中考数学一轮复习精选专题20 多边形内角和定理的应用（讲测练）（2份打包，原卷版+教师版）

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专题20 多边形内角和定理的应用

1.了解多边形及正多边形的概念；了解多边形的内角和与外角和公式；知道用任意一个正三角形、正方形或正六边形可以镶嵌平面；了解四边形的不稳定性；了解特殊四边形之间的关系．
2.会用多边形的内角和与外角和公式解决计算问题；
3.能用正三角形、正方形、正六边形进行简单的镶嵌设计；能依据条件分解与拼接简单图形．

一、多边形
1. 多边形：
在平面内，由若干条不在同一条直线上的线段首尾顺次相接所组成的封闭图形叫做多边形．
多边形的对角线是连接多边形不相邻的两个顶点的线段．
2.多边形的对角线：
从n边形的一个顶点出发可以引出(n－3)条对角线，共有n(n-3)/2条对角线，把多边形分成了(n－2)个三角形．
3．多边形的角：
n边形的内角和是(n－2)·180°，外角和是360°.
【特别提醒】
（1）多边形包括三角形、四边形、五边形……，等边三角形是边数最少的正多边形.
（2）多边形中最多有3个内角是锐角（如锐角三角形）,也可以没有锐角（如矩形）.
（3）解决n边形的有关问题时，往往连接其对角线转化成三角形的相关知识，研究n边形的外角问题时，也往往转化为n边形的内角问题.
例1．如图，在五边形ABCDE中，∠A+∠B+∠E=300°，DP、CP分别平分∠EDC、∠BCD，则∠P的度数是（　　）

A．60° B．65° C．55° D．50°
【答案】A
【解析】
解：∵五边形的内角和等于540°，∠A+∠B+∠E=300°，
∴∠BCD+∠CDE=540°﹣300°=240°，
∵∠BCD、∠CDE的平分线在五边形内相交于点O，
∴∠PDC+∠PCD=（∠BCD+∠CDE）=120°，
∴∠P=180°﹣120°=60°．
故选：A．
二、平面图形的镶嵌
1．镶嵌的定义
用形状，大小完全相同的一种或几种平面图形进行拼接，彼此之间不留空隙、不重叠地铺成一片，这就是平面图形的镶嵌．
2．平面图形的镶嵌
(1)一个多边形镶嵌的图形有：三角形，四边形和正六边形；
(2)两个多边形镶嵌的图形有：正三角形和正方形，正三角形和正六边形，正方形和正八边形，正三角形和正十二边形；
(3)三个多边形镶嵌的图形一般有：正三角形、正方形和正六边形，正方形、正六边形和正十二边形，正三角形、正方形和正十二边形.
【特别提醒】能镶嵌的图形在一个拼接点处的特点：几个图形的内角拼接在一起时，其和等于360°,并使相等的边互相重合.
例2．现有边长相同的正三角形、正方形和正六边形纸片若干张，下列拼法中不能镶嵌成一个平面图案的是(　　)
A．正方形和正六边形 B．正三角形和正方形
C．正三角形和正六边形 D．正三角形、正方形和正六边形
【答案】A.
【解析】正方形和正六边形的每个内角分别为90°和120°，要镶嵌则需要满足90°m＋120°n＝
360°，但是m、n没有正整数解，故选A.
【总结升华】能镶嵌的图形在一个拼接点处的特点：几个图形的内角拼接在一起时，其和等于360°,并使相等的边互相重合.

