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2022-2023学年甘肃省兰州市教育局第四片区高二（下）期末数学试卷（含解析）
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这是一份2022-2023学年甘肃省兰州市教育局第四片区高二（下）期末数学试卷（含解析），共15页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2022-2023学年甘肃省兰州市教育局第四片区高二（下）期末数学试卷
一、单选题（本大题共8小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 已知直线l1：ax+2y+1=0，直线l2：2x+ay+1=0，若l1⊥l2，则a=( )
A. 0 B. 2 C. ±2 D. 4
2. 在等比数列{an}中，a2a4=64，a3+a5=40，则a1=( )
A. 2 B. ±2 C. 2或43 D. ±43
3. 若△ABC的顶点坐标A(−4,0)、B(4,0)，△ABC的周长为18，则顶点C的轨迹方程为( )
A. x225+y29=1 B. y225+x29=1(y≠0)
C. x216+y29=1(y≠0) D. x225+y29=1(y≠0)
4. 在( x+2x)6的展开式中，常数项为( )
A. 60 B. 30 C. 20 D. 15
5. 已知双曲线x2a2−y2=1(a>0)的渐近线与圆x2+(y−2)2=1相切，则a=( )
A. 13 B. 33 C. 3 D. 3
6. 已知函数f(x)=xcosx−sinx，g(x)是函数f(x)的导函数，则函数y=g(x)的部分图象大致为( )
A.
B.
C.
D.
7. 已知f(x)=x2+2xf′(1)，则f′(0)等于( )
A. 0 B. −2 C. −4 D. 2
8. 如图，在平行六面体ABCD−A1B1C1D1中，已知AB=a，AD=b，AA1=c，则用向量a，b，c可表示向量BD1=( )
A. a+b+c B. a−b+c C. a+b−c D. −a+b+c
二、多选题（本大题共4小题，共20.0分。在每小题有多项符合题目要求）
9. 关于双曲线y216−x24=1，下列说法正确的是( )
A. 实轴长为8 B. 焦距为4 3
C. 顶点坐标为(±4,0) D. 离心率为 52
10. 若C12n=C122n−3，则n等于( )
A. 3 B. 5 C. 7 D. 15
11. 已知直线l1、l2的方向向量分别是AB=(2,4,x)，CD=(2,y,2)，若|AB|=6且l1⊥l2，则x+y的值可以是( )
A. −3 B. −1 C. 1 D. 3
12. 已知函数y=f(x)的导函数f′(x)的图象如图所示，则下列判断正确的是( )
A. 函数y=f(x)在区间(−3,−12)内单调递增
B. 当x=−2时，函数y=f(x)取得极小值
C. 函数y=f(x)在区间(−2,2)内单调递增
D. 当x=3时，函数y=f(x)有极小值
三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）
13. 关于空间向量的命题：
①方向不同的两个向量不可能是共线向量；
②长度相等，方向相同的向量是相等向量；
③平行且模相等的两个向量是相等向量；
④若a≠b，则|a|≠|b|.
其中所有真命题的序号有 ．
14. 已知双曲线x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的实轴长，虚轴长，焦距依次成等差数列，则该双曲线的渐近线方程为______ ．
15. 已知函数f(x)=1x，g(x)=x2，则函数f(x)与g(x)的交点坐标为______ ，在交点处的两条切线与x轴所围成的三角形面积为______ ．
16. 某市教育局人事部门打算将甲、乙、丙、丁、戊这5名应届大学毕业生安排到该市4所不同的学校任教，每所学校至少安排一名，则不同的安排方法种数是______ ．
四、解答题（本大题共6小题，共70.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17. (本小题10.0分)
已知抛物线y2=2px(p>0)的焦点为F(2,0)．
(1)求p；
(2)斜率为1的直线过点F，且与抛物线交于A，B两点，求线段AB的长．
18. (本小题12.0分)
用0、1、2、3、4这五个数字组数．
(1)可以组成多少个允许数字重复的三位数？
(2)可以组成多少个无重复数字的三位数？
(3)可以组成多少个无重复数字的三位偶数？
19. (本小题12.0分)
已知向量a=(x,1,2)，b=(1,y,−2)，c=(3,1,z)，a//b，b⊥c．
(1)求向量a，b，c；
(2)求向量(a+c)与(b+c)所成角的余弦值．
20. (本小题12.0分)
已知函数f(x)=ax3−3x的图象在点P(2,f(2))处的切线l与直线9x−y−6=0平行．
(1)求切线l的方程．
(2)若函数g(x)=f(x)−k有3个零点，求实数k的取值范围．
21. (本小题12.0分)
已知向量y=(1,−2,4)，向量x满足以下三个条件：
①y⋅x=0；
