湖南师范大学附属中学2023-2024学年高三数学上学期月考卷（一）试题（Word版附解析）

大联考湖南师大附中2024届高三月考试卷（一）

数学

时量：120分钟  满分：150分

得分：______

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1.设，，则中整数个数为（    ）

A.2 B.3 C.4 D.5

2.已知母线长为5的圆锥的侧面积为，则这个圆锥的体积为（    ）

A. B. C. D.

3.若，是锐角的两个内角，则复数在复平面内所对应的点位于（    ）

A第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限

4.已知，，，，且四边形为平行四边形，则（    ）

A. B. C. D.

5.已知数列的前项和为，若，，则有（    ）

A.为等差数列  B.为等比数列

C.为等差数列  D.为等比数列

6.为了保障交通安全，某地根据《道路交通安全法》规定：汽车驾驶员血液中的酒精含量不得超过0.09mg/mL.据仪器监测，某驾驶员喝了二两白酒后，血液中的酒精含量迅速上升到0.3mg/mL，在停止喝酒后，血液中每小时末的酒精含量都比上一个小时末减少25%，那么此人在开车前至少要休息（参考数据：，）（    ）

A.4.1小时 B.4.2小时 C.4.3小时 D.4.4小时

7.已知函数的定义域为，设的导数是，且恒成立，则（    ）

A.  B.

C.  D.

8.若正三棱锥满足，则其体积的最大值为（    ）

A. B. C. D.

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.

9.下列命题为真命题的是（    ）

A.若，且，则 B.若，则

C.若，则 D.若，则

10.设正方体中，，的中点分别为，，，则（    ）

A.   B.平面与正方体各面夹角相等

C.，，，四点共面 D.四面体，体积相等

11.已知函数满足，且在上有最大值，无最小值，则下列结论正确的是（    ）

A.  B.若，则

C.的最小正周期为4 D.在上的零点个数最少为1012个

12.已知直线与曲线相交于，两点，与曲线相交于，两点，，，的横坐标分别为，，.则（    ）

A. B. C. D.

选择题答题卡

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13.曲线在点处的切线与直线垂直，则______.

14.若圆关于直线对称，则的值是______.

15.如图，正四棱锥的每个顶点都在球的球面上，侧面是等边三角形，若半球的球心为四棱锥的底面中心，且半球与四个侧面均相切，则半球的体积与球的体积的比值为______.

16.已知数列的各项均为非零实数，其前项和为，，且对于任意的正整数均有.

（1）若，则______；

（2）若，则满足条件的无穷数列的一个通项公式可以是______.

四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17.（本小题满分10分）

如图，在梯形中，，，.

（1）求的值；

（2）若的面积为4，求的长.

18.（本小题满分12分）

已知数列满足，当时，.

（1）求数列的通项公式；

（2）证明：.

19.（本小题满分12分）

如图，在多面体中，四边形为正方形，平面，，，是线段上的一动点，过点和直线的平面与，分别交于，两点.

（1）若为的中点，请在图中作出线段，并说明，的位置及作法理由；

（2）线段上是否存在点，使得直线与平面所成角的正弦值为？若存在，求出的长；若不存在，请说明理由.

20.（本小题满分12分）

面对芯片进口的限制和困境，自研芯片可以减少对外部供应的依赖，提高产品的竞争力和安全性，许多厂商需要通过加大研发投入和人才培养来提高自身实力.某企业原有400名技术人员，年人均投入万元，现为加大对研发工作的投入，该企业把原有技术人员分成技术人员和研发人员，其中技术人员名（且），调整后研发人员的年人均投入增加，技术人员的年人均投入调整为万元.

（1）若要使调整后研发人员的年总投入不低于调整前400名技术人员的年总投入，求调整后的研发人员的人数最少为多少人？

（2）为了激励研发人员的工作热情和保持技术人员的工作积极性，企业决定在投入方面要同时满足以下两个条件：①研发人员的年总投入始终不低于技术人员的年总投入；②技术人员的年人均投入始终不减少.请问是否存在这样的实数满足以上两个条件？若存在，求出的范围；若不存在，说明理由.

21.（本小题满分12分）

已知椭圆的中心在坐标原点，两焦点，在轴上，离心率为，点在上，且的周长为6.

（1）求椭圆的标准方程；

（2）过点的动直线与相交于，两点，点关于轴的对称点为，直线与轴的交点为，求的面积的最大值.

22.（本小题满分12分）

已知函数，，设表示，的最大值，设.

（1）讨论在上的零点个数；

（2）当时，求的取值范围.

大联考湖南师大附中2024届高三月考试卷（一）

数学参考答案

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1.D【解析】集合中元素包含的整数有，，，0，1，2，3，以上整数满足集合中不等式的有，，，1，2，故中整数个数为5，故选D.

2.B【解析】设圆锥的底面圆半径为，高为，由已知，，则，从而，所以，选B.

3.B【解析】∵，，∴，，，故，，即点位于第二象限.选B.

4.A【解析】在平行四边形中，，，，，

∴.故选：A.

5.D【解析】由题意，数列的前项和满足，

当时，，两式相减，可得，

可得，即，又由，当时，，所以，

所以数列的通项公式为故数列既不是等差数列也不是等比数列.

当时，，又由时，，适合上式，

所以数列的前项和为；又由，所以数列为公比为3的等比数列，

综上可得选项D是正确的.

6.B【解析】设经过小时，血液中的酒精含量为，则.

由，得，则.因为，则

，所以开车前至少要休息4.2小时，选B.

7.D【解析】设，则，

故在定义域上是增函数，所以，

即，所以，故选D.

8.C【解析】设正三棱锥的底边长为，侧棱长为，

，

又.

设，，

在上存在唯一的极值点，且在时取得最大值为.