1．（2022·北京清华附中朝阳学校）若正多边形的一个外角是，则该正多边形的边数是（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】D
【分析】
利用外角和360°÷外角的度数即可得到边数．
【详解】
解：360°÷60°=6．
故该正多边形的边数为6．
故选：D．
2．（2022·仪征市实验初中）正六边形的半径为，则该正六边形的边长是（ ）
A． B．2 C．3 D．
【答案】A
【分析】
设正六边形的中心是，一边是，过作于，在直角中，即可求得边长．
【详解】
解：如图，∵这个多边形为正六边形，
∴这个多边形的一个内角的度数为，
∴∠OAB=60°，
∴∠AOG=30°，
在中，，
∴，
∴
故选A．

3．（2022·重庆字水中学九年级）一个多边形的每个外角都是36° ，则该多边形的内角和为（　　 ）
A．900° B．1800° C．1440° D．1080°
【答案】C
【分析】
利用外角和除以外角的度数可得正多边形的边数，再利用内角和公式可得正多边形的内角和．
【详解】
解：多边形的边数：360÷36=10，
内角和：180°×（10-2）=1440°，
故选：C．
4．（2022·云南昭通·）如图，在学习折叠时，嘉嘉惊奇地发现将等边三角形的沿着与两边相交的一条直线折叠，无论折痕在哪里，只要落到内，都是（ ）

A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
设折痕EF交AB于点E，交AC于点F，点A的对应点落在点D处，根据△ABC为等边三角形，可得 ， ， ，再利用四边形的内角和定理，可求出，最后利用邻补角的定义，即可求解．
【详解】
解：如图，设折痕EF交AB于点E，交AC于点F，点A的对应点落在点D处，

∵△ABC为等边三角形，
∴ ， ， ，
在四边形AEDF中，
∴ ，
∵ ， ，
∴，
∴．
故选：C．
5．（2022·全国）在社会实践手工课上，小茗同学设计了一个形状如图所示的零件，如果，，那么的度数是（ ）．

A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
延长BE交CF的延长线于O，连接AO，根据三角形内角和定理求出再利用邻补角的性质求出，再根据四边形的内角和求出，根据邻补角的性质即可求出的度数．
【详解】
延长BE交CF的延长线于O，连接AO，如图，

∵
∴
同理得
∵
∴


∵
∴
∴

∴,
故选：A．
6．（2022·内蒙古呼和浩特·中考真题）如图，正方形的边长为4，剪去四个角后成为一个正八边形，则可求出此正八边形的外接圆直径d，根据我国魏晋时期数学家刘的“割圆术”思想，如果用此正八边形的周长近似代替其外接圆周长，便可估计的值，下面d及的值都正确的是（ ）

