八年级下学期期末数学试题

这是一份八年级下学期期末数学试题，共28页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
第二学期
八年级期末考试试题卷·数学
总分120分 时量150分钟
一、单选题（10×3＝30分）
1. 下列各图中表示是的函数图像的是（ ）
A. B. C. D.
2. 一元二次方程的二次项系数、一次项系数和常数项分别是（ ）
A. 1，4，5 B. 0，， C. 1，，5 D. 1，，
3. 某校八年级进行了三次1000米跑步测试，甲、乙、丙、丁四名同学成绩的方差分别为，，，，那么这四名同学成绩最稳定的是（ ）
A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁
4. 如图，在平行四边形中，若，则的度数为（ ）

A. B. C. D.
5. 下列各组数中，能构成勾股数的是（　　）
A. 1，1， B. 1，，2 C. 6，8，10 D. 5，12，15
6. 已知m是方程的一个根，则代数式的值为（　　）
A. 0 B. 2 C. ﹣2 D. 4
7. 下列命题是真命题的是（ ）
A. 对角线相等且互相平分的四边形是矩形 B. 对角线相等的四边形是矩形
C. 平行四边形的对角线互相垂直 D. 对角线互相垂直的四边形是菱形
8. 我国古代数学家杨辉的《田亩比数乘除减法》中记载：“直田积八百六十四步，只云阔不及长一十二步，问阔及长各几步？”翻译成数学问题是：一块矩形田地的面积为864平方步，它的宽比长少12步．如果设宽为x步，则可列出方程（ ）
A. B.
C. D.
9. 如图，△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝3，将△ADE沿DE翻折，使点A与点B重合，则AE长为（ ）

A. B. 3 C. D.
10. 已知，一次函数和的图像交于点，且直线交轴于点．则的解集（ ）．

A. B. C. D.
二、填空题（6×3＝18分）
11 已知正比例函数图像经过二、四象限，则k______0．
12. 若方程是关于x的一元二次方程，则m等于_______．
13. 把直线向上平移2个单位，得到的直线解析式为______．
14. 如图，已知正方形ABCD，E是AD上一点，过BE上一点O作BE的垂线，交AB于点G，交CD于点H．BE＝6，则GH＝_____．

15. 如图，在菱形中，对角线相交于点，，，点是的中点，连接，则的长度为________．

16. 一次函数的图象交轴、轴分别于点，，点，分别是，的中点，是上一动点．当周长最小时，点的坐标为______．

三、解答题（6＋6＋6＋8＋8＋9＋9＋10＋10＝72分）
17. 解方程：．
18. 如图，台风过后，一希望小学的旗杆在离地某处断裂，旗杆顶部落在离旗杆底部米处，已知旗杆原长米，你能求出旗杆在离底部多少米的位置断裂吗？若能，请写出计算过程；若不能，请说明理由．

19. 已知一次函数的图象经过A（-1，3）和B（3，-1）两点．
（1）求这个一次函数的表达式；
（2）求直线AB与坐标轴的交点坐标．
20. 为了了解学生对“新冠疫情防护知识”的应知应会程度，某校随机选取了20名学生“新冠疫情防护知识”的测评成绩，数据如表：
成绩/分
88
89
90
91
95
96
97
98
99
学生人数
2
1

3
2
1
3
2
1

数据表中有一个数因模糊不清用字母表示．
（1）试确定的值及测评成绩的中位数，_________，___________；
（2）记测评成绩为，学校规定：时，成绩为合格；时，成绩为良好；时，成绩为优秀.求扇形统计图中和的值，__________，__________；
（3）在（2）的条件下，若全校共800人，求全校良好及以上的学生人数．
21. 已知关于x的一元二次方程．
（1）若此方程有两个不相等实数根，，求m的取值范围；
（2）若此方程的两根互为倒数，求的值．
22. 如图，四边形的对角线，相交于点，其中，，，为上一点，连接，．

（1）求证：四边形是矩形；
（2）若平分，且，求的度数．
23. 商场某种商品平均每天可销售30件，每件盈利50元，为了618年中大促，商场决定采取适当的降价措施．经调查发现，每件商品每降价1元，商场平均每天可多售出2件．
（1）若某天该商品每件降价3元，当天可获利多少元？
（2）为了减少库存，又要使商场日盈利达到2000元，则每件商品应降价多少元？
24. 在平面直角坐标系xOy中，点P坐标为，点Q的坐标为，且，，若P，Q为某正方形的两个顶点，且该正方形的边均与某条坐标轴平行（含重合），则称P，Q互为“正方形点”（即点P是点Q的“正方形点”，点Q也是点P的“正方形点”）．下图是点P，Q互为“正方形点”的示意图.

