2022-2023学年甘肃省部分地市高一（下）期末数学试卷（含解析）

2022-2023学年甘肃省部分地市高一（下）期末数学试卷

一、单选题（本大题共8小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  已知集合，若，则实数的值是(    )

A.  B.  C. 或 D. 或或

2.  复数的共轭复数是(    )

A.  B.  C.  D.

3.  在中，，，分别是，，的中点，若，则(    )

A.  B.  C.  D.

4.  某校高一生物兴趣小组准备研究血型与个性的关系，小组成员经过学校同意获得了该校高一年级名学生的血型数据隐藏了其它个人信息，经过数据的整理绘制如图所示的饼图，兴趣小组决定采用分层随机抽样的方法从中抽取一个容量为的样本，则从高一年级型血的学生中应抽取的人数是(    )

A.  B.  C.  D.

5.  已知，是两条不同的直线，，是两个不同的平面，下面正确的结论是(    )

A. 若，，则
B. 若，，则
C. 若，，则
D. 若，，，则

6.  设，，，，则这四个数的大小关系是(    )

A.  B.  C.  D.

7.  端午节是我国传统节日，各地端午节有吃粽子，看龙舟比赛等习俗甲、乙、丙人端午节准备去看龙舟比赛的概率分别是，假定人的行动相互之间没有影响，那么甲、乙、丙人端午节至少有人看龙舟比赛的概率为(    )

A.  B.  C.  D.

8.  已知同时满足下列三个条件：；是奇函数；若在上没有最小值，则实数的取值范围是(    )

A.  B.  C.  D.

二、多选题（本大题共4小题，共20.0分。在每小题有多项符合题目要求）

9.  下列有关复数的说法中其中为虚数单位，正确的是(    )

A.
B. 复数为实数的充要条件是
C. 设，，为复数，，若，则
D. 设，为复数，若，则

10.  已知向量，，则下列说法正确的是(    )

A. 存在，使得
B. 存在，使得
C. 对于任意，
D. 对于任意，

11.  甲、乙两人对同一个靶各射击一次，设事件“甲击中靶”，事件“乙击中靶”，事件“靶未被击中”，事件“靶被击中”，事件“恰一人击中靶”，对下列关系式表示的对立事件，表示
的对立事件：，，，，，其中正确的关系式的是(    )

A.  B.  C.  D.

12.  我国古代数学名著九章算术商功中记载了一些特殊几何体，如长方、堑堵、阳马、鳖臑等并对这些几何体作了详细记载如图长方体，按平面斜切一分为二，得到两个一模一样的三棱柱，称该三棱柱为堑堵，再沿堑堵的一顶点与相对的棱剖开，得四棱锥和三棱锥各一个，其中以矩形为底另有一棱与底面垂直的四棱锥称为阳马，余下的三棱锥称为鳖臑，已知长方体中中，，，按以上操作得到鳖臑，则关于该鳖臑下列说法正确的是(    )

 

A. 三棱锥由三个直角三角形和一个锐角三角形组成的四面体
B. 三棱锥由四个直角三角形组成的四面体
C. 该鳖臑的最长棱长
D. 该鳖臑的体积为

三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）

13.  已知是关于的方程其中，的一个根，则______．

14.  年月日神舟十五号载人飞行任务取得圆满成功，费俊龙、邓清明、张陆这三位航天员在空间站上工作了天，此次神舟十五号载人飞船返回，是我国空间站转入应用与发展阶段后的首次返回任务，掀开了中国航天空间站的历史新篇章为科普航天知识，某校组织学生参与航天知识竞答活动，某班位同学成绩如下：，，，，，，，，若去掉，该组数据的第百分位数保持不变，则整数的值可以是______ 写出一个满足条件的值即可．

15.  某商场在大促销活动中，活动规则是：满元可以参加促销摸奖活动，甲和乙两个箱子各装有个球，其中甲箱中有个红球、个白球，乙箱中有个红球、个白球顾客首先掷一枚质地均匀的骰子，如果出现点数为或，顾客从甲箱子随机摸出一个球；如果点数为，，，，从乙箱子随机摸出一个球，则摸出红球的顾客可以领取奖品，问顾客中奖率为______ ．

