2.5 等腰三角形的轴对称性-八年级数学上册同步精品讲义（苏科版）

第2章 轴对称图形
2.5 等腰三角形的轴对称性
目标导航

课程标准
课标解读
1. 掌握等腰三角形的性质，并能利用它证明两个角相等、两条线段相等以及两条直线垂直．
2. 掌握等腰三角形的判定定理．
3. 熟练运用等腰三角形的判定定理与性质定理进行推理和计算．
1.理解等腰三角形是轴对称图形
2.掌握等边对等角的性质
3.掌握“三线合一”的性质
知识精讲

知识点01 等腰三角形的定义
有两条边相等的三角形，叫做等腰三角形，其中相等的两条边叫做腰，另一边叫做底，两腰所夹的角叫做顶角，底边与腰的夹角叫做底角.
如图所示，在△ABC中，AB＝AC，则它叫等腰三角形，其中AB、AC为腰，BC为底边,∠A是顶角，∠B、∠C是底角．

【微点拨】
等腰直角三角形的两个底角相等，且都等于45°.等腰三角形的底角只能为锐角，不能为钝角（或直角），但顶角可为钝角（或直角）.
∠A＝180°－2∠B，∠B＝∠C＝ .
【即学即练1】1．已知等腰三角形的一边长，另一边长，则它的周长是（ ）
A． B． C．或 D．无法确定
知识点02 等腰三角形的性质
1.等腰三角形的性质
性质1：等腰三角形的两个底角相等（简称“等边对等角”）．
性质2：等腰三角形的顶角平分线、底边上的高、底边上的中线互相重合（简称“三线合一”）．
2.等腰三角形的性质的作用
性质1证明同一个三角形中的两角相等.是证明角相等的一个重要依据．
性质2用来证明线段相等，角相等，垂直关系等．
3.等腰三角形是轴对称图形
等腰三角形底边上的高（顶角平分线或底边上的中线）所在直线是它的对称轴，通常情况只有一条对称轴．
【即学即练2】2．如图，面积为9，平分，于点，连结，则的面积为（ ）

A．5 B．4.5 C．4 D．3.5
知识点03 等腰三角形的判定
1. 对应顶点，对应边，对应角定义
如果一个三角形中有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简称“等角对等边”）.
【微点拨】
等腰三角形的判定是证明两条线段相等的重要定理，是将三角形中的角的相等关系转化为边的相等关系的重要依据.等腰三角形的性质定理和判定定理是互逆定理.
【即学即练3】3．如图，中，分别平分和，过点作交于点，交于点，那么下列结论：①；②；③的周长等于的周长；④．其中正确的有（ ）

A．①② B．①②③ C．①②④ D．②③④
能力拓展

考法01 等腰三角形的性质
性质1：等腰三角形的两个底角相等（简称“等边对等角”）．
性质2：等腰三角形的顶角平分线、底边上的高、底边上的中线互相重合（简称“三线合一”）．
【典例1】如图所示，平分平分，且，设，则的周长为（ ）

A．30 B．33 C．36 D．39
考法02 等腰三角形的判定
判定方法：在同一三角形中，有两条边相等的三角形是等腰三角形
在同一三角形中，有两个角相等的三角形是等腰三角形（简称：在同一三角形中，等角对等边）
【典例2】如图，C为线段上一动点（不与点A，B重合），在同侧分别作等边和等边与交于点F，与交于点G，与交于点H，连接．以下四个结论：①；②为等边三角形；③；④．其中正确的是（ ）

A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．①②③④
分层提分

题组A 基础过关练
1．若等腰三角形的周长为26cm，一边为6cm，则腰长为（　　　）
A．6cm B．10cm C．10cm或6cm D．以上都不对
2．等腰三角形的两边长分别为，，则该三角形的周长为（　　　）
A． B． C．或 D．以上都不对
3．下列关于等边三角形的性质的叙述中，错误的是（ ）
A．是等腰三角形 B．三个角都相等 C．三条边都相等 D．只有一条对称轴
4．已知直角三角形中30°角所对的直角边为4cm，则斜边的长为（　　　）
A．8 cm B．6 cm C．4 cm D．2 cm
5．已知中，则的周长等于（ ）
A． B． C． D．
6．如果等腰三角形的两边长分别为7cm和3cm．那么它的第三边的长是（ ）
A．3cm B．4cm C．7cm D．3cm或7cm
7．若等腰三角形的一个角为，则它一腰上的高与底边的夹角是（ ）
A． B． C． D．
题组B 能力提升练
1．下列命题的逆命题是真命题的是（ ）
A．同位角相等，两直线平行 B．等边三角形是锐角三角形
C．若两个角是直角，则它们相等 D．全等三角形的对应角相等
2．已知等边的边长为3，点E在直线上，点D在直线上，且，若，则的长为（ ）
A．6 B．9 C．3或6 D．3或9
3．下列命题是假命题的是（　　　）
A．线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等
B．三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和
C．有一个外角是120°的等腰三角形是等边三角形
D．有两边和一角对应相等的两个三角形全等
4．下列命题中，假命题是（　　）
A．直角三角形的两个锐角互余 B．等腰三角形的两底角相等
C．面积相等的两个三角形全等 D．有一个角是的等腰三角形是等边三角形
5．等腰中，过点B的直线分为两个等腰三角形，则顶角为_____度．
6．已知在中，且为最小的内角，过顶点B的一条直线把这个三角形分割成两个等腰三角形，则_______
7．如图，在四边形中，是的中点，，，，若，则线段的最大值为___________．

题组C 培优拔尖练
1．如图，在等腰中，，，于点，点是延长线上一点，点在延长线上，，下面的结论：①；②是正三角形；③；④，其中正确的个数是（ ）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
2．如图，在中，，，于点，的平分线分别交、于、两点，为的中点，的延长线交于点，连接，下列结论：①为等腰三角形；②；③；④．其中正确的结论有（ ）

A．个 B．个 C．个 D．个
3．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，BF平分∠ABC，过点C作CF⊥BF于F点，过A作AD⊥BF于D点．AC与BF交于E点，下列四个结论：①BE＝2CF；②AD＝DF；③AD＋DE=BE；④AB＋BC＝2AE．其中正确结论的序号是（ ）

A．只有①②③ B．只有②③ C．只有①②④ D．只有①④
4．如图，AD 为等腰△ABC的高，其中∠ACB=50°，AC=BC，E，F 分别为线段AD，AC 上的动点，且 AE=CF， 当 BF＋CE 取最小值时，∠AFB的度数为（ ）

A．75° B．90° C．95° D．105°
5．如图，在△ABC中，AD为∠BAC的平分线，BM⊥AD,垂足为M,且AB=5,BM=2,AC=9,则∠ABC与∠C的关系为（ ）

A．∠ABC=2∠C B．∠ABC=∠C C．∠ABC=∠C D．∠ABC=3∠C
6．如图在中，和的平分线交于点，过点作交于，交于，过点作于，下列四个结论：其中正确的结论有（ ）个．
①；②；③点到各边的距离相等；
④设,，则；⑤的周长等于的和．

A．1 B．2 C．3 D．4
7．如图，等腰的底边BC长为4cm，面积为，腰AC的垂直平分线EF交AC于点E，交AB于点F，D为BC的中点，M为直线EF上的动点．则周长的最小值为（　　　）

A．6cm B．8cm C．9cm D．10cm