2022-2023学年河南省洛阳市高二（下）期中数学试卷（文科）（含解析）

这是一份2022-2023学年河南省洛阳市高二（下）期中数学试卷（文科）（含解析），共13页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.直线运动的物体，从时刻t到t+△t时，物体的位移为△s，那么△t→0lim△s△t为( )
A. 从时刻t到t+△t时，物体的平均速度B. 从时刻t到t+△t时位移的平均变化率
C. 当时刻为△t时该物体的速度D. 该物体在t时刻的瞬时速度
2.假设某地在20年间的年均通货膨胀率为5%，物价p(单位：元)与时间t(单位：年)之间的关系为p(t)=p0(1+5%)t，其中p0为t=0时的物价.假定某种商品的p0=1，那么在第10个年头，这种商品的价格上涨的速度大约为(精确到0.001元/年)( )
附：1.0510≈1.6289，1.059≈1.5513，ln1.05≈0.0488．
A. 0.079元/年B. 0.076元/年C. 1.629元/年D. 1.551元/年
3.小明骑车上学，开始时匀速行驶，途中因交通堵塞停留了一段时间，后为了赶时间加快速度行驶，与以上事件吻合得最好的图象是( )
A. B.
C. D.
4.曲线y=e2ax在点(0,1)处的切线垂直于直线2x−y=0，则a=( )
A. 1B. −1C. 14D. −14
5.(x−1)10的展开式中含x5的项的系数是( )
A. C106B. −C106C. C105D. −C105
6.6名同学排成一排，其中甲、乙、丙三人必须在一起的不同排法共有( )
A. 36种B. 72种C. 144种D. 720种
7.已知函数f(x)=x(x−c)2在x=2时有极大值，则f(x)的极大值为( )
A. 0B. 32C. 0或32D. 0或−32
8.(x+ax)(2x−1x)5的展开式中各项系数的和为2，则该展开式中常数项为( )
A. −40B. −20C. 20D. 40
9.函数y=12x2−lnx的单调递增区间为( )
A. [1,+∞)B. ( 0，+∞)C. (−1,0)D. ( 0，1]
10.将5名北京冬奥会志愿者分配到花样滑冰、短道速滑、冰球和冰壶4个项目进行培训，每名志愿者只分配到1个项目，每个项目至少分配1名志愿者，则不同的分配方案共有( )
A. 60种B. 120种C. 240种D. 480种
11.已知函数f(x)=x3−ax2−bx+a2在x=1处有极值10，则a，b的值为( )
A. a=−4，b=11B. a=3，b=−3或a=−4，b=11
C. a=−1，b=5D. a=3，b=−3
12.已知函数f(x)=−x3+x2,x≤0lnxx,x>0，若函数g(x)=f(x)−m有唯一零点，则实数m的取值范围是( )
A. (1e,+∞)B. (e,+∞)
C. (−∞,0)∪(e,+∞)D. (−∞,0)∪(1e,+∞)
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.如图，从甲地到乙地有2条路，从乙地到丁地有4条路；从甲地到丙地有4条路，从丙地到丁地有2条路.则从甲地到丁地共有______条不同的路．
14.已知a，b，c∈(0,1)，且a2−2lna+1=e，b2−2lnb+2=e2，c2−2lnc+3=e3，其中e是自然对数的底数，则实数a，b，c的大小关系是______.(用“<”连接)
15.甲、乙、丙、丁、戊5名学生进行某种劳动技能比赛，决出第1名到第5名的名次(没有同分或者并列的情况).甲、乙两名参赛者去询问成绩，回答者对甲说：“很遗憾，你和乙都未拿到冠军”，对乙说：“你当然不会是最差的”，从这个回答分析，5人的名次排列共可能有______种不同的情况.(用数字作答)
16.已知函数f(x)=3x2+axex(a∈R)，若函数f(x)在[3,+∞)上单调递减，则实数a的取值范围是______．
三、解答题：本题共5小题，共58分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题10分)