A．， B．，
C．， D．，
【答案】C
【分析】
根据勾股定理求出多边形的边长，利用多边形内角和求解内角度数，再根据锐角三角函数求值即可．
【详解】

解： 设剪去△ABC边长AC=BC=x，可得：
，
解得x=，
则BD=，
∵正方形剪去四个角后成为一个正八边形，根据正八边形每个内角为135度，
，
则∠BFD=22.5°，
∴外接圆直径d=BF=，
根据题意知周长÷d==，
故选：C．
7．（2022·辽宁鞍山市·九年级期末）中心角为30°的正多边形边数为_____．
【答案】12
【分析】
根据正n边形的中心角的度数为360°÷n进行计算即可得到答案．
【详解】
解：因为360°÷30°=12．
所以这个正多边形的边数为12．
故答案为：12．
8．（2022·济南市章丘区实验中学九年级月考）一个正多边形的内角和等于720°，则它的边数是_____．
【答案】6
【分析】
根据正多边形的内角和公式（n−2）×180°列方程求解．
【详解】
解：（n−2）×180°＝720°，
n−2＝4，
∴n＝6．
故答案为：6．
9．（2022·河北）（1）填表：
n（凸多边形的边数）
3
4
5
…
m（凸多边形中角度等于135°的内角个数的最大值）
　　
　　
　　
　…　
（2）猜想给定一个正整数n，凸n边形最多有m个内角等于135°，则m与n之间有怎样的关系？
（3）取n＝7验证你的猜想是否成立？如果不成立，请给出凸n边形中最多有多少个内角等于135°？并说明理由．
【答案】（1）1，2，3；（2）m＝n﹣2；（3）不成立，当3≤n≤5时，凸n边形最多有n﹣2个内角等于135°；当6≤n≤7时，凸n边形最多有n﹣1个内角等于135°；当n＝8时，凸n边形最多有8个内角等于135°；当n＞8时，凸n边形最多有7个内角等于135°，理由见解析
【分析】
（1）根据三角形、四边形、五边形的内角和，可求得答案；
（2）根据（1）可猜想凸n边形中角度等于135°的内角个数的最大值为：n﹣2；
（3）设凸n边形最多有m个内角等于135°，则每个135°内角的外角都等于45°，由凸n边形的n个外角和为360°，分类讨论，可确定凸n边形中最多有多少个内角等于135°．
【详解】
解：（1）∵三角形中只有一个钝角，
∴三边形中角度等于135°的内角个数的最大值为1；
∵四边形的内角和为360°，
∴四边形中角度等于135°的内角个数的最大值为2；
∵五边形的内角和为540°，
∴五边形中角度等于135°的内角个数的最大值为3；
答案：1，2，3；
（2）由（1）得：凸n边形中角度等于135°的内角个数的最大值为：n﹣2．
即m＝n﹣2；
（3）取n＝7时，m＝6，验证猜想不成立；
设凸n边形最多有m个内角等于135°，则每个135°内角的外角都等于45°，
∵凸n边形的n个外角和为360°，
∴k≤＝8，只有当n＝8时，m才有最大值8，
讨论n≠8时的情况：
（1）当时n＞8，m的值是7；
（2）当n＝3，4，5时，m的值分别为1，2，3；
（3）当n＝6，7时，m的值分别为5，6；
综上所述，当3≤n≤5时，凸n边形最多有n﹣2个内角等于135°；当6≤n≤7时，凸n边形最多有n﹣1个内角等于135°；当n＝8时，凸n边形最多有8个内角等于135°；当n＞8时，凸n边形最多有7个内角等于135°．
10．（2022·山东滨州市·九年级期末）阅读下列内容，并答题：我们知道，计算边形的对角线条数公式为：．如果一个边形共有20条对角线，那么可以得到方程．整理得；解得或，为大于等于3的整数，不合题意，舍去．，即多边形是八边形．根据以上内容，问：
（1）若一个多边形共有9条对角线，求这个多边形的边数；
（2）小明说：“我求得一个多边形共有10条对角线”，你认为小明同学说法正确吗?为什么?
【答案】（1）多边形是六边形；（2）多边形的对角线不可能有10条．
【分析】
（1）根据多边形的对角线公式列出方程求解即可；
（2）根据多边形的对角线公式列出方程，根据所求得的解要为正整数分析即可．
【详解】
解：（1）根据题意得：，整理得：，
解得：或．
为大于等于3的整数，
不合题意，舍去．
，即多边形是六边形；
（2）小明同学说法是不正确的，理由如下：当时，
整理得：，
解得：，
符合方程的正整数不存在，
多边形的对角线不可能有10条．
专题20 多边形内角和定理的应用
一、单选题
1．（2022·四川资阳市·中考真题）下列命题正确的是（ ）
A．每个内角都相等的多边形是正多边形
B．对角线互相平分的四边形是平行四边形
C．过线段中点的直线是线段的垂直平分线
D．三角形的中位线将三角形的面积分成1∶2两部分
【答案】B
【分析】
分别根据正多边形的判定、平行四边形的判定、线段垂直平分线的判定以及三角形中线的性质逐项进行判断即可得到结论．
【详解】
解：A.每个内角都相等，各边都相等的多边形是正多边形，故选项A的说法错误，不符合题意；
B. 对角线互相平分的四边形是平行四边形,说法正确，故选项B符合题意；
C. 过线段中点且垂直这条线段的直线是线段的垂直平分线，故选项C的说法错误，不符合题意；
D. 三角形的中位线将三角形的面积分成1∶3两部分，故选项D的说法错误，不符合题意．
故选：B．
2．（2022·四川眉山·）正八边形中，每个内角与每个外角的度数之比为（ ）
A．1：3 B．1：2 C．2：1 D．3：1
【答案】D
【分析】
根据正八边形的外角和等于360°，求出每个外角的度数，再求出每个内角的度数，进而即可求解．
【详解】
解：正八边形中，每个外角=360°÷8=45°，每个内角=180°-45°=135°，
∴每个内角与每个外角的度数之比=135°：45°=3：1，
故选D．
3．（2022·湖南岳阳·中考真题）下列命题是真命题的是（ ）
A．五边形的内角和是 B．三角形的任意两边之和大于第三边
C．内错角相等 D．三角形的重心是这个三角形的三条角平分线的交点
【答案】B
【分析】
根据相关概念逐项分析即可．
【详解】
A、五边形的内角和是，故原命题为假命题，不符合题意；
B、三角形的任意两边之和大于第三边，原命题是真命题，符合题意；
C、两直线平行，内错角相等，故原命题为假命题，不符合题意；
D、三角形的重心是这个三角形的三条中线的交点，故原命题为假命题，不符合题意；
故选：B．
4．（2022·辽宁）若正多边形的一个内角是，则这个正多边形的边数为（ ）
A．12 B．10 C．8 D．7
【答案】B
【分析】
本题需先根据已知条件设出正多边形的边数，再根据正多边形的计算公式得出结果即可．
【详解】
解：设这个正多边形是正n边形，根据题意得：
（n-2）×180°÷n=144°，
解得：n=10．
故选：B．
5．（2022·浙江）正六边形的每个内角的度数是（ ）
A． B． C． D．以上都不正确
【答案】A
【分析】
利用多边形的内角和为（n-2）•180°求出正六边形的内角和，再结合其边数即可求解．
【详解】
解：根据多边形的内角和定理可得：
正六边形的每个内角的度数=（6-2）×180°÷6=120°．
故选：A．
6．（2022·山东济宁·中考真题）如图，正五边形中，的度数为（ ）