②|x|=10；
③x与向量n=(1,0,0)垂直；
求向量x．
22. (本小题12.0分)
如图所示，某风景区在一个直径AB为200m的半圆形花园中设计一条观光路线，在点A与圆弧上一点C之间设计为直线段小路，在路的两侧边缘种植绿化带；从点C到点B设计为沿圆弧BC的弧形小路，在路的一侧边缘种植绿化带.(注：小路及绿化带的宽度忽略不计)
(1)设∠BAC=θ(弧度)，将绿化带总长度S(θ)表示为θ的函数；
(2)试确定θ的值，使得绿化带总长度最大．
答案和解析
1.【答案】A
【解析】
【分析】
本题考查直线垂直的判断，涉及直线的一般式方程，属于基础题．
根据题意，由直线垂直的判断方法可得关于a的方程，计算可得答案．
【解答】
解：根据题意，直线l1：ax+2y+1=0，直线l2：2x+ay+1=0，
若l1⊥l2，则有2a+2a=0，解可得a=0，
故选：A．
2.【答案】A
【解析】解：设等比数列{an}的公比为q，
∵{an}是等比数列，
∴a2a4=a32=64，则a3=±8，
当a3=8时，有8+a5=40，解得a5=32，
此时q2=a5a3=328=4，则a1=a3q2=84=2，
当a3=−8时，有−8+a5=40，解得a5=48，
此时q2=a5a3=48−8=−6(舍去)，
综上a1=2．
故选：A．
由题意可知a2a4=a32=64，进一步结合a3+a5=40即可求出a3与a5的值，最后根据a5a3=a3a1=q2即可求出a1的值．
本题考查等比数列的通项公式与性质，考查学生逻辑推理与运算求解的能力，属于基础题．
3.【答案】D
【解析】
【分析】
本题考查了椭圆的定义，考查了椭圆的标准方程，属基础题．
由△ABC的个顶点坐标A(−4,0)、B(4,0)，△ABC的周长为18，得顶点C到A、B的距离和为定值10>8，由椭圆定义可知，顶点C的轨迹为椭圆，且求得椭圆的长轴长及焦距，则答案可求．
【解答】
解：∵A(−4,0)、B(4,0)，∴|AB|=8，
又△ABC的周长为18，∴|BC|+|AC|=10>8．
∴顶点C的轨迹是一个以A、B为焦点的椭圆，
设该椭圆方程为x2a2+y2b2=1y≠0,a>b>0，
则a=5，c=4，b2=a2−c2=25−16=9，
∴顶点C的轨迹方程为x225+y29=1(y≠0)．
故选：D．
4.【答案】A
【解析】解：在( x+2x)6的展开式中，通项公式为Tr+1=C6r⋅2r⋅x6−3r2，
令6−3r2=0，求得r=2，
可得常数项为C62×4=60，故选：A．
在二项展开式的通项公式中，令x的幂指数等于0，求出r的值，即可求得常数项．
本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，二项式系数的性质，属于基础题．
5.【答案】B
【解析】解：∵双曲线的渐近线为：y=±1ax，即x±ay=0，又其与圆x2+(y−2)2=1相切，
∴圆心(0,2)到近线的距离等于圆的半径，
即2|a| a2+1=1，又a>0，
解得a= 33．
故选：B．
根据双曲线的渐近线的结论，直线与圆相切建立a的方程即可求解．
本题考查双曲线的渐近线，直线与圆相切，方程思想，属基础题．
6.【答案】A
【解析】解：f′(x)=−xsinx，即g(x)=−xsinx，因为g(x)为偶函数，故排除A，
又当x∈(0,π)时，g(x)<0，故排除D．
因为g′(π2)=−1，所以g(x)在x=π2处的切线斜率为负数．排除C，
故选：A．
求出函数的导数，判断函数的奇偶性，利用排除法进行判断即可．
本题主要考查函数图象的识别和判断，利用函数的奇偶性和对称性，以及排除法是解决本题的关键，是基础题．
7.【答案】C
【解析】解：由f(x)=x2+2xf′(1)，
得：f′(x)=2x+2f′(1)，
取x=1得：f′(1)=2×1+2f′(1)，
所以，f′(1)=−2．
所以f′(x)=2x−4
故f′(0)=2f′(1)=−4，
故选：C．
把给出的函数求导得其导函数，在导函数解析式中取x=1可求2f′(1)的值．
本题考查了导数运算，解答此题的关键是理解原函数解析式中的f′(1)，在这里f′(1)只是一个常数，此题是基础题．
8.【答案】D
【解析】解：BD1=BA+AD+DD1
=−a+b+c
故选：D．
从要表示的向量的起点出发，沿着平行六面体的棱把向量顺次首尾相连，写出结果，这样三个向量都是指定的基底中的向量，得到结果．
本题考查向量的基本定理及其意义，在几何体中一般用由一个公共点的三个向量作为基底来使用，这种题目和平面向量中的题目做法相同．
9.【答案】AD
【解析】
【分析】
本题考查了双曲线的方程和性质，属于基础题．
根据双曲线的方程和性质分别求出即可．
【解答】
解：双曲线y216−x24=1，则a2=16，b2=4，则a=4，b=2，
则c2=a2+b2=20，则c=2 5，焦距2c=4 5，
所以实轴长为2a=8，顶点坐标为(0,±4)，
离心率e=ca=2 54= 52．
故选：AD．
10.【答案】AB
【解析】解：由已知可得n=2n−3或n+2n−3=12，
解得n=3或n=5，
故选：AB．
根据组合数的性质可得n=2n−3或n+2n−3=12，进而可以求解．
本题考查了组合数的运算性质，考查了学生的运算能力，属于基础题．
11.【答案】AC