已知函数f(x)=excsx−x．
(1)求曲线y=f(x)在点(0,f(0))处的切线方程；
(2)求函数f(x)在区间[0,π2]上的最大值和最小值．
18.(本小题12分)
已知二次函数h(x)=ax2+bx+2，其导函数y=h′(x)的图象如图，f(x)=6lnx+h(x)．
(1)求函数f(x)的解析式；
(2)若函数f(x)在区间(1,m+12)上是单调函数，求实数m的取值范围．
19.(本小题12分)
已知函数f(x)=ex−1−ax．
(1)当a=1时，求证：f(x)≥0；
(2)当x≥0时，f(x)≥x2，求实数a的取值范围．
20.(本小题12分)
已知二项式(12+2x)n．
(1)若展开式中第5项、第6项、第7项的二项式系数成等差数列，求展开式的第8项；
(2)若展开式中前三项的二项式系数的和等于79，求展开式中系数最大的项．
21.(本小题12分)
已知函数f(x)=alnx+bx(a,b∈R,a≠0)的图象在点(1,f(1))处的切线斜率为−a．
(1)求f(x)的单调区间；
(2)讨论方程f(x)=1的实数根的个数．
答案和解析
1.【答案】D
【解析】解：根据题意，直线运动的物体，从时刻t到t+△t时，时间的变化量为△t，而物体的位移为△s，
那么△t→0lim△s△t为该物体在t时刻的瞬时速度；
故选：D．
根据题意，由变化率与导数的关系，分析可得答案．
本题考查变化率的定义，涉及导数的定义，属于基础题．
2.【答案】A
【解析】解：根据基本初等函数的导数公式表，有p′(t)=，
所以p′(10)=≈0.079，
所以在第10个年头，这种商品的价格约以0.079元/年的速度上涨．
故选：A．
利用导数的意义即可求解．
本题考查了函数模型的实际应用，属于中档题．
3.【答案】C
【解析】【分析】
本题考查函数的表示方法--图象法，正确解答本题关键是理解坐标系的度量与小明上学的运动特征，属于基础题．
解答本题，可先研究四个选项中图象的特征，再对照小明上学路上的运动特征，两者对应即可选出正确选项
【解答】
解：考查四个选项，横坐标表示时间，纵坐标表示的是距学校的距离，由此知，此函数图象一定是下降的，由此排除A；
再由小明骑车上学，开始时匀速行驶可得出图象开始一段是直线下降型，又途中因交通堵塞停留了一段时间，故此时有一段函数图象与x轴平行，由此排除D，
之后为了赶时间加快速度行驶，此一段时间段内函数图象下降的比较快，由此可确定C正确，B不正确．
故选：C．
4.【答案】D
【解析】解：由y=e2ax，得y′=2ae2ax，
∴y′|x=0=2a，
∵曲线y=e2ax在点(0,1)处的切线垂直于直线2x−y=0，
∴2×2a=−1，即a=−14．
故选：D．
求出原函数的导函数，得到函数在x=0处的导数值，再由两直线垂直与斜率的关系列式求解a值．
本题考查导数的几何意义及应用，考查两直线垂直与斜率的关系，是基础题．
5.【答案】D
【解析】解：(x−1)10的展开式的通项公式：Tk+1=∁10kx10−k(−1)k，
令10−k=5，解得k=5．
∴含x5的项的系数为−∁105．
故选：D．
利用通项公式即可得出．
本题考查了二项式定理的通项公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
6.【答案】C
【解析】解：分两步，
①先排甲、乙、丙三人看作整体，不同排法共有A33=6种，
②将甲、乙、丙三人这个整体与其余三人排列，不同排法共有A44=24种，
∴不同排法共有6×24=144种．
故选：C．
分2步：①将甲乙丙三人看成一个整体，②将剩下的3人与这个整体全排列即可．
本题考查排列、组合的应用，注意相邻问题的处理方法，属于中档题．
7.【答案】B
【解析】解：∵f(x)=x(x−c)2，∴f′(x)=(x−c)2+x⋅2(x−c)=3x2−4cx+c2=(x−c)(3x−c)，
∵f(x)在x=2处取得极大值，∴f′(2)=0，
即(2−c)(6−c)=0，∴c=2或c=6，
当c=2时，f′(x)=(x−2)(3x−2)，
令f′(x)>0，则x<23或x>2，∴f(x)在(−∞,23)，(2,+∞)上单调递增，
