八年级下学期期末数学试题（解析版）

这是一份八年级下学期期末数学试题（解析版），共24页。试卷主要包含了非选择题的作答，考生必须保持答题卡的整洁等内容，欢迎下载使用。
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数学试题
（考试时间：120分钟 满分：120分）
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。答在试题卷上无效。
3．非选择题的作答：用0.5毫米黑色墨水签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。答在试题卷上无效。
4．考生必须保持答题卡的整洁。考试结束后，请将答题卡上交。
一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 下列根式中，不是最简二次根式的是（　　）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据二次根式定义进行判断即可．
【详解】解：∵，
∴不是最简二次根式，故B正确．
故选：B．
【点睛】本题主要考查了最简二次根式的定义，解题的关键是掌握最简二次根式必须满足的两个条件：①被开方数不含分母；②被开方数不含能开得尽方的因数或因式．
2. 匀速地向一个容器注水（注满为止），在注水过程中，若容器中水面高度与注水时间的变化规律如图所示，则这个容器的形状可以是（ ）

A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据图象中每段的上升速度分析解答即可．
【详解】解：由图像可知，每段图象都为直线，即容器内的水为匀速上升状态，
段上升较缓，段上升速度最慢，段上升速度最快，
故容器在段的粗细较居中，段最粗，段最细，
故选：A．
【点睛】此题考查了利用函数图像判断容器，正确理解函数图像的上升速度与容器的粗细之间的关系是解题的关键．
3. 下列说法中，错误是（ ）
A. 平行四边形的对角线互相平分 B. 对角线相等的平行四边形是矩形
C. 菱形的对角线互相垂直 D. 对角线互相垂直的四边形是菱形
【答案】D
【解析】
【分析】根据平行四边形的性质对进行判断，根据矩形的判定方法对进行判断，根据菱形的性质与判定对、进行判断即可．
【详解】解：、平行四边形的对角线互相平分，本选项正确，不符合题意；
、对角线相等的平行四边形是矩形，本选项正确，不符合题意；
、菱形的对角线互相垂直，本选项正确，不符合题意；
、对角线互相垂直的平行四边形是菱形，本选项错误，符合题意．
故选：．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质，矩形的判定，菱形的性质与判定，熟练掌握这些性质定理是解答本题的关键．
4. 在平面直角坐标系中，函数的图像经过（ ）象限．
A. 第一、第二、第三 B. 第二、第三、第四
C. 第一、第三、第四 D. 第一、第二、第四
【答案】D
【解析】
【分析】首先找到函数经过的两个点，画出函数的图像，通过观察即可得到答案．
【详解】解：函数，
当时，，故函数经过点，
当时，，故函数经过点，
函数图像如下图：

由图可知函数经过第一、第二、第四象限，
故选：．
【点睛】本题考查了一次函数的图像，找到函数经过的两点画出函数图像是解答本题的关键．
5. 如图，一棵大树在一次强台风中在距地面处折断，倒下后树顶着地点A距树底B的距离为，则这棵大树在折断前的高度为（ ）

A. 10 B. 17 C. 18 D. 20
【答案】C
【解析】
【分析】根据大树的折断部分与未断部分、地面恰好构成直角三角形，再根据勾股定理求出AC的长，进而可得出结论．
【详解】解：∵树的折断部分与未断部分、地面恰好构成直角三角形，且BC=5m，AB=12m，

∴，
∴这棵树原来的高度为：BC+AC=5+13=18（m），
即：这棵大树在折断前的高度为18m，故C正确．
故选：C．
【点睛】本题考查了勾股定理的应用，熟知直角三角形斜边的平方等于两直角边的平方和是解答此题的关键．
6. 矩形中，对角线，相交于点，如果，那么的度数是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】只要证明OA=OD，根据三角形的外角的性质即可解决问题．
【详解】解：如图所示：

四边形是矩形，
，
，
，
∴．
故选：．
【点睛】本题考查矩形的性质、等腰三角形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
7. 如图，在中，，分别以点和点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于、两点，作直线交于点，交于点，连接．若，，则的长为（ ）