【解析】解：∵直线l1、l2的方向向量分别是AB=(2,4,x)，CD=(2,y,2)，|AB|=6且l1⊥l2，
∴ 4+16+x2=64+4y+2x=0，解得x2=16x+2y+2=0，
∴x=4y=−3或x=−4y=1，
∴x+y=1或x+y=−3．
故选：AC．
由|AB|=6且l1⊥l2，列出方程组，求出x，y的值，由此能求出x+y的值．
本题考查两数和的求法，考查向量的模、直线与直线垂直的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
12.【答案】BC
【解析】解：由函数y=f(x)的导函数f′(x)的图象可知，
对于A，函数y=f(x)在区间(−3,−12)内的导数值有正有负，故y=f(x)在区间(−3,−12)内有增有减，故A不正确；
对于B，当x=−2时，其左侧的导数小于0，其右侧的导数大于0，故函数y=f(x)在x=−2处取得极小值，故B正确；
对于C，当x∈(−2,2)时，恒有f′(x)>0，则函数y=f(x)在区间(−2,2)上单调递增，故C正确；
对于D，当x=3时，f′(x)≠0，故D不正确．
故选：BC．
观察函数y=f(x)的导函数f′(x)的图象，可对四个选项逐一分析，得到答案．
本题考查利用导数研究函数的单调性与极值，考查识图能力与逻辑推理能力，属于中档题．
13.【答案】②
【解析】
【分析】
本题考查了共线向量、相等向量、模相等的向量，考查了推理能力，属于基础题．
由向量的基本概念可以得到答案．
【解答】
解：①例如同一条直线上方向相反的两个单位向量是共线向量，因此不正确；
②长度相等，方向相同的向量是相等向量，正确；
③平行且模相等的两个向量是相等向量或相反向量，错误；
④若a≠b，则|a|≠|b|，不正确，例如a=−b，而|a|=|−b|．
其中所有真命题的序号为②．
故答案为：②．
14.【答案】y=±43x
【解析】解：双曲线x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的实轴长2a、虚轴长2b、焦距长2c成等差数列，
所以4b=2a+2c，及a+c=2b，
又c= a2+b2，
即有a2+b2=(2b−a)2，
化简可得4a=3b，
双曲线x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的渐近线方程为：y=±bax.
即为y=±43x.
故答案为：y=±43x.
通过双曲线的实轴长、虚轴长、焦距长成等差数列，可得2b=a+c，再由a，b，c的关系，求出a，b的关系式，然后求解双曲线的渐近线方程即可．
本题考查双曲线的简单性质，考查双曲线的渐近线方程，同时考查等差数列的性质，属于中档题．
15.【答案】(1,1) 34
【解析】解：联立y=1xy=x2，解得x=1y=1．
∴函数f(x)与g(x)的交点坐标为(1,1)；
由f(x)=1x，得f′(x)=−1x2，则f′(1)=−1，
∴曲线y=f(x)在(1,1)处的切线方程为y=−(x−1)+1，即y=−x+2，
取y=0，得x=2；
由g(x)=x2，得g′(x)=2x，则g(1)=2，
∴曲线y=g(x)在(1,1)处的切线方程为y=2(x−1)+1，即y=2x−1，
取y=0，可得x=12．
∴在交点处的两条切线与x轴所围成的三角形面积为S=12×32×1=34．
故答案为：(1,1)；34．
联立方程组求得两曲线的交点坐标，再利用导数求出过交点的两曲线的切线方程，分别求出两切线在x轴上的截距，代入三角形面积公式得答案．
本题考查利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，考查运算求解能力，是基础题．
16.【答案】240
【解析】解：根据题意可得不同的安排方法种数是：C52⋅A44=240．
故答案为：240．
根据组合数公式及排列数公式即可求解．
本题考查组合数公式及排列数公式的应用，属基础题．
17.【答案】解：(1)由焦点的坐标可得p2=2，
所以p=4；
(2)由(1)可得抛物线的方程为y2=8x，
设直线AB的方程为：y=x−2，A(x1,y1)，B(x2,y2)，
联立直线AB与抛物线的方程可得：y=x−2y2=8x，整理可得：x2−12x+4=0，
所以x1+x2=12，
由抛物线的性质，到焦点的距离等于到准线的距离，
所以弦长|AB|=x1+x2+p=12+4=16．
【解析】(1)由焦点的坐标直接可得p值；
(2)由题意设直线AB的方程，与抛物线联立求出两根之和，再由抛物线的性质，到焦点的距离等于到准线的距离，可得弦长|AB|的值．
本题考查抛物线的性质及直线与抛物线的综合，属于基础题．
18.【答案】解：(1)根据题意，百位数字不能为0，则百位数字有4种情况，
十位、个数数字可以为五个数字中任意一个，有5种情况，
则有4×5×5=100个允许数字重复的三位数，
(2)根据题意，百位数字不能为0，则百位数字有4种情况，
在剩下的4个数字中任选2个，安排在十位和个位，有A42=12种情况，
则有4×12=48个无重复数字的三位数，
(3)根据题意，分2种情况讨论：
若0在个位，有A42=12个偶数，
若0不在个位，则数字2，4作个位，有C31C31C21=18个偶数，
所以共有12+18=30个偶数．
【解析】本题考查排列组合的应用，涉及分步、分类计数原理的应用，属于基础题．
