中考数学一轮复习精选专题24 求几何图形的面积（讲测练）（2份打包，原卷版+教师版）

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专题24 求几何图形的面积

1.掌握常用的基本公式。
2.了解常用的求面积的方法并学会运用。

一．常用的基本公式
1．正方形的边长为a，则正方形的面积是S=a2；
2．长方形的长与宽分别是a、b，则长方形的面积是S=a×b。
3．平行四边形的底边长为a，高为h，则面积是S=a×h。
4．三角形的三条边长分别为a、b、c，在它们上的高分别是ha、hb、hc，则三角形的面积S=a×ha÷2= b×hb÷2= c×hc÷2。
5．梯形的上底为a，下底为b，高为h，则梯形的面积是(a+b)×h÷2。6．圆的半径为r，则圆的面积是S=π×r2。其中π=3.14159265…。
6.弧长公式：，其中为n°的圆心角所对弧的长，R为圆的半径．
7.扇形面积公式：，其中．圆心角所对的扇形的面积，另外．
二．几种常用的求面积的方法
1．直接利用公式计算；
2．列出方程求图形的面积；
3．添加辅助线计算图形面积；
4．利用割补的办法变化图形，计算图形的面积。
5．用相等面积变换计算图形的面积。（同底等高问题，等底等高问题）

1．（2022·四川）菱形的对角线，则菱形的面积是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
由菱形的面积公式可求解．
【详解】
解：菱形的面积==40，
故选：C．
2．（2022·九龙坡·重庆市育才中学九年级）如图，△A'B'C'是△ABC以点O为位似中心经过位似变换得到的，若OB＝3OB'，则△A'B'C'的面积与△ABC的面积之比是（　　）

A．1：3 B．2：3 C．1：6 D．1：9
【答案】D
【分析】
根据位似图形的概念得到A′B′∥AB，△A'B'C'∽△ABC，根据题意求出，根据相似三角形的性质解答即可．
【详解】
解：∵△A'B'C'与△ABC是位似图形，
∴A′B′∥AB，△A'B'C'∽△ABC，
∴△OA′B′∽△OAB，
∴，
∴△A'B'C'的面积与△ABC的面积之比＝（）2＝1：9，
故选：D．
3．（2022·山东八年级期末）如图，中，，分别是，的中点，若的面积是10，则的面积是（ ）

A． B．3 C． D．5
【答案】C
【分析】
根据三角形中线的性质确定，，再代入计算即可．
【详解】
解：∵D，E分别是BC，AD中点，
∴AD，BE分别是和的中线
∴，．
∴．
∵，
∴．
故选：C．
4．（2022·河北八年级期中）下列变量之间的关系不是函数关系的是（　　）
A．长方形的面积一定，其长与宽
B．正方形的周长与面积
C．长方形的周长与面积
D．圆的面积与圆的半径
【答案】C
【分析】
根据函数的定义可知，满足对于x的每一个取值，y都有唯一确定的值与之对应关系，据此即可确定函数的个数．
【详解】
解：A、长方形的面积一定，其长与宽是函数，故A不符合；
B、正方形的周长与面积是函数，故B不符合；
C、长方形的周长与面积不是函数，故C符合；
D、圆的面积与圆的半径是函数，故D不符合；
故选：C．
5．（2022·广东八年级期末）如图，在中，已知，边cm，cm，点为边上一动点，点从点向点运动，当点运动到中点时，的面积是（ ）cm2．

A．5 B．10 C．20 D．40
【答案】C
【分析】
根据三角形的面积公式列出算式可解答．
【详解】
解：∵点运动到中点，cm，
∴ ，
∵，cm，
∴ ．
故选：C．
6．（2022·重庆忠县·八年级期末）如图，已知是的平分线，，若的面积为，则的面积（ ）

A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
延长AP交BC于点C，根据题意，通过ASA判定，因为和同高等底，所以面积相等，根据等量代换便可得出．
【详解】
解：延长AP交BC于点C，如图所示，
，
∵，
∴，
∵BP是的角平分线，
∴，
在和中，
，
∴，
∴,
∴，
∵和同底等高，
∴，
∴，
∴，
故选C．
7．（2022·北京师大附中）如图，平行四边形ABCD的顶点B在矩形AEFC的边EF上，点B与点E，F不重合，若△ACD的面积3，则图中阴影部分两个三角形的面积和为____________．

