中考数学一轮复习精选专题16 全等三角形判定与性质定理（讲测练）（2份打包，原卷版+教师版）

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专题16 全等三角形判定与性质定理

1. 掌握全等三角形的概念和性质，能够准确地辨认全等三角形中的对应元素；
2．探索三角形全等的判定方法，能利用三角形全等进行证明，掌握综合法证明的格式；

一、基本概念
1.全等三角形的定义：能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形.
2.全等三角形的性质
（1）全等三角形对应边相等；
（2）全等三角形对应角相等.
特别提醒：全等三角形的周长、面积相等；对应的高线，中线，角平分线相等.
3.全等三角形的判定方法
（1）三边对应相等的两个三角形全等(SSS)；
（2）两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等（ASA）；
（3）两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等(AAS)；
（4）两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等(SAS)；
（5）斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等(HL).
例1．如图，BD、CE分别是△ABC的边AC和AB上的高，点P在BD的延长线上，BP=AC，点Q在CE上，CQ=AB．求证：（1）AP=AQ；（2）AP⊥AQ．
　　　
【答案】
证明：




（1）∵BD、CE分别是△ABC的边AC和AB上的高，
　　　　　　 ∴∠1+∠CAE=90°，∠2+∠CAE=90°．
　　　　　　 ∴∠1=∠2,
∵在△AQC和△PAB中，
　　　　　　
∴△AQC≌△PAB．
∴ AP=AQ.
(2)∵ AP=AQ，∠QAC=∠P，
∵∠PAD+∠P=90°，
∴∠PAD+∠QAC=90°，即∠PAQ=90°．
∴AP⊥AQ．
二、灵活运用定理
三角形全等是证明线段相等，角相等的最基本、最常用的方法，这不仅因为全等三角形有很多重要的角相等、线段相等的特征，还在于全等三角形能把已知的线段相等、角相等与未知的结论联系起来．
应用三角形全等的判别方法注意以下几点：
1. 条件充足时直接应用判定定理
在证明与线段或角相等的有关问题时，常常需要先证明线段或角所在的两个三角形全等.这种情况证明两个三角形全等的条件比较充分，只要认真观察图形，结合已知条件分析寻找两个三角形全等的条件即可证明两个三角形全等．
2. 条件不足，会增加条件用判定定理
此类问题实际是指条件开放题，即指题中没有确定的已知条件或已知条件不充分，需要补充三角形全等的条件．解这类问题的基本思路是：执果索因，逆向思维，即从求证入手，逐步分析，探索结论成立的条件，从而得出答案．
3. 条件比较隐蔽时，可通过添加辅助线用判定定理
在证明两个三角形全等时，当边或角的关系不明显时，可通过添加辅助线作为桥梁，沟通边或角的关系，使条件由隐变显，从而顺利运用全等三角形的判别方法证明两个三角形全等．
例2．如图，已知AD为△ABC的中线，且∠1＝∠2,∠3＝∠4,求证：BE＋CF＞EF.

【答案】证明：延长ED至M，使DM=DE，连接 CM，MF,

在△BDE和△CDM中，

∴△BDE≌△CDM（SAS）．
∴BE=CM.
又∵∠1＝∠2，∠3＝∠4 ，
∠1＋∠2＋∠3＋∠4＝180°，
∴∠3＋∠2=90°，即∠EDF＝90°，
∴∠FDM＝∠EDF ＝90°．
在△EDF和△MDF中

∴△EDF≌△MDF（SAS）,
∴EF＝MF （全等三角形对应边相等）,
∵在△CMF中，CF＋CM＞MF（三角形两边之和大于第三边）,
∴BE＋CF＞EF.
三、常见的几种辅助线添加
①遇到等腰三角形，可作底边上的高，利用“三线合一”的性质解题，思维模式是全等变换中的“对折”；
②遇到三角形的中线，倍长中线，使延长线段与原中线长相等，构造全等三角形利用的思维模式是全等变换中的“旋转”；
③遇到角平分线，可以自角平分线上的某一点向角的两边作垂线，利用的思维模式是三角形全等变换中的“对折”，所考知识点常常是角平分线的性质定理或逆定理；
④过图形上某一点作特定的平分线，构造全等三角形，利用的思维模式是全等变换中的“平移”或“翻转折叠”；
⑤截长法与补短法，具体做法是在某条线段上截取一条线段与特定线段相等，或是将某条线段延长，使之与特定线段相等，再利用三角形全等的有关性质加以说明．这种作法，适合于证明线段的和、差、倍、分之类的题目．
例3．如图所示，AD是△ABC的中线，BE交AC于E，交AD于F，且AE=EF. 求证：AC=BF.