已知点A的坐标是（2，3），下列坐标中，与点A互为“正方形点”的坐标是 .（填序号）
①（1，2）；②（-1，5）；③（3，2）.
（2）若点B（1，2）的“正方形点”C在y轴上，求直线BC的表达式；
（3）点D的坐标为（-1，0），点M的坐标为（2，m），点N是线段OD上一动点（含端点），若点M，N互为“正方形点”，求m的取值范围.
25. 已知矩形中，，，点P是边的中点．

（1）如图1，连接并延长，与延长线交干点F，问：线段上是否存在点Q，使得是以为腰的等腰三角形，若存在，请直接写出的长，若不存在，请说明理由．
（2）①如图2，把矩形沿直线折叠，使点B落在点D上，直线与的交点分别为M、H、N，求折痕的长．
②如图3：在①的条件下，以点A为原点、分别以矩形的两条边所在的直线为x轴和y轴建立平面直角坐标系，若点R在x轴上，在平面内是否存在点S，使以R、M、N、S为顶点的四边形是菱形？若存在，请求出点S的坐标；若不存在，请说明理由．
（3）如图4：若点E为边上的一个动点，连结，以为边向下方作等边，连结，则的最小值是______．（请直接写出答案）




第二学期
八年级期末考试试题卷·数学
总分120分 时量150分钟
一、单选题（10×3＝30分）
1. 下列各图中表示是的函数图像的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】由题意是的函数依据函数的概念可知对于的每一个确定的值，都有唯一的值与其对应，以此进行分析判断即可．
【详解】解：A、C、D选项中的图象，对每一个确定的的值，有两个值与之对应，所以不是函数图象；B选项中的图象，都有唯一确定的值与之对应，所以是函数图象，如图，

故选：B．
【点睛】本题主要考查函数的概念，注意掌握函数的定义：设在一个变化过程中有两个变量与，对于的每一个确定的值，都有唯一的值与其对应，那么就说是的函数，是自变量．
2. 一元二次方程的二次项系数、一次项系数和常数项分别是（ ）
A. 1，4，5 B. 0，， C. 1，，5 D. 1，，
【答案】D
【解析】
【分析】根据一元二次方程的基本概念去判断确定．
【详解】解：∵一元二次方程，
∴二次项系数、一次项系数和常数项分别为2，，
故选：D．
【点睛】本题考查了一元二次方程的一般形式及其概念，熟练掌握一般形式是解题的关键．
3. 某校八年级进行了三次1000米跑步测试，甲、乙、丙、丁四名同学成绩的方差分别为，，，，那么这四名同学成绩最稳定的是（ ）
A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁
【答案】A
【解析】
【分析】比较方差的大小，方差越小成绩越稳定，据此求解即可．
【详解】解：∵，，，，
∴，
∴这四名同学成绩最稳定的是甲．
故选：A．
【点睛】本题主要考查方差，解题的关键是掌握方差是反映一组数据的波动大小的一个量．方差越大，则平均值的离散程度越大，稳定性也越小；反之，则它与其平均值的离散程度越小，稳定性越好．
4. 如图，在平行四边形中，若，则的度数为（ ）