A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
首先由正五边形的性质得到≌， ，，然后由正五边形 内角度数，求出和 的度数，进而求出 的度数．
【详解】
解：∵五边形为正五边形，
∴，，
∴，
∴，，
∴．
故选：
7．（2022·台湾）如图，四边形ABCD中，、、分别为、、的外角判断下列大小关系何者正确？（ ）

A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】
根据多边形的外角和是及三角形的外角定理求解判断即可．
【详解】
解：如图，连结BD，延长AD到E，

，，
，
故选项A正确，符合题意；B不正确，不符合题意；
多边形的外角和是，
∴
∴
故选项C不正确，不符合题意；选项D不正确，不符合题意．
故选：A．
8．（2022·石家庄市第四十中学九年级）如图，五边形ABCDE中，，，、、分别是、、的外角，则等于（ ）

A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
延长AB与CD，根据平角定义可求∠4与∠5，再根据多边形外角和可求解．
【详解】
解：延长AB和DC，得∠4与∠5，
∴∠4=180°-∠B，
∠5=180°-∠C，
∴∠4+∠5=360°-（∠B+∠C）=170°，
根据多边形的外角和定理，∠1+∠2+∠3+∠4+∠5=360°，
∴∠1+∠2+∠3=360°-（∠4+∠5）=360°-170°=190°．
故选：B．

9．（2022·厦门市第九中学九年级）一个n边形的内角和为，则n等于（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】C
【分析】
根据多边形的内角和公式计算即可．
【详解】
，
解得．
故选C．
10．（2022·湖南新田县·九年级期中）已知一个多边形的内角和比外角和的3倍还多180°，则这个多边形是（　　）
A．七边形 B．八边形 C．九边形 D．十边形
【答案】C
【分析】
多边形的内角和比外角和的3倍多180°，而多边形的外角和是360°，则内角和是1260度．n边形的内角和可以表示成（n-2）•180°，设这个多边形的边数是n，就得到方程，从而求出边数．
【详解】
解：设这个多边形的边数为n，根据题意，得
（n-2）•180=360×3+180，
解得：n=9．
则这个多边形的边数是9．
故选：C．
二、填空题
11．（2022·四川雅安·中考真题）如图，为正六边形，为正方形，连接CG，则∠BCG+∠BGC=______．