【答案】
证明：延长AD到H，使得DH=AD，连结BH，





∵ D为BC中点，
∴ BD=DC，
在△ADC和△HDB中
　，
∴ △ADC≌△HDB(SAS)，
∴ AC=BH, ∠H=∠HAC，
∵ EA=EF，
∴ ∠HAE=∠AFE，
又∵ ∠BFH=∠AFE，
∴ BH=BF，
∴ BF=AC．

1．（2022·长沙市雅礼实验中学九年级月考）如图，小明书上的三角形被墨迹污染了一部分，很快他就根据所学知识画出一个与书上完全一样的三角形，那么这两个三角形完全一样的依据是（ ）

A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
根据全等三角形的判定方法解答即可．
【详解】
解：画一个三角形A′B′C′，使∠A′=∠A，A′B′=AB，∠B′=∠B，

符合全等三角形的判定定理ASA，
故选：C．
2．（2022·全国九年级专题练习）如图G是△ABC的重心，直线过A点与BC平行．若直线CG分别与AB、交于D、E两点，直线BG与AC交于 F点，则△AED的面积 ：四边形ADGF的面积＝（ ）

A．1：2 B．2：1 C．2：3 D．3：2
【答案】D
【分析】
根据重心的概念得出D，F分别是三角形边的中点．若设△ABC的面积是2，则△BCD的面积和△BCF的面积都是1．又因为BG：GF＝CG：GD，可求得△CGF的面积．则四边形ADGF的面积也可求出．根据ASA可以证明△ADE≌△BDC，则△ADE的面积是1．则△AED的面积：四边形ADGF的面积可求．
【详解】
解：设三角形ABC的面积是2，
∴三角形BCD的面积和三角形BCF的面积都是1，
∵BG：GF＝CG：GD＝2，
∴三角形CGF的面积是，
∴四边形ADGF的面积是2−1−＝，
∵,
∴,
∵,
∵△ADE≌△BDC（ASA）
∴△ADE的面积是1
∴△AED的面积：四边形ADGF的面积＝1：＝3：2．
故选：D．
3．（2022·重庆实验外国语学校九年级月考）如图，在正方形中，﹐E，F分别为，的中点，连接、，交于点G，将沿翻折得到，延长交延长线于点Q，连接，则的面积是（ ）

A． B．25 C．20 D．15
【答案】D
【分析】
由已知可求QF=QB，在Rt△BPQ中，由勾股定理求得，可求出S△BQF=25，再证明△ABE≌△BCF（SAS），△BGE∽△BCF，由此得BF，GE，BG，过点G作GN⊥AB交AB于N，可证明△ANG∽△ABE，再由GA=AE-GE，可求得GN，根据S△QGF=S△BQF-S△BQG即可求解．
【详解】
解：将沿翻折得到，
PF=FC，∠PFB=∠CFB，
四边形是正方形
∠FPB=90°，CD∥AB，
∴∠CFB=∠ABF，
∴∠ABF=∠PFB，
∴QF=QB，
∵PF=FC=，PB =AB=2，
在Rt△BPQ中，，
∴，
∴QB=，
∴S△BQF=，
∵AB=BC，BE=CF，∠ABE=∠BCF=90°，
∴△ABE≌△BCF（SAS），
∴∠AEB=∠BFC，
又∵∠EBG=∠CBF，
∴△BGE∽△BCF，
，
∵CF=，BC=2，
∴BF=5，
∴GE=，BG=2，
过点G作GN⊥AB交AB于N，

∵∠GAN=∠EAB，∠ANG=∠ABE=90°，
∴△ANG∽△ABE，
∴
∵GA=AE-GE =
∴GN=
∴S△BQG=×QB×GN==10，
∴S△QGF=S△BQF-S△BQG=25-10=15，
故选：D．
4．（2022·四川省宜宾市第二中学校九年级一模）如图，以的三边为边分别作等边、、，则下列结论正确的是（ ）