令f′(x)<0，则23∴x=2是f(x)的极小值点，在x=2处取得极小值，不合题意；
当c=6时，f′(x)=(x−6)(3x−6)，
令f′(x)>0，则x<2或x>6，∴f(x)在(−∞,2)，(6,+∞)上单调递增，
令f′(x)<0，则2∴x=2是f(x)的极大值点，x=6是f(x)的极小值点，
∴f(x)的极大值为f(2)=2×(2−6)2=32．
故选：B．
求出原函数的导函数，由f′(2)=0，求得c=2或c=6，验证可知c=2时不符合题意，可得c=6，再求出f(2)的值即可．
本题考查导函数零点与函数极值的关系，考查运算求解能力，是中档题．
8.【答案】D
【解析】解：令x=1则有1+a=2，得a=1，故二项式为(x+1x)(2x−1x)5
故其常数项为−22×C53+23C52=40．
故选：D．
由于二项式展开式中各项的系数的和为2，故可以令x=1，建立a的方程，解出a的值，然后再由规律求出常数项．
本题考查二项式系数的性质，解题关键是掌握二项式系数的公式，以及根据二项式的形式判断出常数项的取法，理解题意，作出正确判断很重要．
9.【答案】A
【解析】解：由题意得，y=12x2−lnx，
根据对数函数有意义的条件得，x>0，
因为y′=x−1x，
所以当y′=x−1x≥0时，x≥1x，
所以x≥1，此时函数单调递增，
综上所述，函数y=12x2−lnx的单调递增区间为[1,+∞)．
故选：A．
由题意，根据对数函数有意义的条件得，x>0，求导，令y′=x−1x≥0，解得x≥1，即可求解单调递增区间．
本题考查了对数函数的性质以及利用导数研究函数的单调性，考查了函数思想，属于中档题．
10.【答案】C
【解析】【分析】
本题主要考查排列组合的应用，利用先分组后排列的方法是解决本题的关键，是基础题．
5人先选2人一组，然后4组全排列即可．
【解答】
解：5名志愿者选2个1组，有C52种方法，然后4组进行全排列，有A44种，
共有C52A44=240种．
故选：C．
11.【答案】A
【解析】解：f′(x)=3x2−2ax−b，
由题意得f(1)=1−a−b+a2=10f′(1)=3−2a−b=0，
解得a=3，b=−3或a=−4，b=11，
当a=3，b=−3时，f′(x)=3x2−6x+3=3(x−1)2≥0，
故f(x)在R上单调递增，不存在极值，不符合题意．
故选：A．
先对函数求导，然后结合导数与单调性及极值关系即可求解．
本题主要考查了导数与单调性及极值关系的应用，属于基础题．
12.【答案】D
【解析】解：当x≤0时，f(x)=−x3+x2，f′(x)=−3x(x−23)≤0，则f(x)单调递减；
当x>0时，f(x)=lnxx,f′(x)=1−lnxx2，当x=e 时，f′(x)=0，
当x>e时，f′(x)<0，f(x)单调递减；当00，f(x)单调递增，
所以在x=e处取得极大值，f(e)=1e，并且有x>e，f(x)>0，函数f(x)的大致图象如图：
由图可知：g(x)=f(x)−m 只有1个零点，则m>1e或m<0．
故选：D．
分段求导，根据单调性以及极值点作函数图像，根据图像求解．
本题考查函数与方程的关系，以及函数的零点个数，考查方程思想和数形结合思想、运算能力和推理能力，属于中档题．
13.【答案】16
【解析】解：分两类如下，
①从甲到乙再到丁，共有2×4=8种，
②从甲到丙再到丁，共有4×2=8种，
根据分类加法计数原理可得，共有8+8=16种，
则从甲地到丁地共有16条不同的路线．
故答案为：16．
先分类，再分步，即可求解．
本题考查了分步乘法和分类加法计数原理，属于基础题．
14.【答案】c【解析】解：设f(x)=x2−2lnx，g(x)=ex−x，则f′(x)=2x−2x=2(x2−1)x，g′(x)=ex−1，
由题意知，f(a)=g(1)，f(b)=g(2)，f(c)=g(3)，
因为g′(x)=ex−1>0在(0,+∞)上恒成立，所以g(x)在(0,+∞)上单调递增，
所以g(1)因为f′(x)=2(x2−1)x<0在(0,1)上恒成立，所以f(x)在(0,1)上单调递减，
