2022-2023学年河南省濮阳第一高级中学高二（下）期中数学试卷（含解析）

这是一份2022-2023学年河南省濮阳第一高级中学高二（下）期中数学试卷（含解析），共18页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.在数列{an}中，a1=12,an+1=1−1an，则a5=( )
A. 2B. 3C. -1D. 12
2.直线ax+y+3a−1=0恒过定点M，过点M，且与直线x+2y+2=0垂直的直线方程为( )
A. 2x−y+7=0B. 2x−y+1=0C. x+2y+1=0D. x−2y+7=0
3.已知f(x)=xex+3sinx，则曲线y=f(x)在点(0,f(0))处的切线方程为( )
A. y=xB. y=3xC. y=2xD. y=4x
4.已知四棱柱ABCD−A1B1C1D1的底面为平行四边形，M为A1C1与B1D1的交点．若AB=a，AD=b，AA1=c，则下列向量中与CM相等的向量是( )
A. 12a−12b+c
B. 12a+12b+c
C. −12a−12b+c
D. −12a+12b+c
5.为有效防范新冠病毒蔓延，国内将有新型冠状肺炎确诊病例地区及其周边划分为封控区、管控区、防范区．为支持某地新冠肺炎病毒查控，某院派出医护人员共5人，分别派往三个区，每区至少一人，甲、乙主动申请前往封控区或管控区，且甲、乙恰好分在同一个区，则不同的安排方法有( )
A. 12种B. 18种C. 24种D. 30种
6.将自然数1，2，3，4，5，…按照下图排列，我们将2，4，7，11，16，…都称为“拐角数”，则第100个“拐角数”为( )
A. 5050
B. 5051
C. 10100
D. 10101
7. 阿波罗尼斯(约公元前262−190年)证明过这样一个命题：平面内到两定点距离之比为常数k(k>0,k≠1)的点的轨迹是圆，后人将这个圆称为阿波罗尼斯圆．若平面内两定点A，B间的距离为2，动点P满足|PA||PB|= 2，则PA2+PB2的最小值为( )
A. 36-24 2B. 48-24 2C. 36 2D. 24 2
8.若0A. bea−ebea+1eb+2b
C. asinb+bsina
二、多选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知点A(2,−3)，B(−3,−2)，斜率为k的直线l过点P(1,1)，则下列满足直线l与线段AB相交的斜率k取值范围是( )
A. k≥34B. k≤−4C. −410.在新高考方案中，选择性考试科目有：物理、化学、生物、政治、历史、地理6门.学生根据高校的要求，结合自身特长兴趣，首先在物理、历史2门科目中选择1门，再从政治、地理、化学、生物4门科目中选择2门，考试成绩计入考生总分，作为统一高考招生录取的依据.某学生想在物理、化学、生物、政治、历史、地理这6门课程中选三门作为选考科目，下列说法正确的是( )
A. 若任意选科，选法总数为C21C42
B. 若化学必选，选法总数为C21C31
C. 若政治和地理至多选一门，选法总数为C21C21C21+C21
D. 若物理必选，化学、生物至少选一门，选法总数为C21C21+C21
11.如图，在棱长为1的正方体ABCD−A1B1C1D1中，P为棱BB1的中点，Q为正方形BB1C1C内一动点(含边界)，则下列说法正确的是( )
A. 三棱锥D−A1D1Q的体积为定值
B. 若D1Q//平面A1PD，则动点Q的轨迹是一条线段
C. 存在Q点，使得D1Q⊥平面A1PD
D. 若直线D1Q与平面BCC1B1所成角的正切值为 2，那么Q点的轨迹长度为 2π4
12.设双曲线E：x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的焦距为2c，离心率为e，且a，c，a+c成等比数列，A是E的一个顶点，F是与A不在y轴同侧的焦点，B是E的虚轴的一个端点，PQ为E的任意一条不过原点且斜率为k(k≠0)的弦，M为PQ中点，O为坐标原点，则( )
A. E的一条渐近线的斜率为 e
B. AB⊥BF
C. kOM⋅kPQ=e(kOM,kPQ分别为直线OM，PQ的斜率)
D. 若OP⊥OQ，则1|OP|2+1|OQ|2=e恒成立
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.若(1−2x)5=a5x5+a4x4+…+a1x+a0，则a0+a1+a2+a3+a4+a5= ______．