A．
B．四边形为矩形
C．四边形为菱形
D．当，时，四边形是正方形
【答案】A
【分析】
利用SAS得到△EBF与△DFC全等，利用全等三角形对应边相等得到EF＝AC，再由△ADC为等边三角形得到三边相等，等量代换得到EF＝AD，AE＝DF，利用对边相等的四边形为平行四边形得到AEFD为平行四边形，若AB＝AC，∠BAC＝120°，只能得到AEFD为菱形，不能为正方形，即可得到正确的选项．
【详解】
解：∵△ABE、△BCF为等边三角形，
∴AB＝BE＝AE，BC＝CF＝FB，∠ABE＝∠CBF＝60°，
∴∠ABE−∠ABF＝∠FBC−∠ABF，即∠CBA＝∠FBE，
在△ABC和△EBF中，
，
∴△ABC≌△EBF（SAS），
∴EF＝AC，
又∵△ADC为等边三角形，
∴CD＝AD＝AC，
∴EF＝AD＝DC，
同理可得△ABC≌△DFC，
∴DF＝AB＝AE＝DF，
∴四边形AEFD是平行四边形，故B、C选项错误；
∴∠FEA＝∠ADF，
∴∠FEA＋∠AEB＝∠ADF＋∠ADC，即∠FEB＝∠CDF，
在△FEB和△CDF中，
．
∴△FEB≌△CDF（SAS），故选项A正确；
若AB＝AC，∠BAC＝120°，则有AE＝AD，∠EAD＝120°，此时AEFD为菱形，选项D错误
故选A．
5．（2022·重庆实验外国语学校九年级开学考试）如图在四边形中，和都是直角，且．现将沿翻折，点的对应点为，与边相交于点，恰好是的角平分线，若，则的长为（ ）


A．1.5 B． C．2 D．
【答案】C
【分析】
如图，延长和相交于点，根据翻折的性质可以证明△BE′C≌△BE′F，可得CF=2，再证明△FCA≌△DBA，可得BD=CF=2．
【详解】
解：如图，延长和相交于点，

由翻折可知：
，，
是的角平分线，
，
，
，
，
，
，，
，
，，
，
．
故选：C．
6．（2022·长沙市开福区青竹湖湘一外国语学校九年级三模）如图，在中，，利用尺规在，上分别截取，，使；分别以D，E为圆心、以大于的长为半径作弧，两弧在内交于点F；作射线交于点H．若，P为上一动点，则的最小值是（ ）

A． B．2 C．1 D．无法确定
【答案】B
【分析】
根据作图过程可得BH平分∠ABC，当HP⊥BC时，HP最小，根据角平分线的性质即可得HP的最小值．
【详解】
解：根据作图过程可知：BH平分∠ABC，
当HP⊥BC时，HP最小，
∴HP＝HA＝2．
故选：B．
7．（2022·长沙市雅礼实验中学九年级月考）如图，在中，，以点为圆心，适当的长度为半径画弧，分别交、于点、，再分别以、为圆心，以大于的长度为半径画弧，两弧交于点，作射线交于点，若，则______度．

【答案】72°
【分析】
利用三角形内角和180°，解得，由角平分线性质解得的度数，最后根据三角形外角性质解题即可．
【详解】
解：

平分


故答案为：．
8．（2022·广东深圳市南山外国语学校九年级二模）如图，在平面直角坐标系中，矩形中，，，将沿对角线翻折，使点落在处，与轴交于点，则点的坐标为______．

【答案】
【分析】
设，则，由题意可以求证，从而得到，再根据勾股定理即可求解．
【详解】
解：由题意可知：，，
设，则，
又∵
∴
∴
在中，，即
解得：
∴点的坐标为
故答案为
9．（2022·广东实验中学九年级三模）已知，，，求证：．

【答案】证明见解析
【分析】
由条件∠ABC＝∠DCB，∠ACB＝∠DBC，根据ASA证明△ABC≌△DCB
即可．
【详解】
证明：在△ABC和△DCB中，
，
∴△ABC≌△DCB（ASA）；
10．（2022·厦门市湖滨中学）如图，在△ABE和△CDF中，点C、E、F、B在同一直线上，BF＝CE，若AB∥CD，∠A＝∠D．求证：AB＝CD．

【答案】见解析
【分析】
根据平行线的性质可得∠B＝∠C，根据已知条件可得BE＝CD，结合已知条件∠A＝∠D，即可证明△ABE≌△DCF，进而即可得证AB＝CD．
【详解】
解：∵AB∥CD，
∴∠B＝∠C．
∵BF＝CE，
∴BF＋EF＝CE＋EF，
即BE＝CF．
∵∠A＝∠D，∠B＝∠C，BE＝CF
∴△ABE≌△DCF（AAS）．
∴AB＝CD．