A. B. 2 C. 3 D.
【答案】B
【解析】
【分析】由作图可知是的垂直平分线，则，因此.在中，分别求出的度数都等于，则可得是等边三角形，于是可得的长度.
【详解】∵中，，，

由作图可知是的垂直平分线，点F在上，




是等边三角形，
.
故选：B.
【点睛】本题主要考查了线段垂直平分线的性质，等边三角形的性质和判定.证明是等边三角形是解题的关键.
8. 如图，在中，，，，点为上任意一点，连结，以，为邻边作平行四边形，连结，则的最小值为（ ）

A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】设PQ与AC交于点O，作⊥于，首先求出，当P与重合时，PQ的值最小，PQ的最小值=2．
【详解】设与AC交于点O，作⊥于，如图所示：
在Rt△ABC中，∠BAC=90，∠ACB=45，
∴，
∵四边形PAQC是平行四边形，
∴，
∵⊥，∠ACB=45，
∴，
当与重合时，OP的值最小，则PQ的值最小，
∴PQ的最小值
故选：A．

【点睛】本题考查了勾股定理的运用、平行四边形的性质以及垂线段最短的性质，利用垂线段最短求线段的最小值是解题的关键．
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）
9. 要使二次根式在实数范围内有意义，则x的取值范围是_____．
【答案】
【解析】
【分析】根据被开方数大于等于0，列式计算即可．
【详解】解：由题意，得：，
∴．
故答案为：．
【点睛】本题考查二次根式有意义的条件．熟练掌握被开方数大于等于0，是解题的关键．
10. 一次函数的图象上有两点，则与的大小关系是_______．
【答案】＜
【解析】
【分析】由k=-2＜0，利用一次函数图象的性质可得出y随x的增大而减小，结合1＞-2，即可得出答案．
【详解】解：∵k=-2＜0，
∴y随x的增大而减小，
∵点A（1，y1），B（-2，y2）均在一次函数y=-2x+3的图象上，且1＞-2，
∴y1＜y2．
故答案为：＜．
【点睛】本题考查一次函数的图象与性质，牢记：在一次函数y=kx+b中，若k＞0，y随x的增大而增大；若k＜0，y随x的增大而减小．
11. 已知一组数据1，2，4，5，的平均数为4，则这组数据的方差为________．
【答案】6
【解析】
【分析】先根据平均数求出的值，再根据方差公式进行计算，即可得到答案．
【详解】解：一组数据1、2、4、5、的平均数为4，
，
，
这组数据为1、2、4、5、8，平均数为4，
方差，
故答案为：6．
【点睛】本题考查了由平均数求未知数据的值，求方差．掌握求平均数的公式和求方差的公式是解题关键．
12. 如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，且，，于点E，则__________．

【答案】##4.8

【解析】
【分析】利用菱形的性质即可计算得出BC的长，再根据面积法即可得到AE的长．
【详解】解：∵四边形ABCD是菱形，且AC=6，DB=8，
∴CO=AC=3，BO=BD=4，AO⊥BO，
∴BC==5，
∵S菱形ABCD=AC•BD=BC•AE，
∴AE=，
故答案为： ．
【点睛】本题考查了菱形的性质以及勾股定理的运用，关键是掌握菱形的四条边都相等；菱形的两条对角线互相垂直平分．
13. 和谐号动车刹车后作匀减速运动，速度与刹车时间与之间满足关系式．动车在匀变速直线运动中，从开始刹车到准确停到站台，需要_______min．
【答案】
【解析】
【分析】令，解方程即可求解．
【详解】解：令，则，
解得：．
故答案为：4．
【点睛】本题考查了一次函数的应用，正确理解“从开始刹车到准确停到站台”即为速度为0是解题的关键．
14. 若是的小数部分，则________．
【答案】
【解析】
【分析】先估算出值的范围，从而求出的值，然后把的值代入式子中进行计算，即可解答．
【详解】解：，

的整数部分为，小数部分为，
，
故答案为：．
【点睛】本题考查了估算无理数的大小，完全平方公式，准确熟练地进行计算是解题的关键．
15. 如图，，，，…，都是等腰直角三角形，其中点，，…，在轴上，点，，…，在直线上，若，则点的坐标为________．