14.袋中装有9个形状大小均相同的小球，其中4个红球，3个黑球，2个白球，从中一次取出2个球，记事件A=“两球是同一颜色”，事件B=“两球均为红球”，则P(B|A)= ．
15.已知抛物线E：x2=2py(p>0)的焦点为F，过点F的直线l与抛物线交于A，B两点，与准线交于C点，F为AC的中点，且|AF|=3，则p= ______．
16.已知直线y=ax+b与曲线y=lnx−x相切，则a+b的最小值是 ．
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题10分)
2022年北京冬奥会吉祥物“冰墩墩”，冬残奥会吉祥物“雪容融”，它们的设计充分体现了中国优秀传统文化和奥运精神的融合．如图．
某老师为了增加吉祥物“冰墩墩”和“雪容融”在班级学生中的印象，进行了拼词游戏．请同学在大小相同的6个乒乓球上分别写上“冰”、“墩”、“墩”、“雪”、“容”、“融”，再请其他同学从6个乒乓球中一次取出3个，进行拼词游戏．
(1)若某同学一次抽取三个乒乓球进行拼词游戏，求能拼成吉祥物名称的概率；
(2)若某位同学抽取的三个乒乓球中，至少抽到一个“墩”的概率．
18.(本小题12分)
记Sn为正项数列{an}的前n项和，已知a1=1，Sn+Sn−1=1an(n≥2,n∈N*).
(1)求数列{an}的前n项和Sn；
(2)若bn=(−1)nan，求数列{bn}的前n项和Tn．
19.(本小题12分)
如图，在四棱锥P−ABCD中，底面ABCD是平行四边形，PD⊥平面ABCD，E是棱PC的中点．
(1)证明：PA//平面BDE；
(2)若PD=AD=BD=1，AB= 2，且F为棱PB上一点，DF与平面BDE所成角的大小为30°，求PF：FB的值．
20.(本小题12分)
东方商店欲购进某种食品(保质期两天)，此商店每两天购进该食品一次(购进时，该食品为刚生产的).根据市场调查，该食品每份进价8元，售价12元，如果两天内无法售出，则食品过期作废，且两天内的销售情况互不影响，为了了解市场的需求情况，现统计该产品在本地区100天的销售量如表：
(视样本频率为概率)
(1)根据该产品100天的销售量统计表，记两天中一共销售该食品份数为ξ，求ξ的分布列与期望
(2)以两天内该产品所获得的利润期望为决策依据，东方商店一次性购进32或33份，哪一种得到的利润更大？
21.(本小题12分)
已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)，A为椭圆与y轴交点，F1，F2为椭圆左、右焦点，△AF1F2为等腰直角三角形，且椭圆上的点到焦点的最短距离为2− 2
(1)求椭圆C的方程；
(2)若直线l与椭圆C交于M，N两点，点P(2,0)，记直线PM的斜率为k1，直线PN的斜率为k2，当1k1+1k2=2时，求证直线l恒过一定点．
22.(本小题12分)
已知函数f(x)=ln(x+1)−x+1．
(Ⅰ)求函数f(x)的单调区间；
(Ⅱ)设函数g(x)=aex−x+lna，若函数F(x)=f(x)−g(x)有两个零点，求实数a的取值范围．
答案和解析
1.【答案】C
【解析】【分析】
本题考查数列递推式，考查学生的计算能力，属于基础题．
根据条件，利用递推式，代入计算，即可求得结论．
【解答】
解：∵a1=12,an+1=1−1an，
∴a2=1−2=−1，a3=1+1=2，a4=1−12=12，a5=1−2=−1，
故选C．
2.【答案】A
【解析】解：直线ax+y+3a−1=0即为(x+3)a+y−1=0，则M(−3,1)，
又过点M的直线与直线x+2y+2=0垂直，则所求直线的斜率为2，
由点斜式可知，所求直线方程为y−1=2(x+3)，即2x−y+7=0．
故选：A．
先求出定点M，再根据垂直关系求得所求直线的斜率，最后利用点斜式得答案．
本题考查直线恒过定点问题，两直线垂直的关系以及利用点斜式求直线方程，考查运算求解能力，属于基础题．
3.【答案】D
【解析】解：因为f(x)=xex+3sinx，所以f(0)=0，f′(x)=ex+xex+3csx，
所以切线的斜率k=f′(0)=1+3=4，
所以曲线y=f(x)在点(0,f(0))处的切线方程为y=4x．
故选：D．
求出在点(0,f(0))处的导数即为切线的斜率，直接写出切线方程即可．