故正三棱锥体积的最大值为，故选C.

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.

9.AD【解析】对于A，，又，故，A正确.

对于B，若，则，故B错误.

对于C，，

∵，∴，，，

∴，∴，所以C错误.

对于D，，

∵，∴，，∴，∴，所以D正确.

10.ABD【解析】不妨设正方体的棱长为，则，，，

从而，，故，选项A正确.

由于平面平面，又平面的法向量之一与正方体各面的夹角相等，即平面与正方体各面夹角相等，选项B正确.由于与异面，故选项C错误.

由于平面，、到平面距离相等，故选项D正确.

11.AC【解析】对于A项，由题意得，在的区间中点处取得最大值，即，所以A正确；对于B项，假设若，则成立，由A项知，，

而，故假设不成立，则B项错误；

对于C项，，且在上有最大值，无最小值，

不妨令，，，

则两式相减，得，即函数的最小正周期，故C项正确；

对于D项，因为，所以函数在区间上的长度恰好为506个周期，

当，即，时，在区间上的零点个数至少为个，故D项错误.故选AC.

12.ACD【解析】设，得，则.设，得，则，从而可得.由，得，故A正确；由，得，即，又，得，则，故B错误；由，得，即.又由，即，则，故C正确；

由前面知，，得，又由，得，，则，.故D正确.综上选ACD.

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13.1【解析】，因为在点处的切线与直线垂直，故切线的斜率为2，所以，解得.

14.【解析】由题意知直线过圆心，即，解得.

15.【解析】如图，连接，，取的中点，连接，，过点作于点.易知底面，设，则，，，则为球的球心，设球的半径为，半球的半径为，则.易知.在等边三角形中，，

由，则，故.

16.（1）2（2）（答案不唯一）（第一空2分，第二空3分）

【解析】（1）当时，，又，，代入上式可求得.

（2）已知，得，

当时，，

即，所以或，

又，，所以（答案不唯一）.

四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17.【解析】（1）在中，由正弦定理知，，

所以，……（2分）

因为，，所以.……（4分）

（2）在中，，则为锐角，

因为，所以，……（6分）

在梯形中，，，则，

所以，显然为锐角，所以，……（8分）

因为，

所以，所以，所以.……（10分）

18.【解析】（1）由已知，，即，

则数列是公差为1的等差数列.……（3分）

又，则，所以数列的通项公式是.……（5分）

（2）因为，则.……（8分）

所以（10分）

.……（12分）

19.【解析】（1）如图，取为的中点，为靠近点的三等分点. ……（2分）

理由如下：由四边形为正方形得，，

又平面，平面，所以平面.……（3分）

又平面平面，为的中点，得，且为的中点.

由题意知，平面平面，平面平面，

平分，得平分，……（5分）

又，得到为的三等分点，且，从而作出线段.……（6分）

（2）由题意，可建立如图所示的空间直角坐标系，则

，，，，，

于是，，，……（7分）

设，则的坐标为.

设平面的法向量为，则由得

令，得平面的一个法向量为.……（9分）

设直线与平面所成角为，则，

假设存在点使得直线与平面所成角的正弦值为，

则有，解得，.……（11分）

所以线段上存在点，位于靠近点的三等分点处，使得直线与平面所成角的正弦值为.

……（12分）

20.【解析】（1）某企业原有400名技术人员，年人均投入万元，现为加大对研发工作的投入，该企业把原有技术人员分成技术人员和研发人员，其中技术人员名（且），调整后研发人员的年人均投入增加，技术人员的年人均投入调整为万元，

可得调整后研发人员的年人均投入为万元，

则，，……（2分）

整理得，解得，

因为且，所以，故，

所以要使这名研发人员的年总投入不低于调整前400名技术人员的年总投入，调整后的研发人员最少为125人.……（5分）

（2）由条件①研发人员的年总投入始终不低于技术人员的年总投入，

得，……（6分）

上式两边同除以得，整理得；

由条件②由技术人员年人均投入不减少，得，解得；……（8分）

假设存在这样的实数，使得技术人员在已知范围内调整后，满足以上两个条件，

即恒成立，

因为，……（10分）

当且仅当，即时等号成立，所以，

又因为，当时，取得最大值23，所以，

所以，即，即存在这样的满足条件，其范围为.……（12分）

21.【解析】（1）设椭圆的半长轴长、半短轴长、半焦距分别为，，，

因为，则.……（1分）

因为，则，即.……（2分）

于是，解得，从而，.……（3分）

因为椭圆的焦点在轴上，所以椭圆的标准方程是.……（4分）

（2）设直线的方程为，代入椭圆方程，得，即.

设点，，则，.……（6分）

因为点，关于轴对称，则.设点，

因为，，三点共线，则，即，

即，即，得

.

所以，点为定点，. ……（9分）

.

令，则.…（11分）

当且仅当时取等号，所以的面积的最大值为.……（12分）

22.【解析】（1），令，则，

当时，；当时，，

∴在上单调递减，在上单调递增.……（2分）

①当时，在上单调递增，，无零点；……（3分）

②当时，在上单调递减，在上单调递增.

∴，而，，

∴，使得，∴在上有且只有一个零点.……（4分）

综上所述，当时，在上无零点；

当时，在上有且只有一个零点.……（5分）

（2）①当时，在上恒成立，显然；

②当时，若，；若，.

∴等价于在上恒成立.……（6分）

∵，∴.

令，则；令，则.

∴在上单调递减，在上单调递增，……（8分）

不妨令，则，则.……（10分）

令，，易得在上单调递减，在上单调递增，

∴，∴，

∴在上单调递减，在上单调递增，

∴.

令，∴，∴在上单调递减，而，

∵在上恒成立，∴，∴，即，∴，

综上所述，的取值范围为.……（12分）