2022-2023学年甘肃省兰州市教育局第四片区高一（下）期中数学试卷（含解析）

2022-2023学年甘肃省兰州市教育局第四片区高一（下）期中数学试卷

一、单选题（本大题共10小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  等于(    )

A.  B.  C.  D.

2.  如果用，分别表示轴和轴正方向上的单位向量，且，，则可以表示为(    )

A.  B.  C.  D.

3.  已知向量，，且，则(    )

A.  B.  C.  D.

4.  已知非零向量的夹角为，且，则等于(    )

A.  B.  C.  D.

5.  已知，是方程的两个根，且，，则(    )

A.  B.  C. 或 D. 或

6.  的内角、、的对边分别为、、已知，，，则(    )

A.  B.  C.  D.

7.  已知某单位有职工人，其中男职工人，现采用分层抽样按男、女分层抽取一个样本，若样本中有名男职工，则样本容量为(    )

A.  B.  C.  D. 无法确定

8.   在中，为边上的中线，为的中点，则(    )

A.  B.  C.  D.

9.  若三条线段的长为、、，则用这三条线段(    )

A. 能组成直角三角形 B. 能组成锐角三角形 C. 能组成钝角三角形              D. 不能组成三角形

10.  如图，设，两点在河的两岸，一测量者在所在的同侧河岸边选定一点，测出的距离为，，后，就可以计算出，两点的距离为(    )

 

A.  B.  C.  D.

二、多选题（本大题共2小题，共8.0分。在每小题有多项符合题目要求）

11.  在中，若，则的形状(    )

A. 等腰三角形 B. 直角三角形 C. 等边三角形 D. 锐角三角形

12.  有一组样本数据，，，，由这组数据得到新样本数据，，，，其中为非零常数，则(    )

A. 两组样本数据的样本平均数相同 B. 两组样本数据的样本中位数相同
C. 两组样本数据的样本标准差相同 D. 两组样本数据的样本极差相同

三、填空题（本大题共4小题，共16.0分）

13.  已知，在第二象限，则          ．

14.  已知，则          ．

15.  计算______

16.  在中，，边上的高等于，则          ．

四、解答题（本大题共4小题，共36.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17.  本小题分
某中学有初中学生人，高中学生人，为了解全校学生本学期开学以来天的课外阅读时间，学校采用分层抽样方法，从中抽取名学生进行问卷调查将样本中的“初中学生”和“高中学生”按学生的课外阅读时间单位：时各分为组，，，，，得到频率分布直方图如图所示．

估计全校学生中课外阅读时间在小时内的总人数是多少；
国家规定，初中学生平均每人每天课外阅读时间不少于半个小时若该校初中学生课外阅读时间小于国家标准，则学校应适当增加课外阅读时间，根据以上抽样调查数据，该校是否需要增加初中学生的课外阅读时间？并说明理由．

18.  本小题分
设的内角，，的对边分别为，，，且．
求角的大小；
若，，且是锐角三角形，求的面积．

19.  本小题分
已知向量，，且．
求的值；
若，，且，求的值．

20.  本小题分
已知函数．
求它的单调递增区间；
若，求此函数的值域．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：因为，
故选：．
根据余弦的和角公式化简即可求解．
本题考查了余弦的和角公式，考查了学生的运算能力，属于基础题．
 

2.【答案】 

【解析】解：记为坐标原点，
，分别表示轴和轴正方向上的单位向量，
又，，
，，
．
故选：．
根据已知条件，， 分别用单位向量，表示，即可求解．
本题考查了平面向量的坐标表示，也考查了平面向量的坐标运算问题，是基础题目．
 

3.【答案】 

【解析】解：；
；
；
．
故选：．
根据向量减法的坐标运算，表示出，再由向量垂直的坐标关系即可求得的值．
本题考查了向量减法和乘法的坐标运算，向量垂直的充要条件，属于基础题．
 

4.【答案】 

【解析】解：因为，所以，
又，所以，即，
解得或舍去．
故选：．
将两边平方，然后将已知条件代入，解方程可得．
本题主要考查平面向量的数量积运算，考查转化能力，属于基础题．
 

5.【答案】 

【解析】解：依题意可知，

，
，
，，


故选B
先根据韦达定理求得和的值，进而利用正切的两角和公式求得的值，根据，推断出，，进而根据已知的，的范围确定的范围，进而求得的值．
本题主要考查了两角和与差的正切函数的化简求值．考查了基础知识的运用．属基础题．
 

6.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查利用余弦定理解三角形，属于较易题．
由已知条件结合余弦定理，即可求出的值．

【解答】

解：在中，，，，
由余弦定理得，
化简整理得，
解得或，
又，所以．
故选：．

7.【答案】 

【解析】解：设样本容量为，
则由题意得，
解得，
故选：
根据分层抽样的定义和性质进行求解即可．
本题主要考查分层抽样的应用，根据条件建立比例关系是解决本题的关键．
 