【答案】
【解析】
【分析】根据为等腰直角三角形，所以，，然后根据等腰直角三角形斜边上的高等于斜边的一半求出、，同理求出，然后根据变化规律写出即可．
【详解】∵为等腰直角三角形，
∴，，
又∵点在直线上，
∴，故，即点为的中点，
又∵，
∴，
∵为等腰直角三角形，
∴，
∴，
∴为的边上的中位线，
∴，即，
同理可证，
同理可证，
∴．
当时，，
∵为等腰直角三角形，
∴且
∵点在直线上，
∴，
∴点的坐标为，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查一次函数图象上点的坐标特征，规律型：图形的变化类，等腰直角三角形．
16. 甲、乙两人在笔直湖边公路上同起点、同终点、同方向匀速步行2400米，先到终点的人原地休息．已知甲先出发4分钟．在整个步行过程中，甲、乙两人的距离y(米)与甲出发的时间t(分)之间的关系如图所示，下列结论：①甲步行的速度为60米/分；②乙走完全程用了30分钟；③乙用16分钟追上甲；④乙到达终点时，甲离终点还有320米，其中正确的结论有_________．

【答案】①②##②①
【解析】
【分析】根据题意和函数图象中的数据可以逐个判断结论是否正确即可解答．
【详解】解：根据图象，甲步行分钟走了米，
甲步行的速度为米分，故①正确；
由图象可知，甲出发分钟后乙追上甲，则乙用了分钟追上甲，故③错误；
乙的速度为米分，
则乙走完全程的时间为分，故②正确；
当乙到达终点时，甲步行了米，
甲离终点还有米)，故④错误；
综上，正确的结论有①②．
故答案为：①②．
【点睛】本题考查函数图像，解答的关键是理解题意，利用数形结合思想获取所求问题需要的条件．
三、解答题（本大题共8小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17. 计算：．
【答案】
【解析】
【分析】直接利用平方差公式以及二次根式的性质化简，再计算得出答案．
【详解】解：


．
【点睛】本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握运算法则正确化简二次根式是解题关键．
18. 图，在平行四边形ABCD中，过点D作于点E，点F在边CD上，且，连接AF、BF．

（1）求证：四边形DEBF是矩形；
（2）若AF平分，，，求BF的长．
【答案】（1）见解析 （2）4
【解析】
【分析】（1）先证四边形DEBF是平行四边形，再证∠DEB＝90°，即可得出结论；
（2）证AD＝DF＝5，再由勾股定理求出DE＝4，然后由矩形的性质即可求解．
【小问1详解】
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴，，
∵，
∴，
即，
∵DF∥EB，
∴四边形DEBF是平行四边形，
又∵，
∴，
∴平行四边形DEBF是矩形；
【小问2详解】
解：∵AF平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
在Rt△AED中，，
由勾股定理得：，
由（1）得四边形DEBF是矩形，
∴．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质和判定，矩形的判定与性质，勾股定理，平行线的性质，等腰三角形的判定等知识；熟练掌握平行四边形的判定与性质，证明四边形DEBF为矩形是解此题的关键．
19. 神舟十六号载人飞船已于年月进人太空，名航天员顺利进驻中国空间站，中国航天员们按预定目标完成各项科考任务，我们期待他们能平安回到祖国大地．星空，探索永无止境，我们都是“追梦人”，为了庆祝我国航天事业的发展，某校举行航空航天作品展，为了解学生上交作品情况，随机调查了部分学生上交作品件数，根据调查结果，绘制了如下两幅不完整的统计图．

图① 图②
请根据相关信息，解答下列问题：
（1）补全两幅统计图；
（2）求所抽取学生上交作品件数的众数与中位数；
（3）求所抽取学生上交作品件数的平均数，若该校共有名学生，请估计上交的作品一共有多少件？
【答案】（1）见解析 （2）众数是件，中位数是件
（3）件
【解析】
【分析】（1）根据件作品的人数和所占比例求出抽查的总人数，再算出交件的人数，从而求出交两件作品的所占比例，补全两图即可；
（2）根据众数和中位数的定义进行求解即可；
（3）求出平均数，再用平均数乘以即可得出最后结果．
【小问1详解】
解：总件数：（人）
交件：（人），占：；
补全统计图如图所示：