专题16 全等三角形判定与性质定理
一、单选题
1．（2022·五峰土家族自治县中小学教研培训中心九年级期中）如图，在中，．在、上分别截取，，使．再分别以点，为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧在内交于点，作射线，交于点．若，则的长为（ ）．

A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】B
【分析】
根据作图过程可得，AD平分∠BAC，根据等腰三角形三线合一的性质求解即可.
【详解】
解：根据作图过程可得，AD平分∠BAC，
又∵AB=AC，
∴BD=CD=,
故选B.
2．（2022·四川广安中学）如图，，．若，，则OA的长为（ ）

A． B．2 C． D．4
【答案】C
【分析】
过O作于F，于E，由等腰三角形的性质得到，，，，由，得到，进而得到，根据全等三角形判定证得，得到，在中，根据勾股定理即可求得OA．
【详解】
解：过O作于F，于E，

∴，
∴，
∵，
∴，，，，
∵，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
在中，，，，
∴，
故选：C．
3．（2022·苏州高新区实验初级中学九年级期中）如图，P为等腰△ABC内一点，过点P分别作三条边BC、CA、AB的垂线，垂足分别为D、E、F，已知AB＝AC＝10，BC＝12，且PD：PE：PF＝1：3：3，则AP的长为（　　）

A． B． C．7 D．8
【答案】B
【分析】
连接AP，根据角平分线的判定定理得到点P在∠A的平分线上，根据等腰三角形的性质得到AD⊥BC，，BD=DC，根据勾股定理、三角形的面积公式计算即可求解．
【详解】
解：连接：AP，

∵PD：PE：PF＝1：3：3，
∴PE=PF，
∵PE⊥AC，PF⊥AB，
∴点P在∠A的平分线上，
∵AB＝AC，
∴AP⊥BC，
∵PD⊥BC，
∴AD⊥BC，
∵BC＝12，
∴BD=CD=BC=6，
在 中，AB＝AC＝10，
由勾股定理得 ，
设PD、PE、PF分别为x、3x、3x，
∵ ，
即 ，
解得： ，
∴ ．
故选：B．
4．（2022·沭阳县修远中学九年级月考）在△ABC中，∠C＝90°，BC＝16cm，∠A的平分线AD交BC于D，且CD：DB＝3：5，则点D到AB的距离等于（ ）
A．6cm B．7cm C．8cm D．9cm
【答案】A
【分析】
根据比例求出CD的长，再过点D作DE⊥AB于E，根据角平分线上的点到角的两边的距离相等可得DE=CD，即可得解．
【详解】
解：∵BC=16，DC：DB=3：5，

∴CD=，过点D作DE⊥AB于E，
∵AD是∠BAC的平分线，∠C=90°，
∴DE=CD=6，
即点D到AB的距离是6cm．
故选：A．
5．（2022·四川九年级期中）如图，在△ABC中，AB的中垂线交AB于点E，交BC于点D，若△ADC的周长为16cm，AC＝4cm，则BC的长为（ ）

A．22cm B．12cm C．10cm D．7cm
【答案】B
【分析】
根据垂直平分线的性质计算即可；
【详解】
解：∵DE垂直平分AB，
∴，
∵△ADC的周长为16cm，
∴，
∴，
∴，
∵AC＝4cm，
∴；
故答案选B．
6．（2022·西安市铁一中学九年级模拟预测）如图，在中，，，，将绕点按逆时针方向旋转一定的角度得到，使得点恰好落在上，则线段的长为（ ）

A． B．5 C． D．
【答案】C
【分析】
由锐角三角函数可求，由旋转的性质可求，，，，，，可证是等边三角形，由勾股定理可求解．
【详解】
解：如图，连接，

∵，，，
∴，
，
∴，
∴，
∵将绕点按逆时针方向旋转一定的角度得到，
∴，，，，，，
∴是等边三角形，
∴，
∴是等边三角形，
∴，，
∴，
∴，
故选：C．
7．（2022·西安市铁一中学九年级模拟预测）如图，为的角平分线，于为中点，连接，若，则（ ）

A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
延长BE交AC于点G，可得△ABE≌△AGE，从而E是BG的中点，得到EF是△BCG的中位线，从而EF//GC，可得到∠EFD=∠C，即可求解．
【详解】
如图，延长BE交AC于点G，