8.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查向量的加减和数乘运算，考查运算能力，属于基础题．
运用向量的加减和数乘运算，计算可得结果．

【解答】

解：如图，

在中，为边上的中线，为的中点，
则

．
故选：．

9.【答案】 

【解析】解：三条线段的长为、、，
满足任意两边之和大于第三边，
能构成三角形，可排除；
设此三角形最大角为，
，
，
能组成锐角三角形．
故选B．
利用余弦定理可判断最大角，从而可得答案．
本题考查三角形的形状判断，着重考查余弦定理的应用，属于中档题．
 

10.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查正弦定理、解三角形的实际应用．属于简单题．
依题意在，，三点构成的三角形中利用正弦定理，根据，，的值求得．
【解答】
解：在中，，
由正弦定理得，
，
故A，两点的距离为
故选A．  

11.【答案】 

【解析】解：，
．

．
，
或．
，，
，或．
为直角三角形或等腰三角形．
故选：．
由两角和与差的三角函数公式结合三角形的知识可得或进而可作出判断．
本题考查三角形形状的判断，涉及两角和与差的三角函数公式，属基础题．
 

12.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查平均数、中位数、标准差、极差，是基础题．
利用平均数、中位数、标准差、极差的定义直接判断即可．

【解答】

解：对于，两组数据的平均数的差为，故A错误；
对于，两组样本数据的样本中位数的差是，故B错误；
对于，设原样本数据的样本方差和标准差分别为，，新数据的样本方差和标准差分别为，，
因为，，，即，
两组样本数据的样本标准差相同，故C正确；
对于，，为非零常数，
原数据组的样本极差为，新数据组的样本极差为，
两组样本数据的样本极差相同，故D正确．
故选：．

13.【答案】 

【解析】

【分析】

本题主要考查同角三角函数的基本关系，半角公式的应用，属于基础题．
利用同角三角函数的基本关系求出，利用半角公式求得的值．

【解答】

解：已知，在第二象限，，
，
故答案为：．

14.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查两角和与差的余弦公式，考查二倍角的正弦公式，属于基础题．
先利用两角和与差的余弦公式展开，再两边平方，即可求得的值．

【解答】

解：，
，
两边平方得：，
，
故答案为：．

15.【答案】 

【解析】解：．
故答案为：．
把代入已知式子，由两角差的正切公式即可得解．
本题考查两角差的正切公式在三角函数化简求值中的应用，把巧妙代入已知是解决问题的关键，属于基础题．
 

16.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查解三角形中，作出图形，令，利用两角和的余弦求是关键，属于中档题．
作出图形，令，依题意，可求得，，利用两角和的余弦即可求得答案．

【解答】

解：设中角、、、对应的边分别为、、，于，令，


在中，，边上的高，
，，
在中，，故，
．
故答案为．

17.【答案】解：由分层抽样知，抽取的初中生有人，高中生有人，
初中生中，课外阅读时间在小时内的频率为：
，学生人数约有人．
高中生中，课外阅读时间在小时内的频率为：
，学生人数约有人，
全校学生中课外阅读时间在小时内学生总人数为人；
样本中的所有初中生平均每天阅读时间为：
小时，而小时，
，
该校需要增加初中学生课外阅读时间． 

【解析】利用分层抽样的抽样比可知抽取的初高中生的人数，根据频率分布直方图可得比例，即可求解人数；
由频率分布直方图计算平均数即可与比较大小，即可作答．
本题考查频率分布直方图及其数字特征，考查学生对数据的分析与处理能力，属于中档题．
 

18.【答案】解：中，，
由正弦定理边化角得，
又，所以，
又因为，所以或．
因为是锐角三角形，所以，
由余弦定理得，
化简得，
解得或，
当时，，舍去，
所以，
所以的面积为． 

【解析】根据正弦定理边化角求出的值，再利用特殊角的三角函数值求出的大小；
根据是锐角三角形求出，根据余弦定理列方程求出的值，再计算的面积．
本题考查了解三角形的应用问题，也考查了推理与运算能力，是中档题．
 

19.【答案】解：因为，所以，
所以，
所以，即．
因为，，所以，因为，
所以，所以，
因为，所以，
因为，且，所以，
因为，所以因为，所以． 

【解析】本题以向量平行为载体，主要考查了两角和与差的三角公式，同角基本关系，体现了转化思想的应用，属于中档题．
由已知结合向量平行的坐标表示及和差角公式及同角平方关系即可求解，
由已知结合同角基本关系可求，然后结合两角和的正切公式可求，进而可求．
 

20.【答案】解：．
由，，
解得，．
函数的单调递增区间为，；
，
，
，
，故此函数当时，值域为． 

【解析】展开两数和的平方公式，再由倍角公式降幂，然后利用辅助角公式化积，再由复合函数的单调性求函数的单调递增区间；
由的范围求得相位的范围，进一步利用正弦函数的图象和性质即可求解．
本题考查型函数的图象和性质，考查三角函数的恒等变换应用以及正弦函数的图象和性质，属于基础题．