2023-2024学年河南省洛阳市栾川第一高级中学高一（上）期末数学试卷（含解析）

这是一份2023-2024学年河南省洛阳市栾川第一高级中学高一（上）期末数学试卷（含解析），共13页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.已知集合A={x|lg(x−1)≤0}，B={x|−1≤x≤3}，则A∩B=( )
A. [−1,3]B. (1,2]C. (1,3]D. [−1,2]
2.命题“∃x<1，使x2≥1”的否定是( )
A. “∃x>1，使x2≥1”B. “∃x<1，使x2≤1”
C. “∀x≥1，使x2<1”D. “∀x<1，使x2<1”
3.函数f(x)的定义域为[−2,4]，则y=f(2x)x−1的定义域为( )
A. (1,8]B. [−4,1)∪(1,8]C. (1,2]D. [−1,1)∪(1,2]
4.“lgaA. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
5.若α∈(0,π2)，cs(α+π6)=13，则sin(2α+π3)=( )
A. 29B. 23C. 4 29D. 23
6.设a=lg37，b=21.1，c=0.83.1，则( )
A. b7.函数y=sin2x1+csx的部分图象大致为( )
A. B.
C. D.
8.已知函数f(x)=ax,x≤12(2a−1)x,x>12在R上单调递增，则a的取值范围是( )
A. (2− 32,12]B. [2+ 32,+∞)C. [2− 32,1)D. (1,2+ 32]
二、多选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列函数中以2π为周期的是( )
A. y=tanx2B. y=sinx2C. y=sin|x|D. y=cs|x|
10.已知π4≤α≤π，sin2α=35，则( )
A. sinα=−3 1010B. sinα−csα= 105
C. csα= 1010D. sinα+csα= 105
11.已知函数f(x)=sin(2x−π3)，则下列结论正确的是( )
A. π为函数f(x)的最小正周期
B. 点(2π3,0)是函数f(x)图象的一个对称中心
C. 函数f(x)在[0,π4]上单调递增
D. 函数f(x)的图象关于直线x=π12对称
12.设函数f(x)的定义域为R，f(x−1)为奇函数，f(x+1)为偶函数，当x∈[−1,1]时，f(x)=−x2+1，则下列结论正确的是( )
A. f(72)=34B. f(x+7)为奇函数
C. f(x)在(6,8)上为减函数D. 方程f(x)+lgx=0仅有6个实数解
三、填空题：本题共4小题，共18分。
13.已知函数f(x)=2x,x≤4,lg3(x+1),x>4,则f(f(3))= ______ ．
14.已知角θ的终边经过点P(−2,−4)，则tanθ= ，3sin2θ−sinθcsθ1+cs2θ= ．
15.已知实数x，y满足x>2y>0，且x+y=1，则4x+4y+1x−2y的最小值为______ ．
16.斐波那契螺旋线被称为自然界最完美的“黄金螺旋”，它的画法是：以斐波那契数1，1，2，3，5，8，…为边长的正方形按如图的方式拼成长方形，并以每个正方形的某一顶点为圆心画一个圆心角为90°的圆弧，这些圆弧连成的弧线被称为斐波那契螺旋线，图中的弧线就是斐波那契螺旋线的前一部分，则阴影部分的面积与矩形ABCD的面积之比为______ ．
四、解答题：本题共6小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题12分)
已知集合A={y|y=3x−1,0≤x≤1}，B={x|(x−a)[(x−(a+3))]<0}．
(1)若a=1，求A∪B；
(2)若A∩B=⌀，求实数a的取值范围．
18.(本小题12分)
已知角α终边上一点P的坐标为(m,4m)，其中m≠0．