∵AD平分∠BAC，
∴∠BAE=∠GAE，
∵，
∴∠BEA=∠GEA=90°，
∵AE=AE，
∴△ABE≌△AGE，
∴E是BG的中点，
∵F是BC的中点，
∴EF是△BCG的中位线，
∴EF//GC，
∴∠EFD=∠C=180°-∠BAC-∠ABC，
∵AD平分∠BAC，，
∴∠BAE =40°，
∴∠ABE=90°-∠BAE=50°，
∴∠ABC=∠ABE+∠EBD=50°+20°=70°，
∴∠EFD=∠C=180°-80°-70°=30°．
故选：C．
8．（2022·连云港市新海实验中学九年级期中）如图，四边形ABCD中∠ABC＝90°，AB＝CB，AD＝2，CD＝4，将BD绕点B逆时针旋转90°得BD'，连接DD'，当DD’的长取得最大值时，AB长为（ ）

A．3 B． C． D．2
【答案】B
【分析】
连接，AC然后证明≌△DBC（SAS），利用三角形三边的关系得到当点A在上时，有最大值，然利用勾股定理求解即可得到答案.
【详解】
解：如图所示，连接，AC
由题意可得：∠=90°=∠1+∠2，
∵∠ABC=90°=∠2+∠3，
∴∠1=∠3，
∵AB=BC，，
在和△DBC中
，
∴≌△DBC（SAS），
∴，
在三角形中，，
∴当点A在上时，的最大值为，
∴此时∠=45°，
∴∠ADC=90°
∵≌△DBC
∴∠CDB=45°
在直角三角形ADC中，
在直角三角形ABC中，
∴
又∵AB=BC，
∴，
∴，
故选B.

9．（2022·重庆市实验中学九年级月考）下列命题中，是真命题的是（ ）
A．三角形三条角平分线的交点到三角形三条边的距离相等
B．等腰三角形任意一条边上的高线、中线和角平分线都三线合一
C．对角线互相垂直且相等的四边形是正方形
D．过一点有且只有一条直线与已知直线垂直
【答案】A
【分析】
根据三角形角平分线的性质、等腰三角形的“三线合一”性质、正方形的判定定理以及垂线的判定即可得出结论．
【详解】
解：A.三角形三条角平分线的交点到三角形三条边的距离相等，是真命题，故符合题意；
B. 等腰三角形底边上的高线、中线和角平分线都“三线合一”，原说法错误，是假命题，故不符合题意；
C.对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形，原说法错误，是假命题，故不符合题意；
D.在同一平面内过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，原说法错误，是假命题，故不符合题意；
故选 A
10．（2022·沙坪坝·重庆一中九年级月考）如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCD的顶点A、B分别在y轴、x轴上，连接对角线AC，AC∥x轴，点F为AD边的中点，点G在对角线AC上，已知点F、G均在反比例函数y＝（k＞0，x＞0）的图象上，OB：AG＝1：3，S△ABF＝10，则k的值为（　　）

A．20 B． C．24 D．
【答案】C
【分析】
过点F作FN⊥x轴于点N，过点G作GM⊥x轴于点M，过点D作DH⊥x轴于点H，交AC于点P，过点C作CE⊥x轴于点E，易得四边形OACE为矩形，S矩形AOEC＝2S△ABC＝40；设OB＝a，由于OB：AG＝1：3，可得AG＝3a．设OA＝b，则A（0，b），G（3a，b），得出k＝3ab；通过说明△DAP≌△CBE，得到AP＝BE＝−a，DP＝CE＝b，进而得到点F的坐标，利用待定系数法求得ab，则k值可求．
【详解】
过点F作FN⊥x轴于点N，过点G作GM⊥x轴于点M，过点D作DH⊥x轴于点H，
交AC于点P，过点C作CE⊥x轴于点E，如图，

∵点F为AD边的中点，
∴AF＝．
∵S矩形ABCD＝AD×AB，AF×AB，
∴S矩形ABCD＝4×S△ABF＝4×10＝40．
∵，
∴S△ABC＝20．
∵ACx轴，AO⊥OB，EC⊥OE，
∴四边形AOEC为矩形．
∴S矩形AOEC＝2S△ABC＝40．
设OB＝a，
∵OB：AG＝1：3，
∴AG＝3a．
设OA＝b，则A（0，b），G（3a，b），
∴k＝3ab．
∵OA×OE＝40，
∴OE＝．
∴BE＝OE﹣OB＝−a．
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD＝BC，∠DAB＝∠ABC＝90°．
∴∠CBE+∠ABO＝90°，∠DAC+∠CAB＝90°，
∵ACx轴，
∴∠CAB＝∠ABO，
∴∠DAC＝∠CBE．
∵DH⊥x轴，ACx轴，
∴DP⊥AC．
∴∠DPA＝90°．
在△DAP和△CBE中，
，
∴△DAP≌△CBE（AAS）．
∴AP＝BE＝−a，DP＝CE＝b．
∴DH＝DP+PH＝2b．
∴D（−a，2b）．
∴OH＝−a．
∵FN⊥x轴，DH⊥x轴，OA⊥AB，
∴OA∥FN∥DH．
∵点F为AD边的中点，
∴FN是梯形AOHD的中位线，
∴FN＝．
ON＝OH＝．
∴F（，）．
∵点F在反比例函数y＝上，
∴＝3ab．
解得：ab＝8．
∴k＝3ab＝24．
故选：C．
二、填空题
11．（2022·哈尔滨市虹桥初级中学校九年级一模）已知，，点为中点，，，若，，则__________．