【答案】3
【分析】
根据平行四边形的对角线把平行四边形分成的两个三角形的面积相等求出△ABC的面积，再根据三角形的面积公式和矩形的面积公式求出矩形的面积，然后求解即可．
【详解】
解：在▱ABCD中，
∵△ACD的面积为3，
∴△ABC的面积为3，
∴S△ABC=AC•AE=3，
∴AC•AE=6，
∴矩形AEFC的面积为6， 阴影部分两个三角形的面积和=6-3=3，
故答案为：3．
8．（2022·哈尔滨风华中学九年级开学考试）若两个相似三角形相似比为4：5，较小三角形的面积为16，则较大三角形的面积是____．
【答案】25
【分析】
根据相似三角形面积的比等于相似比的平方求出面积比，根据题意计算即可．
【详解】
解：∵两个相似三角形的相似比是4：5，
∴两个相似三角形的面积比是16：25，
又较小三角形的面积为16，
那么较大三角形的面积为25，
故答案为：25．
9．（2022·全国八年级课时练习）已知等腰三角形腰长是10，底边长是16，求这个等腰三角形的面积．
【答案】48
【分析】
作AD⊥BC，垂足为D，根据等腰三角形的三线合一的性质，可知底边上的高线也是中线，即BD= CD=BC = 8，在Rt△ABD中，利用勾股定理，得到高线AD===6，根据三角形的面积公式，即可算出三角形的面积．
【详解】
如图，△ABC中，AB= AC= 10，BC= 16，过点A作AD⊥BC于D，

∴BD=CD=BC=×16=8
∴∠ADB=90°
.∴ AD===6
∴S =BC×AD=×16×6=48
∴这个等腰三角形的面积是48
10．（2022·广东南海区·八年级期末）如图1，在△ABC中，D、E分别为AB、AC的中点，延长BC至点F，使CF＝BC，连接CD和EF．
（1）求证：四边形DEFC是平行四边形．
（2）如图2，当△ABC是等边三角形且边长是8，求四边形DEFC的面积．

【答案】（1）见解析；（2）
【分析】
（1）由三角形中位线定理得DE＝BC，DE∥BC，再由CF＝BC，得DE＝CF，即可得出结论；
（2）过点D作DH⊥BC于H，由等边三角形的性质得∠B＝60°，BD＝AB＝4，则∠BDH＝30°，再由含30°角的直角三角形的性质得BH＝DB＝2，由勾股定理得DH＝2，然后由CF＝CB＝4，即可求解．
【详解】
（1）证明：∵D、E分别为AB、AC的中点，
∴DE是△ABC的中位线，
∴DE＝BC，DE∥BC，
∵CF＝BC，
∴DE＝CF，
∴四边形DEFC是平行四边形．
（2）解：过点D作DH⊥BC于H，如图2所示：
∵△ABC是等边三角形，D为AB的中点
∴∠B＝60°，BD＝AB＝4，
∵∠DHB＝90°，
∴∠BDH＝30°，
∴BH＝DB＝2，
∴DH＝，
∵CF＝CB＝4，
∴S四边形DEFC＝CF•DH＝4×2＝8．


专题24 求几何图形的面积
一、单选题
1．（2022·廊坊市第四中学八年级月考）如图，正方形被分成两个小正方形和两个长方形，如果两小正方形的面积分别是2和5，那么两个长方形的面积和为（ ）

A．7 B． C．7 D．
【答案】B
【分析】
根据题意可知，两小正方形的边长分别是和，由图知，矩形的长和宽分别为和，所以两个长方形的面积和为
【详解】
解：两小正方形的面积分别是2和5，
两小正方形的边长分别是和，
两个长方形的面积和为：；
故选B．
2．（2022·全国）在中，、分别是、边上的中点，的面积为，则的面积是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
根据中位线将三角形面积分为两部分可知：△ABC的面积是的面积的4倍，依此即可求解．
【详解】
解：∵、分别是、边上的中点，
∴，
∴
∴
∴
故选B

3．（2022·诸暨市开放双语实验学校八年级期中）如图，在中，，是的角平分线，DE∥AB交于点，为上一点，连结、，已知，，则的面积（ ）

A．12 B．7.5 C．8 D．6
【答案】B
【分析】
在中，依据勾股定理求出，由“是的角平分线，”，依据角平分线的定义、平行线的性质、等量代换及等角对等边，可得，由等底等高的三角形面积相等可知，和的面积相等，即可求解．
【详解】
解：∵在中，，，，
∴,
∵是的角平分线，，
∴，，
∴，
∴，
∵，
∴和的面积相等，
∴的面积=，
故选B．
4．（2022·广州市真光中学八年级期中）如图，在中，已知点、，分别为、、的中点，且，则阴影部分面积（ ）．