A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据平行四边形的性质得出，将代入求出即可解决问题．
【详解】解：∵四边形是平行四边形，
∴，，
∴，
把代入得：，
∴，
∴，故A正确．
故选：A．
【点睛】本题主要考查了平行四边形性质，平行线性质，熟练掌握平行四边形的性质是解此题的关键．
5. 下列各组数中，能构成勾股数的是（　　）
A. 1，1， B. 1，，2 C. 6，8，10 D. 5，12，15
【答案】C
【解析】
【分析】根据勾股数的定义进行逐一判定即可：凡是可以构成一个直角三角形三边的一组正整数，称之为勾股数．
【详解】解：A、∵不是正整数，
∴这一组数不能构成勾股数，不符合题意；
B、∵不是正整数，
∴这一组数不能构成勾股数，不符合题意；
C、∵，
∴这一组数能构成勾股数，符合题意；
D、∵ ，
∴这一组数不能构成勾股数，不符合题意；
故选C．
【点睛】本题考查了勾股数，解题的关键是掌握勾股数的概念．
6. 已知m是方程的一个根，则代数式的值为（　　）
A. 0 B. 2 C. ﹣2 D. 4
【答案】B
【解析】
【分析】根据一元二次方程的解的定义得到，再把表示为，然后利用整体代入的方法计算．
【详解】解：∵m是方程的一个根，
∴，
∴，
∴，
故选：B．
【点睛】本题考查了代数式求值、一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．
7. 下列命题是真命题的是（ ）
A. 对角线相等且互相平分的四边形是矩形 B. 对角线相等的四边形是矩形
C. 平行四边形的对角线互相垂直 D. 对角线互相垂直的四边形是菱形
【答案】A
【解析】
【分析】根据菱形的判定方法，矩形的判定方法以及平行四边形的性质对各选项分析判断即可得解．
【详解】解：A、对角线相等且互相平分的四边形是矩形，故本项是真命题；
B、对角线相等的平行四边形是矩形，故本项是假命题；
C、平行四边形的对角线互相平分，故本项是假命题；
D、对角线互相垂直的平行四边形是菱形，故本项是假命题；
故选：A．
【点睛】本题主要考查命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题，熟练掌握菱形，矩形以及平行四边形的判定和性质是解题的关键．
8. 我国古代数学家杨辉的《田亩比数乘除减法》中记载：“直田积八百六十四步，只云阔不及长一十二步，问阔及长各几步？”翻译成数学问题是：一块矩形田地的面积为864平方步，它的宽比长少12步．如果设宽为x步，则可列出方程（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】设宽为x步，则长为步，然后根据长方形面积公式列出方程即可．
【详解】解：设宽x步，则长为步，
由题意得，，
故选：D．
【点睛】本题主要考查了从实际问题中抽象出一元二次方程，正确理解题意找到等量关系是解题的关键．
9. 如图，△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝3，将△ADE沿DE翻折，使点A与点B重合，则AE的长为（ ）

A. B. 3 C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】先利用折叠的性质得到，设，则，，在中，根据勾股定理可得到，求解即可．
【详解】解：∵沿DE翻折，使点A与点B重合，
∴，
∴，
设，则，，
在中，
∵，
∴，
解得，
∴，
故选：D．
【点睛】本题考查了折叠的性质及勾股定理的应用，理解题意，熟练掌握勾股定理解三角形是解题关键．
10. 已知，一次函数和的图像交于点，且直线交轴于点．则的解集（ ）．

A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】要求说明两个函数必须在x上方，且在的上方，根据函数图像可直接解答．
【详解】解：由图可知：的解集为：．
故选：A．
【点睛】本题主要考查一次函数与不等式的关系，从个函数的大小关系可以从交点处分开分别观察、确定不等式解集是解答本题的关键．
二、填空题（6×3＝18分）
11. 已知正比例函数图像经过二、四象限，则k______0．
【答案】

【解析】
【分析】对于正比例函数，当时，函数图象经过一、三象限；当 时，函数图象经过二、四象限；由此判断即可．
【详解】解：∵正比例函数图象经过二、四象限，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查正比例函数图象的性质，理解正比函数图象的性质与比例系数之间的关系是解题关键．
12. 若方程是关于x的一元二次方程，则m等于_______．
【答案】
【解析】
【分析】根据一元二次方程的定义进行求解即可．
【详解】解：∵方程是关于x的一元二次方程，
∴，
解得，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了一元二次方程的定义，熟知定义是解题的关键：一般地，形如（a、b、c是常数，）的方程叫做一元二次方程．
13. 把直线向上平移2个单位，得到的直线解析式为______．
【答案】##
【解析】
【分析】根据左加右减，上加下减的平移规律进行求解即可．
【详解】解：把直线向上平移2个单位，得到的直线解析式为，即，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了一次函数图象的平移问题，熟知一次函数图象的平移规律是解题的关键．
14. 如图，已知正方形ABCD，E是AD上一点，过BE上一点O作BE的垂线，交AB于点G，交CD于点H．BE＝6，则GH＝_____．