【答案】
【分析】
延长AF交BC的延长线于点M，连接EM，则易得△ABM是等腰三角形，且AB=AM=2AE，根据 得EF×AM=BC×AC ，可得AE×EF=AC，平方得，分别在Rt△ABC和R t△AEF中，由勾股定理得： ， ，设，由此三式可得关于x一元二次方程，解方程即可求得x，从而可求得EF的长．
【详解】
延长AF交BC的延长线于点M，连接EM，如图
∵∠ACB=∠ACM=90°，AC=AC ，
∴△ACB≌△ACM(ASA)
∴AB=AM，BC=MC
∴
∵E点是AB的中点
∴AB=2AE，
∴
∴EF×AM=BC×AC
即EF×AM=BC×AC
∴
即AE×EF=AC
∴
在Rt△ABC和R t△AEF中，由勾股定理得： ，
设，则
即
解得：x=4或x=9
即AE=2或AE=3
当AE=2时，由AF=1及EF⊥AF，得∠AEF=30°，则∠EAF=60°，∠BAC=30°；但此时AC=2，AB=2AE=4，由∠ACB=90°，得∠ABC=30°，则∠ACB=120°，这与△ABC为直角三角形矛盾
∴AE=3
∴
故答案为：．

12．（2022·四川成都·）如图，△ABC≌△ABD，∠C=30°，∠ABC=85°，则∠BAD的度数为______．

【答案】
【分析】
根据全等三角形的性质和三角形内角和定理求出即可．
【详解】
解：，．
，
，
．
故答案为：．
13．（2022·沈阳实验中学九年级二模）如图，在中，，将绕点B按逆时针旋转度（）到，边和边相交于点P，边和边相交与点Q，当为等腰三角形时，则______．

【答案】或．
【分析】
由题意过B作BD⊥AC于D，过B作BE⊥A'C'于E，根据旋转的性质和全等三角形的性质得到BP平分∠A'PC，再根据∠C＝∠C'＝40°，∠BQC＝∠PQC'，可得∠CBQ＝∠C'PQ＝θ，即可得出∠BPQ＝（180°﹣∠C'PQ）＝90°﹣θ，分三种情况讨论，利用三角形内角和等于180°，即可得到关于θ的方程，进而得到结果．
【详解】
解：如图，过B作BD⊥AC于D，过B作BE⊥A'C'于E，
∴∠A′EB=∠ADB，
由旋转可得，A′B=AB，∠A′=∠A，
在△A′BE和△ABD中

△A′BE≌△ABD（AAS），
∴BD＝BE，
∴BP平分∠A'PC，
又∵∠C＝∠C'＝40°，∠BQC＝∠PQC'，
∴∠CBQ＝∠C'PQ＝θ，
∴∠BPQ＝（180°﹣∠C'PQ）＝90°﹣θ，
分三种情况：
①如图所示，当PB＝PQ时，∠PBQ＝∠PQB＝∠C+∠QBC＝40°+θ，

∵∠BPQ+∠PBQ+∠PQB＝180°，
∴90°﹣θ+2×（40°+θ）＝180°，
解得θ＝；
②如图所示，当BP＝BQ时，∠BPQ＝∠BQP，

即90°﹣θ＝40°+θ，
解得θ＝；
③当QP＝QB时，∠QPB＝∠QBP＝90°﹣θ，
又∵∠BQP＝40°+θ，
∴∠BPQ+∠PBQ+∠BQP＝2（90°﹣θ）+40°+θ＝220°＞180°（不合题意），
故答案为：或．
14．（2022·全国）如图，△ABD与△AEC都是等边三角形，AB≠AC，下列结论中：①BE＝DC；②∠BOD＝60°；③△BOD∽△COE．正确的序号是__．