(1)根据题意，依次分析三位数的百位、十位、个位的情况数目，由分步计数原理计算可得答案，
(2)根据题意，0不能在百位，由此分析三位数的百位、十位、个位的情况数目，由分步计数原理计算可得答案，
(3)根据题意，分0在个位和0不在个位两种情况讨论，求出每种情况下的偶数的数目，由加法原理计算可得答案．
19.【答案】解：(1)∵向量a=(x,1,2)，b=(1,y,−2)，c=(3,1,z)，
且a//b，b⊥c，
∴x1=1y=2−23+y−2z=0，
解得x=−1，y=−1，z=1；
∴向量a=(−1,1,2)，b=(1,−1,−2)，c=(3,1,1)；
(2)∵向量(a+c)=(2,2,3)，(b+c)=(4,0,−1)，
∴(a+c)⋅(b+c)=2×4+2×0+3×(−1)=5，
|a+c|= 22+22+32= 17，
|b+c|= 42+02+(−1)2= 17；
∴(a+c)与(b+c)所成角的余弦值为
cosθ=(a+c)⋅(b+c)|a+c|×|b+c|=5 17× 17=517．
【解析】(1)根据空间向量的坐标表示与a//b，且b⊥c，列出方程组求出x、y、z的值即可；
(2)根据空间向量的坐标运算与数量积运算，利用公式求出(a+c)与(b+c)所成角的余弦值．
本题考查了空间向量的坐标运算与数量积的应用问题，是基础题目．
20.【答案】解：(1)函数f(x)=ax3−3x的导数为f′(x)=3ax2−3，
可得图象在点P(2,f(2))处的切线斜率为12a−3，
切线l与直线9x−y−6=0平行，可得12a−3=9，解得a=1，
可得f(x)=x3−3x，切点为(2,2)，
则切线方程为y−2=9(x−2)，即9x−y−16=0；
(2)函数g(x)=f(x)−k有3个零点，
即为f(x)=k有3个交点，
由函数f(x)=x3−3x的导数为f′(x)=3x2−3，
可得f(x)在(−1,1)递减；在(−∞,−1)，(1,+∞)递增，
可得f(x)的极小值为f(1)=−2，极大值为f(−1)=2，
可得−2
(2)由题意可得f(x)=k有3个交点，求得f(x)的单调性，可得极值，以及k的范围．
本题考查导数的运用：求切线方程和单调性、极值，考查函数零点与方程的关系，以及化简运算能力，属于中档题．
21.【答案】解：设x=(a,b,c)，∵y=(1,−2,4)，y⋅x=0，|x|=10，x与向量n=(1,0,0)垂直；
∴y⋅x=a−2b+4c=0， a2+b2+c2=10，
x⋅n=a=0，
解得a=0，c=2 5，b=4 5．
或a=0，c=−2 5，b=−4 5．
∴x=±(0,2 5,4 5)．
【解析】设x=(a,b,c)，由于y=(1,−2,4)，y⋅x=0，|x|=10，x与向量n=(1,0,0)垂直；可得y⋅x=a−2b+4c=0， a2+b2+c2=10，x⋅n=a=0，解出即可．
本题考查了向量垂直与数量积的关系、向量的模的计算公式，属于基础题．
22.【答案】解：(1)如图，连接OC，BC，
在直角三角形ABC中，∠CAB=θ，AB=200，
所以AC=200cosθ，
由于∠COB=2∠CAB=2，所以弧BC的长为100×2θ=200θ，
所以S(θ)=2×200cosθ+200θ=400cosθ+200θ，θ∈(0,π2)，
即S(θ)=400cosθ+200θ，θ∈(0,π2)；
(2)∵S′(θ)=200(−2sinθ+1)，θ∈(0,π2)，
当0<θ<π6时，S′(θ)>0，当θ=π6时，S′(θ)=0，
当π6<θ<π2时，S′(θ)<0，
所以S(θ)在(0,π6)上单调递增，在(π6,π2)上单调递减，
当θ=π6时，S(θ)有最大值S(π6)=400cosπ6+200×π6=200 3+100π3，
所以当θ=π6时，绿化带总长度最大．
【解析】(1)连接OC，BC，在直角三角形ABC中，用θ表示出AC，弧长BC，由此可以求解；(2)利用导数求出函数的单调性，进而可以求解．
本题考查了函数的实际应用问题，涉及到三角函数和导数的应用，考查了学生的运算能力，属于中档题．
2022-2023学年甘肃省兰州市教育局第四片区高二（下）期末数学试卷
一、单选题（本大题共8小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 已知直线l1：ax+2y+1=0，直线l2：2x+ay+1=0，若l1⊥l2，则a=( )
A. 0 B. 2 C. ±2 D. 4
2. 在等比数列{an}中，a2a4=64，a3+a5=40，则a1=( )
A. 2 B. ±2 C. 2或43 D. ±43
3. 若△ABC的顶点坐标A(−4,0)、B(4,0)，△ABC的周长为18，则顶点C的轨迹方程为( )
A. x225+y29=1 B. y225+x29=1(y≠0)
C. x216+y29=1(y≠0) D. x225+y29=1(y≠0)
4. 在( x+2x)6的展开式中，常数项为( )
A. 60 B. 30 C. 20 D. 15
5. 已知双曲线x2a2−y2=1(a>0)的渐近线与圆x2+(y−2)2=1相切，则a=( )
A. 13 B. 33 C. 3 D. 3
6. 已知函数f(x)=xcosx−sinx，g(x)是函数f(x)的导函数，则函数y=g(x)的部分图象大致为( )
A.
