中考数学一轮复习精选专题03 分式的运算（讲测练）（2份打包，原卷版+教师版）

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专题03 分式的运算

1.了解分式的概念
2.会利用分式的基本性质进行约分和通分。
3.会进行分式的加、减、乘、除、乘方运算
4.能够根据具体问题数量关系列出简单的分式方程
5.会解简单的可化为一元一次方程的分式方程；

一、分式的有关概念及性质
1．分式
设A、B表示两个整式．如果B中含有字母，式子就叫做分式．注意分母B的值不能为零，否则分式没有意义.
2.分式的基本性质
　　（M为不等于零的整式）.
3．最简分式
分子与分母没有公因式的分式叫做最简分式．如果分子分母有公因式，要进行约分化简.
【归纳总结】分式的概念需注意的问题：
（1）分式是两个整式相除的商，其中分母是除式，分子是被除式，而分数线则可以理解为除号，还含有括号的作用；
（2）分式中，A和B均为整式，A可含字母，也可不含字母，但B中必须含有字母且不为0；
（3）判断一个代数式是否是分式，不要把原式约分变形，只根据它的原有形式进行判断．
（4）分式有无意义的条件：在分式中，
①当B≠0时，分式有意义；当分式有意义时，B≠0．
②当B=0时，分式无意义；当分式无意义时，B=0．
③当B≠0且A = 0时，分式的值为零．
例1、若把，的值同时缩小为原来的倍，则下列分式的值保持不变的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
A. ，选项说法错误，不符合题意；
B. ，选项说法错误，不符合题意；
C. ，选项说法正确，符合题意；
D. ，选项说法错误，不符合题意
故选C
二、分式的运算
1．基本运算法则
分式的运算法则与分数的运算法则类似,具体运算法则如下:
（1）加减运算 ±=
同分母的分式相加减，分母不变，把分子相加减.
　 ；
异分母的分式相加减，先通分，化为同分母的分式，然后再按同分母分式的加减法则进行计算.
（2）乘法运算
两个分式相乘，把分子相乘的积作为积的分子，把分母相乘的积作为积的分母.
（3）除法运算
两个分式相除，把除式的分子和分母颠倒位置后再与被除式相乘.
（4）乘方运算 （分式乘方）
分式的乘方，把分子分母分别乘方．
2．零指数 .
3．负整数指数 　
4．分式的混合运算顺序
先算乘方，再算乘除，最后加减，有括号先算括号里面的．
5．约分
把一个分式的分子和分母的公因式约去，这种变形称为分式的约分．
6．通分
根据分式的基本性质，异分母的分式可以化为同分母的分式，这一过程称为分式的通分．
例2、计算的结果是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
解：；
故选B．
【归纳总结】约分需明确的问题：
(1)对于一个分式来说，约分就是要把分子与分母都除以同一个因式，使约分前后分式的值相等；
(2)约分的关键是确定分式的分子和分母的公因式，其思考过程与分解因式中提取公因式时确定公因式的思考过程相似；在此，公因式是分子、分母系数的最大公约数和相同字母最低次幂的积．
【特别提醒】通分注意事项
(1)通分的关键是确定最简公分母；最简公分母应为各分母系数的最小公倍数与所有因式的最高次幂的积．
(2)不要把通分与去分母混淆，本是通分，却成了去分母，把分式中的分母丢掉．
(3)确定最简公分母的方法：
最简公分母的系数，取各分母系数的最小公倍数；
最简公分母的字母，取各分母所有字母因式的最高次幂的积.
三、分式方程及其应用
1．分式方程的概念
分母中含有未知数的方程叫做分式方程．
2．分式方程的解法
解分式方程的关键是去分母,即方程两边都乘以最简公分母将分式方程转化为整式方程．
3．分式方程的增根问题
验根：因为解分式方程可能出现增根，所以解分式方程必须验根．验根的方法是将所得的根带入到最简公分母中，看它是否为0，如果为0，即为增根，不为0，就是原方程的解．
4．分式方程的应用
列分式方程解应用题与列一元一次方程解应用题类似，但要稍复杂一些．解题时应抓住“找等量关系、恰当设未知数、确定主要等量关系、用含未知数的分式或整式表示未知量”等关键环节，从而正确列出方程，并进行求解．另外，还要注意从多角度思考、分析、解决问题，注意检验、解释结果的合理性．
【特别提醒】
1.解分式方程注意事项
(1)去分母化成整式方程时不要与通分运算混淆；
(2)解完分式方程必须进行检验，验根的方法是将所得的根带入到最简公分母中，看它是否为0，如果为0，即为增根，不为0，就是原方程的解．
2.列分式方程解应用题的基本步骤
(1)审——仔细审题，找出等量关系；
(2)设——合理设未知数；
(3)列——根据等量关系列出方程；
(4)解——解出方程；
(5)验——检验增根；
(6)答——答题．
例3、随着快递业务的增加，某快递公司为快递员更换了快捷的交通工具，公司投递快件的能力由每周6000件提高到8400件，平均每人每周比原来多投递80件，若快递公司的快递人数不变，求原来平均每人每周投递快件多少件？设原来平均每人每周投递快件x件，根据题意可列方程为（　　）
A．＝ B．+80＝
C．＝﹣80 D．＝
【答案】A
【解析】
解：设原来平均每人每周投递快件x件，则更换交通工具后平均每人每周投递快件（x+80）件，
依题意得：＝，
故选：A．

