线于，
在和中，
，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
即，
设，则，
在中，，
解得，
∴．
即的值为．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，三角形中位线定理、勾股定理的应用，作出辅助线构建全等三角形是解题的关键，属于中考压轴题．
25. 如图1所示，直线与轴、轴分别交于B、C两点，点A为轴正半轴上一点，且．

（1）请直接写出点B、C的坐标及直线的解析式；
（2）如图2所示，点是的中点，点是上一点，连接，过点作交于点，连接，若，求出点的坐标；
（3）点是直线上一点，过点作轴，交直线于点，点为轴上一点，点为平面直角坐标系内一点，当以点为顶点的四边形是正方形时，直接写出点的坐标．
【答案】（1），，
（2）
（3）或
【解析】
【分析】（1）令，，求得、两点坐标，设直线的解析式是，将、两点坐标代入即可；
（2）连接，，射线上截取，可推得，从而，根据，从而得出，从而推出，进而列出方程，求得点坐标．
（3）设，则，所以，当点为顶点的四边形是正方形时，则，所以有，解之即可求出x值，从而求解．
【小问1详解】
解：当时，
，
，
，
当时，，
，
，
，
，
，
，
设直线的解析式是：，
，
，
；
【小问2详解】
解：如图2，

连接，，在射线上截取，
，
∴垂直平分，
，
，，
，
，
点、、、共圆，
，
在中，，点是的中点，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
设，
，


，
在中，

，
，
，
．
【小问3详解】
解：设，
∵轴，
∴，
∴
当点为顶点的四边形是正方形时，如图，

则
∴
∴或，
解得或
当时，，
∴，
当时，，
∴，
∴当以点为顶点的四边形是正方形时，点的坐标为或．