【答案】
【分析】
分别计算正六边形和正方形的每个内角的度数，再利用三角形的内角和定理即可得出答案．
【详解】
解：∵ABDEF是正六边形，
∴
∵ABGH是正方形，
∴
∵
∴
∵
∴
故答案为：
12．（2022·福建省同安第一中学九年级）一个多边形的每一个内角都是，那么这个多边形是_____边形．
【答案】10．
【分析】
根据题意，利用多边形的外角和为360度，即可求得．
【详解】
一个多边形的每一个内角都是
它的每一个外角都是．
多边形的外角和为
边数等于角的个数．
故答案为：．
13．（2022·浙江温州·九年级期中）如果一个正n边形的每个内角是140°，则n＝________．
【答案】9
【分析】
根据多边形的内角和定理：180°•（n﹣2）求解即可．
【详解】
解：由题意可得：180°•（n﹣2）＝140°•n，
解得n＝9．
故答案为：9．
14．（2022·山东济南·中考真题）如图，正方形的边在正五边形的边上，则__________．

【答案】18
【分析】
由正方形的性质及正五边形的内角可直接进行求解．
【详解】
解：∵四边形是正方形，五边形是正五边形，
∴，
∴；
故答案为18．
15．（2022·福建厦门双十中学思明分校）已知正n边形的一个内角为，则n的值是_____________．
【答案】8
【分析】
根据正n边形的每一个内角公式计算即可；
【详解】
∵正n边形的一个内角为，
∴，
解得：；
故答案是8．
三、解答题
16．（2022·广东）若一个多边形的内角和的比一个四边形的内角和多90°，那么这个多边形的边数是多少？
【答案】见解析
【分析】
设这个多边形的边数是n，再列方程，解方程即可得到答案．
【详解】
解：设这个多边形的边数是n，
由题意得：，
解得：
答：这个多边形的边数是12．
17．（2017·揭西县第三华侨中学九年级月考）如图，在四边形ABCD中，∠A＝∠BCD＝90°，BC＝DC，延长AD到E，使DE＝AB．
（1）求证：∠ABC＝∠EDC；
（2）求证：△ABC≌△EDC．

【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.
【分析】
（1）根据四边形的内角和等于360°求出∠B+∠ADC=180°，再根据邻补角的和等于180°可得∠CDE+∠ADE=180°，从而求出∠B=∠CDE；
（2）根据“边角边”证明即可．
【详解】
解：（1）在四边形ABCD中，∵∠BAD=∠BCD=90°，
∴90°+∠B+90°+∠ADC=360°，
∴∠B+∠ADC=180°，
又∵∠CDE+∠ADE=180°，
∴∠ABC=∠CDE，
（2）连接AC，由（1）证得∠ABC=∠CDE，
在△ABC和△EDC中
，
∴△ABC≌△EDC（SAS）．

18．（2018·浙江九年级月考）若n边形的内角和等于它外角和的3倍，求边数n.
【答案】n=8.
【分析】
根据n边形的内角和等于外角和的3倍，可得方程180(n﹣2)＝360×3，再解方程即可.
【详解】
解：由题意得：180(n﹣2)＝360×3，
解得：n＝8，
19．（2019·河北邢台三中九年级月考）如图，以正六边形ABCDEF的边AB为边，在形内作正方形ABMN，连接MC．求∠BCM的大小．