1．（2022·全国九年级课时练习）若代数式有意义，则x的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
根据分式有意义的条件分析即可．
【详解】
数式有意义，
，
解得．
故选D．
2．（2022·老河口市教学研究室九年级月考）化简的结果是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
直接将括号里面通分，进而分解因式，再利用分式的除法运算法则计算得出答案．
【详解】
解：
=
=
=．
故选：A．
3．（2022·厦门市第九中学九年级二模）港珠澳大桥是我国桥梁建筑史上的又一伟大奇迹，东接香港，西接珠海、澳门，全程55千米．通车前需走水陆两路共约170千米，通车后，约减少时间3小时，平均速度是原来的2.5倍，如果设原来通车前的平均时速为x千米/小时，则可列方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
设原来通车前的平均时速为x千米/小时，所以通车后，的平均时速为2.5x千米/小时，根据它们行驶的时间差为3小时列出分式方程．
【详解】
解：设原来通车前的平均时速为x千米/小时，所以通车后，的平均时速为2.5x千米/小时，依题意得：

故选D．
4．（2022·哈尔滨市第十七中学校）分式方程＝1的解是（ ）
A．x＝1 B．x＝﹣1 C．x＝3 D．x＝﹣3
【答案】A
【分析】
观察可得最简公分母是x（x﹣2），方程两边乘最简公分母，可以把分式方程转化为整式方程求解即可．
【详解】
解：＝1，
去分母，方程两边同时乘以x（x﹣2）得：
（x+1）（x﹣2）+x＝x（x﹣2），
x2﹣x﹣2+x＝x2﹣2x，
x＝1，
经检验，x＝1是原分式方程的解．
故选：A．
5．（2022·四川九年级期中）关于x的方程有增根，则a的值为（ ）
A．－4 B．－6 C．0 D．3
【答案】B
【分析】
将分式方程转化为整式方程，根据方程有增根求得，代入整式方程即可．
【详解】
解：
两边同时乘得： ①
∵有增根
∴
代入方程①得：
故答案为B．
6．（2022·全国）已知实数，满足，那么的值为（ ）
A． B． C．1 D．2
【答案】C
【分析】
把所求分式通分，再把已知条件代入求解．
【详解】
解：∵，
∴，
∴