B.
C.
D.
7. 已知f(x)=x2+2xf′(1)，则f′(0)等于( )
A. 0 B. −2 C. −4 D. 2
8. 如图，在平行六面体ABCD−A1B1C1D1中，已知AB=a，AD=b，AA1=c，则用向量a，b，c可表示向量BD1=( )
A. a+b+c B. a−b+c C. a+b−c D. −a+b+c
二、多选题（本大题共4小题，共20.0分。在每小题有多项符合题目要求）
9. 关于双曲线y216−x24=1，下列说法正确的是( )
A. 实轴长为8 B. 焦距为4 3
C. 顶点坐标为(±4,0) D. 离心率为 52
10. 若C12n=C122n−3，则n等于( )
A. 3 B. 5 C. 7 D. 15
11. 已知直线l1、l2的方向向量分别是AB=(2,4,x)，CD=(2,y,2)，若|AB|=6且l1⊥l2，则x+y的值可以是( )
A. −3 B. −1 C. 1 D. 3
12. 已知函数y=f(x)的导函数f′(x)的图象如图所示，则下列判断正确的是( )
A. 函数y=f(x)在区间(−3,−12)内单调递增
B. 当x=−2时，函数y=f(x)取得极小值
C. 函数y=f(x)在区间(−2,2)内单调递增
D. 当x=3时，函数y=f(x)有极小值
三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）
13. 关于空间向量的命题：
①方向不同的两个向量不可能是共线向量；
②长度相等，方向相同的向量是相等向量；
③平行且模相等的两个向量是相等向量；
④若a≠b，则|a|≠|b|.
其中所有真命题的序号有 ．
14. 已知双曲线x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的实轴长，虚轴长，焦距依次成等差数列，则该双曲线的渐近线方程为______ ．
15. 已知函数f(x)=1x，g(x)=x2，则函数f(x)与g(x)的交点坐标为______ ，在交点处的两条切线与x轴所围成的三角形面积为______ ．
16. 某市教育局人事部门打算将甲、乙、丙、丁、戊这5名应届大学毕业生安排到该市4所不同的学校任教，每所学校至少安排一名，则不同的安排方法种数是______ ．
四、解答题（本大题共6小题，共70.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17. (本小题10.0分)
已知抛物线y2=2px(p>0)的焦点为F(2,0)．
(1)求p；
(2)斜率为1的直线过点F，且与抛物线交于A，B两点，求线段AB的长．
18. (本小题12.0分)
用0、1、2、3、4这五个数字组数．
(1)可以组成多少个允许数字重复的三位数？
(2)可以组成多少个无重复数字的三位数？
(3)可以组成多少个无重复数字的三位偶数？
19. (本小题12.0分)
已知向量a=(x,1,2)，b=(1,y,−2)，c=(3,1,z)，a//b，b⊥c．
(1)求向量a，b，c；
(2)求向量(a+c)与(b+c)所成角的余弦值．
20. (本小题12.0分)
已知函数f(x)=ax3−3x的图象在点P(2,f(2))处的切线l与直线9x−y−6=0平行．
(1)求切线l的方程．
(2)若函数g(x)=f(x)−k有3个零点，求实数k的取值范围．
21. (本小题12.0分)
已知向量y=(1,−2,4)，向量x满足以下三个条件：
①y⋅x=0；
②|x|=10；
③x与向量n=(1,0,0)垂直；
求向量x．
22. (本小题12.0分)
如图所示，某风景区在一个直径AB为200m的半圆形花园中设计一条观光路线，在点A与圆弧上一点C之间设计为直线段小路，在路的两侧边缘种植绿化带；从点C到点B设计为沿圆弧BC的弧形小路，在路的一侧边缘种植绿化带.(注：小路及绿化带的宽度忽略不计)
(1)设∠BAC=θ(弧度)，将绿化带总长度S(θ)表示为θ的函数；
(2)试确定θ的值，使得绿化带总长度最大．
答案和解析
1.【答案】A
【解析】
【分析】
本题考查直线垂直的判断，涉及直线的一般式方程，属于基础题．
根据题意，由直线垂直的判断方法可得关于a的方程，计算可得答案．
【解答】
解：根据题意，直线l1：ax+2y+1=0，直线l2：2x+ay+1=0，
若l1⊥l2，则有2a+2a=0，解可得a=0，
故选：A．
2.【答案】A
【解析】解：设等比数列{an}的公比为q，
∵{an}是等比数列，
∴a2a4=a32=64，则a3=±8，
当a3=8时，有8+a5=40，解得a5=32，
