2022-2023学年甘肃省兰州市教育局第四片区高一（下）期末数学试卷（含解析）

这是一份2022-2023学年甘肃省兰州市教育局第四片区高一（下）期末数学试卷（含解析），共13页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

2022-2023学年甘肃省兰州市教育局第四片区高一（下）期末数学试卷
一、单选题（本大题共9小题，共36.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. |2+i2+2i3|=(    )
A. 1 B. 2 C. 5 D. 5
2. 正方形ABCD的边长是2，E是AB的中点，则EC⋅ED=(    )
A. 5 B. 3 C. 2 5 D. 5
3. 如图所示的粮仓可以看成圆柱体与圆锥体的组合体，设圆锥部分的高为0.5米，圆柱部分的高为2米，底面圆的半径为1米，则该组合体体积为(    )


A. π3立方米 B. 2π立方米 C. 13π6立方米 D. 5π2立方米
4. 等边三角形ABC中，AB与BC的夹角为(    )
A. 60° B. −60° C. 120° D. 150°
5. 长方体的一个顶点上的三条棱长分别是3、4、5，且它的8个顶点都在同一球面上，则这个球的表面积是(    )
A. 25π B. 50π C. 100π D. 200π
6. 在长方体ABCD−A1B1C1D1中，AB=BC=1，AA1=2，E为CC1的中点，则异面直线BC1与AE所成角的余弦值为(    )
A. 155 B. 105 C. 0 D. 63
7. 已知|a|=6，|b|=4，a与b的夹角为120°，则(a+2b)⋅(a−3b)的值是(    )
A. −81 B. 144 C. −48 D. −72
8. 如图，△A′B′C′是水平放置的△ABC的斜二测直观图，△A′B′C′为等腰直角三角形，其中O′与A′重合，A′B′=6，则△ABC的面积是(    )

A. 9 B. 9 2 C. 18 D. 18 2
9. 平面α内两条直线m，n都平行于平面β，则α与β的关系是(    )
A. 平行 B. 相交 C. 重合 D. 不确定
二、多选题（本大题共3小题，共12.0分。在每小题有多项符合题目要求）
10. 已知m，n为不同的直线，α，β为不同的平面，下列命题为真命题的有(    )
A. m⊥α，m⊥β⇒α//β B. m//n，n⊂α⇒m//α
C. m⊥α，m⊂β⇒α⊥β D. m⊥α，n⊥α⇒m//n
11. 如图，在四棱锥P−ABCD中，底面为直角梯形，AD//BC，∠BAD=90°，PA⊥底面ABCD，且PA=AD=AB=2BC，M、N分别为PC、PB的中点．则(    )

A. CD⊥AN B. BD⊥PC
C. PB⊥平面ANMD D. BD与平面ANMD所在的角为30°
12. 等腰直角三角形直角边长为1，现将该三角形绕其某一边旋转一周，则所形成的几何体的表面积可以为(    )
A. 2π B. (1+ 2)π C. 2 2π D. (2+ 2π)
三、填空题（本大题共4小题，共16.0分）
13. 若a=(2,5)与b=(−1,t)平行，则t=______．
14. 若θ∈(0,π2),tanθ=12，则sinθ−cosθ= ______ ．
15. 若复数z1=1−5i1+i(i为虚数单位)，|z|=1，则|z−z1|Max= ______ ．
16. 如图，在直二面角α−AB−β中，AC和BD分别在平面α和β上，它们都垂直于AB，且AB=4，AC=6，BD=8，则CD= ______ ．

四、解答题（本大题共4小题，共36.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17. (本小题8.0分)
已知锐角α，β，满足cosα=35，cos(α+β)=−1213，求sinβ．
18. (本小题8.0分)
在复平面内A，B，C的对应的复数分别为1，−i，−1+2i．
(1)求AB,AC,BC；
(2)判定△ABC的形状．
19. (本小题10.0分)
如图，在正四棱锥P−ABCD中AB=2，PA=4，PM=2MB，N、E、F分别为PD、BC、CD中点．
(1)求证：EF//平面PMN；
(2)三棱锥N−MCD的体积．