．
故选：C．
7．（2022·日照市田家炳实验中学九年级一模）已知关于x的方程无解，则m的值是___．
【答案】或1
【分析】
分方程有增根，增根是化为整式方程后产生的不适合分式方程的根．所以应先确定增根的可能值，让最简公分母，得到，然后代入化为整式方程的方程算出m的值和方程没有增根两种情况进行讨论.
【详解】
解：①当方程有增根时
方程两边都乘，得，
∴最简公分母，
解得，
当时，
故m的值是1，
②当方程没有增根时
方程两边都乘，得，
解得，
当分母为0时，此时方程也无解，
∴此时，
解得，
∴综上所述，当或1时，方程无解.
故答案为：或1.
8．（2022·山东滨州市·九年级其他模拟）已知关于的分式方程的解为非负数，则的取值范围为______．
【答案】且
【分析】
根据解分式方程，可得分式方程的解，根据分式方程的解为负数，可得不等式，解不等式，可得答案．
【详解】
解：
去分母，得：，
移项、合并，得：
系数化为1得：
∵分式方程的解为非负数，
∴且，
解得：且，
故答案为：且．
9．（2022·云南九年级期末）先化简，再求值：，其中．
【答案】x-1，1
【分析】
根据分式的混合运算法则化简原式然后代值计算即可．
【详解】
解：原式=，
=，
=，
∵，
∴原式=．
10．（2022·河南三门峡市·）下面是小锐同学进行分式化简的过程，请认真阅读并完成相应任务．

…第一步
…第二步
…第三步
…第四步
…第五步
…第六步
（1）填空：
①以上化简步骤中，第______步是进行分式的通分，通分的依据是______；
②第______步开始出现错误，这一步错误的原因是__________．
（2）请从出现错误的步骤开始继续进行该分式的化简；
（3）除纠正上述错误外，请你根据平时的学习经验，就分式化简时还需注意的事项给其他同学提一条建议．
【答案】（1）①三，分式的基本性质；②五，括号前面是“”，去掉括号后，括号里面的第二项没有变号；（2）见解析；（3）最后结果应化为最简分式或整式
【分析】
（1）①分式的通分是把异分母的分式化为同分母的分式，通分的依据是分式的基本性质，据此即可进行判断；
②根据分式的运算法则可知：第五步开始出现错误，然后根据去括号法则解答即可；
（2）根据分式的混合运算法则解答；
（3）可从分式化简的最后结果或通分时应注意的事项等进行说明．
【详解】
解：（1）①在以上化简步骤中，第三步是进行分式的通分，通分的依据是分式的基本性质（或分式的分子与分母都乘（或除以）同一个不等于零的整式，分式的值不变）；
②第五步开始出现错误，这一步错误的原因是：括号前面是“”，去掉括号后，括号里面的第二项没有变号；
（2）原式；
（3）答案不唯一．如：最后结果应化为最简分式或整式；约分，通分时，应根据分式的基本性质进行变形；分式化简不能与解分式方程混淆等．

专题03 分式的运算
一、单选题
1．（2022·四川德阳市·德阳五中九年级月考）若分式的值为零，那么x的值为（ ）
A．x＝﹣1或x＝1 B．x＝0 C．x＝1 D．x＝﹣1
【答案】C
【分析】
直接利用分式的值为0，则分子为0，分母不能为0，进而得出答案．
【详解】
解：∵分式的值为零，
∴x2﹣1＝0，x+1≠0，
解得：x＝1．
故选：C．
2．（2022·陕西九年级专题练习）下列关于的方程中，不是分式方程的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】
由题意根据分母含有未知数的方程是分式方程依次对各选项进行分析判断．
【详解】
解：A、B、D选项中分母含有未知数，是分式方程；
C选项中分母不含有未知数，故不是分式方程.
故选：C．
3．（2022·山西九年级专题练习）若4，则x的值是（ ）
A．4 B． C． D．﹣4
【答案】C
【分析】
去分母，再系数化1，即可求得.
【详解】
解：4，
，
，
故选：C．
4．（2020·陕西九年级专题练习）九年级学生去距学校10 km的博物馆参观，一部分学生骑自行车先走，过了20 min后，其余学生乘汽车出发，结果他们同时到达.已知汽车的速度是骑车学生速度的2倍，求骑车学生的速度.设骑车学生的速度为x km/h，则所列方程正确的是( )
A． B．
C． D．
【答案】C
【详解】
试题分析：设骑车学生的速度为xkm/h，则汽车的速度为2xkm/h，由题意得，．故选C．
考点：由实际问题抽象出分式方程．
5．（2022·北京九年级专题练习）化简的结果为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
根据同分母的分式减法法则进行化简即可得到结果．
【详解】
解：