A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【分析】
根据三角形面积公式由点D为BC的中点得到S△ABD＝S△ADC＝S△ABC＝6，同理得到S△EBD＝S△EDC＝S△ABD＝3，则S△BEC＝6，然后再由点F为EC的中点得到S△BEF＝S△BEC＝3．
【详解】
解：∵点D为BC的中点，
∴S△ABD＝S△ADC＝S△ABC＝6，
∵点E为AD的中点，
∴S△EBD＝S△EDC＝S△ABD＝3，
∴S△EBC＝S△EBD＋S△EDC＝6，
∵点F为EC的中点，
∴S△BEF＝S△BEC＝3，
即阴影部分的面积为3cm2．
故选：C．
5．（2022·四川德阳五中）从一块正方形铁皮上截去2cm宽的一个长方形，余下的面积是48cm2，则原来正方形的面积为（　　）
A．56cm2 B．64cm2 C．81cm2 D．100cm2
【答案】B
【分析】
设原来正方形的边长为xcm，利用剩余部门的面积＝原来正方形的面积﹣截去的小长方形的面积，即可得出关于x的一元二次方程，解之即可得出x的值，再将其正值代入x2中即可求出原来正方形的面积．
【详解】
解：设原来正方形的边长为xcm，
依题意得：x2﹣2x＝48，
解得：x1＝8，x2＝﹣6（不合题意，舍去），
∴x2＝8×8＝64．
故选：B．
6．（2022·三明市列东中学）如图，的面积为14，平分，且于点，则的面积是（ ）

A．5 B．7 C．9 D．11
【答案】B
【分析】
延长BD交AC于点E，证明△ADB≌△ADE，得到BD=ED，，推出，由此得到答案．
【详解】
解：延长BD交AC于点E，
∵平分，
∴，
∵，
∴，
∵AD=AD，
∴△ADB≌△ADE，
∴BD=ED，，
∴，
∴，
∴，
故选：B．

7．（2022·全国）在圆心角为的扇形中，半径，则扇形的面积是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
利用扇形面积公式求解即可．
【详解】
解：由题意得扇形的面积是．
故选C．
8．（2022·山东济宁·八年级期末）如图，在菱形ABCD中，AB＝4，∠BAD＝120°，△AEF为等边三角形，点E，F分别在菱形的边BC，CD上滑动，且E，F不与B，C，D重合，则四边形AECF的面积是（　　）

A．4 B．4 C．3 D．3
【答案】A
【分析】
证△ABE≌△ACF（ASA），得S△ABE＝S△ACF，再由S四边形AECF＝S△AEC+S△ACF＝S△AEC+S△ABE＝S△ABC即可求解．
【详解】
解：连接AC，如图所示，
∵四边形ABCD是菱形，∠BAD＝120°，
∴∠BAC＝∠DAC＝60°，BC＝AB＝4，
∴∠1+∠EAC＝60°，∠3+∠EAC＝60°，
∴∠1＝∠3，
∵∠BAD＝120°，BC∥AD，
∴∠ABC＝∠BAC＝∠ACB＝60°，
∴△ABC、△ACD为等边三角形，
∴∠4＝60°，AC＝AB，
在△ABE和△ACF中，
，
∴△ABE≌△ACF（ASA）．
∴S△ABE＝S△ACF，
故S四边形AECF＝S△AEC+S△ACF＝S△AEC+S△ABE＝S△ABC，是定值，
过A作AH⊥BC于H，则BH＝BC＝2，
∴AH＝，
S四边形AECF＝S△ABC＝BC•AH＝×4×2＝4，
故选：A．

9．（2022·长沙市北雅中学八年级期中）菱形的两条对角线长分别为和，则此菱形的面积是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
已知对角线的长度，根据菱形的面积计算公式即可计算菱形的面积．
【详解】
解：根据对角线的长可以求得菱形的面积，
根据，
故选：C．
10．（2022·全国九年级课时练习）如图，中，，且，则被分成的三部分面积之比（ ）

A．1∶1∶1 B．1∶2∶3 C．1∶3∶5 D．
【答案】C
【分析】
由已知证得△ADE∽△AFG∽△ABC，其相似比分别是1：2：3，则面积的比是1：4：9，可求S1：S2：S3＝1：3：5．
【详解】
解：根据，得到，
∵，
∴，
即、、的相似比是1∶2∶3，
∴、、的面积比是1∶4∶9，
设的面积是a，则的面积是，的面积是，
则，
∴．
故选：C
二、填空题
11．（2022·哈尔滨德强学校八年级期中）如图，在四边形中，、分别是、的中点，若，，，则面积是_______．