此时q2=a5a3=328=4，则a1=a3q2=84=2，
当a3=−8时，有−8+a5=40，解得a5=48，
此时q2=a5a3=48−8=−6(舍去)，
综上a1=2．
故选：A．
由题意可知a2a4=a32=64，进一步结合a3+a5=40即可求出a3与a5的值，最后根据a5a3=a3a1=q2即可求出a1的值．
本题考查等比数列的通项公式与性质，考查学生逻辑推理与运算求解的能力，属于基础题．
3.【答案】D
【解析】
【分析】
本题考查了椭圆的定义，考查了椭圆的标准方程，属基础题．
由△ABC的个顶点坐标A(−4,0)、B(4,0)，△ABC的周长为18，得顶点C到A、B的距离和为定值10>8，由椭圆定义可知，顶点C的轨迹为椭圆，且求得椭圆的长轴长及焦距，则答案可求．
【解答】
解：∵A(−4,0)、B(4,0)，∴|AB|=8，
又△ABC的周长为18，∴|BC|+|AC|=10>8．
∴顶点C的轨迹是一个以A、B为焦点的椭圆，
设该椭圆方程为x2a2+y2b2=1y≠0,a>b>0，
则a=5，c=4，b2=a2−c2=25−16=9，
∴顶点C的轨迹方程为x225+y29=1(y≠0)．
故选：D．
4.【答案】A
【解析】解：在( x+2x)6的展开式中，通项公式为Tr+1=C6r⋅2r⋅x6−3r2，
令6−3r2=0，求得r=2，
可得常数项为C62×4=60，故选：A．
在二项展开式的通项公式中，令x的幂指数等于0，求出r的值，即可求得常数项．
本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，二项式系数的性质，属于基础题．
5.【答案】B
【解析】解：∵双曲线的渐近线为：y=±1ax，即x±ay=0，又其与圆x2+(y−2)2=1相切，
∴圆心(0,2)到近线的距离等于圆的半径，
即2|a| a2+1=1，又a>0，
解得a= 33．
故选：B．
根据双曲线的渐近线的结论，直线与圆相切建立a的方程即可求解．
本题考查双曲线的渐近线，直线与圆相切，方程思想，属基础题．
6.【答案】A
【解析】解：f′(x)=−xsinx，即g(x)=−xsinx，因为g(x)为偶函数，故排除A，
又当x∈(0,π)时，g(x)<0，故排除D．
因为g′(π2)=−1，所以g(x)在x=π2处的切线斜率为负数．排除C，
故选：A．
求出函数的导数，判断函数的奇偶性，利用排除法进行判断即可．
本题主要考查函数图象的识别和判断，利用函数的奇偶性和对称性，以及排除法是解决本题的关键，是基础题．
7.【答案】C
【解析】解：由f(x)=x2+2xf′(1)，
得：f′(x)=2x+2f′(1)，
取x=1得：f′(1)=2×1+2f′(1)，
所以，f′(1)=−2．
所以f′(x)=2x−4
故f′(0)=2f′(1)=−4，
故选：C．
把给出的函数求导得其导函数，在导函数解析式中取x=1可求2f′(1)的值．
本题考查了导数运算，解答此题的关键是理解原函数解析式中的f′(1)，在这里f′(1)只是一个常数，此题是基础题．
8.【答案】D
【解析】解：BD1=BA+AD+DD1
=−a+b+c
故选：D．
从要表示的向量的起点出发，沿着平行六面体的棱把向量顺次首尾相连，写出结果，这样三个向量都是指定的基底中的向量，得到结果．
本题考查向量的基本定理及其意义，在几何体中一般用由一个公共点的三个向量作为基底来使用，这种题目和平面向量中的题目做法相同．
9.【答案】AD
【解析】
【分析】
本题考查了双曲线的方程和性质，属于基础题．
根据双曲线的方程和性质分别求出即可．
【解答】
解：双曲线y216−x24=1，则a2=16，b2=4，则a=4，b=2，
则c2=a2+b2=20，则c=2 5，焦距2c=4 5，
所以实轴长为2a=8，顶点坐标为(0,±4)，
离心率e=ca=2 54= 52．
故选：AD．
10.【答案】AB
【解析】解：由已知可得n=2n−3或n+2n−3=12，
解得n=3或n=5，
故选：AB．
根据组合数的性质可得n=2n−3或n+2n−3=12，进而可以求解．
本题考查了组合数的运算性质，考查了学生的运算能力，属于基础题．
11.【答案】AC
【解析】解：∵直线l1、l2的方向向量分别是AB=(2,4,x)，CD=(2,y,2)，|AB|=6且l1⊥l2，
∴ 4+16+x2=64+4y+2x=0，解得x2=16x+2y+2=0，
∴x=4y=−3或x=−4y=1，
∴x+y=1或x+y=−3．
故选：AC．
由|AB|=6且l1⊥l2，列出方程组，求出x，y的值，由此能求出x+y的值．