本题主要考查利用导数研究曲线上某点的切线方程，考查运算求解能力，属于基础题．
4.【答案】C
【解析】解：四棱柱ABCD−A1B1C1D1中，AB=a，AD=b，AA1=c，
所以CM=CC1+C1M=AA1+12C1A1=AA1−12AC=AA1−12(AB+AD)=−12a−12b+c．
故选：C．
根据空间向量的线性表示，用AB、AD和AA1表示CM即可．
本题考查了空间向量的线性表示应用问题，是基础题．
5.【答案】C
【解析】解：根据题意，分2步进行分析：
①将5人分为3组，要求甲乙在同一组，
若分为1、2、2的三组，有C32=3种分组方法，
若分为1、1、3的三组，有C31=3种分组方法，
则有3+3=6种分组方法，
②将甲乙所在的组分到封控区或管控区，剩下2组任意安排，有2×A22=4种安排方法，
则有6×4=24种安排方法，
故选：C．
根据题意，分2步进行分析：①将5人分为3组，要求甲乙在同一组，②将甲乙所在的组分到封控区或管控区，剩下2组任意安排，由分步计数原理计算可得答案．
本题考查排列组合的应用，涉及分步计数原理的应用，属于基础题．
6.【答案】B
【解析】解：第1个“拐角数”为2=1+1，
第2个“拐角数”为4=1+1+2，
第3个“拐角数”为7=1+1+2+3，
……
故第100个“拐角数”为1+1+2+3+4+⋅⋅⋅+100=1+100(1+100)2=5051．
故选：B．
找出拐角数的规律：第1个“拐角数”为2=1+1，第2个“拐角数”为4=1+1+2，第3个“拐角数”为7=1+1+2+3，按此规律即可求．
本题主要考查了归纳推理，考查了等差数列的求和公式，属于基础题．
7.【答案】A
【解析】【分析】
本题考查轨迹方程的求法，表达式的最值的求法，考查转化思想以及计算能力，属于中档题．
建立直角坐标系，设出P的坐标，求出轨迹方程，然后推出PA2+PB2的表达式，转化求解最小值即可．
【解答】
解：以经过A，B的直线为x轴，线段AB的垂直平分线为y轴，
建立直角坐标系，则A(−1,0)，B(1,0)，
设P(x,y)，
∵|PA||PB|= 2，∴ (x+1)2+y2 (x−1)2+y2= 2，
两边平方并整理得x2+y2−6x+1=0，
所以(x−3)2+y2=8，
所以P点的轨迹是以(3,0)为圆心，2 2为半径的圆，
∴y2=8−(x−3)2，3−2 2≤x≤3+2 2，
则有PA2+PB2=2(x2+y2)+2
=2x2+18−2(x−3)2
=12x≥36−24 2，
则PA2+PB2的最小值为36−24 2．
故选：A．
8.【答案】C
【解析】解：对于A，令f(x)=exx+1且00，
故f(x)在(0,π2)上单调递增，则f(a)>f(b)，即eaa+1>ebb+1，
所以ea(b+1)>eb(a+1)，即bea−eb>aeb−ea，故A错误；
对于B，令f(x)=ex−1ex−2x且02 ex⋅1ex−2=0，
故f(x)在(0,π2)上单调递增，则f(a)>f(b)，即eb−1eb−2b对于C，令f(x)=sinx−1x且00，
故f(x)在(0,π2)上单调递增，则f(a)>f(b)，即sina−1a>sinb−1b，
所以b(sina−1)>a(sinb−1)，则asinb+b对于D，当b=π6,a=π3时，sinbcsa=14故选：C．
A选项，构造f(x)=exx+1且0aeb−ea，A错误；B选项，构造f(x)=ex−1ex−2x且0本题主要考查了导数与单调性关系在不等式大小比较中的应用，构造函数比较大小是高考热点和难点，结合代数式的特点，选择适当的函数，通过导函数研究出函数的单调性，从而比较出代数式的大小，属于中档题．
9.【答案】AB
【解析】解：根据题意，在平面直角坐标系中，作出A，B，P点，如图，
当直线l与线段AB相交时，k≥kPB=1−(−2)1−(−3)=34，k≤kPA=1−(−3)1−2=−4，
所以，斜率k取值范围是k≥34或k≤−4．
故选：AB．
作出图形，数形结合求解即可．
本题考查直线的斜率，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题．
10.【答案】ABC
【解析】解：对于A中，先从物理和历史中，任选1科，再从剩余的四科中任选2科，
根据分步计数原理，可得选法总数为C21C42种，所以A正确；
对于B中，先从物理、历史中选1门，有C21种选法，