20. (本小题10.0分)
已知点P( 3,1)，Q(cosx,sinx)，O为坐标原点，函数f(x)=OP⋅QP．
(Ⅰ)求函数f(x)的解析式及f(x)的最小正周期；
(Ⅱ)若A为△ABC的内角，f(A)=4，BC=3，求△ABC周长的最大值．
答案和解析

1.【答案】C 
【解析】解：由于|2+i2+2i3|=|1−2i|= 12+(−2)2= 5．
故选：C．
直接利用复数的模的运算求出结果．
本题考查的知识要点：复数的运算，复数的模，主要考查学生的理解能力和计算能力，属于基础题．

2.【答案】B 
【解析】解：正方形ABCD的边长是2，E是AB的中点，
所以EB⋅EA=−1，EB⊥AD，EA⊥BC，BC⋅AD=2×2=4，
则EC⋅ED=(EB+BC)⋅(EA+AD)=EB⋅EA+EB⋅AD+EA⋅BC+BC⋅AD=−1+0+0+4=3．
故选：B．
由已知结合向量的线性表示及向量数量积的性质即可求解．
本题主要考查了向量的线性表示及向量数量积的性质的应用，属于基础题．

3.【答案】C 
【解析】解：由题知底面圆的半径r=1，圆柱高h1=2，圆锥高h2=12，
圆柱体积V1=πr2h1=2π，
圆锥的体积V2=13πr2h2=π6，
∴该组合体体积为V=V1+V2=13π6(立方米)．
故选：C．
由题知底面圆的半径为r=1，圆柱高h1=2，圆锥高h2=12，代入圆柱、圆锥体积公式，能求出结果．
本题考查圆柱、圆锥的体积公式等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．

4.【答案】C 
【解析】解：延长AB到D，则∠CBD为AB与BC的夹角，
∴AB与BC的夹角为120°．
故选：C．
延长AB，则∠ABC的补交为AB与BC的夹角．
本题考查了平面向量的夹角，属于基础题．

5.【答案】B 
【解析】解：如图，

长方体AC1中，AD=3，AA1=4，AB=5，
则AC1= 32+42+52=5 2，
则长方体外接球的半径为5 22，
可得长方体外接球的表面积S=4π×(5 22)2=50π．
故选：B．
由已知求得长方体的对角线长，可得外接球的半径，代入球的表面积公式得答案．
本题考查多面体外接球表面积的求法，考查运算求解能力，是基础题．

6.【答案】A 
【解析】
【分析】
本题考查两条异面直线所成角的余弦值的求法，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用，属于中档题．
以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出异面直线BC1与AE所成角的余弦值．
【解答】
解：以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系，

则A(1,0,0)，B(1,1,0)，C(0,1,0)，C1(0,1,2)，E(0,1,1)，
故AE=(−1,1,1)，BC1=(−1,0,2)，
设异面直线BC1与AE所成角为θ，
cosθ=|cos|=|AE⋅BC1||AE|⋅|BC1|=3 3× 5= 155．
∴异面直线BC1与AE所成角的余弦值为 155．
故本题选A．
  
7.【答案】C 
【解析】解：|a|=6，|b|=4，a与b的夹角为120°，
则(a+2b)⋅(a−3b)=a2−6b2−a⋅b=36−6×16−6×4×(−12)=−48．
故选：C．
直接利用向量的数量积化简求值即可．
本题考查平面向量的数量积应用，考查计算能力．

8.【答案】D 
【解析】解：在斜二测直观图中，由△A′B′C′为等腰直角三角形，A′B′=6，
可得A′C′=3 2，
还原原图形如图：

则AB=6，AC=6 2，则S△ABC=12×AB×AC=12×6×6 2=18 2．
故选：D．
把斜二测直观图还原，求出AB、AC的长度，代入三角形面积公式得答案．
本题考查斜二测画直观图，熟记斜二测的画法是关键，是基础题．