本题考查两数和的求法，考查向量的模、直线与直线垂直的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
12.【答案】BC
【解析】解：由函数y=f(x)的导函数f′(x)的图象可知，
对于A，函数y=f(x)在区间(−3,−12)内的导数值有正有负，故y=f(x)在区间(−3,−12)内有增有减，故A不正确；
对于B，当x=−2时，其左侧的导数小于0，其右侧的导数大于0，故函数y=f(x)在x=−2处取得极小值，故B正确；
对于C，当x∈(−2,2)时，恒有f′(x)>0，则函数y=f(x)在区间(−2,2)上单调递增，故C正确；
对于D，当x=3时，f′(x)≠0，故D不正确．
故选：BC．
观察函数y=f(x)的导函数f′(x)的图象，可对四个选项逐一分析，得到答案．
本题考查利用导数研究函数的单调性与极值，考查识图能力与逻辑推理能力，属于中档题．
13.【答案】②
【解析】
【分析】
本题考查了共线向量、相等向量、模相等的向量，考查了推理能力，属于基础题．
由向量的基本概念可以得到答案．
【解答】
解：①例如同一条直线上方向相反的两个单位向量是共线向量，因此不正确；
②长度相等，方向相同的向量是相等向量，正确；
③平行且模相等的两个向量是相等向量或相反向量，错误；
④若a≠b，则|a|≠|b|，不正确，例如a=−b，而|a|=|−b|．
其中所有真命题的序号为②．
故答案为：②．
14.【答案】y=±43x
【解析】解：双曲线x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的实轴长2a、虚轴长2b、焦距长2c成等差数列，
所以4b=2a+2c，及a+c=2b，
又c= a2+b2，
即有a2+b2=(2b−a)2，
化简可得4a=3b，
双曲线x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的渐近线方程为：y=±bax.
即为y=±43x.
故答案为：y=±43x.
通过双曲线的实轴长、虚轴长、焦距长成等差数列，可得2b=a+c，再由a，b，c的关系，求出a，b的关系式，然后求解双曲线的渐近线方程即可．
本题考查双曲线的简单性质，考查双曲线的渐近线方程，同时考查等差数列的性质，属于中档题．
15.【答案】(1,1) 34
【解析】解：联立y=1xy=x2，解得x=1y=1．
∴函数f(x)与g(x)的交点坐标为(1,1)；
由f(x)=1x，得f′(x)=−1x2，则f′(1)=−1，
∴曲线y=f(x)在(1,1)处的切线方程为y=−(x−1)+1，即y=−x+2，
取y=0，得x=2；
由g(x)=x2，得g′(x)=2x，则g(1)=2，
∴曲线y=g(x)在(1,1)处的切线方程为y=2(x−1)+1，即y=2x−1，
取y=0，可得x=12．
∴在交点处的两条切线与x轴所围成的三角形面积为S=12×32×1=34．
故答案为：(1,1)；34．
联立方程组求得两曲线的交点坐标，再利用导数求出过交点的两曲线的切线方程，分别求出两切线在x轴上的截距，代入三角形面积公式得答案．
本题考查利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，考查运算求解能力，是基础题．
16.【答案】240
【解析】解：根据题意可得不同的安排方法种数是：C52⋅A44=240．
故答案为：240．
根据组合数公式及排列数公式即可求解．
本题考查组合数公式及排列数公式的应用，属基础题．
17.【答案】解：(1)由焦点的坐标可得p2=2，
所以p=4；
(2)由(1)可得抛物线的方程为y2=8x，
设直线AB的方程为：y=x−2，A(x1,y1)，B(x2,y2)，
联立直线AB与抛物线的方程可得：y=x−2y2=8x，整理可得：x2−12x+4=0，
所以x1+x2=12，
由抛物线的性质，到焦点的距离等于到准线的距离，
所以弦长|AB|=x1+x2+p=12+4=16．
【解析】(1)由焦点的坐标直接可得p值；
(2)由题意设直线AB的方程，与抛物线联立求出两根之和，再由抛物线的性质，到焦点的距离等于到准线的距离，可得弦长|AB|的值．
本题考查抛物线的性质及直线与抛物线的综合，属于基础题．
18.【答案】解：(1)根据题意，百位数字不能为0，则百位数字有4种情况，
十位、个数数字可以为五个数字中任意一个，有5种情况，
则有4×5×5=100个允许数字重复的三位数，
(2)根据题意，百位数字不能为0，则百位数字有4种情况，