若化学必选，再从生物、政治、地理中再选1门，有C31种选法，
由分步计数原理，可得选法共有C21C31种，所以B正确；
对于C中，先从物理和历史中选1门，有C21种选法，
若从政治和地理中只选1门，再从化学和生物中选1门，有C21C21种选法，
若政治和地理都不选，则从化学和生物中选2门，只有1种选法，
由分类计数原理，可得共有C21⋅(C21⋅C21+1)，所以C正确；
对于D中，若物理必选，只有1种选法，
若化学、生物只选1门，则在政治、地理中选1门，有C21C21种选法，
若化学、生物都选，则只有1种选法，
由分类计数原理，可得选法总数为C21C21+1，所以D错误．
故选：ABC．
根据题意，结合分类计数原理和分步计数原理，利用组合数的计算公式，逐项计算，即可求解．
本题考查排列组合及简单的计数问题，考查学生的运算能力，属于中档题．
11.【答案】ABD
【解析】解：对于A，由等体积法可知，三棱柱的体积VD−A1D1Q=VQ−A1D1D=13S△A1D1D×h，
又S△A1D1D=12×1×1=12，点Q到平面A1D1D的距离为1，
所以三棱锥D−A1D1Q的体积为定值，故选项A正确；
对于B，取B1C1、C1C中点E、F，连接D1E、D1F、EF、PF，
由PF//BC1//A1D1且PF=B1C1=A1D1可得，四边形A1PFD1是平行四边形，
∴D1F//A1P，
∵D1F⊄平面A1PD，A1P⊂平面A1PD，
∴D1F//平面A1PD，
同理可得EF/​/平面A1PD，
∵EF∩D1F=F，EF⊂平面D1EF，D1F⊂平面D1EF，
∴平面A1PD/​/平面D1EF，则Q点的轨迹为线段EF，故选项B正确；
对于C，建立如图所示的空间直角坐标系，则A1(1,0,0)，P(1,1,12)，D(0,0,1)，设Q(x,1,z)，0≤x≤1，0≤z≤1，
所以A1D=(−1,0,1)，A1P=(0,1,12)，D1Q=(x,1,z)，
设平面A1PD的一个法向量为m=(a,b,c)，
则m⋅A1D=−a+c=0m⋅A1P=b+c2=0，可得a=cb=−c2，取c=1，则m=(1,−12,1)，
若D1Q⊥平面A1PD，则D1Q//m，即存在λ∈R，使得D1Q=λm，
则x=λ1=−λ2z=λ，解得x=z=−2∉[0,1]，
故不存在点Q使得D1Q⊥平面A1PD，故C选项错误；
对于D，平面BCC1B1的一个法向量为n=(0,1,0)，D1Q=(x,1,z)，
若直线D1Q与平面BCC1B1所成角的正切值为 2，则此角的正弦值是 63，
所以sinθ=|cs〈D1Q,n〉|=|D1Q⋅n||D1Q||n|=|1 x2+1+z2|= 63，
化简得x2+z2=12，
因为点Q为正方形BB1C1C内一动点(含边界)，
所以点Q是以C1为圆心， 22为半径的圆弧(正方形BB1C1C内)，即圆心角为π2的圆弧，弧长为 2π4，故选项D正确．
故选：ABD．
对于A，根据等体积转化，可证明体积为定值；对于B，取B1C1、C1C中点E、F，连接D1E、D1F、EF、PF，证明平面A1PD/​/平面D1EF，则Q点的轨迹为线段EF；对于C，以D1为原点，建立空间直角坐标系，设Q(x,1,z)，0≤x≤1，0≤z≤1，求出平面A1PD的法向量，根据D1Q=λm求出x、z即可判断；对于D，利用线面角的向量公式，得到点Q的轨迹方程，即可求得点Q的轨迹长度．
本题考查等体积法的运用，线面平行以及线面垂直的性质，考查空间向量在立体几何中的运用，考查逻辑推理能力以及运算求解能力，属于中档题．
12.【答案】ABC
【解析】解：因为a，c，a+c成等比数列，所以c2=ac+a2，
所以b2=ac且e2−e−1=0，解得e= 5+12(负根舍)，
又e=ca= 1+(ba)2，所以(ba)2=aca2=ca=e，
所以ba= e，即E的一条渐近线的斜率为 e，故A正确；
不妨设F为左焦点，B为虚轴的上端点，则A为右顶点，
则BF的斜率kBF=bc，AB的斜率kAB=−ba，所以kBF⋅kAB=−b2ac=−1，所以AB⊥BF，故B正确；
设P(x1,y1)，Q(x2,y2)，M(x0,y0)，
则由点差法易得y2−y1x2−x1⋅y2+y1x2+x1=b2a2，即y2−y1x2−x1⋅y0x0=b2a2，
所以kPQ⋅kOM=b2a2=c2−a2a2=aca2=ca=e，故C正确；
设直线OP：y=kx，则直线OQ：y=−1kx，
