2022-2023学年湖南省长沙市雨花区广益中学九年级（下）月考数学试卷（3月份）（含解析）

这是一份2022-2023学年湖南省长沙市雨花区广益中学九年级（下）月考数学试卷（3月份）（含解析），共22页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2022-2023学年湖南省长沙市雨花区广益中学九年级（下）月考数学试卷（3月份）一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）1.  的相反数是(    )A.  B.  C.  D. 2.  下列立体图形中，俯视图与主视图不同的是(    )A.  B.  C.  D. 3.  “你是那夜空中最美的星星，照亮我一路前行”这首朗朗上口的湖南本土励志原创歌曲早安隆回成为了全球华人圈的超级神曲，该歌曲抖音单日最高播放量超过了亿，数据用科学记数法表示为(    )A.  B.  C.  D. 4.  关于的一元二次方程的根的情况是(    )A. 没有实数根 B. 有两个不相等的实数根
C. 有两个相等的实数根 D. 不能确定5.  如图，是正内的一点，若将绕点旋转到，则的度数是(    )A.
B.
C.
D. 6.  对于一组统计数据，，，，下列说法错误的是(    )A. 众数是 B. 平均数是 C. 中位数是 D. 方差是7.  已知两个不等式的解集在数轴上如图所示，那么这个不等式组的解集为(    )
A.  B.  C.  D. 8.  如图，四边形内接于，已知点为的中点，若，则的度数为(    )A.
B.
C.
D. 9.  在平面直角坐标系中，将直线沿轴向右平移个单位后恰好经过原点，则的值为(    )A.  B.  C.  D. 10.  卡塔尔世界杯已经结束，阿根廷捧得大力神杯我们知道，世界杯小组赛分成个小组，每小组个队，小组内进行单循环赛两支球队间只比赛一场，已知胜一场积分，平一场积分，负一场积分，小组赛结束后，积分前两名相同积分比较净胜球进入强．
如表是世界杯组积分表： 排名球队积分日本西班牙德国哥斯达黎加？如果本小组比赛中只有一场战平，根据此表，可以推断哥斯达黎加的积分是(    )A.  B.  C.  D. 二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）11.  若在实数范围内有意义，则的取值范围是______．12.  代数式与代数式的值相等，则______．13.  已知、是一元二次方程的两个根，则的值为______ ．14.  如图是第七届国际数学教育大会的会徽，在其主体图案中选择两个相邻的直角三角形，恰好能够组合得到如图所示的四边形若，，，则的长为______ ．
 15.  如图，点在反比例函数的图象上，轴于点，点在轴上，且，的面积为，则的值为______．
 16.  刘徽是我国魏晋时期卓越的数学家，他首次提出“割圆术”，利用圆内接正多边形逐步逼近圆来近似计算圆周率如图，多边形是的内接正边形已知的半径为，的度数为，点到的距离为，的面积为下面四个推断中，
当变化时，随的变化而变化，与满足函数关系．
若为定值，当变化时，随的变化而变化，与满足正比例函数关系．
无论，为何值，总有．
若为定值，当变化时，随的变化而变化，与满足二次函数关系．
其中错误的是______ 填序号．三、解答题（本大题共9小题，共72.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17.  本小题分
计算：．18.  本小题分
先化简，再求值：，其中．19.  本小题分
如图所示，一轮船由西向东航行，在处测得小岛在北偏东的方向上，轮船行驶海里后到达处，此时测得小岛在北偏东的方向上．
求的距离；
已知小岛周围海里内有暗礁，若轮船仍向前航行，有无触礁的危险．
20.  本小题分
某校为了解学生参加“第二课堂”社团活动的情况，对报名参加：足球，：象棋，：羽毛球，：舞蹈这四项社团活动的学生每人必选且只能选修一项中随机抽取了部分学生进行调查，并将调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图，其中图中所占扇形的圆心角为．