【答案】6
【解析】
【分析】过点A作GH的平行线，交DC于点H′，交BE于点O'，证明∠BEA=∠AH′D，由AAS证得△BAE≌△ADH′，得出BE=AH′，易证四边形AH′HG是平行四边形，得出GH=AH′，即可得出结果．
【详解】解：过点A作GH的平行线，交DC于点H′，交BE于点O'，如图所示：

∵ABCD是正方形，
∴AG∥H′H，BA＝AD，∠BAE＝∠D＝90°，
∴∠H′AD+∠AH′D＝90°，
∵GH⊥BE，AH′∥GH，
∴AH′⊥BE，
∴∠H′AD+∠BEA＝90°，
∴∠BEA＝∠AH′D，
在△BAE和△ADH′中，，
∴△BAE≌△ADH′（AAS），
∴BE＝AH′，
∵AG∥H′H，AH′∥GH，
∴四边形AH′HG是平行四边形，
∴GH＝AH′，
∴GH＝BE＝6，
故答案为：6．
【点睛】本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、平行四边形的判定与性质等知识；熟练掌握正方形的性质和全等三角形的判定与性质是解题的关键．
15. 如图，在菱形中，对角线相交于点，，，点是的中点，连接，则的长度为________．

【答案】5
【解析】
【分析】根据菱形的对角线互相垂直平分求出，再利用勾股定理列式求出，然后根据直角三角形斜边的中线等于斜边的一半即可求解．
【详解】解：∵在菱形中，对角线相交于点，，，
∴，
在中，由勾股定理得，
∵点是的中点，
∴，
故答案：5．
【点睛】本题考查了菱形的性质，直角三角形斜边的中线性质，勾股定理，根据菱形的性质求出求出是解决问题的关键．
16. 一次函数的图象交轴、轴分别于点，，点，分别是，的中点，是上一动点．当周长最小时，点的坐标为______．

【答案】（0，1）
【解析】
【分析】作C点关于y轴的对称点，连接DC交y轴于点P，此时PD+PC的值最小，根据中点坐标公式求出D点的坐标，再求出直线D的解析式，再求出与y轴的交点坐标即可．
【详解】解：如图，作C点关于y轴的对称点，连接D交y轴于点P，此时PD+PC的值最小，
∵DC的长为定值，
∴当PD+PC的值最小时，△DPC周长最小，
∵A(2，0)，B(0， 4)，点C，D分别是OA，AB的中点，
∴C（1，0）， D（1，2），
∴点C关于y轴的对称点的坐标为(-1， 0)，
设直线D为y=kx+b，
把 (-1， 0)， D(1，2)，代入得，，
解得，
∴直线D的解析式为y=x+1，
令x=0，解得y=1，
∴P(0，1)，
故答案为（0，1）．

【点睛】此题考查了一次函数图象上点的坐标特征，一次函数的图象，最短路径的问题，熟练掌握这三个知识点的综合应用，最短路线问题中P点的确定以及求出直线D的解析式是解题的关键．
三、解答题（6＋6＋6＋8＋8＋9＋9＋10＋10＝72分）
17. 解方程：．
【答案】.
【解析】
【分析】根据公式法即可解出一元二次方程.
【详解】解：因为
所以
代入公式，得
所以原方程的根为.
18. 如图，台风过后，一希望小学的旗杆在离地某处断裂，旗杆顶部落在离旗杆底部米处，已知旗杆原长米，你能求出旗杆在离底部多少米的位置断裂吗？若能，请写出计算过程；若不能，请说明理由．

【答案】旗杆在离底部6米的位置断裂
【解析】
【分析】设旗杆在离底部米的位置断裂，在直角三角形中利用勾股定理即可得出关于的一元二次方程，解方程求出的值，此题得解．
【详解】解：设旗杆在离底部米的位置断裂，在给定图形上标上字母如图所示．
米，米，
米．
在中，米，米，米，
，即，
解得：．
故旗杆在离底部6米的位置断裂．