16.  剪纸是中国古老的传统民间艺术之一，剪纸时常会沿着纸的某条对称轴对折将一张纸片先左右折叠，再上下折叠，然后沿半圆弧虚线裁剪，展开得到最后的图形，若正方形的边长为，点在四段圆弧上运动，则的取值范围为______ ．

 

四、解答题（本大题共6小题，共70.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17.  本小题分
设向量，，
若，求的值；     
设函数，求的最大值．

18.  本小题分
在中，角，，的对边分别为，，，满足．
求角的值；
当，时，求的面积．

19.  本小题分
函数，其中．
若，求的零点；
若函数有两个零点，，求的取值范围．

20.  本小题分
设．
若不等式对一切实数恒成立，求实数的取值范围；
解关于的不等式．

21.  本小题分
如图，在四棱锥中，底面为边长为的正方形，平面平面，，，分别为，的中点求证：
平面；
平面平面；
求四棱锥的体积．

22.  本小题分
为了丰富业余生活，甲、乙、丙三人进行羽毛球比赛．比赛规则如下：每场比赛有两人参加，并决出胜负；每场比赛获胜的人与未参加此场比赛的人进行下一场的比赛；依次循环，直到有一个人首先获得两场胜利，则本次比赛结束，此人为本次比赛的冠军．已知在每场比赛中，甲胜乙的概率为，甲胜丙的概率为，乙胜丙的概率为．
求甲、乙、丙三人共进行了场比赛且丙获得冠军的概率；
求甲和乙先赛且甲获得冠军的概率．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查子集定义等基础知识，考查元素与集合的关系，是基础题．
利用子集定义直接求解．
【解答】
解：集合，，，
或，
实数的值是或．
故选：．  

2.【答案】 

【解析】解：复数的共轭复数为．
故选：．
利用复数的运算法则、共轭复数的定义即可得出．
本题考查了复数的运算法则、共轭复数的定义，属于基础题．
 

3.【答案】 

【解析】解：因为是的中点，
所以，
所以，
所以．
故选：．
根据平面向量的线性运算，将用基底和表示，即可得解．
本题考查平面向量的线性运算，平面向量的基本定理，考查运算求解能力，属于基础题．
 

4.【答案】 

【解析】解：高一年级型血的学生占高一年级学生总体的，
所以抽取一个容量为的样本，型血的学生中应抽取的人数是人．
故选：．
根据已知条件，结合样本容量与其占比的关系，即可求解．
本题主要考查概率的知识，属于基础题．
 

5.【答案】 

【解析】解：若，，则或与相交或与异面，故A错误；
若，，则或或与相交，相交也不一定垂直，故B错误；
若，，则或，故C错误；
若，，则，又，则，故D正确．
故选：．
由直线与平面平行分析两直线的位置关系判定；由线面平行、面面垂直分析线面关系判定；由直线与平面垂直的判定与性质判断与．
本题考查空间中直线与直线、直线与平面位置关系的判定及应用，考查空间想象能力与思维能力，是基础题．
 

6.【答案】 

【解析】解：根据对数函数的增减性可知，，且；
根据指数函数的增减性可知，，所以，
所以．
故选：．
根据对数函数的增减性可知，，且；根据指数函数的增减性可知，，所以．
本题主要考查函数的增减性质，属中档题．
 

7.【答案】 

【解析】解：由题意可得人中没有人看龙舟比赛的概率为，
所以这段时间内至少有人看龙舟比赛的概率为：．
故选：．
由已知结合相互独立事件的概率公式即可求解．
本题主要考查了相互独立事件的概率公式的应用，属于基础题．
 

8.【答案】 

【解析】解：函数，
由，得，解得；
由是奇函数，得，
解得，；
由，得，；
所以为偶数，不妨取，可得；
所以；
当时，，
又在上没有最小值，
所以，
解得；
所以实数的取值范围是
故选：．
由条件求出的解析式，再由时没有最小值，列不等式求出实数的取值范围．
本题考查了三角函数的图象与性质的应用问题，也考查了分析问题处理问题的能力，是中档题．
 