，
故选：．
6．（2022·上海九年级专题练习）分式有意义的条件是（ ）　　
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
根据分母不为零分式有意义，可得答案．
【详解】
解：要使有意义，得
．
解得，
当时，有意义，
故选：．
7．（2022·河北九年级专题练习）解分式方程分以下四步，其中错误的一步是（ ）
A．方程两边分式的最简公分母是
B．方程两边都乘以，得整式方程
C．解这个整式方程，得
D．原方程的解为
【答案】D
【分析】
分式方程两边乘以最简公分母，去分母转化为整式方程，求出整式方程的解，经检验即可得到分式方程的解．
【详解】
解：分式方程的最简公分母为（x−1）（x＋1），
方程两边乘以（x−1）（x＋1），得整式方程2（x−1）＋3（x＋1）＝6，
解得：x＝1，
经检验x＝1是增根，分式方程无解．
故选：D．
8．（2019·河南九年级专题练习）不改变分式的值，把它的分子和分母中的各项的系数都化为整数，则所得结果为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
根据分式的基本性质：分式的分子和分母乘（或除以）同一个不等于0的整式，分式值不变，即可求出答案．
【详解】
解：分子分母同时扩大10倍，即原分式，
故选：A．
9．（2020·河南九年级月考）当有意义时，a的取值范围是（ ）
A．a≥2 B．a＞2 C．a≠2 D．a≠－2
【答案】B
【解析】
解：根据二次根式的意义，被开方数a﹣2≥0，解得：a≥2，根据分式有意义的条件：a﹣2≠0，解得：a≠2，∴a＞2．故选B．
10．（2020·内蒙古包头·）的相反数是（ ）
A．9 B．-9 C． D．
【答案】B
【分析】
先根据负指数幂的运算法则求出的值，然后再根据相反数的定义进行求解即可．
【详解】
=9，
9的相反数为-9，
故的相反数是-9，
故选B．
二、填空题
11．（2022·沙坪坝区·重庆南开中学九年级开学考试）若的值为，则的值为__________．
【答案】2
【分析】
直接利用分式的值为零，则分子为零，再利用分式有意义的条件，其分母不为零，进而得出答案．
【详解】
解：∵分式的值为，
∴x2-4=0且x+2≠0，
解得：x=2．
故答案为：2．
12．（2022·山东青岛·九年级专题练习）我国古代著作《四元玉鉴》中，记载了一道“买椽多少”问题，题目是：六贯二百一十钱，倩人去买几株椽．每株脚钱三文足，无钱准与一株椽．其大意是：请人代买一批椽，这批椽的价钱为6210文，每株椽的运费是3文．如果少买一株椽，那么所买的椽的运费恰好等于一株椽的价钱，问6210文能买多少株椽？设6210文能买株椽，根据题意可列方程为____________．
【答案】
【分析】
根据单价=总价÷数量结合少拿一株椽后剩下的椽的运费恰好等于一株椽的价钱，即可得出关于x的分式方程，此题得解．
【详解】
解：依题意，得：，
故答案为：．
13．（2022·北京平谷·九年级一模）化简：_______________.
【答案】
【分析】
利用分式的通分原则计算即可
【详解】
解：
=
=，
故答案为：．
14．（2020·贵州贵阳市·）关于x的分式方程有增根，则m的值为__________．
【答案】4．
【解析】
去分母得：7x+5(x-1)=2m-1，
因为分式方程有增根，所以x-1=0，所以x=1，
把x=1代入7x+5(x-1)=2m-1，得：7=2m-1，
解得：m=4，
故答案为4.
15．（2020·齐齐哈尔市第二十八中学九年级月考）已知x2﹣3x﹣2=0，那么代数式的值为___________．
【答案】2
【分析】
本题考查了分式的化简，多项式的因式分解．化简代数式是解决本题的关键．
【分析】
先化简代数式，再整体代入求值．
【详解】
解：
=
=
=x2﹣3x
因为x2﹣3x﹣2=0，所以x2﹣3x=2
所以原式=2．
故答案为：2
三、解答题
16．（2022·河南九年级专题练习）解分式方程：．
【答案】无解
【分析】
去分母将分式方程化为整式方程，再解整式方程，检验根即可．
【详解】
解：去分母，两边同时乘以得
，
即
即
即．
检验：当x=1时，（x-1）(x+2)=0
∴x=1不是原方程的解．
∴原方程无解．
17．（2022·河南九年级期末）先化简，再求值：，其中．
【答案】；
【分析】
先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再把变形为，最后代入化简结果中进行计算即可．
【详解】
解：
=
=
=
=