【答案】①②
【分析】
由两个等边三角形容易证明△DAC≌△BAE，则可得①正确，同时有∠ADC＝∠ABE，利用三角形内角和即可得②正确，再由AB≠AC及AC=AE，得AB≠AE，从而可得∠ABE≠∠AEB，则易得∠DBO≠∠OCE，从而得③不正确．
【详解】
∵△ABD、△AEC都是等边三角形，
∴AD＝AB，AE＝AC，∠DAB＝∠CAE＝60°，
∴∠DAC＝∠BAC＋60°，
∠BAE＝∠BAC＋60°，
∴∠DAC＝∠BAE，
∴△DAC≌△BAE，
∴BE＝DC．
∴∠ADC＝∠ABE，
∵∠BOD＋∠BDO＋∠DBO＝180°，
∴∠BOD＝180°﹣∠BDO﹣∠DBO
＝180°﹣（60°﹣∠ADC）﹣（60°＋∠ABE）＝60°，
∵△DAC≌△BAE，
∴∠ADC＝∠ABE，∠AEB＝∠ACD，
∵∠DBO＝∠ABD＋∠ABE＝60°＋∠ABE，∠OCE＝∠ACE＋∠ACO＝60°＋∠ACD，
∵AE=AC，
∴AB≠AE，
∴∠ABE≠∠AEB，
∵∠AEB＝∠ACD，
∴∠ABE≠∠ACD，
∴∠DBO≠∠OCE，
∴两个三角形的最大角不相等，
∴△BOD不相似于△COE；
即③不正确；
故答案为：①②．
15．（2022·哈尔滨市萧红中学九年级三模）如图，在中，点在上，，于点，，，则_______．

【答案】
【分析】
过A作，证明出，再根据边的关系求出BD=7，最后根据勾股定理求出．
【详解】
解：如图所示，过作，
，
∵AB=AC，
∴BF=CF，
∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴BE=BF，
∵BA=BD，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴由勾股定理得：，
故答案为：．
三、解答题
16．（2022·全国）如图，在△ABC中，M、N分别为AB、AC边上的中点．D、E为BC边上的两点，且DE＝BD＋EC，ME与ND交于点O，请你写出图中一对全等的三角形，并加以证明．

【答案】△MON≌△EOD，证明见解析
【分析】
因为M、N分别为AB、AC边上的中点，∠A＝∠A，可证明△AMN∽△ABC，则MN∥BC，又因为DE＝BD＋EC，证明 所以有△MON≌△EOD．
【详解】
解：△MON≌△EOD．
证明：∵M、N分别为AB、AC边上的中点，
∴AM∶AB＝1∶2，AN∶AC＝1∶2．
∵∠A＝∠A，
∴△AMN∽△ABC．
∴∠AMN＝∠ABC，MN＝BC．
∴MN∥BC．
∴∠OMN＝∠OED，∠ONM＝∠ODE．
∵DE＝BD＋EC，
∴DE＝BC．
∴MN＝DE．
∴△MON≌△EOD．
17．（2022·沭阳县怀文中学九年级月考）如图，点在上，、交于点，，，．
（1）求证：；
（2）若，求的度数．

【答案】（1）见解析；（2）
【分析】
（1）由全等三角形的判定定理SAS证得△ABC≌△ADE，则∠C=∠E，此题得证；
（2）利用（1）中全等三角形的对应角相等得到∠ADE=∠B；由等腰△ABD的性质和三角形内角和定理求得∠ADB=78°；最后根据邻补角的定义解答．
【详解】
解：（1）证明：∵∠BAD=∠CAE，
∴∠BAC=∠DAE．
在△ABC与△ADE中，
，
∴△ABC≌△ADE（SAS）．
∴∠C=∠E；

（2）由（1）知，△ABC≌△ADE，则∠ADE=∠B．
∵∠BAD=24°，AB=AD，
∴∠ADB=∠B=78°．
∴∠ADE=78°．
∴∠CDF=180°-∠ADB-∠ADE=24°．
18．（2022·长沙市雅礼实验中学九年级月考）如图，在△ABC中，AB＝BC，AB的垂直平分线DE交AB、BC于点D、E．
（1）若∠C＝72°，求∠B、∠1的度数；
（2）若BD＝6，AC＝7，求△AEC的周长．