在剩下的4个数字中任选2个，安排在十位和个位，有A42=12种情况，
则有4×12=48个无重复数字的三位数，
(3)根据题意，分2种情况讨论：
若0在个位，有A42=12个偶数，
若0不在个位，则数字2，4作个位，有C31C31C21=18个偶数，
所以共有12+18=30个偶数．
【解析】本题考查排列组合的应用，涉及分步、分类计数原理的应用，属于基础题．
(1)根据题意，依次分析三位数的百位、十位、个位的情况数目，由分步计数原理计算可得答案，
(2)根据题意，0不能在百位，由此分析三位数的百位、十位、个位的情况数目，由分步计数原理计算可得答案，
(3)根据题意，分0在个位和0不在个位两种情况讨论，求出每种情况下的偶数的数目，由加法原理计算可得答案．
19.【答案】解：(1)∵向量a=(x,1,2)，b=(1,y,−2)，c=(3,1,z)，
且a//b，b⊥c，
∴x1=1y=2−23+y−2z=0，
解得x=−1，y=−1，z=1；
∴向量a=(−1,1,2)，b=(1,−1,−2)，c=(3,1,1)；
(2)∵向量(a+c)=(2,2,3)，(b+c)=(4,0,−1)，
∴(a+c)⋅(b+c)=2×4+2×0+3×(−1)=5，
|a+c|= 22+22+32= 17，
|b+c|= 42+02+(−1)2= 17；
∴(a+c)与(b+c)所成角的余弦值为
cosθ=(a+c)⋅(b+c)|a+c|×|b+c|=5 17× 17=517．
【解析】(1)根据空间向量的坐标表示与a//b，且b⊥c，列出方程组求出x、y、z的值即可；
(2)根据空间向量的坐标运算与数量积运算，利用公式求出(a+c)与(b+c)所成角的余弦值．
本题考查了空间向量的坐标运算与数量积的应用问题，是基础题目．
20.【答案】解：(1)函数f(x)=ax3−3x的导数为f′(x)=3ax2−3，
可得图象在点P(2,f(2))处的切线斜率为12a−3，
切线l与直线9x−y−6=0平行，可得12a−3=9，解得a=1，
可得f(x)=x3−3x，切点为(2,2)，
则切线方程为y−2=9(x−2)，即9x−y−16=0；
(2)函数g(x)=f(x)−k有3个零点，
即为f(x)=k有3个交点，
由函数f(x)=x3−3x的导数为f′(x)=3x2−3，
可得f(x)在(−1,1)递减；在(−∞,−1)，(1,+∞)递增，
可得f(x)的极小值为f(1)=−2，极大值为f(−1)=2，
可得−2
(2)由题意可得f(x)=k有3个交点，求得f(x)的单调性，可得极值，以及k的范围．
本题考查导数的运用：求切线方程和单调性、极值，考查函数零点与方程的关系，以及化简运算能力，属于中档题．
21.【答案】解：设x=(a,b,c)，∵y=(1,−2,4)，y⋅x=0，|x|=10，x与向量n=(1,0,0)垂直；
∴y⋅x=a−2b+4c=0， a2+b2+c2=10，
x⋅n=a=0，
解得a=0，c=2 5，b=4 5．
或a=0，c=−2 5，b=−4 5．
∴x=±(0,2 5,4 5)．
【解析】设x=(a,b,c)，由于y=(1,−2,4)，y⋅x=0，|x|=10，x与向量n=(1,0,0)垂直；可得y⋅x=a−2b+4c=0， a2+b2+c2=10，x⋅n=a=0，解出即可．
本题考查了向量垂直与数量积的关系、向量的模的计算公式，属于基础题．
22.【答案】解：(1)如图，连接OC，BC，
在直角三角形ABC中，∠CAB=θ，AB=200，
所以AC=200cosθ，
由于∠COB=2∠CAB=2，所以弧BC的长为100×2θ=200θ，
所以S(θ)=2×200cosθ+200θ=400cosθ+200θ，θ∈(0,π2)，
即S(θ)=400cosθ+200θ，θ∈(0,π2)；
(2)∵S′(θ)=200(−2sinθ+1)，θ∈(0,π2)，
当0<θ<π6时，S′(θ)>0，当θ=π6时，S′(θ)=0，
当π6<θ<π2时，S′(θ)<0，
所以S(θ)在(0,π6)上单调递增，在(π6,π2)上单调递减，
当θ=π6时，S(θ)有最大值S(π6)=400cosπ6+200×π6=200 3+100π3，
所以当θ=π6时，绿化带总长度最大．
【解析】(1)连接OC，BC，在直角三角形ABC中，用θ表示出AC，弧长BC，由此可以求解；(2)利用导数求出函数的单调性，进而可以求解．
本题考查了函数的实际应用问题，涉及到三角函数和导数的应用，考查了学生的运算能力，属于中档题．
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