图① 图②
【小问2详解】
上交件的人数最多，
所抽取学生上交作品件数的众数是件．
第、个数据均是件，
所抽取学生上交作品件数的中位数是件．
【小问3详解】
所抽取学生上交作品件数的平均数为为（件），
估计上交的作品一共有（件）．
【点睛】本题考查了条形统计图和扇形统计图，中位数，众数和平均数的知识，利用统计图获取信息是解答本题的关键．
20. 如图，一次函数的图象分别与轴和轴相交于、两点，且与正比例函数的图象交于点．

（1）求一次函数的解析式；
（2）当时，直接写出自变量的取值范围；
（3）点是一次函数图象上一点，若，求点的坐标．
【答案】（1）；（2）；（3）点的坐标为或．
【解析】
【分析】（1）先求出点B的坐标，再用待定系数法即可求得一次函数的解析式；
（2）观察函数图象即可求得结果；
（3）根据△OCD与△OCB共底OC，可得出点B与点D的纵坐标关系，从而可求得点D的纵坐标，从而求得点D的坐标．
【详解】（1）把代入中得，
∴，
把、代入得
，解得，
∴．
（2）观察图象知，当时，函数的图象在函数的图象上方．所以当时，自变量的取值范围为．
（3）由，，可得，，
代入得
点的坐标为或．
【点睛】本题考查了用待定系数法求函数解析式，根据两条直线的交点求不等式的解集，图形面积，用到了数形结合思想，注意不要遗漏D点纵坐标为负的情况．
21. 某商店销售A型和B型两种电脑，其中A型电脑每台的利润为400元，B型电脑每台的利润为500台，该店计划再一次购进两种型号的电脑共100台，其中B型电脑的进货量不超过A型电脑的2倍，设购进A型电脑x台，这100台电脑销售总利润为y元．
（1）求y关于x的函数表达式；
（2）该商店购进A型，B型电脑各多少台，才能使销售总利润最大，最大利润是多少元?
【答案】（1）；（2）购进A型电脑34台，B型电脑66台，才能使销售总利润最大，最大利润为46600元．
【解析】
【分析】（1）根据题意列出关系式为：，整理即可；
（2）利用不等式求出x的范围，再根据一次函数的性质解答即可．
【详解】解：（1）
（2）由，得，
∵随的增大而减小
又为正整数
∴当时，y取最大值，最大值为（元）
此时（台）
∴购进A型电脑34台，B型电脑66台，才能使销售总利润最大，最大利润46600元．
【点睛】本题主要考查了一次函数的应用，解题的关键是根据一次函数x值的增大而确定y值的增减情况．
22. 我市夏季经常收台风天气影响，台风是一种自然灾害，它以台风中心为圆心在周围上千米的范围内形成极端气候，有极强的破坏力．如图，有一台风中心沿东西方向AB由点A行驶向点B，已知点C为一海港，且点C与直线AB上两点A，B的距离分别为300km和400km，且km，以台风中心为圆心周围250km以内为受影响区域．

（1）求证：；
（2）海港C受台风影响吗？为什么？
（3）若台风的速度为40km/h，则台风影响该海港持续的时间有多长？
【答案】（1）见解析 （2）海港C受台风影响，理由见解析
（3）3.5h
【解析】
【分析】（1）根据勾股定理的逆定理，即可求解；
（2）过点C作于D．根据直角三角形的面积，可得，即可求解；
（3）在线段AB上取点E，F，使km，km，则台风中心在线段EF上时正好影响C港口．根据等腰三角形的性质可得ED=FD，然后根据勾股定理可得，从而得到km，即可求解．
【小问1详解】
解：∵km，km，km，
∴．
∴是直角三角形，
∴；
【小问2详解】
解：海港C受台风影响．理由如下：
如图，过点C作于D．
∵，
∴．
∵，
∴海港C受到台风影响．
小问3详解】
解：如图，在线段AB上取点E，F，使km，km，则台风中心在线段EF上时正好影响C港口．
∴EC=FC，
∵CD⊥AB，
∴ED=FD，
在中，由勾股定理得：
，
∴km，
∵台风的速度为40km/h，
∴．
∴台风影响该海港持续的时间为3.5h ．
【点睛】本题主要考查了勾股定理的逆定理，勾股定理的实际应用，等腰三角形的性质，熟练掌握勾股定理的逆定理，正确构造直角三角形是解题的关键．
23. 解答
（1）如图1，在正方形中，是上一点，是延长线上一点，且，求证：；
（2）如图2，在正方形中，是上一点，是上一点，如果，请你利用（1）的结论证明：；
（3）运用（1）（2）解答中所积累的经验和知识，完成下题：
如图3，在直角梯形中，，，，是上一点，且，，，求直角梯形的面积．