9.【答案】D 
【解析】解：若直线m与直线n为相交直线，根据平面与平面平行的判定定理可得α//β，
若m//n，如图：可能α//β，也可能α与β相交．


故选：D．
充分考虑两个平面的位置关系即可判断．
本题考查两个平面的位置关系，属于基础题．

10.【答案】ACD 
【解析】解：对于A：垂直于同一直线的两个平面平行，故A正确；
对于B：m//n，n⊂α⇒m//α或m⊂α，故B错误；
对于C：由面面垂直的判断定理，故C正确；
对于D：垂直于同一平面的两直线平行，故D正确．
故选：ACD．
由立体几何中线线，线面，面面的位置关系，逐个判断，即可得出答案．
本题考查立体几何中，线线，线面的位置关系，属于中档题．

11.【答案】CD 
【解析】解：A显然错误；
若BD⊥PC，由BD⊥PA，则BD⊥平面PAC，则BD⊥AC，显然不成立；
C、PB⊥AN，又PB⊥NM，可得到C成立；
D、连接DN，因为PB⊥平面ADMN，
所以∠BDN是BD与平面ADMN所成的角在Rt△BDN中，
所以sin∠BDN=BNBD=12，
所以BD与平面ADMN所成的角为30°成立；
故选：CD．
根据线面垂直的判定定理与性质定理，结合反证法判断即可．
考查线面垂直的判定定理与性质定理，属中档题．

12.【答案】AB 
【解析】解：若绕一条直角边旋转一周时，则圆锥的底面半径为1，高为1，所以母线长l= 2，这时表面积为12⋅2π⋅1⋅l+π⋅12=(1+ 2)π；
若绕斜边一周时旋转体为两个底对底的圆锥组合在一起，且由题意底面半径为 22，一个圆锥的母线长为1，所以表面积S=2⋅122π⋅ 22⋅1= 2π，
综上所述该几何体的表面积为 2π，(1+ 2)π，
故选：AB．
分两个情况绕的边为直角边和斜边讨论，当绕的边是直角边是，所形成的几何体的表面积为底面面积加侧面面积，当绕斜边时扇形面积既是所形成的几何体的表面积，而扇形面积等于12×c底面周长×l母线长，进而求出所形成的几何体的表面积．
考查旋转体的表面积，属于中档题．

13.【答案】−52 
【解析】解：a=(2,5)与b=(−1,t)平行，
则2t=−1×5，解得t=−52．
故答案为：−52．
根据已知条件，结合向量平行的性质，即可求解．
本题主要考查向量平行的性质，属于基础题．

14.【答案】− 55 
【解析】解：因为θ∈(0,π2)，则sinθ>0，cosθ>0，
又因为tanθ=sinθcosθ=12，则cosθ=2sinθ，
且cos2θ+sin2θ=4sin2θ+sin2θ=5sin2θ=1，
解得sinθ= 55或sinθ=− 55(舍去)，
所以sinθ−cosθ=sinθ−2sinθ=−sinθ=− 55．
故答案为：− 55．
根据同角三角关系求sinθ，进而可得结果．
本题主要考查了同角三角函数间的基本关系，属于中档题．

15.【答案】 13+1 
【解析】解：由已知得z1=(1−5i)(1−i)(1+i)(1−i)=−2−3i．
所以复数z1对应复平面内的点Z1(−2,−3)．
设z=x+yi(x∈R,y∈R)，则复数z对应复平面内的点Z(x,y)．
由|z|= x2+y2=1得x²+y²=1．
在复平面内，点Z的轨迹是以原点O为圆心，半径r=1的圆．
所以|z−z1|Max=|OZ1|+r= 13+1．
故答案为： 13+1．
先运用复数的四则运算把复数整理为代数形式，得出对应复平面内点的坐标，最终问题转化为求圆上动点到圆外一定点距离的最大值，容易解决．
本题考查复数的四则运算、复数的模及复数的几何意义，属于中档题．