所以c故答案为：c构造函数f(x)=x2−2lnx，g(x)=ex−x，则f(a)=g(1)，f(b)=g(2)，f(c)=g(3)，分别利用导数研究函数f(x)在(0,1)上的单调性和g(x)在(0,+∞)上的单调性，即可．
本题考查利用导数研究函数的单调性，构造新函数，研究其单调性是解题的关键，考查转化思想，逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．
15.【答案】54
【解析】解：由题意可得：甲、乙都不是第一名，且乙不是最后一名，
先排乙，有第二、三、四名3种情况，
再排甲，除第一名和乙排的名次外，甲有3种情况，
其他三名同学排在三位置全排列有A33种，
由分步乘法计数原理可知共有3×3×A33=54种．
故答案为：54．
由题意可得：甲、乙都不是第一名，且乙不是最后一名，先排乙，再排甲，其他三名同学在三个位置上全排列，由分步乘法计数原理即可求解．
本题考查简单的排列问题以及计数原理的运用，考查运算求解能力，属于基础题．
16.【答案】[−92,+∞)
【解析】解：f′(x)=(6−a)x+a−3x2ex，
因为f(x)在[3,+∞)上单调递减，故∀x∈[3,+∞)，有f′(x)≤0恒成立，
故(6−a)x+a−3x2≤0对∀x∈[3,+∞)恒成立，
所以6x−3x2≤a(x−1)对∀x∈[3,+∞)恒成立，
故a≥6x−3x2x−1=−3(x−1)+3x−1对∀x∈[3,+∞)恒成立，
令t=x−1≥2，而y=−3t+3t在[2,+∞)上为减函数，
故y=−3t+3t在[2,+∞)上最大值为−92，
故a≥−92．
故答案为：[−92,+∞)．
求出函数的导数，利用导数非负可求参数的取值范围．
本题主要考查利用导数研究函数的最值，考查运算求解能力，属于中档题．
17.【答案】解：(1)∵f(x)=excsx−x，
∴f′(x)=ex(csx−sinx)−1，
可得曲线y=f(x)在点(0,f(0))处的切线斜率为k=f′0=0，
f0=1，切点为(0,1)，
曲线y=f(x)在点(0,f(0))处的切线方程为y=1；
(2)f(x)=excsx−x，
f′(x)=ex(csx−sinx)−1，
令g(x)=ex(csx−sinx)−1，
g′(x)=ex(csx−sinx−sinx−csx)=−2ex⋅sinx，
当x∈[0,π2]，可得g′(x)=−2ex⋅sinx≤0，
即有g(x)在[0,π2]上单调递减，
可得g(x)≤g(0)=0，即f′x≤0，
则f(x)在[0,π2]上单调递减，
即有函数f(x)在区间[0,π2]上的最大值为f(0)=e0cs0−0=1；
最小值为f(π2)=eπ2csπ2−π2=−π2．
【解析】本题主要考查导数的运用：求切线的方程和最值，考查运算能力，正确求导是解题的关键，属于中等题．
(1)求出f(x)的导数，可得切线的斜率，由点斜式方程即可得到所求方程；
(2)求出f(x)的导数，再令g(x)=f′(x)，求出g(x)的导数，可得g(x)在区间[0,π2]的单调性和最大值，即可得到f(x)的单调性，进而得到f(x)的最值．
18.【答案】解：(1)由已知，h′(x)=2ax+b，
其图象为直线，且过(0,−8)，(4,0)两点，
把两点坐标代入h′(x)=2ax+b，
∴2a=2b=−8，解得：a=1b=−8，
∴h(x)=x2−8x+2，h′(x)=2x−8，
∴f(x)=6lnx+x2−8x+2，
(2)f′(x)=6x+2x−8=2(x−1)(x−3)x，
∵x>0，∴x，f′(x)，f(x)的变化如下：
∴f(x)的单调递增区间为(0,1)和(3,+∞)∴f(x)的单调递减区间为(1,3)
要使函数f(x)在区间(1,m+12)上是单调函数，
则m+12≤31【解析】本题考查了求函数的解析式问题，考查导数的应用，考查函数的单调性问题，是一道中档题．
(1)先求出f(x)的导数，通过待定系数法求出a，b的值，从而求出f(x)的解析式；
(2)求出f(x)的导数，得到函数的单调区间，集合函数的单调性求出m的范围即可．
19.【答案】解：(1)证明：当a=1时，f(x)=ex−1−x，则f′(x)=ex−1，