根据以上信息，解答下列问题：
这次被调查的学生共有______ 人，并将条形统计图补充完整；
若该校共有学生加入“第二课堂”社团活动，请你估计这名学生中有多少人参加了羽毛球社团；
在象棋社团活动中，由于甲、乙、丙、丁四人平时的表现优秀，现决定从这四人中任选两名参加市级象棋大赛用树状图或列表法求恰好选中甲、乙两位同学的概率．21.  本小题分
如图，已知四边形是平行四边形，是等边三角形．
求证：四边形是矩形注：证明过程要求给出每一步结论成立的依据
若，求四边形的面积．
22.  本小题分
卡塔尔世界杯期间，某商店特购进世界杯吉祥物“拉伊卜”摆件和挂件共个进行销售已知“拉伊卜”摆件的进价为元个，“拉伊卜”挂件的进价为元个．
若购进“拉伊卜”摆件和挂件共花费了元，请分别求出购进“拉伊卜”摆件和挂件的数量；
该商店计划将“拉伊卜”摆件售价定为元个，“拉伊卜”挂件售价定为元个，若购进的个“拉伊卜”摆件和挂件全部售完，且至少盈利元，求购进的“拉伊卜”挂件不能超过多少个？23.  本小题分
如图，是的直径，射线交于点，是劣弧上一点，且平分，过点作于点，延长和的延长线交于点．
证明：是的切线；
若，，求的长；
在的基础上，求图中阴影部分的面积．
24.  本小题分
我们不妨约定：在平面直角坐标系中，横、纵坐标互为倒数的点为“倒数点”．
若点是“倒数点”，则 ______ ；
若一次函数图象上有两个“倒数点”、，若的面积为，求的值；
如图，已知顶点为的二次函数与轴交于、两点，且，交轴于点，过、两点的直线交轴于点，满足；
求的值；
若点是“倒数点“，且当时，的最小值为，求二次函数的解析式．
25.  本小题分
如图，在半径为的扇形中，，为上一动点不与点、重合，连接、，点、分别是弦、的中点，连接、．
求的大小；
连接，分别交、于点、，判断是否为定值，若是，求出该定值；若不是，请说明理由；
连接，分别记，的面积为，．
求证：为定值；
当时，求的值．