∴原式．
18．（2022·全国）化简：÷（1﹣）．
【答案】
【分析】
根据分式的混合运算法则计算，得到答案．
【详解】
解：原式＝÷（）
＝
＝
＝．
19．（2020·沙坪坝·重庆八中九年级课时练习）计算：
（1）（x+y）2+y（3x-y）
（2）
【答案】（1）x2+5xy；（2）．
【分析】
（1）先根据完全平方公式和单项式乘以多项式的法则计算，再合并同类项即可；
（2）先计算小括号里的，再计算乘法即可．
【详解】
解：（1）原式=x2+2xy+y2+3xy-y2=x2+5xy．
（2）原式=
=
=．
20．（2019·河南九年级专题练习）先化简，再求值：（﹣）÷，请在2，﹣2，0，3当中选一个合适的数代入求值．
【答案】；当m＝3时，原式＝3．
【分析】
先化简分式，然后根据分式有意义的条件即可求出m的值，从而可求出原式的值．
【详解】
解：原式＝（）×
＝×﹣×
＝﹣
＝，
∵m≠±2，0，
∴当m＝3时，
原式＝3．
21．（2022·全国九年级专题练习）已知关于x的分式方程，
(1)若方程的增根为x=1，求m的值
(2)若方程有增根，求m的值
(3)若方程无解，求m的值．
【答案】（1）m=-6;(2) 当x=﹣2时，m=1.5；当x=1时，m=﹣6；（3）m的值为﹣1或﹣6或1.5
【详解】
试题分析：方程两边同时乘以最简公分母（x-1）(x+2)，化为整式方程；
（1）把方程的增根x=1代入整式方程，解方程即可得；
（2）若方程有增根，则最简公分母为0，从而求得x的值，然后代入整式方程即可得；
（3）方程无解，有两种情况，一种是原方程有增根，一种是所得整式方程无解，分别求解即可得.
试题解析：方程两边同时乘以（x+2）（x﹣1），得
2（x+2）+mx=x-1，
整理得（m+1）x=﹣5，
（1）∵x=1是分式方程的增根，
∴1+m=﹣5，
解得：m=﹣6；
（2）∵原分式方程有增根，
∴（x+2）（x﹣1）=0，
解得：x=﹣2或x=1，
当x=﹣2时，m=1.5；当x=1时，m=﹣6；
（3）当m+1=0时，该方程无解，此时m=﹣1；
当m+1≠0时，要使原方程无解，由（2）得：m=﹣6或m=1.5，
综上，m的值为﹣1或﹣6或1.5．
22．（2022·全国九年级专题练习）若关于的方程有增根，求的值.
【答案】3
【分析】
先将分式方程化为整式方程，再将增根代入整式方程求出k的值即可．
【详解】
方程两边同乘以得，
把代入上式得，
解得，
故的值为3.
【点睛】
本题考查了分式方程的增根问题，增根确定后可按如下步骤进行：①化分式方程为整式方程；②把增根代入整式方程即可求得相关字母的值．
23．（2022·上海九年级专题练习）甲、乙两位同学同时从学校出发，骑自行车前往距离学校20千米的郊野公园．已知甲同学比乙同学平均每小时多骑行2千米，甲同学在路上因事耽搁了30分钟，结果两人同时到达公园．问：甲、乙两位同学平均每小时各骑行多少千米？
【答案】甲平均每小时行驶10千米，乙平均每小时行驶8千米
【分析】
设乙平均每小时骑行x千米，则甲平均每小时骑行（x+2）千米，根据题意可得，同样20千米的距离，乙比甲多走30分钟，据此列方程求解．
【详解】
设甲平均每小时行驶x千米，
则，
化简为：，
解得：，
经检验不符合题意，是原方程的解，
答：甲平均每小时行驶10千米，乙平均每小时行驶8千米．