(1)若α∈(0,π2)，求sinα，csα，tanα的值；
(2)求1+3sinαcsαsin2α−2cs2α的值．
19.(本小题12分)
已知函数f(x)=1−a2x+1是定义在R上的奇函数．
(1)求实数a的值，并判断函数f(x)的单调性；
(2)求函数f(x)的值域．
20.(本小题12分)
已知函数f(x)=2sin(ωx+π3)(ω>0)的图象相邻两条对称轴之间的距离为π2．
(1)求f(x)的解析式和单调递增区间；
(2)求函数f(x)在区间[−π6,π2]上值域．
21.(本小题12分)
如图，某中学准备在校园里利用院墙的一段，再砌三面墙，围成一个矩形花园ABCD，已知院墙MN长为25米.篱笆长60米(篱笆全部用完)，设篱笆的一面AB的长为x米．
(1)当AB的长为多少米时，矩形花园的面积为400平方米？
(2)若围成的矩形ABCD的面积为S平方米，当x为何值时，S有最大值，最大值是多少？
22.(本小题12分)
已知函数f(x)=a(lg2x)2−2alg2x+b−1(a>0)在区间[4,8]上的最大值为2，最小值为−1．
(1)求实数a，b的值；
(2)若对任意的x∈[1,4]，f(x)≤klg2x恒成立，求实数k的取值范围．
答案和解析
1.【答案】B
【解析】解∵0∴A=(1,2]，
∵B={x|−1≤x≤3}=[−1,3]
∴A∩B=(1,2]，
故选：B．
求解对数型函数的定义域化简集合A，然后直接利用交集运算求解．
本题考查了交集及其运算，考查了对数函数的定义域，是基础题．
2.【答案】D
【解析】解：命题“∃x<1，使x2≥1”的否定是“∀x<1，使x2<1”．
故选：D．
直接根据特称命题的否定是全称命题得到答案．
本题主要考查特称命题的否定，属于基础题．
3.【答案】D
【解析】解：由题意得−2≤2x≤4x−1≠0，解得−1≤x≤2且x≠1．
故选：D．
利用抽象函数和分式函数的定义域求解．
本题主要考查函数的定义域及其求法，属于基础题．
4.【答案】A
【解析】解：由lga由y=x3在R上单调递增，则有a3当a3在a所以“lga故选：A．
根据充分条件以及必要条件的定义，分别判断充分性以及必要性即可得出答案．
本题主要考查充分必要条件的判断，指、对数不等式的解法，属于基础题．
5.【答案】C
【解析】解：α∈(0,π2)，
故α+π6∈(π6,2π3)，
又cs(α+π6)=13，sin(α+π6)= 1−19=2 23，sin(2α+π3)=sin[2(α+π6)]=2sin(α+π6)cs(α+π6)=2×2 23×13=4 29．
故选：C．
确定α+π6∈(π6,2π3)，sin(α+π6)=2 23，sin(2α+π3)=2sin(α+π6)cs(α+π6)，代入计算得到答案．
本题主要考查二倍角的三角函数，属于基础题．
6.【答案】D
【解析】解：c=0.83.1<0.80=1，且c>0，即0a=lg37b=21.1>21=2，则c故选：D．
三个数分别与1，2比较大小，即可得．
本题考查利用函数性质比较大小，属于基础题．
7.【答案】A
【解析】解：函数y=sin2x1+csx满足f(−x)=−sin2x1+csx=−f(x)，函数的奇函数，排除D、C，
因为x∈(0,π2)时，y=sin2x1+csx>0，此时对应点在第一象限，所以排除B，
故选：A．
利用函数的奇偶性排除选项，然后利用特殊值判断即可．
本题考查函数的图象的判断，函数的奇偶性以及函数值的应用，考查分析问题解决问题的能力．
8.【答案】B
【解析】解：根据题意，函数f(x)=ax,x≤12(2a−1)x,x>12在R上单调递增，
当x≤12时，f(x)=ax，若f(x)在(−∞,12]上单调递增，则有a>1；
当x>12时，f(x)=(2a−1)x，若f(x)在(12,+∞)上单调递增，所以2a−1>0，即a>12；
同时，在x=12处，(2a−1)x≥ax，即12(2a−1)≥a12，即a−12≥a12，
因为a>1，所以a2−a+14≥a，即4a2−8a+1≥0，