将y=kx代入双曲线方程b2x2−a2y2=a2b2，得x2=a2b2b2−a2k2，
则y2=a2b2k2b2−a2k2，
∴|OP|2=x2+y2=a2b2(k2+1)b2−a2k2，将k换成−1k得|OQ|2=a2b2(k2+1)b2k2−a2，
则1|OP|2+1|OQ|2=(b2−a2)(k2+1)a2b2(k2+1)=b2−a2a2b2=1a2−1b2= 5−12b2与b的值有关，故D错误．
故选：ABC．
由a，c，a+c成等比数列，得b2=ac且可求得离心率为e，求渐近线的斜率验证选项A；求AB和BF的斜率，验证选项B；利用点差法求验证选项C，通过联立方程组计算|OP|2和|OQ|2的值，验证选项D．
本题考查双曲线的几何性质，点差法的应用，化归转化思想，属中档题．
13.【答案】−1
【解析】解：已知(1−2x)5=a5x5+a4x4+…+a1x+a0，
令x=1，
则a0+a1+a2+a3+a4+a5=(1−2×1)5=−1，
故答案为：−1．
利用赋值法求展开式的系数，令x=1即可得解．
本题考查了二项式定理，重点考查了利用赋值法求展开式的系数，属基础题．
14.【答案】35
【解析】【分析】
本题考查概率的求法，考查条件概率公式等基础知识，考查运算求解能力，属于基础题．
利用条件概率公式能求出结果．
【解答】
解：事件A=“两球是同一颜色”的概率P(A)=C42+C32+C22C92，
事件B=“两球均为红球”的概率P(B)=C42C92，
则P(B|A)=P(AB)P(A)=P(B)P(A)=C42C92C42+C32+C22C92=35．
故答案为35．
15.【答案】32
【解析】解：过点A作准线的垂线，垂足为Q，因为F为AC的中点，且|AF|=3，
则在Rt△ACQ中，FN=12AQ=32，所以P=32，
故答案为：32．
根据三角形中位线定理即可求解．
本题考查抛物线的标准方程及其简单几何性质，属中档题．
16.【答案】−1
【解析】解：直线y=ax+b与曲线y=lnx−x相切，设切点为A(x0,y0)，则y′=1x−1，所以a=1x0−1，
因为x0>0，所以a=1x0−1>−1，
即x0=1a+1，
又y0=ax0+b，y0=lnx0−x0，故ax0+b=lnx0−x0，
将x0=1a+1代入ax0+b=lnx0−x0，得a×1a+1+b=ln1a+1−1a+1，
解得b=−ln(a+1)−1，
故a+b=a−ln(a+1)−1，
令g(x)=x−1−ln(x+1)，x>−1，
则g′(x)=1−1x+1=xx+1，−1当x>0时，g′(x)>0，g(x)单调递增，
故g(x)在x=0处取得极小值，也时最小值，
故g(x)min=1，
故a+b的最小值为−1．
故答案为：−1．
设出切点，得到方程组，得到b=−ln(a+1)−1，故a+b=a−ln(a+1)−1，构造g(x)=x−1−ln(x+1)，x>−1，利用导函数求出最小值，得到答案．
本题考查了利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，考查了利用导数求函数的单调区间，是中档题．
17.【答案】解：(1)记“能拼成吉祥物”为A事件．
基本事件总数在6个乒乓球中任取3个基本事件：n=C63=20种．
而满足能拼成吉祥物名称的基本事件只有2种．
∴能拼成吉祥物名称的概率为P(A)=220=110．
(2)记某位同学抽取的三个乒乓球中，至少抽到一个墩为B事件．
则某位同学抽取的三个乒乓球中，至少抽到一个“墩”的概率为：
P(B)=1−C43C63=45．
【解析】(1)利用古典概型、排列组合直接求解；
(2)利用对立事件概率计算公式直接求解．
本题考查概率的求法，考查古典概型、排列组合、对立事件概率计算公式等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
18.【答案】解：(1)∵n≥2时，an=Sn−Sn−1，Sn+Sn−1=1an(n≥2,n∈N*)，
∴Sn2−Sn−12=1，
S12=a12=1
∴数列{Sn2}是等差数列，首项为1，公差为1，
∴Sn2=1+n−1=n，
∵Sn为正项数列{an}的前n项和，
∴Sn= n．
(2)n≥2时，an=Sn−Sn−1= n− n−1，
n=1时，a1=1也满足上式，
∴an= n− n−1．
bn=(−1)nan=(−1)n( n+ n−1).