答案和解析 1.【答案】 【解析】解：的相反数是，
故选：．
根据只有符号不同的两个数互为相反数，可得答案．
本题考查了相反数，在一个数的前面加上负号就是这个数的相反数．
 2.【答案】 【解析】解：圆锥的主视图是三角形，俯视图是圆，
圆锥的俯视图与主视图不同，
故选：．
根据三视图的特点解答即可．
本题主要考查的三视图，熟练掌握三视图的特点是解答本题的关键．
 3.【答案】 【解析】解：．
故选：．
用科学记数法表示较大的数时，一般形式为，其中，为整数．
本题考查了科学记数法，科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原来的数，变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正数；当原数的绝对值时，是负数，确定与的值是解题的关键．
 4.【答案】 【解析】解：，
方程有两个不相等的实数根．
故选：．
先计算根的判别式的值得到，然后根据根的判别式的意义对各选项进行判断．
本题考查了根的判别式：一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根．
 5.【答案】 【解析】解：，
，
，
．
故选B．
根据旋转的性质可得：≌，故，即可求解．
本题考查旋转的性质．旋转变化前后，对应线段、对应角分别相等，图形的大小、形状都不改变．
 6.【答案】 【解析】解：数据，，，，由小到大排列为：，，，，，所以数据的众数为，中位数为，
平均数为，方差．
故选：．
先把数据，，，，由小到大排列为：，，，，，然后分别求出众数、中位数、平均数和方差，从而可对各选项进行判断．
本题考查了方差：一组数据中各数据与它们的平均数的差的平方的平均数，叫做这组数据的方差．也考查了平均数、中位数和众数．
 7.【答案】 【解析】解：处为实心圆点，且折线向右，
；
处为空心圆点且折线向右，
；
这个不等式组的解集为．
故选：．
根据在数轴上表示不等式组解集的方法进行解答即可．
本题考查的是在数轴上表示不等式的解集，熟知“小于向左，大于向右”是解答此题的关键．
 8.【答案】 【解析】解：四边形内接于，，
，
点为的中点，
，
，
故选：．
根据圆内接四边形的性质得到，根据等腰三角形的性质即可得到结论．
本题考查的是圆内接四边形的性质，圆心角、弧、弦的关系、圆周角定理的应用，掌握圆心角、弧、弦的关系定理和圆周角定理是解题的关键．
 9.【答案】 【解析】解：平移后抛物线的解析式为，平移个单位后恰好经过原点，
将代入解析式可得，
．
故选：．
根据平移解析式的变化为“上加下减，左加右减”确定平移后的解析式，再将原点坐标代入即可求解．
本题考查了一次函数的图象与几何变换及一次函数的性质，熟记牢记平移的规律是解题的关键．
 10.【答案】 【解析】解：根据题意得：小组内每个队进行场比赛，一共进行了场，
日本队得分，
日本队胜场，负场，
西班牙队得分，
西班牙队胜场，平场，负场，
德国队得分，
德国队胜场，平场，负场，
哥斯达黎加队可以是胜场，负场，也可以是平场，负场，
本小组比赛中只有一场战平，那就是西班牙队和德国队战平，
斯达黎加队胜场，负场，
哥斯达黎加的积分是分．
故选：．
根据题意可得小组内每个队进行场比赛，一共进行了场，再由表格可得日本队，西班牙队，德国队的胜负情况，即可求解．
本题主要考查了逻辑推理，明确题意，准确得到日本队，西班牙队，德国队的胜负情况是解题的关键．
 11.【答案】 【解析】解：使在实数范围内有意义，
，
解得．
故答案为：．
先根据二次根式有意义的条件得出关于的不等式，求出的取值范围即可．
本题考查的是二次根式有意义的条件，即被开方数大于或等于．
 12.【答案】 【解析】解：由题意得，
，
去分母得，，
去括号得，，
移项得，，
解得，
经检验是原方程的解，
所以原方程的解为，
故答案为：．
根据题意列方程，再根据解分式方程的步骤和方法进行计算即可．
本题考查解分式方程，掌握解分式方程的步骤和方法是正确解答的前提，注意解分式方程要检验．
 13.【答案】 【解析】解：、是一元二次方程的两个根，
，
是的一个根，
，
，
．
故答案为：．
由于、是一元二次方程的两个根，根据根与系数的关系可得，而是方程的一个根，可得，即，那么，再把、的值整体代入计算即可．
本题考查了根与系数的关系，解题的关键是熟练掌握一元二次方程两根、之间的关系：，．
 14.【答案】 【解析】解：，
在中，，
，
在中，，
．
故答案为：．
在中，，可得的长度，在中，，代入即可得出答案．
本题主要考查了解直角三角形的应用，熟练掌握解直角三角形的知识是解决本题的关键．
 15.【答案】 【解析】解：，
，
，
，
反比例函数图象在第二象限，
，
故答案为：．
由于，根据三角形面积公式得到，再根据反比例函数的的几何意义得到，然后利用反比例函数的性质得到的值．
本题考查了反比例函数的的几何意义：过反比例函数图象上任意一点分别作轴、轴的垂线，则垂线与坐标轴所围成的矩形的面积为．
 16.【答案】 【解析】解：当变化时，随的变化而变化，与满足函数关系，故不符合题意；
如图，

，
，
，
为定值，
为定值，
与满足正比例函数关系，故不符合题意；
当时，，，

，故符合题意；
为定值，，
为定值，
，
，
与满足二次函数关系．故 不符合题意；
故答案为：．
分别表示出与、与、与的关系式，进而判定得出结论．
本题考查了正多边形与圆的关系，解直角三角形，正比例函数，反比例函数，二次函数的定义等知识，解决问题的关键是熟练掌握有关基础知识．
 17.【答案】解：


． 【解析】根据实数的混合运算顺序进行计算即可．
本题考查了实数的混合运算，熟练掌握运算法则是计算本题的关键．
 18.【答案】解：原式

，
当时，
原式． 【解析】根据分式的混合运算法则把原式化简，把的值代入计算即可．
本题考查的是分式的化简求值，掌握分式的混合运算法则是解题的关键．
 19.【答案】解：，，
又，
，
海里，
作于点，
在直角中，，
答：若轮船仍向前航行有触礁的危险． 【解析】通过计算得到，得到，从而得解；
作于点，解得，进而判定即可；
本题考查了解直角三角形的应用方位角问题，掌握直角三角形中的锐角所对的直角边等于斜边的一半是解决本题的关键．
 20.【答案】 【解析】解：人，
项目的人数为人，
补全统计图如图所示，