【答案】75°
【分析】
△BCM是等腰三角形，只要求出顶角∠CBM就可以，这个角是正六边形与正方形内角的差．
【详解】
解：∵六边形ABCDEF为正六边形，
∴∠ABC＝120°，AB＝BC．
∵四边形ABMN为正方形，
∴∠ABM＝90°，AB＝BM．
∴∠MBC＝120°﹣90°＝30°，BM＝BC．
∴∠BCM＝∠BMC．
∴∠BCM＝×（180°﹣30°）＝75°．
20．（2020·福建九年级月考）如图，已知点是正六边形的对称中心，分别是边上的点，且求证：．

【答案】见解析
【分析】
连接、，根据已知条件以及正六边形的性质证明，根据全等三角形性质证明结论．
【详解】
证明：如图，连接，，

∵
∴．
∵
∴
在和中，，
∴
∴．
21．（2022·全国九年级专题练习）探索归纳：
（1）如图1，已知△ABC为直角三角形，∠A=90°，若沿图中虚线剪去∠A，则∠1+∠2等于______；
（2）如图2，已知△ABC中，∠A=40°，剪去∠A后成四边形，则∠1+∠2=______；
（3）如图2，根据（1）与（2）的求解过程，请你归纳猜想∠1+∠2与∠A的关系是______；
（4）如图3，若没有剪掉，而是把它折成如图3形状，试探究∠1+∠2与∠A的关系并说明理由．

【答案】（1）270°；（2）220°；（3）∠1+∠2=180°+∠A ；（4）∠1+∠2=2∠A，理由见解析
【分析】
（1）先求出∠B+∠C的度数，再根据四边形内角和等于360°，即可求解；
（2）先求出∠B+∠C的度数，再根据四边形内角和等于360°，即可求解；
（3）先用∠A表示出∠B+∠C，再根据四边形内角和等于360°，即可得到结论；
（4）由折叠的性质得∠AFE=∠PFE，∠AEF=∠PEF，结合平角的定义和三角形内角和定理，即可得到结论．
【详解】
（1）∵△ABC为直角三角形，∠A=90°，
∴∠B+∠C=180°-90°=90°，
∴∠1+∠2=360°-（∠B+∠C）=270°．
故答案是：270°；
（2）∵△ABC中，∠A=40°，
∴∠B+∠C=180°-40°=140°，
∴∠1+∠2=360°-（∠B+∠C）=220°．
故答案是：220°；
（3）猜想：∠1+∠2=180°+∠A，理由如下：
∵△ABC中，∠B+∠C=180°-∠A，
∴∠1+∠2=360°-（∠B+∠C）=360°-（180°-∠A）=180°+∠A．
故答案是：∠1+∠2=180°+∠A；
（4） ∠1+∠2=2∠A，理由如下：
∵△EFP是由△EFA折叠得到的，
∴∠AFE=∠PFE，∠AEF=∠PEF，
∴∠1=180°-2∠AFE，∠2=180°-2∠AEF，
∴∠1+∠2=360°-2（∠AFE+∠AEF），
又∵∠AFE+∠AEF=180°-∠A，
∴∠1+∠2=360°-2（180°-∠A）=2∠A．
22．（2020·浙江嘉兴市·九年级学业考试）定义：每个内角都相等的八边形叫做等角八边形．容易知道，等角八边形的内角都等于135°．下面，我们来研究它的一些性质与判定：