解得a≥2+ 32或a≤2− 32(舍去)，
综上：a≥2+ 32，即a∈[2+ 32,+∞)．
故选：B．
根据题意，由函数单调性的定义可得关于a的不等式，解可得答案．
本题考查分段函数的性质，注意函数单调性的定义，属于基础题．
9.【答案】AD
【解析】解：对于A，y=tanx2，则T=π12=2π，故A正确；
对于B，y=sinx2，则T=2π12=4π，
所以y=sinx2不以2π为周期，故B错误；
对于C，因为y=f(x)=sin|x|，
所以f(−π2)=sin|−π2|=sinπ2=1，f(−π2+2π)=f(3π2)=sin|3π2|=sin3π2=−1，
所以至少存在x=−π2，使得f(x+2π)≠f(x)，
所以f(x)不是以2π为周期的周期函数，故C错误；
对于D，y=cs|x|=csx，则T=2π1=2π，故D正确．
故选：AD．
对于ABD，利用三角函数的性质以及周期公式逐一判断即可；对于C，举例子证明f(x)不是周期函数即可判断．
本题考查了三角函数的性质以及周期公式的应用，考查了函数思想的应用，属于中档题．
10.【答案】BC
【解析】解：π4≤α≤π，则π2≤2α≤2π，sin2α=35>0，
故π2≤2α≤π，π4≤α≤π2，cs2α=− 1−sin22α=−45，cs2α=−45=1−2sin2α，得到sinα=3 1010，A错误；
cs2α=−45=2cs2α−1，得到csα= 1010，C正确；
sinα−csα=3 1010− 1010= 105，B正确；
sinα+csα=3 1010+ 1010=2 105，D错误．
故选：BC．
根据sin2α>0得到π4≤α≤π2，计算cs2α=−45，再利用二倍角公式得到sinα=3 1010和csα= 1010，对比选项得到答案．
本题主要考查二倍角的三角函数，属于基础题．
11.【答案】ABC
【解析】解：由于函数f(x)=sin(2x−π3)，故函数的最小正周期为2π2=π，故A正确；
当x=2π3时，f(2π3)=sinπ=0，故B正确；
当x∈[0,π4]，故2x−π3∈[−π3,π6]，故函数在该区间上单调递增，故C正确；
当x=π12时，f(π12)=−12，故D错误．
故选：ABC．
直接利用正弦型函数的性质判断A、B、C、D的结论．
本题考查的知识要点：正弦型函数的性质，主要考查学生的理解能力和计算能力，属于基础题和易错题．
12.【答案】BD
【解析】解：因为f(x+1)为偶函数，
所以f(x+1)=f(−x+1)，
所以f(x−1+1)=f(−(x−1)+1)，即f(x)=f(−x+2)，
因为f(x−1)为奇函数，所以f(x−1)=−f(−x−1)，
所以f(−x+3−1)=−f(−(−x+3)−1)，即f(−x+2)=−f(x−4)，
所以f(x)=−f(x−4)，
所以f(x−4)=−f(x−4−4)=−f(x−8)，
所以f(x)=f(x−8)，
所以f(x+8)=f(x)，即函数f(x)的一个周期为8．
在f(x)=f(−x+2)中，令x=72，得f(72)=f(−72+2)=f(−32)，
在f(x−1)=−f(−x−1)中，令x=−12，得f(−32)=−f(12−1)=−f(−12)，
又f(−12)=−14+1=34，所以f(72)=f(−32)=−f(−12)=−34，故A错误；
因为f(x)=−x2+1在区间(−1,0)上是增函数，且f(x)的一个周期为8，
所以f(x)在(7,8)上单调递增，在(6,8)上不为减函数．故C错误；
因为f(x+8)=f(x)，所以f(x+7)=f(x−1)，
所以f(−x+7)=f(−x−1)=−f(x−1)=−f(x−1+8)=−f(x+7)，
从而f(x+7)为奇函数，故B正确；
因为f(x−1)为奇函数，所以f(x)的图象关于点(−1,0)对称，
因为f(x+1)为偶函数，所以f(x)的图象关于直线x=1对称，
又当x∈[−1,1]时，f(x)=−x2+1，
作出f(x)与y=−lgx的大致图象，如图所示．