【答案】6
【分析】
连接BD，根据中位线的性质得出EF//BD，且EF=BD，进而证明△BDC是直角三角形，据此解题即可．
【详解】
解：连接BD，

、分别是、的中点，
则EF是△ABD的中位线，
∴EF＝BD＝2，
∴BD＝4，
在△BCD中，BC＝5，CD＝3，
∴，
∴△BCD是以D点为直角顶点的直角三角形，
∴，
故答案为：6．
12．（2022·哈尔滨德强学校八年级月考）如图，在平行四边形中，，，，则平行四边形的面积是_______．

【答案】120
【分析】
由中，，，，求得，的长，利用勾股定理的逆定理即可证得是直角三角形，继而求得答案．
【详解】
解：中，，，
，，
，
，
是直角三角形，即，
．
故答案为：120．
13．（2022·哈尔滨市萧红中学八年级月考）菱形的对角线长分别是10、16，则它的面积是_______．
【答案】80
【分析】
根据菱形的面积等于对角线积的一半，即可求得其面积．
【详解】
解：∵菱形的两条对角线长分别为10和16，
∴其面积为：×10×16=80．
故答案为：80．
14．（2022·绍兴市柯桥区杨汛桥镇中学八年级开学考试）将一副三角尺按如图所示叠放在一起，若AB＝12cm，则阴影部分的面积是_____cm2．

【答案】18
【分析】
由于BCDE，那么△ACF也是等腰直角三角形，欲求其面积，必须先求出直角边AC的长；Rt△ABC中，已知斜边AB及∠B的度数，易求得AC的长，进而可根据三角形面积的计算方法求出阴影部分的面积．
【详解】
解：∵∠B=30°，∠ACB=90°，AB=12cm，
∴AC=6cm．
由题意可知BCED，
∴∠AFC=∠ADE=45°，
∴AC=CF=6cm．
故S△ACF=×6×6=18（cm2）．
故答案为：18．
15．（2022·沭阳县修远中学八年级期末）如图，点在矩形的对角线上，且不与点重合，过点分别作边的平行线，交两组对边于点和．四边形和四边形都是矩形并且面积分别为S1，S2，则S1，S2之间的关系为__________．

【答案】S1=S2
【分析】
由矩形的性质找出，结合对边互相平行即可证出四边形和四边形都是矩形，再根据矩形的性质可得出三对三角形的面积相等，由此即可得结果．
【详解】
解：∵四边形为矩形，
∴．
又∵，，
∴四边形和四边形都是矩形．
∵，，四边形为矩形，
∴四边形和四边形也是矩形，
∴，，，
∴，

故答案为：．
三、解答题
16．（2022·上海市卢湾中学期末）如图所示，，．

（1）已知，求以为直径的半圆面积及扇形的面积；（结果可保留）
（2）填空：已知阴影甲的面积为6平方厘米，则阴影乙的面积为__________平方厘米．
【答案】（1），；（2）6
【分析】
（1）根据扇形面积公式即可求出结果；
（2）观察图形可得阴影甲的面积=阴影乙的面积，进而可得结果．
【详解】
解：（1）根据题意得：
，
；
（2）观察图形可知：
阴影甲的面积＝阴影乙的面积＝6平方厘米，
故答案为：6．
17．（2022·安徽合肥市·八年级期中）已知等腰三角形ABC的底边BC＝2cm，D是腰AB上一点，且CD＝4cm，BD＝2cm．

（1）求证：CD⊥AB；
（2）求△ABC的面积．
【答案】（1）见解析；（2）△ABC的面积为10cm²．
【分析】
（1）先算CD²，BC²，BD²，发现三者之间的等量关系，再结合勾股定理的逆定理判断垂直；
（2）先设AD=x，然后用含有x的式子表示AC，再结合勾股定理列出方程求x，最后求面积．
【详解】
（1）证明：∵BC=2cm，CD=4cm，BD=2cm，
∴CD2=16，BC2=20，BD2=4，
∴CD2+BD2=BC2，
∴三角形BCD是直角三角形，∠BDC=90°，
∴CD⊥AB；
（2）解：设AD=x，则AB=x+2，
∵△ABC为等腰三角形，且AB=AC，
∴AC=x+2，
在Rt△ACD中，AD2+CD2=AC2，
∴x2+42=（x+2）2，
解得：x=3，
∴AB=5，
∴S△ABC=×AB×CD=×5×4=10（cm²）．
18．（2022·安徽合肥市五十中学西校）如图，四边形中，，，，．