9.【答案】 

【解析】解：对于：，故A正确；
对于：若复数为实数，则，
设，，
若，则，即，则复数为实数，故复数为实数的充要条件是，B正确；
对于：，为复数，，
设，，，
若，则，即，
即，
因为且，所以，则且，
所以，故C正确；
对于：，为复数，设，，，，，，
若，
则，
，整理得，
而不一定为，故D错误．
故选：．
由已知结合复数的四则运算分别检验各选项即可判断．
本题主要考查了复数的四则运算，考查了数学运算的核心素养，属于中档题．
 

10.【答案】 

【解析】解：对：，若，则，因为，此时无解，故A错误；
对：若，则，因为，所以，故B正确；
对：，因为，所以，则，所以，故C正确；
对：，因为，则，所以，则，故D正确；
故选：．
利用向量的坐标运算性质逐一进行判断即可．
本题考查平面向量数量积的运算性质，涉及向量的坐标运算，向量垂直、平行的判断，向量模的取值范围求解，属于中档题．
 

11.【答案】 

【解析】解：由题设可知：
表示甲乙两人均未击中靶，因此，故正确；
表示两人都击中靶，而表示至少有人击中靶，因此AB错误；
表示至少有人击中靶，因此B正确；
表示至少有人击中靶，而表示恰一人击中靶，因此B错误；
表示两人中恰好只有人击中靶，因此正确；
与是对立事件，因此正确；
与不是互斥事件，，
因此错误．
综上可得正确的是．
故选：．
根据互斥事件、对立事件的相关概念对关系式进行判断即可得出结论．
本题考查互斥事件、对立事件的定义，考查事件的基本关系，属基础题．
 

12.【答案】 

【解析】解：如图，把三棱锥还原到长方体中，

则，，

所以A错误，B正确；
该鳖臑的最长棱长就是长方体的体对角线，所以C正确．
该鳖臑的体积为，所以D正确．
故选：．
把三棱锥还原到长方体中，再逐项分析判断即可．
本题考查三棱锥的结构特征及其体积，考查运算求解能力，属于基础题．
 

13.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查了实系数的一元二次方程的虚根成对原理，属于基础题．
利用实系数的一元二次方程的虚根成对原理即可得出．
【解答】
解：是关于的方程其中，的一个根，
也是关于的方程其中，的一个根．
，．
解得，．
．
故答案为：．  

14.【答案】均可 

【解析】解：位同学成绩如下：，，，，，，其第百分位数为第三个数据，为，
要使第百分位数保持不变，不小于就可以．
故答案为：均可．
按照百分位数的定义计算即可．
本题考查百分位数的性质，属于基础题．
 

15.【答案】 

【解析】解：设掷一枚质地均匀的骰子出现点数为或为事件，
则，
骰子出现点数为，，，为事件，且，
甲箱摸出红球为，乙箱摸出红球为，设顾客中奖为事件，
所以，
所以．
故答案为：．
利用全概率公式求解．
本题主要考查了全概率公式，属于基础题．
 

16.【答案】 

【解析】解：以点为坐标原点，、所在直线分别为、轴建立如图所示的平面直角坐标系，
设点，
易知，以为直径的左半圆：点的横坐标，
以为直径的右半圆：点的横坐标，
所以点的横坐标的取值范围是，
由数量积的几何意义可知，．
故答案为：．
以点为坐标原点，、所在直线分别为、轴建立如图所示的平面直角坐标系，设点，由题得出的取值范围，再结合平面向量数量积的几何意义即可求得．
本题考查平面向量的坐标表示和平面向量的数量积，属于中档题．
 

17.【答案】解：由   ，
  ．
及，得 ．
又，
从而 ，
．
    ，
当时，取最大值．
的最大值为． 

【解析】根据，建立方程关系，利用三角函数的公式即可求的值；     
利用数量积的定义求出函数的表达式，利用三角函数的图象和性质求的最大值．
本题主要考查空间向量的坐标公式的应用，以及三角函数的图象和性质，利用数量积的坐标公式求出函数是解决本题关键．
 