【答案】（1）∠B＝36°，∠1=54°；（2）19
【分析】
（1）由题意可得AE＝BE，则∠B＝∠BAE＝40°，可求出∠3的度数，再求∠1即可；
（2）由AE＝BE，可求出结论．
【详解】
解：（1）∵AB的垂直平分线分别交AB，BC于点D，E，
∴BE＝AE，∠ADE＝∠BDE=90°，
∵AB＝BC，
∴∠C＝∠BAC＝∠3＋∠4＝72°，
∴∠B＝180°−∠C−∠BAC＝180°−72°−72°＝36°，
∴∠3＝∠B＝36°，
∴∠1＝90°−∠3＝54°；
（2）∵BD＝6，
∴AB＝2BD＝2×6＝12，
∴BC＝12，
∵AE＝BE，
∴AE＋CE＋AC＝BC＋AC＝12＋7＝19．
即△AEC的周长为19．
19．（2022·福建省福州第十九中学九年级月考）如图，，，．求证：．

【答案】见解析
【分析】
先由平行线的性质得∠ACB=∠DFE，再证BC=EF，然后由ASA证△ABC≌△DEF，即可得出结论．
【详解】
解：证明：∵AC∥DF，
∴∠ACB=∠DFE，
又∵BF=EC，
∴BF+FC=EC+FC，
即BC=EF，
在△ABC和△DEF中，
，
∴△ABC≌△DEF（ASA），
∴∠A=∠D．
20．（2022·西安市铁一中学）如图，在△ABC中，AB＝AC，D是边BC延长线上的一点，连接AD，过点A、D分别作AE//BD、DE//AB，AE、DE交于点E，连接CE．求证：AD＝CE．

【答案】见解析
【分析】
根据题意先利用SAS证明△ADC与△EDC全等，再利用全等三角形的性质进行证明即可．
【详解】
解：证明：∵AB=AC，
∴∠B=∠ACB，
∵AE∥BD、DE∥AB，
∴四边形AEDB是平行四边形，
∴DE=AB，∠EDB+∠B=180°，
∴DE=AC，
∵∠ACB+∠ACD=180°，
∴∠ACD=∠EDC，
在△ADC与△EDC中
，
∴△ADC≌△EDC（SAS），
∴AD=CE．
21．（2022·重庆实验外国语学校九年级开学考试）如图，点在矩形的边上，连接，，过点作于点，且．
（1）证明：；
（2）若，求的度数．

【答案】（1）见解析；（2）18°．
【分析】
（1）由题意结合矩形和全等三角形的判定定理证得进而即可得证；
（2）根据题意利用全等三角形的判定定理证得，进而根据进行角度的等量换算即可得出的度数．
【详解】
解：（1）证明：四边形是矩形，
，，
，
，
，
在和中，
，
，
；
（2）四边形是矩形，
，，
，
，
，
，
在和中，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
．
22．（2022·珠海市紫荆中学九年级一模）如图，在矩形中，的平分线交于点，交的延长线于点，点为中点，连接、．
（1）试判断的形状；
（2）求的度数．

【答案】（1）是等腰直角三角形，见解析；（2）45°
【分析】
（1）先证明∠BEA＝∠BAE＝45°，得出∠CEF＝45°，AB＝BE，得出∠F＝45°，再证出EC＝FC，即可得出结论；
（2）由△DCG≌△BEG，得出∠DGC＝∠BGE，证出∠BGD＝∠EGC＝90°，即可得出结果．
【详解】
（1）解：是等腰直角三角形；理由如下：
∵四边形是矩形，
∴，，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴，，
∴，
∴，且，
∴是等腰直角三角形；
（2）∵四边形是矩形，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴，，
∴，
∵，
∴，
在和中，，
∴，
∴∠DGC＝∠BGE，
∵，
∴,
∵，
∴
∴，
∵，∠DGC＝∠BGE
∴，
∵，
∴．
23．（2022·贵阳市第十九中学九年级月考）十九中趣味数学社的同学用10块高度都是1cm的相同长方体小木块，垒了两堵与地面垂直的木墙，木墙之间刚好可以放进一个等腰直角三角板（，），点在上，点和分别与木墙的顶端重合．

（1）求证：；
（2）求两堵木墙之间的距离．
【答案】（1）见详解；（2）
【分析】
（1）由，，根据同角的余角相等可证，然后利用AAS即可证出；
（2）根据题意即可求出AD和BE的长，然后根据全等三角形的性质即可求出DC和CE，从而求出DE的长．
【详解】
（1）证明：由题意得：，，
∴，
∴，
∴
在和中
，
∴；
（2）解：由题意得：，
∵，
∴，
∴，
答：两堵木墙之间的距离为．