适用于新教材2024版高考数学一轮总复习第四章一元函数的导数及其应用解答题专项一第3课时利用导数研究函数的零点北师大版 (1)

这是一份适用于新教材2024版高考数学一轮总复习第四章一元函数的导数及其应用解答题专项一第3课时利用导数研究函数的零点北师大版 (1)，共8页。试卷主要包含了已知函数f=x2-aln x等内容，欢迎下载使用。
解答题专项一　函数与导数中的综合问题
第3课时　利用导数研究函数的零点
解答题专项练
1.(2022·广东广州一模)已知函数f(x)=ex+sin x-cos x,f'(x)为f(x)的导数.
(1)证明:当x≥0时,f'(x)≥2;
(2)设g(x)=f(x)-2x-1,证明:g(x)有且仅有2个零点.
证明:(1)由f'(x)=ex+cosx+sinx,
设h(x)=ex+cosx+sinx,
则h'(x)=ex-sinx+cosx,
当x≥0时,
设p(x)=ex-x-1,q(x)=x-sinx,
∵p'(x)=ex-1≥0,q'(x)=1-cosx≥0,
∴p(x)和q(x)在[0,+∞)上单调递增,
∴p(x)≥p(0)=0,q(x)≥q(0)=0,
∴当x≥0时,ex≥x+1,x≥sinx,
则h'(x)=ex-sinx+cosx≥x+1-sinx+cosx=(x-sinx)+(1+cosx)≥0,
∴函数h(x)=ex+cosx+sinx在[0,+∞)上单调递增,
∴h(x)≥h(0)=2,即当x≥0时,f'(x)≥2.
(2)由已知得g(x)=ex+sinx-cosx-2x-1,
①当x≥0时,∵g'(x)=ex+cosx+sinx-2=f'(x)-2≥0,∴g(x)在[0,+∞)上单调递增,
又∵g(0)=-10,
∴由零点存在定理可知g(x)在[0,+∞)上仅有一个零点.
②当x0,
则f'(x)在(0,+∞)上单调递增,至多有一个零点.
令φ(x)=lnx-x+1,其中x>0,则φ'(x)=-1=,
当x∈(0,1)时,φ'(x)>0,φ(x)单调递增;
当x∈(1,+∞)时,φ'(x)0),
①当a≤0时,f'(x)>0,函数f(x)在区间(0,+∞)上单调递增,
(ⅰ)当a=0时,函数f(x)在(0,+∞)上无零点;
(ⅱ)当a0,
所以f(x)在(0,+∞)只有一个零点;
②当a>0时,函数f(x)在区间0,上单调递减,在区间,+∞上单调递增(注意x→0时,f(x)→+∞,x→+∞时,f(x)→+∞).
所以f(x)≥f=-aln1-ln,
(ⅰ)当f>0,即01,
即证lnx2-lnx1>,
即证ln>0,
设=x,则x>1,即证lnx->0,
即证lnx+-1>0.
令h(x)=lnx+-1(x>1),
则h'(x)=>0,
故函数h(x)在(1,+∞)上单调递增,
所以h(x)>h(1)=0,即有lnx+-1>0,
所以x1x2>e.
4.(2022·广东深圳一模)已知函数f(x)=2ln x-(a+1)x2-2ax+1(a∈R).
(1)求函数f(x)的单调区间;
(2)若函数f(x)有两个零点x1,x2.
①求实数a的取值范围;
②求证:x1+x2>2.
解:(1)f(x)的定义域为(0,+∞),f'(x)=-2(a+1)x-2a=-,
①当a≤-1时,有f'(x)>0恒成立,函数f(x)的单调递增区间是(0,+∞),无单调递减区间;
②当a>-1时,由f'(x)>0,解得x∈0,,由f'(x)-1时,函数f(x)的单调递增区间为0,,单调递减区间是,+∞.
(2)①由(1)知:当a≤-1时,f(x)在(0,+∞)上单调递增,
函数f(x)不可能有两个零点;
当a>-1时,因为f(x)在0,上单调递增,在,+∞上单调递减,
且当x→0+,f(x)→-∞,当x→+∞,f(x)→-∞.
因此,要使函数f(x)有两个零点,只需f>0,
即2ln-(a+1)2-2a·+1>0,
化简,得2ln(a+1)+-1),
因为g'(x)=>0,
所以函数g(x)在(-1,+∞)上单调递增,
又g(0)=0,故不等式2ln(a+1)+,
根据(1)的结果,不妨设00,
记F(x)=f(x)-f-x,x∈,+∞,F'(x)=f'(x)+f'-x
=-4(a+1)
=-4(a+1)
>-4(a+1)=0,
所以F(x)在,+∞上单调递增,
则F(x)>F=0,
即证得x1+x2>>2,原命题得证.
5.设函数f(x)=aex+sin x-3x-2,e为自然对数的底数,a∈R.
(1)若a≤0,求证:函数f(x)有唯一的零点;
(2)若函数f(x)有唯一的零点,求a的取值范围.
(1)证明:当a≤0时,f'(x)=aex+cosx-30,所以存在唯一的x0∈-1,0,使得f(x0)=0,命题得证.
(2)解:由(1)知,a≤0符合题意.
(ⅰ)当a=2时,由f(x)=2ex+sinx-3x-2,得f'(x)=2ex+cosx-3.
当x0时,f'(x)>f'(0)=0,所以f(x)单调递增,于是f(x)≥f(0)=0,当且仅当x=0时取等号,
故此时f(x)有唯一的零点x=0.
(ⅱ)当a>2时,f(x)>2ex+sinx-3x-2≥0,此时f(x)无零点;
(ⅲ)当00,所以g(x)在[0,+∞)上单调递增,
因此g(x)≥g(0)=1>0,即当x≥0时,ex>.
当x>0时,f(x)≥aex-3x-3>x2-3x-3,令x2-3x-3=0,得x=.
取x0=>0,则f(x0)>0.
又f(0)=a-20,
因此,当00⇒-6x>0⇒x0⇒x,f'(x)