【答案】（1）证明见解析
（2）证明见解析 （3）
【解析】
【分析】（1）由四边形是正方形，易证得，即可得；
（2）延长至，使，连接，由（1）知，易证得，又由，可得，即可证得，继而可得；
（3）首先过过作，交延长线于，易证得四边形为正方形，由（1）（2）可知，，设则，，由勾股定理解出的值，求出，继而求得直角梯形的面积．
【小问1详解】
证明：四边形是正方形，
，，
，
，
，
，
，
．
【小问2详解】
证明：如图2，延长至，使，连接，

由（1）知，
，
，
即，
又，
，
，，
，
，
；
【小问3详解】
解：如图3，过作，交延长线于，

在直角梯形中，
，
，
又，，
四边形为正方形，
，
，
根据（1）（2）可知，，
设则，，
在中，
，即，
解这个方程，，
，
，
即梯形的面积为．
【点睛】此题考查了正方形的性质与判定、全等三角形的判定与性质、直角梯形的性质以及勾股定理等知识，此题综合性较强，难度较大，注意掌握辅助线的作法是解此题的关键，注意数形结合思想与方程思想的应用．
24. 如图1，在平面直角坐标系中，直线与轴、轴相交于、两点，点在线段上，将线段绕着点顺时针旋转得到，此时点恰好落在直线上，过点作轴于点．

（1）求证：；
（2）如图2，将沿轴正方向平移得，当经过点时，求平移的距离及点的坐标；
（3）在（2）的条件下，若点在轴上，点在直线上，是否存在以、、、为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出所有满足条件的点的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）证明见解析
（2）平移的距离为，点的坐标为
（3）存在，点的坐标为或
【解析】
【分析】（1）根据直角三角形的性质及旋转的性质可知，再根据全等三角形的判定可知；
（2）利用一次函数与轴，轴的交点可得点的坐标，设，则点的坐标为，再利用待定系数法可得直线的解析式和直线的解析式，进而可得的坐标为，最后根据两点之间的距离公式即可解答；
（3）根据题意分①若为边，①若为对角线两种情况，再按照平行四边形的性质即可解答．
【小问1详解】
证明：∵，
∴，，
∴，
∵将线段绕着点顺时针旋转得到，
∴，
在和中，
，
∴．


【小问2详解】
解：∵直线与轴、轴相交于、两点，
∴点的坐标为，点的坐标为．
设，
∵，
∴，，
∴点的坐标为．
∴点在直线上，
∴，
解得：，
∴点的坐标为，点的坐标为，
∵点的坐标为，点的坐标为，
设直线的解析式为，根据题意可得：
，
解得：，
∴直线的解析式为，
设直线的解析式为，
∴将代入，得：，
解得：，
∴直线的解析式为，
∴点的坐标为，
∴，
∴平移的距离为．
【小问3详解】
解：设点的坐标为，点的坐标为．
分两种情况考虑，如图3所示：
①若为边，当四边形为平行四边形时，
∵，，，，
∴，
解得：，
∴点的坐标为；
当四边形为平行四边形时，
∵，，，，
∴，解得，
∴点的坐标为；
②若为对角线，
∵，，，，
∴，解得：，
∴点的坐标为，
综上所述：存在，点的坐标为或．