16.【答案】2 29 
【解析】解：连接BC，如图，
在直二面角α−AB−β中，BD⊥α，α∩β=AB，BD⊂β，
所以BD⊥α，
又BC⊂α，
所以BD⊥BC，
又AC⊥AB，
所BC2=AC2+AB2，
所以在Rt△BCD中，CD= BC2+BD2= AC2+AB2+BD2=2 29，
故答案为：2 29．
连接BC，在直二面角α−AB−β中，BD⊥α，α∩β=AB，BD⊂β，推出BD⊥BC，又AC⊥AB，则BC2=AC2+AB2，进而可得在CD= BC2+BD2= AC2+AB2+BD2，即可得出答案．
本题考查空间中两点之间的距离，解题中需要空间想象能力，和推理能力，属于中档题．

17.【答案】解：∵α、β是锐角，则α+β∈(0,π)，
因为cosα=35，cos(α+β)=−1213，
所以sinα=45，sin(α+β)=513，
所以sinβ=sin[(α+β)−α]=sin(α+β)cosα−cos(α+β)sinα
=513×35−(−1213)×45=6365． 
【解析】由已知结合同角平方关系及两角差的正弦公式即可求解．
本题主要考查了同角基本关系及和差角公式的应用，属于基础题．

18.【答案】解：(1)根据复数的几何意义，得A(1,0)，B(0,−1)，C(−1,2)，
所以AB=(0,−1)−(1,0)=(−1,−1)，同理：AC=(−2,2)，BC=(−1,3)．
(2)由(1)得AB⋅AC=−1×(−2)+(−1)×2=0，
故AB⊥AC，所以△ABC为直角三角形． 
【解析】(1)利用复数的几何意义得到点A，B，C的坐标，再根据向量的定义与坐标表示即可解决问题；
(2)观察(1)中的向量坐标，发现AB⋅AC=0，故可判定△ABC的形状．
本题主要考查三角形的形状判断，属于基础题．

19.【答案】解：(1)证明：连接BD，
∵四边形ABCD为正方形，E、F分别为BC、CD中点，
∴EF//BD，
又B，D，N，P，M五点共面，EF⊄平面PMN，BD⊂平面PMN，
∴EF//平面PMN，
(2)在正四棱锥P−ABCD中，连接BD，AC交于点O，连接PO，
则PO⊥平面ABCD，又BO⊂平面ABCD，所以PO⊥BO，
所以PO= PB2−BO2= 16−( 2)2= 14，
VP−ABCD=13S▱ABCD⋅PO=13×2×2× 14=4 143，
因为PM=2MB，N为PD中点．
所以VN−MCD=VM−CDN=12VM−PCD=12×23×VB−PCD
=13VB−PCD=13VP−BCD=16VP−ABCD=2 149，
故VN−MCD=2 149． 
【解析】(1)通过证明EF//BD得到EF//平面PMN；
(2)先求得VP−ABCD，通过体积转化得VN−MCD=16VP−ABCD，求得VN−MCD
本题考查线面平行的证明，三棱锥的体积的求解，属中档题．

20.【答案】解：(Ⅰ)f(x)=OP⋅QP=( 3，1)⋅( 3−cosx 3，1−sinx)
=− 3cosx−sinx+4=−2sin(x+π3)+4，
f(x)的最小正周期T=2π2=π；
(Ⅱ)∵f(A)=4，∴A=2π3，
又∵BC=3，
∴9=(b+c)2−bc．
∵bc≤(b+c)24，
∴3(b+c)24≤9，
∴b+c≤2 3，当且仅当b=c取等号，
∴三角形周长最大值为3+2 3． 
【解析】(Ⅰ)利用向量的数量积以及两角和与差的三角函数化简函数的解析式，然后求解f(x)的最小正周期；
(Ⅱ)利用函数的解析式求解A，然后利用余弦定理求解即可，得到bc的范围，然后利用基本不等式求解最值．
本题考查向量的数量积以及两角和与差的三角函数，三角函数的周期，基本不等式以及余弦定理的应用，考查计算能力．