其中y=−lgx单调递减且−lg12<−1，所以两函数图象有6个交点，
故方程f(x)+lgx=0仅有6个实数解，故D正确．
故选：BD．
根据f(x−1)为奇函数，f(x+1)为偶函数，推出函数f(x)的一个周期为8、f(x)的图象关于点(−1,0)对称、关于直线x=1对称，再根据这些性质可判断A错误，B正确，C错误；作出f(x)与y=−lgx的大致图象，结合图像可判断D正确．
本题考查函数的性质，属于中档题．
13.【答案】2
【解析】解：因为f(3)=23=8，所以f(8)=lg3(8+1)=lg39=2，
所以f(f(3))=2．
故答案为：2．
先求内层函数值，再求外层函数值即可
本题主要考查了函数值的求解，属于基础题．
14.【答案】2 53
【解析】解：∵角θ的终边经过点P(−2,−4)，
∴tanθ=−4−2=2；
∴3sin2θ−sinθcsθ1+cs2θ=3sin2θ−sinθcsθsin2θ+2cs2θ=3tan2θ−tanθtan2θ+2=3×4−24+2=53．
故答案为：2；53．
根据任意角的三角函数的定义、同角三角函数基本关系式，直接运算即可．
本题主要考查任意角的三角函数的定义、同角三角函数基本关系式，属于基础题．
15.【答案】92
【解析】解：实数x，y满足x>2y>0，且x+y=1，
则4x+4y+1x−2y=4x+4yx+4y+x+yx−2y=2(x+4y)+2(x−2y)x+4y+12(x+4y)+12(x−2y)x−2y
=2+2(x−2y)x+4y+12+12(x+4y)x−2y≥2+12+2 2(x−2y)x+4y⋅12(x+4y)x−2y=92．
当且仅当2(x−2y)x+4y=12(x+4y)x−2y，即x=89,y=19时等号成立．
所以4x+4y+1x−2y的最小值为92．
故答案为：92．
由4x+4y+1x−2y=2+12+2(x−2y)x+4y+12(x+4y)x−2y，利用基本不等式求最小值．
本题主要考查基本不等式的应用，考查计算能力，属于基础题．
16.【答案】π4
【解析】解：由题意知，矩形ABCD的面积为S=(3+5)×(5+8)=104，
而阴影部分的面积为S1=14π(12+12+22+32+52+82)=26π，
所以阴影部分的面积与矩形ABCD的面积之比为26π104=π4．
故答案为：π4．
由圆的面积公式和矩形的面积公式，分别求得其面积，即可得解．
本题主要考查扇形面积公式，属于基础题．
17.【答案】解：A=[−1,2]，B=(a,a+3)，
(1)a=1时，B=(1,4)，
∴A∪B=[−1,4)；
(2)∵A∩B=⌀，
∴a≥2，或a+3≤−1，
∴a≥2，或a≤−4，
∴实数a的取值范围为{a|a≤−4，或a≥2}．
【解析】考查描述法和区间表示集合的定义，并集、交集的运算，空集的概念．
(1)可先求出A=[−1,2]，B=(a,a+3)，a=1时，得出集合B，然后进行并集的运算即可；
(2)根据A∩B=⌀即可得出a≥2，或a+3≤−1，从而得出实数a的取值范围．
18.【答案】解：(1)∵角α终边上一点P的坐标为(m,4m)，其中m≠0，
若α∈(0,π2)，则m>0，
sinα=4m m2+16m2=4 17m17m=4 1717，csα=m m2+16m2= 1717，tanα=4mm=4．
(2)1+3sinαcsαsin2α−2cs2α=sin2α+cs2α+3sinαcsαsin2α−2cs2α=tan2α+1+3tanαtan2α−2=16+1+1216−2=2914．
【解析】(1)由题意，利用任意角的三角函数的定义，求得sinα，csα，tanα的值．
(2)由题意，利用同角三角函数的基本关系，求出1+3sinαcsαsin2α−2cs2α的值．
本题主要考查任意角的三角函数的定义，同角三角函数的基本关系，属于基础题．
19.【答案】解：(1)由题可知，函数f(x)=1−a2x+1是定义在R上的奇函数，
∴f(0)=0，即1−a20+1=0⇒a=2，
经检验a=2时，f(x)为奇函数，