由f′(x)>0得x>1，由f′(x)<0得x<0，
∴f(x)在(−∞,0)上单调递减，在(0,+∞)上单调递增，
∴f(x)≥f(0)=0，
故当a=1时，f(x)≥0得证；
(2)由f(x)≥x2得ax≤ex−1−x2(x≥0)，
当x=0时，上式显然成立；
当x>0时，a≤ex−1−x2x(x>0)，
令g(x)=ex−1−x2x(x>0)，则g′(x)=(x−1)(ex−x−1)x2，
考虑到(1)，当x>0时，ex−x−1>0，
∴由g′(x)<0得00得x>1，
∴g(x)在(0,1)上单调递减，在(1,+∞)上单调递增，
∴x=1是g(x)的极小值点，也是g(x)的最小值点，且g(x)min=g(1)=e−2，
∴a≤e−2，即实数a的取值范围为(−∞,e−2]．
【解析】(1)将a=1代入，求导，得到函数的单调性，进而得到其取值情况，由此得证；
(2)依题意，ax≤ex−1−x2(x≥0)，当x=0时显然成立，当x>0时，转化为a≤ex−1−x2x(x>0)，令g(x)=ex−1−x2x(x>0)，求出函数g(x)的最小值即可．
本题考查利用导数研究函数的单调性，极值及最值，考查不等式的证明记恒成立问题，考查推理能力及运算能力，属于中档题．
20.【答案】解：(1)由题意，得Cn4+Cn6=2Cn5，即n2−21n+98=0，解得n=7或n=14，
当n=7时，展开式的第8项为T8=C77(12)0(2x)7=27x7=128x7，
当n=14时，展开式的第8项为T8=C147(12)7(2x)7=3432x7；
(2)由题意，得Cn0+Cn1+Cn2=79，即n2+n−156=0，解得n=12或n=−13(舍去)，
设展开式中第k+1项的系数最大，由于(12+2x)12=(12)12(1+4x)12，
则C12k4k≥C12k−14k−1C12k4k≥C12k+14k+1，所以9.4≤k≤10.4，又∵k∈{0,1,2,…,12}，∴k=10，
∴展开式中系数最大的项为第11项，且T11=(12)12C1210(4x)10=16896x10．
【解析】(1)由题意有Cn4+Cn6=2Cn5，得n=7或n=14，分别求展开式的第8项；(2)由题意有Cn0+Cn1+Cn2=79，得n=12，列不等式组可得k的取值，确定展开式中系数最大的项．
本题考查二项式定理的应用，属于中档题．
21.【答案】解：(1)f′(x)=a−b−alnxx2，由f′(1)=a−b=−a，得b=2a，
所以f(x)=a(lnx+2)x，f′(x)=−a(lnx+1)x2．
当a>0时，由f′(x)>0，得01e；
当a<0时，由f′(x)>0，得x>1e；由f′(x)<0，得0所以当a>0时，f(x)在区间(0,1e)上单调递增，在区间(1e,+∞)上单调递减；
当a<0时，f(x)在区间(1e,+∞)上单调递增，在区间(0,1e)上单调递减；
(2)由f(x)=1，alnx+2ax=1，即方程lnx+2x=1a．
设h(x)=lnx+2x，h′(x)=−1−lnxx2，令h′(x)=0，得x=1e．
当x∈(0,1e)时，h′(x)>0，当x∈(1e,+∞)时，h′(x)<0，
故h(x)在区间(0,1e)上单调递增，在区间(1e,+∞)上单调递减．
所以当x=1e时，h(x)取最大值，最大值为h(1e)=e．
又h(x)在区间(1e,+∞)上单调递减且h(x)=lnx+2x>0，当x无限增大时，h(x)无限接近于零；h(x)在区间(0,1e)上单调递增，且当x无限接近零时，h(x)接近负无穷；
所以当a>1e时，y=1a与h(x)有两个交点；当a=1e或a<0时，y=1a与h(x)有1个交点；当0所以当a>1e时，方程f(x)=1有两个不同的实数根；当a=1e或a<0时，方程f(x)=1只有一个实数根；当0【解析】(1)分成a>0和a<0两种情况，利用导数讨论函数的单调性；
(2)参变分离，讨论函数y=1a与h(x)=lnx+2x的交点情况．
本题主要考查导数知识的综合应用，考查计算能力，属于中档题． x
(0,1)
1
(1,3)
3
(3,+∞)
f′(x)
+
0
−
0
+
f(x)
递增
递减
递增