适用于新教材2024版高考数学一轮总复习第十一章计数原理概率随机变量及其分布课时规范练52二项式定理北师大版

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课时规范练52
基础巩固组
1.(2022·江苏苏锡常镇一模)在x-4的二项展开式中,第二项的系数为(　　)
A.4 B.-4 C.6 D.-6
答案:B
解析:x-4的二项展开式的第二项为T2=T1+1=x4-1-1=-x2=-4x2,所以第二项的系数为-4.
2.(2022·山东烟台二模)在(x2-2x+y)6的展开式中,含x5y2项的系数为(　　)
A.-480 B.480 C.-240 D.240
答案:A
解析:(x2-2x+y)6可看成是6个(x2-2x+y)相乘,要得到x5y2,分以下情况:
6个因式中,2个因式取y,1个因式取x2,3个因式取-2x,此时x5y2的系数·(-2)3=-480,所以x5y2的系数为-480.
3.(2022·山东临沂二模)已知(ax2+1)x-5的展开式中各项系数的和为-3,则该展开式中x的系数为(　　)
A.-120 B.-40 C.40 D.120
答案:A
解析:在二项式(ax2+1)x-5中,令x=1,可得(a+1)·(-1)5=-3,解得a=2.
x-5的展开式通项为Tk+1=·x5-k·-k=·(-2)k·x5-2k,因为(2x2+1)x-5=2x2x-5+x-5,2x2Tr+1=2x2·(-2)r·x5-2r=2·(-2)r·x7-2r,令7-2r=1,可得r=3,在Tk+1=·(-2)k·x5-2k中,令5-2k=1,可得k=2,因此,展开式中x的系数为2·(-2)3+·(-2)2=-120.
4.(多选)(2022·广东茂名二模)已知2x+n的展开式共有13项,则下列说法中正确的有(　　)
A.所有奇数项的二项式系数和为212
B.所有项的系数和为312
C.二项式系数最大的项为第6项或第7项
D.有理项共5项
答案:BD
解析:因为n+1=13,所以n=12,所有奇数项的二项式系数和为211,故A错误.令x=1,得所有项的系数和为312,故B正确.由二项式系数的性质可知二项式系数最大的项为第7项,故C错误.因为2x+12展开式通项为Tr+1=·(2x)12-r·()r=212-r,当12-r为整数时,r=0,3,6,9,12,共有5项,故D正确.故选BD.
5.(2023·江苏苏州高三检测)若+…+=256,则x+n的展开式中含x5项的系数为　　　　　.(用数字作答) 
答案:7
解析:+…+=2n=256,故n=8,则x+8的展开式通项公式Tr+1=x8-r2-r2-r,令8-r=5,解得r=2,所以T3=2-2x5=28×x5=7x5.所以系数为7.
6.设a=7+72+…+719,则a除以9所得的余数为　　　　　. 
答案:8
解析:因为a=7+72+…+719,所以a=(1+7)19=(9-1)19=919+918(-1)+…+91(-1)18+(-1)19=9k-1=9(k-1)+8,k∈N*,所以a除以9所得的余数为8.
7.(2022·湖南长郡中学一模)已知(1-4x)2 022=a0+a1x+…+a2 022x2 022,则+…+=　　　　　. 
答案:0
解析:根据题意,令x=0,得a0=(1-0)2022=1,令x=,得(1-2)2022=a0++…+,因此+…+=1-a0=0.
综合提升组
8.(2022·湖南永州三模)若x8=a0+a1(x+1)+…+a7(x+1)7+a8(x+1)8,则a3=(　　)
A.56 B.28 C.-28 D.-56
答案:D
解析:因为x8=[(x+1)-1]8,所以[(x+1)-1]8=a0+a1(x+1)+…+a7(x+1)7+a8(x+1)8,所以a3(x+1)3=(x+1)3·(-1)5=-56(x+1)3,即a3=-56.
9.(多选)(2022·广东深圳二模)已知(2-x)8=a0+a1x+a2x2+…+a8x8,则(　　)
A.a0=28
B.a1+a2+…+a8=1
C.|a1|+|a2|+|a3|+…+|a8|=38
D.a1+2a2+3a3+…+8a8=-8
答案:AD
解析:因为(2-x)8=a0+a1x+a2x2+…+a8x8,令x=0,则a0=28,故A正确;令x=1,则a0+a1+a2+…+a8=(2-1)8=1,所以a1+a2+…+a8=1-28,故B错误;令x=-1,则a0-a1+a2-a3+…+a8=38,又a1,a3,a5,a7为负数,所以|a1|+|a2|+|a3|+…+|a8|=38-28,故C错误;对(2-x)8=a0+a1x+a2x2+…+a8x8两边对x取导得-8(2-x)7=a1+2a2x+3a3x2+…+8a8x7,再令x=1得a1+2a2+3a3+…+8a8=-8,故D正确.故选AD.
10.(2023·河北邢台高三检测)6的展开式中系数为有理数的各项系数之和为　　　　　. 
答案:117
解析:因为6展开式的通项为Tr+1=·-r=-r(r=0,1,…,6),则当均为整数,即r=2或6时,展开式中的系数为有理数,故所求系数之和为×2×3+×33=117.
创新应用组
11.(多选)(2022·广东韶关一模)如图所示,在“杨辉三角”中,除每行两边的数都是1外,其余每个数都是其“肩上”的两个数之和,例如第4行的6为第3行中两个3的和.则下列说法中正确的有(　　)

A.在“杨辉三角”第9行中,从左到右第7个数是84
B.在“杨辉三角”中,当n=12时,从第1行起,每一行的第2列的数字之和为66
C.在“杨辉三角”中,第n行所有数字的平方和恰好是第2n行的中间一项的数字
D.记“杨辉三角”第n行的第i个数为ai,则2i-1·ai=2n
答案:AC
解析:对于A,在杨辉三角中,第9行第7个数是=84,所以A正确.
对于B,当n=12时,S=1+2+…+12==78,所以B错误.
对于C,用数学符号语言可表示为()2+()2+…+()2=,
证明如下:(1+x)2x=(1+x)n(1+x)n=(x+x2+…+xn)·(xn+xn-1+xn-2+…+).
对应相乘,恰好得到xn这一项的系数为()2+()2+…+()2=.
而是二项式(1+x)2n的展开式中第n+1项的二项式系数(即xn的系数).
故()2+()2+()2+…+()2=,所以C正确.
对于D,第n行的第i个数为ai=,所以2i-1ai=20a1+21a2+22a3+…+2nan+1,即2i-1ai=·20+·21+·22+…+·2n=(1+2)n=3n,所以D错误.故选AC.