（1）如图1，等角八边形ABCDEFGH中，连结BF．
①请直接写出∠ABF＋∠GFB的度数．
②求证：AB∥EF．
③我们把AB与EF称为八边形的一组正对边．由②同理可得：BC与FG，CD与GH，DE与HA这三组正对边也分别平行．请模仿平行四边形性质的学习经验，用一句话概括等角八边形的这一性质．
（2）如图2，等角八边形ABCDEFGH中，如果有AB＝EF，BC＝FG，则其余两组正对边CD与GH，DE与HA分别相等吗？证明你的结论．
（3）如图3，八边形ABCDEFGH中，若四组正对边分别平行，则显然有∠A＝∠E，∠B＝∠F，∠C＝∠G，∠D＝∠H．请探究：该八边形至少需要已知几个内角为135°，才能保证它一定是等角八边形？
【答案】（1）①∠ABF＋∠GFB＝135°；②详见解析；③等角八边形的每一组正对边平行；（2）CD＝GH，DE＝HA，详见解析；（3）结论：至少需要已知5个内角为135°
【分析】
（1）①由等角八边形的概念可得它的每个内角均为135°，五边形BAHGF的内角和为540°，减去（∠A+∠H+∠G），即可求得结论；
②根据“内错角相等，两直线平行”即可证明；
③根据题目提供的信息，总结出结论即可；
（2）分别证明四边形ABEF是平行四边形，△AFG≌△EBC，△AGH≌△ECD即可得到结论；
（3）若4个内角等于135°，则每个内角不一定都为135°，若5个内角等于135°，其余各角的度数也是135°.
【详解】
（1）①五边形BAHGF的内角和为（5-2）×180°=540°
∵∠A=∠H=∠G=
∴∠ABF＋∠GFB＝540°-（∠A+∠H+∠G）=135°
即∠ABF＋∠GFB＝135°．
②∵∠1＋∠4＝135°，∠GFE＝∠3＋∠4＝135°，
∴∠1＝∠3，
∴AB∥EF．

③等角八边形的每一组正对边平行．
（2）如图2，连结AF，BE，AG，CE，由①得：AB∥EF，

∵AB＝EF，
∴四边形ABEF是平行四边形，
∴AF＝BE，AF∥BE，
又∵BC∥FG，
∴∠AFG＝∠EBC，
又∵BC＝FG，
∴△AFG≌△EBC，
∴AG＝EC，∠AGF＝∠ECB，
∵∠HGF＝∠BCD＝135°，
∴∠AGH＝∠ECD，
又∵∠H＝∠D＝135°，
∴△AGH≌△ECD，
∴CD＝GH，DE＝HA．
（3）结论：至少需要已知5个内角为135°．
①若4个内角等于135°，则每个内角不一定都为135°，
如图4，八边形ABCMNFPH不是等角八边形；

②若5个内角等于135°：
∵∠A＝∠E，∠B＝∠F，∠C＝∠G，∠D＝∠H．
∴这八个角中，不论已知哪5个角是135°，都可以推导出其余的内角也是135°．
23．（2022·全国）（1）如图①，求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F的度数；
（2）如图②，求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G+∠H的度数；
（3）如图③，求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G的度数．

【答案】（1）360°；（2）720°；（3）540°
【分析】
（1）连接AD，根据三角形的内角和定理得∠B＋∠C＝∠BAD＋∠CDA，进而将问题转化为求四边形ADEF的内角和，
（2）与（1）方法相同转化为求六边形ABCDEF的内角和，
（3）使用上述方法，转化为求五边形ABCDE的内角和．
【详解】
解：（1）如图①，连接AD，
由三角形的内角和定理得，∠B＋∠C＝∠BAD＋∠CDA，
∴∠BAF＋∠B＋∠C＋∠CDE＋∠E＋∠F＝∠BAF＋∠BAD＋∠CDA＋∠D＋∠E＋∠F
即四边形ADEF的内角和，四边形的内角和为360°，
∴∠BAF＋∠B＋∠C＋∠CDE＋∠E＋∠F＝360°，
（2）如图②，由（1）方法可得：
∠BAH＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠EFG＋∠G＋∠H的度数等于六边形ABCDEF的内角和，
∴∠BAH＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠EFG＋∠G＋∠H＝（6－2）×180°＝720°，
（3）如图③，根据（1）的方法得，∠F＋∠G＝∠GAE＋∠FEA，
∠BAG＋∠B＋∠C＋∠D＋∠DEF＋∠F＋∠G的度数等于五边形ABCDE的内角和，
∴∠BAG＋∠B＋∠C＋∠D＋∠DEF＋∠F＋∠G＝（5－2）×180°＝540°，