（1）求的度数．
（2）求四边形的面积．
【答案】（1）；（2）
【分析】
（1）连接，根据，，得出为等边三角形，求得，然后根据勾股定理逆定理判断△BDC是直角三角形，，从而求得的度数．
（2）根据四边形的面积等于△ABC和△ACD的和即可求解．
【详解】
解：（1）如图，连接，

，
为等边三角形
，
，
，


（2）如图，过点作
为等边三角形


在中，



．
19．（2022·南昌市心远中学）如图，在和中，．

求的面积；
试判断的形状，并证明你结论．
【答案】（1）（2）直角三角形；理由见解析
【分析】
（1）过点C作于E，设，在和中，
，，列出方程组，解方程求得的值，运用三角形面积公式计算即可；
（2）过点D作于F，先证明，求出的长，运用勾股定理得出的长度，即可得出结论．
【详解】
解：（1）过点C作于E，

设，在和中，
，，
则，解得，
∴；
（2）为直角三角形，理由如下：
过点D作于F，

∵，
∴,
在三角形和中，
,
∴，
∴，，
∴,
则，
在中，
， ，
∴，
∴为直角三角形．
20．（2022·山东省青岛第二十六中学九年级期中）如图，在ABC中，AD是高，矩形PQMN的顶点P、N分别在AB、AC上，Q、M在BC上，AD交PN于点E．设BC＝20，AD＝10，PQ：PN＝3：4．
（1）证明：APN∽ABC；
（2）求矩形PQMN的面积．

【答案】（1）见解析；（2）S矩形PQMN= 48．
【分析】
（1）由PN∥BC即可得出结论；
（2）设PQ=3x，则PN=4x，利用PN∥BC，可得到，代入可求得x，再计算矩形PQMN的面积即可．
【详解】
（1）证明：∵四边形PQMN是矩形，
∴PN∥QM，
∴△APN∽△ABC；
（2）解：∵PQ：PN=3：4，
∴设PQ=3x，则PN=4x，
∵四边形PQMN为矩形，
∴ED=PQ=3x，AE=AD-DE=10-3x，
又PN∥BC，
∵△APN∽△ABC，
∴，
即，
解得x=2，
∴PQ=6，PN=8，
∴S矩形PQMN=PQ•PN=6×8=48．
21．（2022·天津南开翔宇学校）如图，四边形中，，，，，求四边形的面积．

【答案】16
【分析】
延长AB和DC线交于点O，可得OB=BC，OD=OA，OA=AD，BC=OC，设BC=OC=x，则BO=x，根据列方程求出x，再分别求出△AOD和△BOC的面积，最后作差即可．
【详解】
延长和线交于点，

∵，，
∴，，
∴，
∵，
∴，
由勾股定理可得，，，，
设，则，
∵，，
∴，解得：，
∴，，
，
∴四边形的面积
．
故填16．
22．（2022·珠海市紫荆中学桃园校区八年级期中）如图，在等腰直角三角形ABC中，AC＝CB，∠ACB＝90°，CD为AB边上的中线，点E、F分别为AC、BC上的点，且∠EDF＝90°．

（1）求证：ED＝DF；
（2）若BC＝4，求四边形EDFC的面积．
【答案】（1）见解析；（2）4
【分析】
（1）首先证明，，根据全等三角形的判定易得到，继而可得出结论．
（2）根据全等可得，进而得到，然后再利用三角形的中线平分三角形的面积可得答案．
【详解】
证明：（1）是等腰直角三角形，
，
为中点，
，平分，．
，
，
，，
，
在和中，
∵，
，
．
（2），
，
，
是的中点，
．
．
23．（2022·山东邹城市·）如图，已知点是中边的中点，连接并延长交的延长线于点，连接，，．

（1）求证：四边形为矩形；
（2）若是等边三角形，且边长为6，求四边形的面积．
【答案】（1）见解析；（2）四边形的面积．
【分析】
（1）利用平行四边形的性质先证明，可得再证明四边形是平行四边形，从而可得结论；
（2）先求解，，再利用勾股定理求解，从而可得答案.
【详解】
（1）证明：四边形是平行四边形，
，，
，
点是中边的中点，
，
，
，

，
四边形是平行四边形，
又，
平行四边形为矩形；
（2）解：由（1）得：四边形为矩形，
，
是等边三角形，
，，
，
四边形的面积．