【点睛】本题考查了勾股定理的应用，解题的关键是利用勾股定理得出关于的一元二次方程．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，构建直角三角形，利用勾股定理表示出三边关系是关键．
19. 已知一次函数的图象经过A（-1，3）和B（3，-1）两点．
（1）求这个一次函数的表达式；
（2）求直线AB与坐标轴交点坐标．
【答案】（1）
（2）（0，2），（2，0）
【解析】
【分析】（1）设一次函数的解析式为y= kx +b，将点的坐标代入求出k和b的值，即可求出函数解析式；
（2）当x= 0时，y=2；当y=0时，x=2；即可得出答案．
【小问1详解】
解：设一次函数为y=kx+b；
则由题意得，
解得 ，
所以这个一次函数为；
【小问2详解】
解：令，则，
∴直线AB与y轴的交点为（0，2）；
令，则，
∴直线AB与x轴的交点为（2，0）．
【点睛】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征和用待定系数法求一次函数的解析式，能求出一次函数的解析式是解此题的关键．
20. 为了了解学生对“新冠疫情防护知识”的应知应会程度，某校随机选取了20名学生“新冠疫情防护知识”的测评成绩，数据如表：
成绩/分
88
89
90
91
95
96
97
98
99
学生人数
2
1

3
2
1
3
2
1

数据表中有一个数因模糊不清用字母表示．
（1）试确定的值及测评成绩的中位数，_________，___________；
（2）记测评成绩为，学校规定：时，成绩为合格；时，成绩为良好；时，成绩为优秀.求扇形统计图中和的值，__________，__________；
（3）在（2）的条件下，若全校共800人，求全校良好及以上的学生人数．
【答案】（1）
（2），
（3）全校良好及以上的学生人数为680人
【解析】
【分析】（1）根据总人数减去其余人数求出a，根据中位数的定义求出k．
（2）根据合格的人数除以总人数即可求出m，根据优秀人数除以总人数即可求出n．
（3）将800乘以良好及以上的人数百分比即可求解．
【小问1详解】
解：；
将20名学生的成绩按照从大到小排列后，第10名和第11名的成绩分别为91分，91分，
∴中位数；
即．
【小问2详解】
由题可知，（人），优秀人数为（人），
∴，，
∴，．
【小问3详解】
（人）；
答：全校良好及以上的学生人数为680人．
【点睛】本题考查了条形图、扇形图、中位数和用样本数据估计总体，解题关键是掌握相关概念．
21. 已知关于x的一元二次方程．
（1）若此方程有两个不相等的实数根，，求m的取值范围；
（2）若此方程的两根互为倒数，求的值．
【答案】（1）
（2）7
【解析】
【分析】（1）根据一元二次方程根的判别式进行求解即可；
（2）根据根与系数的关系结合倒数的定义得到，再由进行求解即可．
【小问1详解】
解：∵关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，
∴，即，
∴；
【小问2详解】
解：∵，是关于x的一元二次方程的两个实数根，，且互为倒数，
∴，
∴．
【点睛】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，根与系数的关系，完全平方公式的变形求值，灵活运用所学知识是解题的关键．
22. 如图，四边形的对角线，相交于点，其中，，，为上一点，连接，．

（1）求证：四边形是矩形；
（2）若平分，且，求的度数．
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）先证四边形是平行四边形，得，再证，即可得出结论．
（2）先证再证是等边三角形，得，然后求出度数，即可求出答案．
【小问1详解】
证明：，，
四边形是平行四边形，
．
，
，
平行四边形是矩形．
【小问2详解】
解：平行四边形是矩形，
，，，
平分，
，
，
，
．
，，
，
是等边三角形，
，
．
，，
，
．
故答案为：．
【点睛】本题考查了矩形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、等边三角形的判定与性质等知识，熟练掌握矩形的判定与性质是解题的关键．
23. 商场某种商品平均每天可销售30件，每件盈利50元，为了618年中大促，商场决定采取适当的降价措施．经调查发现，每件商品每降价1元，商场平均每天可多售出2件．
（1）若某天该商品每件降价3元，当天可获利多少元？
（2）为了减少库存，又要使商场日盈利达到2000元，则每件商品应降价多少元？
【答案】（1）1692元
（2）25元
【解析】
【分析】（1）根据“盈利=单件利润×销售数量”即可得出结论；
（2）根据“盈利=单件利润×销售数量”即可列出关于的一元二次方程，解之即可得出的值，再根据尽快减少库存即可确定的值．
【小问1详解】
解：


（元）
故若某天该商品每件降价3元，当天可获利1692元．
【小问2详解】
解：依题意得：，
整理得：，
解得：，，
为了尽快减少库存，
∴，
答：每件商品应降价25元．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，根据数量关系列出一元二次方程（或算式）是解题的关键．
24. 在平面直角坐标系xOy中，点P的坐标为，点Q的坐标为，且，，若P，Q为某正方形的两个顶点，且该正方形的边均与某条坐标轴平行（含重合），则称P，Q互为“正方形点”（即点P是点Q的“正方形点”，点Q也是点P的“正方形点”）．下图是点P，Q互为“正方形点”的示意图.