则f(x)=1−22x+1，
令x1则f(x1)−f(x2)=1−22x1+1−1+22x2+1=2(2x1−2x2)(2x1+1)(2x2+1)，
∵为y=2x增函数，x1∴2x1−2x2<0，
∴f(x1)−f(x2)<0，即f(x1)∴函数f(x)=1−22x+1为增函数；
(2)∵2x>0，
∴2x+1>1，
∴0<21+2x<2，
∴−2<−21+2x<0，
∴−1<1−21+2x<1，
∴函数f(x)的值域为(−1,1)．
【解析】(1)根据函数为R上的奇函数可得f(0)=0，即可求出a，再利用定义法即可判断函数的单调性；
(2)先由2x>0得2x+1>1，从而可求得−21+2x的范围，进而可得函数的值域．
本题主要考查了函数的奇偶性及单调性的判断及应用，属于基础题．
20.【答案】解：(1)因为相邻两条对称轴之间的距离为π2，所以f(x)的最小正周期T=π，
所以T=2π|ω|，∵ω>0，则ω=2，∴f(x)=2sin(2x+π3)，
又因为当2kπ−π2≤2x+π3≤2kπ+π2，k∈Z时函数f(x)单调递增，
即kπ−5π12≤x≤kπ+π12，k∈Z，
所以函数f(x)的单调递增区间为[kπ−5π12,kπ+π12],(k∈Z)；
(2)(2)当x∈[−π6,π2]时，2x+π3∈[0,4π3]，所以sin(2x+π3)∈[− 32,1]，
所以函数f(x)在区间[−π6,π2]的值域为[− 3,2]．
【解析】(1)根据正弦型函数的性质得出ω的值，结合正弦函数的单调性确定函数f(x)的单调递增区间；
(2)根据正弦函数的性质得出sin(2x+π3)∈[− 32,1]，进而得出函数f(x)在区间[−π6,π2]上的值域．
本题主要考查正弦函数的图象与性质，考查运算求解能力，属于中档题．
21.【答案】解：(1)由已知可得：2AB+BC=60，
所以BC=60−2AB=60−2x．
所以面积S=AB×BC=x(60−2x)=400，
整理可得x2−30x+200=0，解得x=10或x=20，
所以当AB的长为10米或20米时，矩形花园的面积为400平方米；
(2)由已知可得，S=x(60−2x)=−2x2+60x，
又60−2x≤25，所以x≥17.5，
所以S=−2x2+60x，17.5≤x<30．
又S=−2x2+60x=−2(x−15)2+450，
根据二次函数的性质可知S=−2(x−15)2+450在[17.5,30)上单调递减，
所以当x=17.5时，S有最大值437.5．
【解析】(1)根据已知列出方程x(60−2x)=400，整理求解即可得出答案；
(2)由已知可得S=−2x2+60x，17.5≤x<30，根据二次函数的单调性，即可得出答案．
本题考查函数的实际应用，属中档题．
22.【答案】解：(1)x∈[4,8]，令t=lg2x，设m(t)=at2−2at+b−1(a>0)，t∈[2,3]，
∵a>0，对称轴为t=1，
∴m(t)=at2−2at+b−1在[2,3]上单调递增，
则m(2)=4a−4a+b−1=−1m(3)=9a−6a+b−1=2，解得a=1b=0，
∴实数a的值为1，b的值为0．
(2)由f(x)≤klg2x，得(lg2x)2−2lg2x−1≤klg2x，
令t=lg2x，则t∈[0,2]，t2−2t−1≤kt，
当t=0时，−1≤0恒成立，即k∈R；
当t∈(0,2]时，t2−2t−1≤kt⇔k≥t2−2t−1t=t−1t−2，
令g(t)=t−1t−2，则只需k≥g(t)max，
由于y=t,y=−1t均为t∈(0,2]上的单调递增函数，所以g(t)=t−1t−2，在t∈(0,2]上单调递增，
∴g(t)max=g(2)=2−12−2=−12，∴k≥−12，
综上，实数k的取值范围为[−12,+∞)．
【解析】(1)换元，转化成关于t的二次函数，利用二次函数的单调性即可求解．
(2)换元成关于t的二次函数，利用参数分离，求解函数的最大值即可．
本题考查对数函数以及二次函数的性质，考查不等式的恒成立问题，考查运算求解能力，属于中档题．