18.【答案】解：由已知结合正弦定理可得：，
又因为，
所以，
所以，
所以，
因为，可得，所以，
又由，所以．
解：由知，可得，
由余弦定理可知，
因为，，可得，
解得，
所以三角形面积为． 

【解析】由已知可得，运算可求；
由余弦定理结合已知可得，可求，进而可求的面积．
本题考查正余弦定理的应用，以及三角形的面积公式，属中档题．
 

19.【答案】解：当时，，
令，可得，
解得，
即函数的零点为；
显然此时，令，可得或，
则或，
则，
当且仅当，即时等号成立，
故的取值范围为． 

【解析】将代入，令，求得的值即可得出答案；
将两个零点用表示，结合基本不等式即可得解．
本题考查函数零点以及基本不等式的运用，考查运算求解能力，属于基础题．
 

20.【答案】解：不等式对一切实数恒成立，
即对一切实数恒成立，
即对一切实数成立，
当时，不满足题意；
当时，可得．
所以实数的取值范围为．
，即，
当时，不等式可化为，所以不等式的解集为，
当时，，
当时，，
当，解集为，
当，解集为或，
当，解集为或．
综上所述，
当时，不等式的解集为，
当时，不等式的解集为，
当，不等式的解集为或，
当，不等式的解集为，
当，不等式的解集为或． 

【解析】根据题意，转化为对一切实数成立，分情况讨论即可；
根据题意，，即，分情况讨论即可．
本题考查恒成立问题，分类讨论是解题关键，属于中档题．
 

21.【答案】证明：取中点，连接、．
在中，
因为，分别为，的中点，
所以，．
因为底面为正方形，且为的中点，
所以，，
所以，，
所以四边形为平行四边形，
所以，
又因为平面，平面，
所以平面；
证明：因为底面为正方形，
所以，
又因为平面平面，平面平面，平面，
所以平面．
因为平面，
所以．
又因为，平面，平面，，
所以平面，
因为平面，
所以平面平面；
解：已知，，为中点，
因为平面平面，
平面平面，
所以平面．
又，
所以四棱锥的体积为． 

【解析】取中点，连接、，证明四边形为平行四边形即可；
证明平面即可；
结合三棱锥的体积公式求解即可．
本题考查了空间点、线、面的位置关系，重点考查了空间几何体的体积的求法，属中档题．
 

22.【答案】解：甲、乙、丙三人共进行了场比赛且丙获得冠军的情况有种：
首先甲乙比赛，甲胜；然后甲丙比赛，丙胜；再由乙丙比赛，丙胜；
概率为：；
首先甲乙比赛，乙胜；然后乙丙比赛，丙胜；再由甲丙比赛，丙胜；
概率为：，
甲、乙、丙三人共进行了场比赛且丙获得冠军的概率为：
．
甲和乙先赛且甲获得冠军的情况有种：
甲胜乙，甲胜丙，概率为：；
乙胜甲，丙胜乙，甲胜丙，甲胜乙，
概率为，
甲胜乙，丙胜甲，乙胜丙，甲胜乙，
概率为，
甲和乙先赛且甲获得冠军的概率． 

【解析】本题考查概率的求法，考查相互独立事件概率乘法公式和互斥事件概率加法公式等基础知识，考查运算求解能力，属于中档题．
甲、乙、丙三人共进行了场比赛且丙获得冠军的情况有种：首先甲乙比赛，甲胜，然后甲丙比赛，丙胜，再由乙丙比赛，丙胜；首先甲乙比赛，乙胜，然后乙丙比赛，丙胜，再由甲丙比赛，丙胜．利用相互独立事件概率乘法公式和互斥事件概率加法公式能求出甲、乙、丙三人共进行了场比赛且丙获得冠军的概率．
甲和乙先赛且甲获得冠军的情况有种：甲胜乙，甲胜丙，乙胜甲，丙胜乙，甲胜丙，甲胜乙，甲胜乙，丙胜甲，乙胜丙，甲胜乙，由此利用相互独立事件概率乘法公式和互斥事件概率加法公式能求出甲和乙先赛且甲获得冠军的概率．