人，
答：估计这名学生中有人参加了羽毛球社团；
画树状图得：

共有种等可能的情况，恰好选中甲、乙两位同学的有种，
选中甲、乙．
根据项目的人数除以占比，得出总人数，继而求得项目的人数补全统计图即可求解；
用乘以参加羽毛球社团人数的占比即可求解；
用画树状图的方法求得概率即可求解．
本题主要考查了条形统计图和扇形统计图的综合运用，样本估计总体，画树状图法求概率，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．
 21.【答案】解：平行四边形是矩形．理由如下：
四边形是平行四边形已知，
，平行四边形的对角线互相平分，
是等边三角形已知，
等量代换，
等量代换，
平行四边形是矩形对角线相等的平行四边形是矩形；

因为，在中，由题意可知，，则，
所以平行四边形的面积 【解析】根据矩形的判定可知，平行四边形，再加上对角线相等可证明是矩形．
矩形面积的计算，底边长乘以高代入数值即可．
本题考查平行四边形的性质及矩形的判定，难度一般，对于此类题目一定要重点掌握矩形的判定定理，及矩形的基本性质．
 22.【答案】解：设购进“拉伊卜”摆件个，“拉伊卜”挂件个，
依题意得：，
解得：，
答：购进“拉伊卜”摆件个，“拉伊卜”挂件个．
设购进“拉伊卜”挂件个，则购进“拉伊卜”摆件个，
佽题意得：，
解得：．
答：购进的“拉伊卜”挂件不能超过个． 【解析】设购进“拉伊卜”摆件个，“拉伊卜”挂件个，根据题意列方程组解题即可；
设购进“拉伊卜”挂件个，利用不等式解题即可．
本题考查二元一次方程组的应用和一元一次不等式的应用，能找到等量关系列出方程或不等式是解题的关键．
 23.【答案】证明：如图，连接，
平分，
，
，

，
，
，
，
是的半径，
是的切线；

解：连接，过点作于，
，
，
，
四边形是矩形，
，
，
，
，
，
；

解：，
，
，
，
，
． 【解析】如图，连接，根据角平分线的定义和等边对等角证明，推出，再由，得到，即可证明是的切线；
连接，过点作于，证明四边形是矩形，得到，利用勾股定理求出，即可由垂径定理得到；
先解直角三角形得到，求出，再根据进行求解即可．
本题主要考查了切线的判定，矩形的性质与判定，平行线的性质与判定，解直角三角形，求不规则图形的面积，垂径定理等等，正确作出辅助线是解题的关键．
 24.【答案】 【解析】解：是“倒数点”，
且，
解得；，
故答案为：；

联立，得．
，，
的面积为，设一次函数与轴的交点为，则，
则，
，
，
解得：或；

由题可知，，
直线的解析式为，
，
，，
∽，
，
，
其中，，代入得；
设，其中，由知，
当时，的最小值为，
，结合三式及，
可得：，，，
故解析式为或
根据新定义解方程即可求解；
根据倒数点的定义可知倒数点在上，联立得出，根据的面积为，设一次函数与轴的交点为，则，则，根据一元二次方程根与系数的关系即可求解；
由题可知，，根据，，证明∽，得出，代入得；
依题意，，由知，又的最小值为，则，解得，，，即可求解．
本题考查了新定义，解一元二次方程，反比例函数与一次函数综合，解一元二次方程，二次函数的性质，相似三角形的性质与判定，一元二次方程根与系数的关系，理解新定义是解题的关键．
 25.【答案】解：连接，

是中点，，
，
同理可得，，
，
解：是定值，求解如下：
，．
，
，；
，
∽．
，
半径为，
，
故A是定值；

证明：点、分别是弦、的中点，
，，
∽，且相似比为，
，
又由可知，，
，
，故为定值．
解：由及，可得，
如图，提取，过作，垂足为，其中，，

设，，
，
由知，
在中，有，
故有，
两式作商，
令，
，
解得，
． 【解析】连接，根据是的中点得出同理可得，，根据，即可得出结论；
证明∽，根据相似三角形的性质得出，进而即可求解；
由点、分别是弦、的中点，得出，则∽，又由可知，，即可得出为定值；
由及，可得，过作，垂足为，其中，，在中，有，联立，得出，，解得，即可求解．
本题考查了弧与圆周角的关系，垂径定理的推论，相似三角形的性质与判定，掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键．