∴n=2k(k∈N*)时，数列{bn}的前n项和Tn=T2k=−1+( 2+1)+( 3+ 2)+…+( 2k+ 2k−1)= 2k= n；
n=2k−1(k∈N*)时，数列{bn}的前n项和Tn=Tn+1−bn+1=T2k−b2k= 2k−1−( 2k+ 2k−1)=− n．
∴Tn= n,n为偶数− n,n为奇数，k∈N*．
【解析】(1)n≥2时，an=Sn−Sn−1，与已知Sn+Sn−1=1an(n≥2,n∈N*)联立，相乘可得Sn2−Sn−12=1，利用等差数列的通项公式可得Sn2，进而得出结论．
(2)n≥2时，an=Sn−Sn−1= n− n−1，可得bn=(−1)nan=(−1)n( n+ n−1)，通过分组求和即可得出结论．
本题考查了数列递推关系、等差数列的通项公式、分组求和方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
19.【答案】(1)证明：如图，连接AC交BD于点M，连接EM，
因为M是AC的中点，E是PC的中点，所以PA/​/EM，
又ME⊂平面BDE，PA⊄平面BDE，
所以PA//平面BDE．

(2)解：因为PD=AD=BD=1,AB= 2，所以AD2+BD2=AB2，所以AD⊥BD，故以D为坐标原点，DA为x轴，DB为y轴，DP为z轴建立空间直角坐标系，

则D(0,0,0),A(1,0,0),B(0,1,0),P(0,0,1),C(−1,1,0),E(−12,12,12)，
DE=(−12,12,12),DB=(0,1,0)，
设平面BDE的法向量为n=(x,y,z)，则n⋅DE=−12x+12y+12z=0n⋅DB=y=0，
故取n=(1,0,1)，设PF=λPB(0<λ<1)，则F(0,λ,1−λ),DF=(0,λ,1−λ)，
因为直线DF与平面BDE所成角的大小为30°，
所以|DF⋅n||DF||n|=sin30°=12，即|1−λ| 2⋅ λ2+(1−λ)2=12，
解得λ=12，故此时PF：FB=1：1．
【解析】(1)连接AC交BD于点M，连接EM，即可得到PA/​/EM，从而得证；
(2)依题意可得AD⊥BD，如图建立空间直角坐标系，求出平面BDE的法向量，设PF=λPB(0<λ<1)，利用空间向量法求出线面角的正弦值，即可得到方程，解得λ，即可得解．
本题主要考查线面平行的证明，空间向量及其应用等知识，属于中等题．
20.【答案】解：(1)ξ的可能取值有30，31，32，33，34，35，36，
其中P(ξ=30)=0.2×0.2=0.04，P(ξ=31)=2×0.2×0.3=0.12，
P(ξ=32)=0.3×0.3+2×0.2×0.4=0.25，
P(ξ=33)=2×0.2×0.1+2×0.3×0.4=0.28，
P(ξ=34)=0.4×0.4+2×0.3×0.1=0.22，
P(ξ=35)=2×0.4×0.1=0.08，
P(ξ=36)=0.1×0.1=0.01．
∴ξ的分布列为：
∴E(ξ)=30×0.04+31×0.12+32×0.25+33×0.28+34×0.22+35×0.08+36×0.01=33.11．
(2)当一次性购进32份食品时，设每两天的利润为X，则X的可能取值有104，116，128，
且P(X=104)=0.04，P(X=116)=0.12，P(X=128)=1−0.04−0.12=0.84，
∴E(X)=104×0.04+116×0.12+128×0.84=125.6．
当一次性购进33份食品时，设没两天的利润为Y，则Y的可能取值有96，108，120，132．
且P(Y=96)=0.04，P(Y=108)=0.12，P(Y=120)=0.25，P(Y=132)=1−0.04−0.12−0.25=0.59，