已知点A的坐标是（2，3），下列坐标中，与点A互为“正方形点”的坐标是 .（填序号）
①（1，2）；②（-1，5）；③（3，2）.
（2）若点B（1，2）的“正方形点”C在y轴上，求直线BC的表达式；
（3）点D的坐标为（-1，0），点M的坐标为（2，m），点N是线段OD上一动点（含端点），若点M，N互为“正方形点”，求m的取值范围.
【答案】(1) ①③;(2) 或 ;(3) 或.
【解析】
【详解】(1)根据点A互为“正方形点”的坐标定义即可求出所求的坐标；(2)由已知条件先求出点C的坐标，利用待定系数法求得直线BC的表达式；（3）由点N是线段OD上一动点（含端点），求出点D、O的正方形点坐标，结合图象写出m的取值范围.
解：（1）①③
（2）∵点B（1，2）的“正方形点”C在y轴上，
∴点C的坐标为（0，1），（0，3），
∴直线BC的表达式为，．

（3）过点OD分别作与x轴夹角为的直线，
∵点M的坐标为（2，m），点N是线段OD上一动点（含端点），
点M，N互为“正方形点”，
∴点D的正方形点坐标是（2，3），（2，-3），
点O的正方形点坐标是（2，2），（2，-2），
∴或.

“点睛”本题考查了新定义问题，涉及到一次函数的知识，解题时要理解“正方形点”的定义，对学生的综合能力要求即较高，一定要注意将新知识贯穿整个解题中.
25. 已知矩形中，，，点P是边的中点．

（1）如图1，连接并延长，与的延长线交干点F，问：线段上是否存在点Q，使得是以为腰的等腰三角形，若存在，请直接写出的长，若不存在，请说明理由．
（2）①如图2，把矩形沿直线折叠，使点B落在点D上，直线与的交点分别为M、H、N，求折痕的长．
②如图3：在①的条件下，以点A为原点、分别以矩形的两条边所在的直线为x轴和y轴建立平面直角坐标系，若点R在x轴上，在平面内是否存在点S，使以R、M、N、S为顶点的四边形是菱形？若存在，请求出点S的坐标；若不存在，请说明理由．
（3）如图4：若点E为边上的一个动点，连结，以为边向下方作等边，连结，则的最小值是______．（请直接写出答案）
【答案】（1）存在，4或1
（2）①；②存在，点S坐标为：、、、
（3）
【解析】
【分析】（1）先证明，再求得、、的长，为等腰三角形分情形讨论根据①；②分别求出的长；
（2）①连接，，证明，得，在中根据勾股定理求得，从而求得
②建立平面直角坐标系，根据①的结论，知：，分情形讨论，当为对角线时，关于轴对称，当为对角线时，与点重合，当为对角线时，，根据平移即可求得点的坐标；
（3）分别以，为边向下方作等边，过点作，垂足为，连接，，证明，可知，求得即可．
【小问1详解】
解：存在，理由如下：
四边形是矩形
，

点是边的中点

又

，

，

在中：


为等腰三角形，以为腰的等腰三角形分为两种情形：
①当时，此时点与点重合，故
②当时，如图：

，，4
，
综合①②，的长为：4或1；
【小问2详解】
解：①如图：连接，

根据题意可知：垂直平分
，
四边形是矩形


又

，
四边形菱形
设，则
在中

即：
解得：

在中



在中

；
②建立平面直角坐标系如图：
由①知：，，，
∴
、、、为顶点的四边形是菱形，点在轴上
当为对角线时，，
都在轴上，关于轴对称

当为对角线时，，由（2）知
四边形是菱形，则与点重合，
此时
当为对角线时，则，
，
∴

综上可知，存在点S使得以、、、S为顶点的四边形是菱形
点S坐标为：、、、；
【小问3详解】
解：如图：分别以，为边向下方作等边，过点作，垂足为，连接，
为中点

为等边三角形
，，
，




点为边上的一个动点，以为边向下方作等边
当点与点重合时，点与点重合
当点与点重合时，点与点重合
点在线段上运动，当时，最小
为等边三角形
，







当时，






在和中



当时，
故答案为：．