∴E(Y)=96×0.04+108×0.12+120×0.25+132×0.59=124.68．
∵E(X)>E(Y)，
∴东方商店一次性购进32份食品时得到的利润更大．
【解析】(1)计算ξ的各种取值对应的概率，得出分布列，再计算数学期望；
(2)分别计算两种情况下所获利润的数学期望，得出结论．
本题考查了离散型随机变量的分布列，数学期望的计算，属于中档题．
21.【答案】解：(1)由题意得b=ca−c=2− 2a2=b2+c2，解得a=2b= 2c= 2，
∴椭圆C的方程为x24+y22=1；
(2)证明：由题意易知直线l的斜率不为0，
∴可设l：x=my+t，t≠2，M(x1,y1)，N(x2,y2)，
联立x=my+tx2+2y2−4=0，可得(m2+2)y2+2mty+t2−4=0，
由Δ=4m2t2−4(m2+2)(t2−4)>0，可得t2<2m2+4，
∴y1+y2=−2mtm2+2，y1y2=t2−4m2+2，
∴1k1+1k2=x1−2y1+x2−2y2=2m+(t−2)(y1+y2)y1y2
=2m+(t−2)(−2mtm2+2)t2−4m2+2=2m−2mtt+2=2，
∴t=2m−2，
∴直线l的方程为x=my+(2m−2)，
即m(y+2)−2−x=0，
∴直线l恒过一定点(−2,−2)．
【解析】(1)根据题意列出关于a，b，c的方程组，解出即可得结果；
(2)设直线的方程为l：x=my+t，t≠2，M(x1,y1)，N(x2,y2)，联立直线的方程与椭圆方程，通过韦达定理将1k1+1k2=2化简得t=2m−2，即可求出直线恒过的定点．
本题考查椭圆的几何性质，方程思想，直线与椭圆的位置关系，直线恒过定点问题，化归转化思想，属中档题．
22.【答案】解：(Ⅰ)函数的定义域为{x|x>--1}，
f′(x)=1x+1−1=−xx+1，令f′(x)>0，解得−10，
故函数f(x)的单调递增区间为(−1,0)，单减区间为(0,+∞)．
(Ⅱ)要使函数F(x)=f(x)−g(x)有两个零点，
即f(x)=g(x)有两个实根，
即ln(x+1)−x+1=aex−x+lna有两个实根，
即ex+lna+x+lna=ln(x+1)+x+1，
整理为ex+lna+x+lna=eln(x+1)+ln(x+1)，
设函数h(x)=ex+x，则上式为h(x+lna)=h(ln(x+1))，
因为h′(x)=ex+1>0恒成立，所以h(x)=ex+x单调递增，所以x+lna=ln(x+1)，
所以只需使lna=ln(x+1)−x有两个根，设M(x)=ln(x+1)−x，
由(1)可知，函数M(x))的单调递增区间为(−1,0)，单减区间为(0,+∞)，
故函数M(x)在x=0处取得极大值，M(x)max=M(0)=0，
当x→−1时，M(x)→−∞，当x→+∞时，M(x)→−∞，
要想lna=ln(x+1)−x有两个根，只需lna<0，解得0所以a的取值范围是(0,1)．
【解析】(Ⅰ)求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间即可；
(Ⅱ)问题转化为只需使lna=ln(x+1)−x有两个根，设M(x)=ln(x+1)−x，结合函数M(x)的单调性得到只需lna<0，求出a的取值范围即可．
本题考查了函数的单调性问题，考查导数的应用以及函数零点问题，考查转化思想，是难题．销售量(份)
15
16
17
18
天数
20
30
40
10
ξ
30
31
32
33
34
35
36
P
0.04
0.12
0.25
0.28
0.22
0.08
0.01